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1、第四讲等差数列一、知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。3、常用公式等差数列的总和=首项+末项）X项数+2项数=末项-首项）+公差+1末项=首项+公差X（项数1）首项=末项.公差X（项数.）公差=末项-首项）（项数等差数列（奇数个数）的总和=中间项X项数二、典例剖析：例（1）在数列3、6、9，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个
2、等差数列中，首项=3,末项=201,公差=3,所以根据公式：项数=（末项-首项）+公差+1,便可求出。（2）根据公式：末项=首项+公差X（项数/）解：项数=（201-3）3+1=67末项=3+3X（201-1）=603答：共有67个数，第201个数是603练练：在等差数列中4、10、16、22、中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案：第48项是286,508是第85项例（2）全部三位数的和是多少？分析：所有的三位数就是从100999共900个数，观察100、101、102、998、999这一数列,发现这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。解：（100+9
3、99）9002=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。练一练：求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。答案：IooO例（3）求自然数中被10除余1的所有两位数的和。分析一：在两位数中，被10除余1最小的是11,最大的是91。从题意可知，此题是求等差数列11、21、31、91的和。它的项数是9,我们可以根据求和公式来计算.解一：11+21+31+91=(11+91)92=459分析二：根据求和公式得出等差数列11、21、31、91的和是459,我们可以求得这9个数的平均数是459+9=51,而51恰好是这个等差数列的第五项，即中间的一项(称作中项)，
4、由此我们又可得到S=中项xn,但只能是项数是奇数时，等差数列有中项，才能用中项公式计算。解二：11+21+31+91=51x9=459答：和是459。练一练：答案：11385求不超过500的所有被Il整除的自然数的和。例(4)求以下方阵中所有各数的和：1、2、3、4、49、50；2、3、4、5、50.51；3、4,5、6、51、52；49、50、51、52、97、98；50、51、52、53、98、99。分析一：这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行(或竖行)数列之和，再求出这个方阵的和。解一：每一横行数列之和：第一行：(1+50)5O2=I275第二行：(2+5
5、1)5O2=I325第三行：(3+51)5O2=I375第四十九行：(49+98)502=3675第五十行：(50+99)X50+2=3725方阵所有数之和；1275+1325+1375+3675+3725=(1275+3725)502=125O分析二：观察每一横行可以看出，从第二行起，每一行和都比前一行多50,所以可以先将第一行的和乘以50,再加上各行比第一行多出的数，这样也能求得这个方阵所有数的和。解二：(1+50)50250=6375050X(1+2+3+49)=50(l+49)492=6125063750+61250=125000答：这个方阵的和是125000练一练：求以下方阵中100
6、个数的和。0、1、2、3、8、9；1、2、3、4,9、10：2,3、4、5*10、II：9、1。、)1.曝17、18.答案：9例(5)班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳-次。假设一共扳了105次,那么共有多少男生参加了这项比赛？分析：设共有几个选手参加比赛，分别是A、A2,A3ALAn。从Al开始按顺序分析比赛场Al必须和A2、A3、A4、，An逐一比赛1场，共计(n-l)场：A2己和Al赛过，他只需要和A3、A4、A5、An各赛1场，共计(n-2)场A3己和AlA2赛过、他只需要和A4、A5、A6,、An、各赛1场，共计(n-3)场。以此类推，最后An-I只能和An赛1
7、场解：Sn=(n-l)+(n-2)+2+1=(1+n-l)X(n-l)2XnX(Ii-I)场)2根据题意，Sn=IO5(场)，那么nx(n-l)=210,因为n是正整数，通过试算法，可知1514=210.那么n=15,即共有15个男生参加了比赛。答：有15个男生参加了比赛。练一练：从1到50这50个连续自然数中，取两数相加，使其和大于50,有多少种不同的取法？答案：625种例(6)假设干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？分析：从条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少6人，也就是告诉我们这个等差数列的和是91
8、2,项数是16,公差是6.题目要求的是等差数列末项a-aI=dX（n-1）=6X（16-1）=90（人）解：a,+a=Sx2+n=912x2+16=114（人）外圈人数=（90+114）2=102（人）内圈人数=（114-90）2=12（人）答：最外圈有102人，最内圈有12人。练一练：假设干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？答案：52人模拟测试4）一、填空题每题5分1、有一串数，第一个数是6,而后面的每一个数都比它前面的数大4,这串数中第2003个数是。2、等差数列0、3、6、9、12、45是这个数列的第项.从2开始的连续100个偶数的和是。
9、3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位。4、所有5、除以4余1的三位数的和是。6、时钟在每个整点敲该钟点数，每半点钟敲一下，一昼夜这个时钟一共敲下。7、一个五层书架共放了600本书，下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，最下面一层放本书。8、从200到500之间能被7整除的各数之和是。9、在1949、1950、1951、1987、1988、这40个自然数中，所有偶数之和比所有奇数之和多。10、有一列数：1、2002、2001、1、2000、1999、1、从第三个数开始，每个数都是它前面两个数中大数减去小数的差，
10、从第一个数开始到第2002个数为止这2002个数的和是。二、简答题（每题10分）1、有10只金子，54个乒乓球，能不能把54个乒乓球放进盒子中去，使各盒子的乒乓球数不相等？2、小明家住在一条胡同里，胡同里的门牌号从I号开始摸着排下去。小明将全胡同的门牌号数进行口算求和，结果误把1看成10,得到错误的结果为114,那么实际上全胡同有多少家？3、有一堆粗细均匀的圆木，堆成如以下图的形状，最上面一层有7根园木，每面下层增加1根，最下面一层有95根，问：这堆圆木一共有多少根？4、有一个六边形点阵，如以下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点这个六边形点阵共100层，问
11、，这个点阵共有多少个点？5、X+Y+Z=1993有多少组正整数解？模拟测试4解答一、填空题I、80146+4(2003-1)=6+422=80142、16C45-0J3+l=453+l=163、10100末项=2+(100+1)X2=200和=(2+200)1002=101004.1150a1=70-(25-1)2=22()总座位数：(22+70)252=II5O(个)5、123525所有除以4余1的三位数为：101、105、109、997.项数：(997-101)4+1=225和：(101+997)2252=1235256、180(1+12)X12+1x24=1312+24=180(下)7、
12、Io(K140中间一层本数:6005=120(本)最上面一层：12-10x2=100本)最下面一层：120+1x2=140(本)8、15050构成等差数列为：203、210、497.项数=(497-203)7+1=43数列和=(203+497)432=150509、20(1950+1988)202-(1949+1987)202=3938202-3936202=39380-39360=2010、1782225在原数列中,以数1为标志，把三个数看成一组，223=6671.其中2001个数分为667组，有667个1,因为余下的一个数恰为1,那么2002个数中有668个1,其余的数是2002那么669
13、有1334个数。668l+（2002+669）13342=668+1781557=1782225二、简答题1、解；答：题中要求办不到。2、解：误把1看成10,错误结果比正确结果多I（M=9,那么正确结果为114-9=105,即全胡同门牌号组成的数列求和为105设全胡同有n家，此数列为1、2,3、n。数列求和：（l+n）n2=105（l+n）n=210将210分解：210=2357=14x15那么n为14答：全胡同实际有14家。3、解:7+95=102（根）95-7+1=89（层）102x892=4539（根）答：这堆圆木一共有4539根。4、解：第100层有点：6+（99-1）6=6+98x6=6x99=594（个）点阵只有点：1+6+594）x99+2=l+6992=29701（个）答：这个点阵共有点29701个。5,解：当X=1991时，那么Y+Z=2,.Y=Z=I有1组FyIy=2当X=1990时，那么Y+Z=3,r或有2组z=zz=1y=ly=2y=3_当X=1989时，那么Y+Z=4.或，或9有3组(Z=3z=2Z=I有1990组有1991组当X=2时，那么Y+Z=1991当X=I时，那么Y+Z=I992X不能等于1992或1993原方程中不同的整数解，组数为:1+2+3+4+1991=199119922=1983036答：共有1983036组正整数解。
