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1、word解析几何中设而不求专题练习设而不求是解析几何的重要解题策略,在许多题目的解答中,常常可以起到简化计算的作用。许多同学会问:什么情况下,可以通过设而不求解答问题呢? 一、利用曲线与方程的关系:,求两圆的公共弦方程与弦长。 2. 过圆外一点Pa,b引圆的两条切线,求经过两个切点的直线方程。二、利用圆锥曲线的定义:1. 椭圆为焦点,点P为椭圆上一点,求。三、利用点差法:1. 求过椭圆内一点A1,1的弦PQ的中点M的轨迹方程。四、利用韦达定理:1. 椭圆C1的方程为,双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.求双曲线C2的方程;假如直线与椭圆C1与
2、双曲线C2都恒有两个不同的交点,且l与C2的两个交点A和B满足其中O为原点,求k的取值X围.2. 平面上一定点C4,0和一定直线为该平面上一动点,作,垂足为Q,且.1问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;2设直线与1中的曲线交于不同的两点A、B,是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过点D0,2?假如存在,求出k的值,假如不存在,说明理由.五、对多元问题,围绕解题目标,通过逐步消元,实现设而不求1. 抛物线与过点的直线相交于、两点,为坐标原点,假如直线和斜率之和是,求直线的方程。2.点P3,4为圆C:内一点,圆周上有两动点A、B,当APB=90时,以AP、BP为邻边,作矩形APBQ,求顶
3、点Q的轨迹方程。补充练习:1、设、分别是椭圆的左、右焦点. 假如P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值; 是否存在过点A5,0的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?假如存在,求直线l的方程;假如不存在,请说明理由.解:易知设Px,y,如此,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3;当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4 假设存在满足条件的直线l易知点A5,0在椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆无交点,所在直线l斜率存在,设为k直线l的方程为由方程组依题意当时,设交点C,CD的中点为R,如此又|F2C|=|F2D|20k2=20k24,而20k2=20k24
4、不成立, 所以不存在直线,使得|F2C|=|F2D|综上所述,不存在直线l,使得|F2C|=|F2D|2. 圆上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足. I求点G的轨迹C的方程; II过点2,0作直线,与曲线C交于A、B两点,O是坐标原点,设 是否存在这样的直线,使四边形OASB的对角线相等即|OS|=|AB|?假如存在,求出直线的方程;假如不存在,试说明理由.解:1Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|GN|+|GM|=|MP|=6,故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆,其长半轴长,半焦距,短半轴长b=2,点G的轨迹方程是5分 2因为,所以四边形OASB为平行四边形假
5、如存在l使得|=|,如此四边形OASB为矩形假如l的斜率不存在,直线l的方程为x=2,由矛盾,故l的斜率存在.7分设l的方程为9分把、代入存在直线使得四边形OASB的对角线相等.答案:一、利用曲线与方程的关系:1. 两圆方程相减,得,两圆的交点坐标均满足此方程,故此方程即为公共弦所在直线方程。又圆的圆心到公共弦的距离,且 为公共弦长,即公共弦长为。注:其中求公共弦的方程时即用到了设而不求思想。2. 解:设两个切点分别为P1,P2,如此切线方程为:,。可见P1,P2都满足方程,由直线方程的定义得:,即为经过两个切点的直线方程。二、利用圆锥曲线的定义:1. 解析:由题意知点P为椭圆上一点,根据椭圆
6、的定义。再注意到求的关键是求出这一整体,如此可采用如下设而不求的解法:设由椭圆定义得由余弦定理得2得,三、利用点差法:1. 解析:设动弦PQ的方程为,设P,Q,M,如此:得:当时,由题意知,即式与联立消去k,得当时,k不存在,此时,也满足。故弦PQ的中点M的轨迹方程为:。注:通过将P、Q的坐标代入曲线方程,再将两式相减的过程,称为代点相减。这里,代点相减后,适当变形,出现弦PQ的斜率和中点坐标,是实现设而不求的关键。四、利用韦达定理:1. 解:设双曲线C2的方程为,如此故C2的方程为II将由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得即.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A,B得解此不等式得由、得
7、故k的取值X围为2. 解:1设P的坐标为,由得2分 4分化简得P点在双曲线上,其方程为6分 2设A、B点的坐标分别为、,由 得7分,8分AB与双曲线交于两点,0,即解得9分假如以AB为直径的圆过D0,2,如此ADBD,即,10分解得,故满足题意的k值存在,且k值为.五、对多元问题,围绕解题目标,通过逐步消元,实现设而不求1. 解:设点,点,直线的方程为, 如此,由条件,.,又,如此,即, 于是是直线的斜率,直线的方程为.2. 解析:设A,B,Qx,y由题意得:,即。将代入上式并整理得,即为点Q的轨迹方程。注:此题的目标是找到x、y所满足的方程,而逐步消去无关的如此是解答问题的关键。11 / 11