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1、插值理论及其在海啸潮汐问题中的应用摘要由于持续发展的科学技术，潮汐发电这一功能为人类提供了前进的动力以及发展的潜力。不仅使用电得到了满足，还能够将化石燃料等非再生能源的使用减少，起到了环境保护的作用，然而极为重要的问题就是研发出新的环保电站。虽然潮汐能的开发前景极为广阔，但是就我国而言，对于潮汐能的开发量不到1%,所以这是我国亟待解决的问题。根据星下观测点各主要分潮，利用最小二乘法和切比雪夫多项式法去求解特定星下观测点的潮汐调和常数，得到主要分潮的相关数据，但此时得到的调和常数误差较大，于是通过三次样条拟合函数和克里金插值方法将振幅和迟角进行重新插值拟合，将得到的结果画图，从而得到同潮图。本文
2、以插值理论为基础，研究了提取潮汐调和常数、对验潮站数据MATLAB上使用三次样条插值、克里金差值等方法绘制同潮图。海洋潮汐同潮图的绘制需要获取潮汐调和常数，在描述潮汐潮流特征过程中，潮汐调和常数的获取是重要的一项科学研究，直接影响海洋潮汐同潮图的绘制。同潮图的绘制能够帮助人们更好地把握海域分潮振幅以及分潮传播规律，为全方位的海洋开发与利用等工作提供信息参考。关键词潮汐调和常数三次样条插值切比雪夫多项式插值克里金插值InterpolationtheoryanditsapplicationintsunamitideproblemsAbstractDuetothecontinuousdevelopm
3、entofscienceandtechnology,thetidalpowergenerationfunctionprovidesthepowerandpotentialforhumandevelopment.Notonlytheuseofelectricityissatisfied,butalsotheuseofnon-renewableenergycanbereducedsuchasthefossilfuelswhichplaysanimportantroleinenvironmentalprotection.However,themostimportantproblemistodevel
4、opnewenvironmentalprotectionpowerplants.Althoughthedevelopmentprospectoftidalenergyisverybroad,butinChina,thedevelopmentamountoftidalenergyislessthan1%,sothisisanurgentproblemtobesolvedinChina.Accordingtothemaintidalcomponentsoftheobservationpointsunderthestars,theleastsquaremethodandChebyshevpolyno
5、mialmethodareusedtosolvethetidalharmonicconstantsoftheobservationpointsunderthestars,andtherelevantdataofthemaintidalcomponentsareobtained.However,theerroroftheharmonicconstantsobtainedatthistimeislarge,sotheamplitudeandthelateanglearereinterpolatedandfittedbythecubicsplinefittingfunctionandKrigingi
6、nterpolationmethod,andtheresultsaredrawn.Thenwegetthesynopticchart.Basedontheinterpolationtheory,thispaperstudieshowtoextracttheharmonicconstantsoftides,howtousecubicsplineinterpolationandKrigingdifferencetodrawthesametidemaponthetidestationdatamatlab.Intheprocessofdescribingthecharacteristicsoftida
7、lcurrent,theacquisitionoftidalharmonicconstantisanimportantscientificresearch,whichhasadirectimpactonthedrawingofoceantidechart.Thedrawingofthetidechartcanhelppeopletograsptheamplitudeandthelawofthetidedistribution1andprovideinformationreferenceforall-roundoceandevelopmentandutilization.KEYWORDSTida
8、lharmonicConstant1Cubicsplineinterpolation,Chebyshevpolynomialinterpolation,Kriginginterpolation1.绪论11研究背景与意义海洋在地球面积之中占有七成多，海水遮盖着大多数的地表。海水最为根本的一种运动方式就是潮汐运动，潮汐运动也就是海水的周期性运动，其产生是重点受到了天体引潮力、季节这一地理变化以及地球自转的影响。潮汐是海水水位的垂直运动，潮流则是海水的水平运动。通常状况下，潮流速度比水位垂直的运动速度大很多，潮流的变化与潮汐的变化作比较，前者则极为复杂。中月引潮力是潮汐所形成的重要原因，这是由于月球
9、、太阳这两者对潮汐所产生的影响作用与其他相比是最大的IP二分析并探究潮汐，能够对环流、风暴潮等其余有关的海洋现象的分析与探究有着直接、间接的影响作用。也就是说，在大陆架浅海的海洋之中，对潮汐以及潮流进行相关的研究在一定程度上具有重要意义。人类进行生产生活以及实践最为频繁的区域为，海岸附近、河口区域这两个地方。然而在这个区域之中，其具有着极为明显的潮汐现象，也就能够直接、间接的对人类的生产生活以及实践产生影响作用。分析以及研究潮汐潮流，能够为交通运输、能源的开发与利用、海口创建等供应着极为便利的条件2p2。如：培育水产生物、盐的制造、以及潮能给发电等有关的活动，都和潮汐潮流现象之间有着密不可分的
10、联系。每天都会出现潮汐现象，长此以往、循环往复，不仅为人类提供了航海的便利，还为人类的制盐、环保等方面提供便利的条件。由于持续发展的科学技术，潮汐发电这一功能为人类提供了前进的动力以及发展的潜力I。不仅使用电得到了满足，还能够将化石燃料等的非再生能源的使用减少，起到了环境保护的作用，然而极为重要的问题就是研发出新的环保电站。但是就我国而言，对于潮汐能的开发量不到1%,然而潮汐能的开发前景极为广阔。牛顿对于万有引力的发现，顺利的将潮汐这一现象进行了阐明。也就是说所具备的前提极为理想时，天体能够对地表水形成有一定的万有引力，从而导致“平衡湖面”在海洋的表面产生uo近代对于潮汐的分析与探究，就是通过
11、万有引力定律所进行实施的。之后又随着拉普拉斯等相关研究者的分析与探究，不断地对其进行改进完善。1950年之后，电子计算机的大规模运用，以及不断的与现实情况相结合，如深、浅海等诸多原因。从而使得所得出的数据不断趋于准确。从牛顿的理论中得出，潮汐现象的产生就是在地球之中月亮、太阳这两者引力分布的不同。在我国公元前2世纪的早期相关资料中，就有了月望（满月）那天就能够观看到极为壮丽的海潮的有关记录。古代王充的诗句之中“涛之起也，随月盛衰，大小、满损不齐同”，从中能够看出潮汐、月球这两者之间的依靠关系1。其中对涨潮时间变化进行有关描述出现在封演封氏见闻记之中。之后准确叙述潮汐的还有张君房,郭守敬等人。李
12、约瑟（19007995）也曾说过，在近代以前中国对潮汐现象的认知与欧洲相比，中国则更受一筹。1970年之后，我国开始运用计算机。从而促使杨景飞等人，所分析探究的潮汐数值模拟当面获取了相当大的成绩，由于持续增强的大型计算机计算功能，其数值计算在潮汐的分析探究中有着极为重要的影响作用。1 .2研究现状迄今为止的潮汐分析和预报最常用的方法是调和法，而调和分析方法的主要思路是将天间的各种运动分解为一组余弦无穷级数7DG。首先是依据预报所需的精度要求，选取其主要的级数项，然后通过实际潮汐测量值来求解出各个级数项的初始角度以及系数，获取了这些数据之后再依据时间来预测后面某一时刻的潮高。从历史上各分潮调和常
13、数的获取方法来看，曾经首选的方法是通过对已近获取到的观测结果进行插值，但是这种方法逐渐被数值模拟方法所取代本文基于992年到2017年的卫星高度计海面高度异常资料，选取了中国南海海域#o5x5,+*5*5*进行分潮提取。通过函数插值的方法计算对某一点上的调和常数进行插值,得到某一地点分潮的平均振幅和迟角值来进行对比。1. 3本文主要研究内容第一章是着重对本文的研究背景、意义，还有国内外研究背景进行了阐述。第二章是潮汐潮流参数与数值分析方法的介绍，第三章研究问题的提出与分析，第四章建立数学模型，编写代码，给出了潮汐同潮图并做了简要分析。2 .插值方法2.1 插值方法的描述常规插值工作的进行需要依
14、靠特定公式的支持来实现推导与分析，假定1+为上的函数,在区间：上取的互异点1,这些点在1+回上对应的函数值分别为1。得到的函数1的表如下表1：表1差值数据对应表届k?I物游k渝:-那么如果想知道1+在其他点的值，如此就必须完成函数粉下的构建，使其能够与下述要求相一致：尿协尿+.此时点1被称为插值基点，区间。被称为插值区间。函数下就属于是I-对应着的插值函数。差值的误差一般可以表示为式子十张I插值的本质就是经由已经知道的插值基点完成与州紧密相关的I插值函数的构建，如此原本未知的点也能够经由*1的函数值加以取代，得到相关值的信息内容”。2.2切比雪夫多项式插值该方法是切比雷夫提出，是对多倍角的余弦
15、函数进行展开后得到，具体到逼近理论内有着相对广泛的运用。由切比雪夫多项式得到的根能够在多项式插值中进行使用，可以更大程度上减少龙格现象的出现，获得连续函数范围内的最佳一致逼近值1p。切比雪夫多项式的定义：当权函数PltC,区间为由序列C经由正交化处理的方式获得正交多项式，此即切比雪夫多项式，能够对应表征是*1+*Ak*l0若令I+*26,则*1+*1BO%20smIlmo切比雪夫多项式的性质：性质1(递推关系)*c+S*c+*+*(2)这只要由三角恒等式*m+*，令*即得，可推出：*0+=olXsoH-I|7AXNzXIs参考递推关系能够获悉*t相关的最高次项系数对应为。性质2*可以在上存在带
16、权PItCo”正交，满足*B*0aif*+,0+O*lf+(3)事实上，令1+*(),则*lt0*,于是e8*B|*01Xie*|s*A6*A0080+*0+O*HT+0+(4)性质3*I在区间上有个零点|米+*性质5*1的首项|的系数为。定理6假定*1为首项系数是1的切比雪夫多项式，如此OLce1s*+0*rosl+V+且OLcol*+切比雪夫多项式零点插值：切比雪多项式*I区间上有个零点1米+*口*米和个极值点(包括端点)1米+*=()米上述得到的两组点就是切比雪夫点，这些点正好是单位圆周内等距状态分布的横坐标，在端点位置呈现密集分布的状态选择切比雪夫法实现插值分析，则能够保障插值区间内的
17、最大误差满足最小化的需要。假定其插值点对应是：表征的是次Lagrange多项式，则其插值余项对应表现是：*altsn*altxatu+(5)于是OC其中ats+ka+FxtOVcoIc是由被插函数确定的。如果插值节点为*的零点/米+*由定理6可得OLcslscewuca+=zcDy比*O若二阶平稳的随机函数就是*1,取样在其第个的位置：F*,点1处的估计为:*给(19)这里权重系数的是*,所代表的是空间*样本点中的*观测值，且其对*这一计值的贡献水平。*计算权重系数是克里金算法的根本，权重系数计算要对两个前提进行满足:+I。(2)要将估计值、*实际值这两者间差的平方和最小。即：0*0+*l+*
18、(20)(4) 用协方差函数可以表达为下式：(5) 0e1I-*(21)(6) 按照的原理是拉格朗日乘数，得到最小的估计方差，明确(7) =0+*(8) 将0作为偏导数，算出对*、两者的偏导数，从而得到克里金方方程组：(9) yty+IA*+o.=(23)(10) o*-+*+*K*yy1Isp(24)(11) 用矩阵代表方程组，便能够将普通克里金方程组进行获取：(12) +*.*c相-CFCs+o:H4*1*(13)(14) Q+中(15) 解方程组得+4s3(16) 则估计方差为：(25)(17)o+*sA*(18)(19)5.2模型求解结果(20) 5.2.1基于三次样条模型求解(21)
19、 选取特定的坐标，由于坐标数量很多，误差较大，本文选取具有代表性的13组数据。先对主要分潮中的分潮进行研究。所开展的三次差值是经、纬度，振幅，获得数值，再将数值与经度，纬度进行画图，得到了一张三维图，由于三维图无法具体展现等振幅线的变化，所以将三维图投影到平面，得到了下图3:(22)(23) 图3分潮的振幅同潮图(24) 类似的方法，得到了分潮的迟角同潮图(图4),分潮的振幅同潮图(图5),迟角同潮图(图6),分潮的振幅同潮图(图7),迟角同潮图(图8),分潮的振幅同潮图(图9),迟角同潮图(图10):(25)(26)图4分潮的迟角同潮图(27)(28)图5分潮的振幅同潮图(29)(30)(3
20、1)图6分潮的迟角同潮图(32)(33)(34)图7分潮的振幅同潮图(35)(36)图8分潮的迟角同潮图(37)(38)(39)图9分潮的振幅同潮图(40)(41)图10分潮的迟角同潮图(42) 5.2.2基于克里金插值模型求解(43) 为获取潮汐的调和常数就要通过卫星高度计与验潮站这两者之间的资料进行互补,得到各分潮的振幅和迟角并利用插值方法使用球面曲线模型拟合半变异函数插值到规则网格上，将南海领域中、*、这四个主要分潮的同潮图进行画图，得到图。(44)(45) 图11分潮同潮图(46)(47)图12分潮同潮图(48)(49) 图13分潮同潮图(50)(51) 图14分潮同潮图(52) 上面
21、图像获取之后，检测的进行就要通过验潮点的调和常数。因为不能找到完全相同的经纬度，所以此时本文采用的是相近位置的坐标，利用原始数据，得到振幅，迟角，即下表(53)表313个近似验潮点的坐标和调和常数(54)位(55)(56)误置差(5(5(5(6(7)8)9)0)661)2)(6666663)4)5)6)7)8)12.1118.(6777779)0)1)2)3)4)15.5236(7777785)6)7)8)9)0)12.119.2(8888881)2)3)4)5)6)12.6229.(8889997)8)9)0)1)2)19.21(9999993)4)5)6)7)8)15.715(911111
22、9)O000010)1)2)3)4)2219.4(111111O000015)6)7)8)9)0)127381(1111111111111)2)3)4)5)6)13.1332(1111111112227)8)9)0)1)2)16.2381(11111122222211124.2(1111112333339)0)1)2)3)4)111347.(1111113333345)6)7)8)9)0)12514.3(141) 经有效的比对，调和分析的结果总体分布与论文、验潮站所得出的结果大致一样，这就说明了克里金插值这一方式的所具备的优势极大。同时对于不同水深区域，在近岸区域验潮站的插值结果更加准确，在深
23、海中高度计调和分析插值结果细节表现较好。(142) 将上述坐标带入图中，可以发现此坐标点所对应的振幅和迟角与实际验潮点的数据相差不大，两者差值同样在表2中，从差值中可以得出本文模型三的拟合结果非常可靠。(143)(144)(145)(146)(147)(148)(149)(150)(151)(152)(153)(154)(155)(156)(157)(158)(159)(160)(161)(162)(163)(164)(165)(166)(167)结论(168) 经由调和常数来实现切比雪夫多项式插值处理，运用得到的差值多项式能够预估轨道内任意点对应着的调和常数值。在多项式拟合过程中，拟合次数过
24、高会导致过拟合的情况，选择合适的次数后，利用参考文献可以对区域内任意一点插值，有助于第三问同潮图的绘制。最终通过对比插值结果得出插值次数在20次左右的效果较好。(169) 克里金插值模型能够在数据网格化处理期间，将空间离散数据具有的空间相关性特征考虑在内，使得整个插值结果更具科学性与合理性，与实际的情况更为贴近。(170)三次样条插值模型，利用潮汐调和模型进行数值模拟比实地测量少耗费资源和劳力。求解过程中增加了检验模型，体现建模的严谨性。模型建立过程中采用图形，数表相结合，使数据直观、简明。(171) 虽然调和分析的方法距今已有好多年，但有些问题仍然没有解决。对于浅水港口来说，在求解问题中应该
25、考虑由分潮和由气象等因素引起的扰动，精确分析结果。对数据处理过程中数据量太大，应先对数据进行筛选，选取代表性数据，使最后结果更准确，加大模型精度。在浅水中运用高度计资料进行调和分析时，由于潮汐的浅水效应和地形效应，其精度大大地降低了，就会导致很大的预报误差，需要进行潮汐订正。(172) 对于其他插值方法，其实我们还可以使用模型验证方法来选取其中的最佳函数：(173) 交叉验证使用所有数据对趋势和自相关模型进行估计。它会每次移除一个数据位置，然后预测关联的数据值。例如，有10个数据点。交叉验证会省略一个点，然后使用剩余的9个点计算此位置的值。将省略点位置的预测值与实际值相比较。然后对第二个点重复
26、此过程，以此类推。交叉验证会对所有点的测量值和预测值进行比较。完成交叉验证后，得到所有已知点与其预测值之间的偏差，这个所有点的偏差从某种程度上讲就为我们提供了整个预测方法是否合理的依据。通过比较不同函数的结果偏差大小，便可以选择出最佳函数，同时还可剔除偏差值较大的数据点。(174)(175)(176)(177)(178)(179)(180)(181) 参考文献1李庆扬，王能超，易大义.数值分析第五版M.北京：清华大学出版社，2008.122渤黄东海潮汐底摩擦系数的优化研究D.孙丽艳.中国海洋大学.20063厦门湾及邻近海域潮汐潮流数值模拟与预报研究D恭梦楠.中国海洋大学.20144南海潮汐数值
27、预报D.梁广建.中国海洋大学.20045印尼近海潮汐潮流的数值模拟D.滕飞.国家海洋局第一海洋研究所.20136基于切比雪夫多项式的函数插值逼近J.王先传，江岩，赵佳，张岩.阜阳师范学院学报(自然科学版).2017(04)7风暴潮数值同化研究和高度计资料拟合方法研究D.范丽丽.中国海洋大学.20118基于卫星高度计海面高度异常资料获取潮汐调和常数方法及应用J.夏昊阳，酶8,曾嘉炜，数学的实践与认识.2019(16)9卫星高度计资料反演潮汐调和常数研究与应用J.闫申，颜冰，罗其祥.数学的实践与认识.2019(16)10基于FVCOM的黄渤海潮波运动的数值模拟J.黄学智，5m马锈,姜琏，孙像文(1
28、82)(183)(184)(185)(186)(187)(188)(189)(190)(191)(192)(193)(194)(195)(196)(197)(198)(199)致谢(200) 四年过得太快了，猝不及防的就要毕业了。当初学长学姐说大学时光会过得很快我不置可否，现在回想这四年真的是一飒而过。因为今年疫情的特殊原因，约定好的散伙饭，毕业照都没有着落，所以有很多遗憾。虽然有诸多遗憾，和未完成的心愿，大学也要结束了。行文至此，回忆起这四年所遇种种，无论如何感恩相遇。(201) 感谢论文指导老师蒋老师的悉心指导，蒋老师识渊博待人和蔼，虽然与蒋老师见面不多，但蒋老师无论是在科研工作当中的传道
29、授业，还是在论文过程当中的答疑解惑，蒋老师都恪尽职守、认真负责，在我的学习生涯给予了很大的帮助与关怀。尤其是在我的论文写作当中，蒋老师通过语音等方式给我提供了很多的帮助与指导，他对教学工作认真细致的态度和对科研工作务实严谨的精神，让我深深敬佩。在此我对蒋老师表示由衷的感谢。(202) 感谢我的同学及室友这四年的照顾，因为有了你们才让我这四年过得如此愉快，尤其是我的室友鲍静雯，在我迷茫不安时的陪伴，让我安稳度过低潮时期，令我知道如何缓解自己的糟糕情绪。这四年感谢有你。(203) 同时也要感谢本文所引用的各位专家学者的著作，正是因为通过这些学者的研究成果才能让我完成此篇论文，同时也要感谢我的学长学
30、姐们，他们在本人写作中给予的有效素材，在论文排班中的热情帮助。金无赤足，人无完人，感谢他们指出了我论文中的不足和错误。(204) 最后感谢我的爸爸妈妈，他们是我人生道路的指引者，感谢有他们的教导和养育才有了现在这样健健康平平安安的我。(205) 始于2016年夏末，终于2020年初夏。愿这些年所遇的各位平安喜乐，来日可期。(206)(207)(208)(209)(210)(211)(212)(213)(214)5)附录(216)(217)(218)(219)(220)(221)(222)(223)(224)(225)(226)(227)(228)(229)(230)(231)(232)(233
31、)(234)(235)(236)(237)(238)(239)(240)(241)(242)(243)(244)(245)(246)(247)(248)(249)(250)(251)(252)(253)%计算切比雪夫多项式插值节点，si,tl为区间，n为节点个数functionx=chebyshev(s1,t1,n)x=zeros(1,n);fori=1:n(n-i+1)=(s1+t1)2+(t1-s1)2*cos(2*i-1)*pi(2*n);endend%使用切比雪夫多项式插值预测调和常数H,G并作图，返回均方误差和绝均差functionsse11am1=chelnHg(x1,lon1,H
32、,G,He,Hs)n=length(x1);disp(n)Ihgcs=lon1,H,G,Hc,Hs;Ihgcs=sortrows(lhgcs,1);x1=min(lon1):0.1:max(lon1);yd=Lagrange(x(:,1),x(:,2),xx1);ys1=Lagrange(X(:,1),x(:,3),xx1);yce1=Lagrange(x(:,1),x(:,2),lon1);yse1=Lagrange(X(:,1),x(:,3),lord);yd=yd;ys1=ys1,;yce1=yce1;yse1=yse1,;sse1_hc=sum(yce1-Hc).2);sse1_hs=sum(yse1-Hs).2);am1_hc=mean(abs(yce1-Hc);am1_hs=mean(abs(yse1-Hs);HH=sqrt(yce1.2+yse1.2);GG=acos(yce1./HH);GG=rad2deg(GG);fori=1Jength(GG)if(yse1(i)0)GG(i)=360-GG(i);endendLHG=lo1,HH1GG;LHG=sortrows(LHG,1);sse1_h=sum(HH-H).2);(254)(255)(256)(257)(258)(259)(260)(261)(262)sse1_g=sum(GG-G).2);a
