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1、1、设两两相互独立的三事件A8,c满足条件：ABC=0.P（八）=P(B)=P(C),且9P(AoBuC)=-,求P（八）.解：P(AuBuC)=P（八）+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)o=3P（八）-3P2（八）=-,133那么P（八）=或一，其中P（八）=三舍去，因为尸（八）P(A8uC).4442、设事件A与5相互独立，两事件中只有A发生及只有5发生的概率都是试求P（八）及尸(8).4解：由条件知：P(AS)=P(X)=L那么4解得P（八）=P(B)=L3、甲、乙、丙三门炮向同一架飞机射击，设甲、乙、丙炮射中飞机的概率依次为0.4,0.5,0.7,又
2、设假设只有一门炮射中，飞机坠毁的概率为0.2,假设有两门炮射中，飞机坠毁的概率为0.6,假设三门炮同时射中，飞机必坠毁.试求飞机坠毁的概率？解：设A=甲炮射中飞机，4=乙炮射中飞机，A=丙炮射中飞机,用=一门炮射中飞机,员=两门炮射中飞机,员=三门炮射中飞机,C=飞机坠毁,那么由题意可知事件A,4,A3相互独立，故故由全概率公式可得：P(C)=P(CBuCB2uCB3)=P(CB,)+P(CB2)+P(CB3)=P(B,)P(CB1)+P(2)P(CB2)+P(B3)P(CB3)=0.360.2+0.410.6+0.14-1=0.4584、一批产品中96%是合格品，检查产品时，一合格品被误认为
3、是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05.求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.解：设A=抽到的产品是合格品,=抽到的产品是次品,8=抽到的产品认为是合格品.那么由全概率公式可知：P(B)=P(ABuAB)=P(AB)+P(AB)=P（八）P(BA)+P（八）P(BA)=0.96-0.98+0.040.05=0.94281P(AB)P（八）P(司A)2352八八八故P(AiB)=IJI=0.99791P(B)P(B)23575、设袋中有10个球，其中3白7黑,随机任取3个，随机变量X表示取到的白球数,试求:(1)、随机变量X的分布律；(2)、数学期望E(X)o
4、解：(I)X的可能取值为0,1,2,3,C P(X =O) = = C13o724r2c1P(X=I) =等co21而P(X=3) =兽= cIO1T20C1C221P(X=2)=-=-。120X的分布律为X0123P7212112440120120(2)X的数学期望为6、没有6题号7、p26例8、设离散型随机变量X的分布列为X-2-10123P0.100.200.250.200.150.10求：(DK=-2X的分布列；(2)N=X?的分布歹I.解:(DY=-2X的分布律为X-6-4-2024P0.100.150.200.250.200.10(2)=X2的分布律为:X0149P0.250.40
5、0.250.109、设随机变量X的概率密度(2f0vx0y2解：Ay)=2)0,其它f2194七认尸6=310、设连续随机变量X分布函数为：/(X)=A+Barctanx试求：1)常数A、B；2)概率密度函数/(幻,3)P(-l-00.V-00.t-OX-OO解：D111ATrB=O,A+-rB=1解之得A=,B=2221 12)f(x)=F(x)=(A+5arctanx)i=(1x2)3) P(-1%1)=F(1)-F(-1)=0.511、设尸*=0=尸丫=0=n乂=1=。丫=1=5,两个随机变量X,Y是相互独立且同分布,求随机变量Zl=max(X,r),Z2=X+r的分布律.解：(1)4的
6、所有可能取值为0,1,且故Zl的分布律为：(2) Z2的所有可能取值为0,故Z2的分布律为：12、设(X,Y)的联合分布律为试求： EX, EY； (2) E(X-2Y)i-112E(XY); (4)方差 DX, DY解： (1)EX=I X 0.4+2 X10.20. 10. 120.30.20. 10.6=1.6E(K)=-10.5+10.3+20.2=0.2(2) E(X-27)=E(X)-2E(Y)=L2(3) E(XY)=-l*0.2+1*0.1+2*0.l+(-2)*0.3+2*0.2+4*0.1=0.3(4)D(x)=E(X2)-E(X)2=1*0,44*0.6-1.62=0.2
7、4D(y)=E(Y2)-E(Y)2=1*0.5+1*0.3+4*0.2-0.22=1.5613、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购置一箱玻璃杯，在购置时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4只，假设无残次品，那么买下该箱玻璃杯，否那么退回.试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解：令A表示顾客买下所查看的一箱玻璃杯，Bj表示箱中恰有i件残次品，i=0,l,2.由题意可得：(1)由全概率公式可知，顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为：(2)由贝叶斯公式知，在顾客买下的一箱中，确实没有残次品
8、的概率为：14、设有两箱同类零件，第一箱内装50件，其中10件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求(1)现取出的零件是一等品的概率；(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解：(1)记4表示在第i次中取到一等品，i=l,2;。表示挑到第i箱.那么有P(A)=P(AIB1)XP(B1)+P(AlB2)XP(B2)(2)P(AiA2)=P(AiA2Bi)P(B1)+P(A1A21B2)P(B2)15、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2,乙的命中率为0.
9、5,以X和Y分别表示甲和乙的命中次数，试求X和y的联合概率分布.解：由题意知：X8(2)，(2,-).52因为X和y相互独立，那么从而随机变量X和Y的联合分布律为：O1216、设连续型随机变量X的分布函数为O4/252/251/100Ox-a18/254/251/50F(X)=ABarcsinx-axa,试24/252/251/1001xa求(1)常数A,3；(2)X的概率密度;解：(1)因尸(X)是连续函数，所以在点x = -,点连续，故VA+Barcsinj)=。解得A),工A+Barcsin()=12当x-a,x时，/(x)=F(X)=O1I,-QVX。故X的概率密度为：f(x)=lyi
10、-x20,其它17、设二维随机变量(x,y)的联合概率密度为求(1)4的值；(2)PXl,y2解：(1)J+J/(x，ydxdy=J；J；Aex+y)dxdy=A一”ey=A=I4分PX1,y2000=1-PX2000=1-Lmdx=-故pyi=-pyvi=-py=o=-cd)d)4=2216.7X019、设随机变量X的概率密度为/(X)=J廿、，求y=2的概率密度函数0,其匕解：y=2的分布函数4(y)为：F(y)=PYy=PX2y2分当y0时，K(y)=P2y=0,当y0时，F(y)=PX2故Y=2的概率密度函数为：f(y)=F(y)=i2yy0,y020、设随机变量K在(0,5)上服从均
11、匀分布，那么方程：4/+4代+K+2=0有实根的概率.解：依题意可知，KU(0,5),那么K的概率密度为:假设要使得方程4+4Kr+K+2=0有实根，那么有:A=(4K)2-4x4(K+2)0,即K2-K-20;解得K2或K-L故方程有实根的概率为：21、设随机变量X服从均匀分布UO,1,求y=-21nX的概率密度./r1解：y=的反函数为X=Iny,且一=,dyy(iI当Iny(0,1),即y(1,e)时,f(y)=fx(ny)|=-.dyy故Y=/的概率密度为：f(y)=y.0,其他22、设随机变量X的概率密度为力。)=5-,(-8x8),求随机变量Y=I的概率密度乃(1+X)(y)解：函
12、数)，=1-板严格单调，反函数为x=z(y)=(l-y)3,那么23、设随机变量(x,y)的联合概率密度函数为/(,y)=O其他试求(DX和y的边缘密度函数;Pxo.5,ri解：(D当0xl时，在其他情况下，fx(x)=f(x,y)dy=O.J-X从而X的边缘密度函数为：当y0时，在其他情况下，加y)=J1(x,y心=0.从而y的边缘密度函数为:PX0.5,Y=晨/(演ylxdy=f6xe-3ydxdy=|/2、24、设二维连续型随机变量(x,y)的概率密度为f(9 y) =ke-(3x+4y0X O, y O其它(1)确定常数左:(2)讨论x,y的独立性.为1=工/(MXdy=%小+”力=A
13、氏=12.因为 A (X) = 7(x, y)dy =12L(3+4%dy,0,x0 其它3e3x x00, 其它同理可得 4(y) = 4e4x y00, 其它/ = 0,1,2,3.XO123P2712554T2536T258125从而X的分布律为:随机变量X表示取到的黑球数,试求：(1)随机变量X的分布律;(2)数学期望E(X)。显然对任意的x,yR,恒有Fay)=以人。)，故随机变量X,Y相互独立.25、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并2且概率都是一，设X为途中遇到红灯的次数，求(I)X的分布律；(2)X的期望.52解：(D由题意可
14、知：XB(3,-),PX=i=那么PX=O=4,PX=1=D,AX=2=H,PX=3=H.125125125125小“八27154036c86(2)EX=OxFlXH2XF3=_.125125125125526、设袋中有10个球，其中3白7黑，随机任取3个,解：U)X的可能取值为0,L2,3。P(X=O)=卑=-L,P(X=D=寄=亘C1120Cj120尸-2)=餐喂,P-9=等噎002z0z*3(2)E(X)=0l+11+2-+3-=2.1品金如3Vx127、设随机变量X的概率密度,F”一；(2)数学期望E(X)。2解：m pjx -=l-pjx/(x)dr=l-l=O(2)E(X)=xf(
15、x)dx=x-dx=0.628、设总体X服从正态分布N(0b2),X,X2,X”是来自总体X的一个容量为的简单随机样本，试求和2的最大似然估计量.解：X的概率密度为：/(x;,-7L=expLEX-/；J2万22似然函数为：L(,j)=jj，=expL(Xi-了/=I2兀2对数似然函数为：InL(,2)=一5ln(2r)-gIn2-JTS(Xi-产222b：=令治InL=，胃外一=0,因此得的最大似然估计量为：=X12=-Y(Xi-X)2.,=I29、设总体X的概率密度为f(x)=(+D*，L其中81是未知参数，0,其他X,X2,X“是来自总体X的一个容量为的简单随机样本，求(1)。的矩估计量
16、3；(2)。的最大似然估计量解：(1)E(X)=J二R(X世=1(。+1)产公=置产2|公筌。+1-C2X-1令=X,那么。的矩估计量为：=6+2I-X样本(X,X2,，X)的似然函数为:对数似然函数为：InL)=nLn(+1)+夕(SInxz).求导得似然方程为：二口+丑In/=。,d8+1.=1人/7a/7解得。二-1,故。的最大似然估计量为：=-(lnx,.)这InXi)=l=l30、设X,X2,，X,4是来自参数为4的泊松分布总体的一个样本，试求4的最大似然估计量及矩估计2k解:依题意可知,总体X7(团,其分布律为PX=口=e,Z=0,1,x,”那么似然函数为：L(2)=11e=Fe-
17、Xj/=1对数似然函数为：InL()=Inxi-n-tIn苍,/=I/=I似然方程为：吧)=S-I一二0,d解得力=L之Xj=又为几的最大似然估计量.因为总体X1(团，那么E(X)=Z故2=灭为4的矩估计量.31、设总体XN(,2.82),(X1,X2,X10)为总体X的一个样本，并且样本的平均值X=1500,求的置信水平为0.95的置信区间.(zoos=、zo25=1.96)解：l-=0.95,.=0.05,-=0.025,=10,b=2.8,X=1500/.的置信水平为20.95的置信区间为所以的置信水平为0.95的置信区间为综合题：1、事件A,B,C相互独立，证明：ADB与。相互独立.证
18、明：P(AuB)CI=P(ACuBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P（八）+P(B)-P(AB)P(C)=P(AuB)P(C);从而ADB和C相互独立.2、设随机变量X服从标准正态分布N(OJ),求Y=/的概率密度.1H解：XN(O/)，那么X的概率密度为：fx(x)=-=e2,-ooxZry=l可得，dx(x2+Axy)dy=1(2)两个边缘概率密度函数分别为4、设随机向量(x,y)的联合概率密度函数为CeT3i, x0,y00, 其他试求:(1)常数C：(2)联合分布函数尸(x,y)；(3)P0Xl,0O,yO时，F(x,y)=vf(x,y)dxdy=12ei3x+4y)dxd
19、yL(ID在其他情况下，F(x,y)=fff(x,y)dxdy=0.J-OOJ-OO从而联合分布函数/(x,y)为：(3)P0xl,0y2=Jjj2e0x+4y)dxdy=(1-e-3)(1一e8).5、设二维随机变量(x,y)的联合密度函数/(二切=|0,其他求（1）X,丫的边缘密度函数；（2）P（x+yi）.解：(1)当Oxn故y=3x的概率密度函数为：(y)=pe , yO, y0(3) E(Y) = J：e-xf(x)dx = e-xexdx = -2x = ga,、 a + bx2 , O x 1z x 17、随机变量X的概率密度/(X)=,且E(X) =，求48及分布函数/(X).
20、t故l-l2cl-xrl21(2)P(X+Y1)=J。Gxdxydy=6x(12x)dx.C-XXO6、设随机变量X的概率密度为f(x)=0时，F(X)=vf(t)dt=e,dt=1-e-tO,x0故X的分布函数为：F(X)=-e-x9x0(2)y=3x的反函数为X=Ly,且一=-,当x(0,+8)即y(0,+8)时，3ay3解：由，/(x)dr = + = 1,E(X) = J(力公=A 9；，可得a = 2,b = -3 o因而，fW =2-3x*, , 0 X 10,其它当XVO时，F()=0;当 OW 时，F(x)= f(f)dt = 2x-x3 ； 当 xl 时，F(x)=l.0,
21、所以，F() = 2x-xLx0,0 X 1, x 1.8、设总体X在(,。)上服从均匀分布,其中为未知参数，又王,/，X为样本，求未知参数。涉的矩估计量.解：因为2 用不-a)22=必， = 2-,得至J-y-=必，一=也一从那么Cl+ b ._1 5,= Al=-xi2n展=&-挣y*)Th-a = 2y3Sn = 3S + Xb+a = 2 又a = X-y3Sn9、从一批零件中抽取18个测量其长度，得到样本标准差S=O.195,设零件长度服从正态分布.求零件长度标准差。的置信水平为95%的置信区间.附正态分布、，分布、%?分布数值表解：由题意可知，n=18,S=O.195,a=0.05oZo.o25(17)=3O,2 , 二必(17)= 7.56 ,得 的置信区间为170.195,J-0.195 ,即30.2 V 7.567.56(0.1463,0.2924).(2)当一1VXV时，f(x)=F,(x)=(+arcsinx)t=J2Wl-X2
