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1、夹逼准那么在求极限中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业2023级敖欢指导教师刘学文摘要：极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些根本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。极限是高等数学的理论根底和重要工具。不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。本文主要举例讨论并分析夹逼准那么的应用，特别是其在求极限中的应用。关键词：极限；夹逼准那么；函数；数列Abstract：Thethinkingmethodoflimitthroughoutthemathematicalanalysis,somebasicconceptssuchasdifferential
2、,integralandlimitareinseparablelinks.Limitofhighermathematicsisthetheoreticalfoundationandimportanttool.Differentformsofthesolutiontothelimitthewayisalsodifferent,differentthoughtsofsolvingtheeffectisnotthesame.Thispapermainlydiscussedbyexamplesandanalysisofsqueezeruleapplications,especiallyinthelim
3、itofapplication.Keywords：LimitjSqueezerule;Function;Series极限是从初等数学跨向高等数学的一座重要桥梁。在青少年阶段或者更早吸收了解极限先进思想和概念，无疑对他们的人生开展有着不可估量的影响。极限理论是数学分析的入门和根底，是人们把握无限的金钥匙。不管是函数的连续性、导数、定积分还是无穷级数这些数学分析的核心内容，无一例外地都是通过极限来定义和推演的。鉴于其在高等数学中的特殊重要地位，极限亦成为数学考研的必考内容之一。极限概念最初产生于求曲边形的面积与求曲线在某一点处的切线斜率这两个根本问题。我国古代数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆
4、面积的方法一割圆术，就是用极限思想研究几何问题。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，那么与圆周合体而无所失矣。他的这段话是对极限思想的生动描述。在我们高中阶段初步认识了极限，同时也接触了一些简单的求极限的方法。与以前不同的是：高等数学中，我们是从变化的过程认识极限的；我们是从逼近认识极限的；我们又是从不等式认识极限的。另一要注意的是在趋向极限的过程中，既有同向趋近，也有双向趋近的。而且面临的极限不再是单一、简单的运算，可能会涉及更多的知识，运用更多的理论支撑。极限概念是微积分最根本的概念，微积分的其他根本概念都用极限概念来表达。极限方法是微积分的最根本的方法，微分法与积分法都
5、借助于极限方法来描述，所以掌握极限概念与极限运算便是非常重要的了。求极限或证明极限的方法众多，灵活性强，题型也千变万化。在求极限时一些常用的方法，像利用两个重要极限，利用两个重要准那么，利用等价无穷小替换，利用洛必达法那么等。不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。中心问题无外乎两个：一是证明极限存在，二是求极限的值。人们在初学数学分析阶段却往往不易掌握各种解题方法的思想实质，而难以融会贯穿地处理形形色色不同的问题。函数是高等数学的主要研究内容，而极限又是研究函数的方法。因此，极限是高等数学的根底知识和主要内容。如何求数列极限、函数极限是教师和学生都共同关心的问
6、题。本文通过举例，本文主要举例讨论并分析夹逼准那么的应用，特别是其在求极限中的应用。定理E如果存在S0,使得当OVlX-XoIVS时，/*)Wg(X)Wkr),并且Iimf(x)=AiIimh(x)=A,那么Iimg(x)=A。-A-F-VjA-.Vj-证明如果对任何Xn，XnfX0，XnX,并且可不妨假设Xn。(X,8)io,有/(Xn)Wg(Xn)W(Xn)，以及/(Xn)fA,h(x11)fA(-8),由数列极限得：g(Xn)一A(f8),这就证明了：g(Xn)fA(XfXO)O此准那么多适用于：所求极限的函数比拟容易适当放大和缩小，且经过放大和缩小后的函数(或数列)易求得相同极限的情形
7、。利用此准那么可把所求极限转化为求放大和缩小后的函数或数列)的极限。夹逼准那么所适用的不等式可在充分大以后成立。利用夹逼准那么求极限的关键在于，找到两个具有相同极限值的函数/(X)和h(x),使得/(x)g(x)A(x),这样所求函数g(x)的极限就等于/(x)和h(x)的极限。下面将通过一些典型的例题探讨夹逼准那么的应用，特别是它在求极限中的应用。1夹逼准那么在求极限中的应用1.1含有乘方和阶乘形式的函数这类函数的极限可用夹逼准那么求解或证明。这类函数的自变量(或X)包含在累指数、根指数或对数中，且有两处出现该自变量。为了利用夹逼准那么，先用伯努利不等式：(1+21+叩(其中pT,为任意自然
8、数)，或者(l+p)二1+在+罕p2+p，假设将它适当地放大或者缩小，这样就把(或X)从事指数、根指数或对数中“去掉了，然后就可以利用夹逼准那么求函数的极限了。例11证明IimW=0;4T8Hl分析记C2=养，其自变量包含在基指数中，其中分子分母均出现了自变量。此时可以用伯努利不等式放大、缩小，即OVKJio！n这样就找到左右两边均可直接求出极限，并且它们的极限值相同，均等于0。满足夹逼准那么的应用条件。证明因为0V4W&，且Iim1=0;因此由夹逼准那么得：Iim4二。例1.2计算iima1)；or(X分析设=(l+%=1+112+ZK11)2+h,t竽2(o2Hlh20zl)从而有：OVw
9、LV2a,(n-)lr因为Iim-=0,*fB(n-I)r所以由夹逼准那么知：Iim-=0o(Xn例1.3计算Iim吗川)刀TBrl分析记。二普殖，其自变量包含在嘉指数、根指数中，其中自变量出现了两次。此时可以用伯努利不等式放大、缩小，即：0I犷那彳!)IJE=,+1+ln斯j于是：Ipsin(n!)V1赤厂、砺这样放缩后左右两端的极限均可以直接求出，并且它们的极限值相等，均等于0。满足夹逼准那么的应用条件。解由于0I五芈IPsin(n!)V1而+1痂而且Iim()=limJ=O,11*而isi/n所以由夹逼准那么得:Iim*叫叫二。x/I+11.2或者容易求出双向不等式的数列或者函数，可以用
10、夹逼准那么求它的极限。例14求极限lim(=J+-J+一)。分析记C2=N-J,易知关于女单调递增，即得Cn，+1n+n+n当f+oo时，上式左、右两端各趋于O和L似乎无法利用迫敛性，原因在于放缩太过粗糙，应寻求更精致的放缩。解对力各项的分母进行放缩，而同时分子保持不变。就得如下不等关系：+1=,kCny,k=心+1)2(+2)/+n2+“+12(+M+1)令f+oo时，上式左、右两端各趋于g,由夹逼准那么可得：Iim(+)=1-*3n+/J+1n+n+2，/+2例15证明Iim(-=+4+-J=)=Lm2+1w22+11分析记C/2=2T=,易知下关于女单调递减，ATQfr+krk即得-=?
11、=Cn=yn2w2+lf+oo时，上式左、右两端均趋于1,满足夹逼准那么的应用条件。证明由于六3+8+77三,n+1+2n*+l而且IimY=I;*+WIimL=1;-t*n2+l故由夹逼准那么知：Iim(_1+-+-=!=)=Io人Tgn-+lr+211-+例1.6求极限Hm(!_+!_+!)*3+1n3+2nj+n分析记C二六，易知六关于女单调递减,即得Cn,n+1n1+2n,+11例1.7设=(l+2+3尸，求”4。分析因为=(l+2+3F=3(r+n+iF,iBCn=()+r+lo由于对于任意的自然数有：OVg)+令VI,所以1(界令+3。两边同时乘以3得：3v2+3+lv3i再两边分
12、别求方根得：32n+3n+lp33当f+8时，上式左、右两端均趋于3,此时可以运用夹逼准那么求解。解因为乙=3今+即+/,对任意的n有：(r+r+13所以：32n+3rt+p33fl；又因为im3X3=3,所以由夹逼准那么知:IimXft=3n1.3对于含有较多乘除因子的数列，我们可以通过夹逼准那么去分析。例17设X=；,x2=Y135(2n-1)n2462n,求HtnXno分析记Un=叱X广八x(2f,显然丽单调递减且恒正。故IimU的存在性毋庸置疑，但单调有界原理对于我们求O收敛数列的极限没有帮助。现在采用放缩法证明。证明一因为：U.二噌巴T)V2*6X/所以:2462n357(2n+l)
13、11n2Z1x3x5X(2nT)义2462n=I-2462n357(2n+l)2n+1即得：-=tn0,由于CoSCV1,3N,使得当nN时，cosnN时，IH=ysinrtdv+ESinlIxdV(C)SinY-)+22，222VCOSn+V6)222便可取得要证结论。证明三我们也可以用数学归纳法证明当二1时，L=f不等式成立。22xl+l事设二A时，不等式成立，RH135(2-l)V11 2462k砺T，那么对=Z+1时，有：1x3x5Xx(2k1)X2+lVJX2+l=*2+i2M+3)X2462k2k+20,2k+2V2k+2)2-3h3因为(2女+1)(22+3)=4&2+8Z+3V
14、4/+8k+4=(2k+2)2所以：Ix3x5x(2T)(2+1)V2462k(2k+2)-j2+3+b+，根据数学归纳法，对任意的自然数，有RnV丁。2+1乂由于气或，并且IimAq=O,所以由夹逼准那么知：IimXn=Oo1.4极限号下函数含有取整函数，其极限可用夹逼准那么求之。极限号下函数含有取整函数y=x时，常用该函数满足的不等式:xW%W+l或x-lW0,MV甲V即是1-1区1；XXXX由于当f+oo时，Iim(1-1)=1,XfB入此时可以用夹逼准那么求解。解因为x-1WxWx,得至I：(1)当.0,4IV苧V至即是ITV苧W1；(2)当XV0,七1因2乙XXX即是1一！甲21；4
15、X因为当f+00时，有Iim(I-i)-1,身50IimL*l=l,Iim区二1+X-所以由夹逼准那么得到：故IimI三l=loX例1.9计算岫.峙(a0,b0)-t分析根据取整函数的性质可得：-10,各项乘以今，得：-A0时，各项乘以称，得：一上V三；aa,ua又幽f-j于是由夹逼准那么得到：Iim上=。以上通过一些典型的例题探讨了夹逼准那么在极限计算中夹逼准那么的应用。但是夹逼准那么的运用远不止于此，它的运用范围非常广。2夹逼准那么的其他应用领域2.1用夹逼法求方程的近似解在解决实际问题时常常需要求一个方程的实根，但除了一些简单的方程，大都很难求它的准确解。因此求方程的近似解在数学的应用上
16、具有重大意义。下面介绍一种新的求方程近似解的方法，成为夹逼法。此法比已有的方法如二分法、切线法、弦位法具有逼近更快、更准的特点，并且能够进行误差估计。对函数/(X)给出两个根本假设：在闭区间凡以上r(x)和尸(X)都存在，且不变号；(2)在闭区间兄加的两端点处的函数值/3)与/S)异号，即是：f(a)f(b)0,/(X)=6l40,且f(3)=T0V0,/(4)=90o令犬0=4,x0,=3,那么：*二4一品比3.679,炉厂3嘤比3.357,x2=3.679-22三3.633,2/,(3.679)A=3.3573ZLz3.592。2/,(3.679)假设取J=3633产92=3.633为方程
17、的解，与实际误差小于36337.592=0.Q205,假设不满足精确度的要求还可以继续逼近。2.2夹逼准那么与微分方程的上下解方法夹逼准那么的思想稍加变化就可以推广到其他的数学分支，例如微分方程。我们引进微分方程上下解的概念，用上下解来夹逼，如果下解序列与上解序列都有相同的极限，那么类似地可以夹逼出微分方程的解来，这里不再做详细说明。综上所述，计算极限的方法很多，需要学习者多做练习，多做总结，才能有针对性的得出计算极限的方法、技巧。当然计算极限并不是单一方法的应用，更多的是多种方法结合使用。而夹逼准那么的应用也不只是应用于简单的求极限，还应用于很广泛的实际问题中，所以还需要我们进一步的探索、研
18、究、实践。参考文献：1陈传樟，金福临，朱学炎，欧阳光中.数学分析国.北京:高等教育出版社,1978.5.2姜长友，张武军等.高等数学同步辅导教程M.北京：北京航空航天大学出版社，2006.3同济大学数学教研室.高等数学M.北京：高等教育出版社，1988.4.4朱弘毅.高等数学IxI.上海：上海科学技术出版社，2001.6.5廖玉麟等.高等数学试题精选题解M.武汉:华中科技大学出版社,2001.10.6同济大学数学教研室主编.高等数学（第三版）M.北京：高等教育出版社，1989.224-229.7华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）M.北京:高等教育出版社，2002.155758.8哈尔滨工业大学数学系编.计算方法IM.北京:科学出版社,2002.222-237.9孙丽英.解线性方程组的预条件迭代方法J.高等学校计算数学学报，2002.155761.10梁昌洪.话说极限国.北京:科学出版社，2023.11杨传林.数学分析解题思想与方法M.浙江：浙江大学出版社，2023.12吉米多维奇.数学分析习题集M.北京：人民教育出版社，2003.
