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1、1.3空间向量及其坐标表示典型例题考点01：空间向量的坐标表示1 a = (1,-1,2)， b = (2,11) 6 = (5,-3,幻，若a , b，C共面，则实数出为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【分析】利用空间向量共面的充要条件：存在唯一的实数对(,y),使。=+地，列出方程组，即可求出A 的值.【详解】，向量4 = (1,-1,2)，b = (-2,1,-1), c = (5,3,女)，若向量4，b，d共面，则存在唯一的实数对(x,),使C = Xa+ %,x = l 产-2,A = 4即(5,3, A) = x(l,1,2) + y(-2t 1,-1) (x2y,-
2、x+ y, 2x y)x-2y=5-+y = -3 ,解得.2x-y = k二实数人的值为4点o在平面yz故选：D2 .如图所示，在空间直角坐标系中BC = 2,原点。是8C的中点，点A的坐标是上，且/BOC = 90,NOCB = 30 ，则向量。的坐标为()一界,。C.【答案】B【分析】过点。作DEJ轴交EC于点E,根据已知条件算出三角形肛的边，利用直角三角形的性质 及题中所给条件计算出DE的长度即可解决问题.【详解】过点。作OEiBC交BC于点E,如图所示：因为BC = 2, NBoC = 90 ,/CB = 30 ,所以在RjBDC中有：得15Q=1、CQ = 5,在 RtAOEC 中
3、，有同= ICq sin30 二今，所以IOEI=I。8| I BEl=Io8-8Dcos60 =l-g = g,所以点。的坐标为(0,4招, 又。为原点,所以Oo = (O,彳),故选：B.考点02：空间向量求点的坐标3 .已知A(1,O,T) 8(432),则线段A8上靠近A的三等分点的坐标为()A. (0,-1,-2) B. (2,1,0)C. (3,2,1)D.(5,4,3)【答案】B【分析】设线段AB上靠近A的三等分点为Ca,z),根据题意可得出AC = gaA,结合空间向Q的电标运 算可求得点C的坐标.【详解】设线段A8上靠近A的三等分点为Ca,y,z),根据题意可得出 AC =即
4、(x l,y,z + l) = 33,3,3),所以，y = ,解得“ =1,即点c(2,o).故选：B.4.已知三棱锥P-ABC中，PA_L平面ABC, ABlAC,若E4 = 3, AB = E AC = 2f先建立空间直角坐求各顶点的坐标；若点。在线段PC上靠近点P的三等分点，求点。的坐标.【答案】(1)答案见解析 D(OQ)【分析】(1)根据题设条件可以建立以点A为原点，以射线48、AC. AP为X轴、y轴、Z轴的正半轴的空 间直角坐标系，从而求解各顶点坐标；(2)点。的坐标为(x,y,z),由8 = 20户求解.因为PAJ_平面ABc所以 P4_LAC, PAA,又因为ABlAC,所
5、以建立以点A为原点，以射线人仄AC. AP为X轴、y轴、Z轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示：因为 EA = 3 , AB = 1 AC = 2，所以 A(0,0,0)、80,0,0)、C(0,2,0)、P(0,0,3);若。点在线段PC上靠近P点的三等分点,所以 CD = 2DP，0 + 20 八 X = 01 + 2设点D的坐标为(, y,z),则42 + 20 2 J = = ? Z = V = 2,1 + 2考点03：空间向量坐标的运算1 D.-35.己知 = (T-3,2), = (1,2,0),贝J0方=()A. -5B. -7C. 3【答案】B【分析】利用向量空间向量坐标运算法
6、则求解.【详解】Y=(-1,-3,2), = (1,2,0),db =1 6+0 = -7 故选：B6.己知向量 = (2,3,-4),力= (-4,-3,-2),力=TC-2%则C=(A. (0,3,-6)B. (0,6,-20)C.(0,6,-6)D. (6,6,-6)【答案】B【分析】推导出c = 4a + ,利用向量坐标运算法则直接求解.【详解】.向量 = (2,3,-4),b = (-4,-3,-2),b = gc-2,. c = 4+3 = (8,12,16)+(8,-6,T) = (0,6,-20).故选:B.7 .已知向量”(3,2,4), = (1-2,2),则日斗()A.
7、210B. 40C. 6D. 36【答案】C【分析】利用向量线性关系的坐标运算求人 再利用向量模长的坐标公式求模长.【详解】由题意，. = (T2,4), = (1,-2,2),a-b = (-4,4,2),. -/?| = (-)2 +42 +22 = 6.故选：C.8 .设q,e；,0为空间的三个不同向量，如果4q+4e2+4%=0成立的等价条件为4=4=4=0,则称线性无关，否则称它们线性相关.若 = (2,1,-3),A = (Lo,2),c = (l,T线性相关，贝IJm=()A. 3B. 5C. 7D. 9【答案】D【分析】确定41+46+43=(24+4+4,4-4,-34+24
8、+/:4)=(0,0,0),解得答案.【详解】a = (2,3)/ = (1,0,2),C = (L-1,M线性相关，+= ( 24 +4+4,4 4, 34 + 2, +)=(。,)，24 + 2 +A3 = O?则4-4 = ?，4,4,4不同时为0,解得帆=9.34 + 2, + m3 = 0故选：D考点04：空间向量模长的坐标表示9.己知/BC的三个顶点分别为A(3,1,2), 8(1,-1,-2), C(TT2),则BC边上的高等于() 23r 83r 46n 863333【答案】B【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.【详解】由题意4(3,1,2), BaTL2), C(
9、-l,-3,2),可得班= (2,2,4), BC = (-2,-2,4), UlT uun BA BC -4-4 + 16 1九万Cf即前二浜运F即角8为锐角，所以SinB =言所以BC边上的高d = IBAsinB = 46X=.故选：B10.如图，在直四棱柱 ABC。一 AAGA 中，ABHCD, ABlAD, A. = AB = 2AD = 2CD = 41 E, F, G 分 别为棱。A , AQ,网的中点.求线段尸G的长度;求CGM【答案】(1)0T6【分析】(1)以点A为坐标原点建M空间直角坐标系，求出归q即可;(2)根据空间向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】(I)如图，以点
10、A为坐标原点建立空间直角坐标系，则尸(l,4,0),G(0,2,4),故 FG = (T,-2,4),所以卜GI = Jl+4+16=T,即线段FG的长度为0T：(2) C(2,0,2),E(2,2,0),则 CG = (-2,2,2), M = (T2,0),所以 CGEF = 2 + 4 + 0 = 6考点05:空间向量平行的坐标表示11 .己知向量 = (2,4,5),7(3,x,y)分别是直线4,1的方向向量,若4% 则()A. x = 6, J = 1B. x = 6t y = C. x=3, y = 15D. x=3, y = -y【答案】B【分析】由“2,则两直线的方向向量共线列
11、式计算即可.【详解】由题意可得：I = J=,解得：x = 6, J=y.故选：B.12 . d = (1,2,-1) =(-2,x,2),若Qb，贝IJX=.【答案】-4【分析】由空间向量共线定理求解.【详解】解：因为 = (l,2,T),力= (-2,x,2),且出小，12 -1所以V = W = 一，解得X = T，-2x2故答案为：-4考点06：空间向量垂直的坐标表示13.己知向量a二(1,2,0), Z? =(2,y,-l),若a J_b ,则)=()A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】B【分析】由向量垂直坐标表示直接构造方程求解即可.【详解】aLb .Z? =2 + 2y
12、+ 0 = 0 ,解得：J = -L故选：B.14.己知向量 = (l,0,l),= (1,2,0).求与a-b的夹角余弦值；(2)若(2 +qMaT匕)，求f的值.【答案】噜(2) = 【分析】(1)利用向量坐标夹角公式计算可得答案；(2)利用向量垂直的坐标运算可得答案.【详解】(1)因为 = (l,0,l), = (1,2,0),所以 -6 = (0,-2,1),p = 2, - = 5,所以3*词=* =心=巧；/ 即一 4 25 10(2) 2 + b = 2(1,0,1) + (1,2,0) = (3,2,2),47-Z = (l,0J)-r(l,2,0) = (l-r,-2rJ)因
13、为Q + Z?)_1_(一加)，所以(加+/?)(一加)=3(1，)-41 + 2 = 0,解得旺.考点07：空间向量夹角余弦的坐标表示15.(多选)若向量。=(-1,-2)与6=(1/,2)的夹角为锐角，则实数JV的值可能为().A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】CD【分析】依题意可得小方0且与不同向，根据数量积的坐标表示得到不等式，求解即可.【详解】因为 =(Tl,-2)与6=(1/,2)的夹角为锐角，所以 = (-l)l + lx + (-2)2 = x-5 0 ,解得x5,1 Y 2当&与b共线时，2- = v = 4,解得户-1，所以实数X的取值范围是x5, 112经检验，选项
14、C、D符合题意.故选：CD16.已知空间三点 42,0,2), B(TI,2), C(-3,0,4),设d = A8，b = AC .设c=3, C BC，求不；(2)求a与B的夹角;若3 +与嬉-4互相垂直，求匕【答案】3=(一2,1,2)或d = (2,1,-2)(2) -arccos-10(3)k = 2 或4=-【分析】(1)由空间向量平行，得出c = 4C，设右=(-2幺一七2江 再利用卜卜3列方程，进而求得C；(2)先求得d = (l,l,0), b = (T,0,2),再利用公式即可求得cos的值，根据反三角函数即可求得向量夹角：(3)利用空间向量垂门充要条件列出关于A的方程，解
15、之即可求得火的值.【详解】(1)由题可知,BC = (-2,-1,2),由85C，得I = &BC，设(-2幺-七2外，因为c=3,所以(-22)2+(-4 +(22)2 =32,解得 A = l,所以 W = (2,1,2)或 d = (2,1, -2).(2)因为 A(2,0,2)、3(1,1,2)、C(3,0,4),。= AB，b = AC 所以 = (l,0), b = (1,0,2), Q,b 1Jl 0则 cs=丽所以与的夹角为-arccos0 .10(3)因为3+ h=(ATA,2),履一2b=(A + 2,A,-4),又履+ b与履-2在垂直，所以(3+b)(履-力)=(1)化 + 2) + &28 = 0,解得女=或攵=2.
