《12.4 复数的三角形式(分层练习) 试卷及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《12.4 复数的三角形式(分层练习) 试卷及答案.docx(29页珍藏版)》请在课桌文档上搜索。
1、第12章复数12.4复数的三角形式精选练习基础篇一、单选题1. (2022春江西南昌高一南昌县莲塘第中学校考期中)复数(Sinl00+icos 10。)(Sinl00+icos 10。)的三角形式是()A. sin 30o + icos 30B. cos 160oisin 1600C. cos 30o + isin 30D. sin 160o + icos 1602. (2022春新疆巴音郭楞高校考期末)任意复数z = +比(。、bR, i为虚数单位)都可以写成 z = r(cos9+isin6)Mm,其中r = 77,F(O。 2乃)该形式为复数的三角形式,其中6称为第数的辐角主值.若复数z
2、 = 3 + U,则Z的辐角主值为() 2 2 A.-6b 7C包 ,3d3. (2022春黑龙江绥化高一校考期末)已知(l-ipz = 3+2i,则2:=()1 3.3.3 .3A. -1 1B. -l + -iC.+ iD.22224. (2022春甘肃金昌高一永昌县第一高级中学校考期末)已知z = 2-i,则z(3+i)=()A.6-2iB.4-2iC.62iD.4+2i5. (2021春广东惠州高一校联考期中)已知Z = (I 后卜卜CoSe+ isinj, MaFgZ=()C九一2兀C5A.-B.-C.D.32366. (2022春广东广州高一广东实验中学校考期中)复数Z = CoS
3、(-J + isin(-会)的辐角主值为()8C8一 2、2A. B.C. D.55557. (2022春北京大兴高一统考期中)在复平面内,复数的共辄更数对应的点位于 I-ZB.第二象限A.第一象限C.第三象限D.第四象限8. (2021春江苏苏州高一统考期中)欧拉是瑞士著名数学家,他首先发现:*=cosO+isinJ 为自然 对数的底数,i为虚数单位),此结论被称为“欧拉公式”,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三 角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知,e=()A. 1B. 0C. -1D. 1 + Z二、多选题9. (2021春江苏南京高一南京市第二十九中学校考期末)欧拉公式*=
4、8s0 + isin6 (其中i是虚数单位, 0R)是由瑞典著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数 函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天骄,依据欧拉公式,下列选项正 确的是()A,复数/对应的点位于第一象限B.复数士的模长等于立1 + i2C. *为纯虚数D.尚苧+ = o10. (2022春福建莆田高一莆田一中校考期中)已知i为虚数单位,若Zl=MCOSg+isinq),z2 =/;(cosft +isin),,zn = ,(cos isin),则Z1Z2 Zn = rxr2 fcos(9,+ +)isin(91+ + +劣
5、).特别地,如果2 = z2 = = zn =r(cos + isin),那么r(8se+isin。) = (CoS夕+ isin。),这就是法国数学家棣莫佛 (16671754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式,可判断下列命题箝误的是()A.若Z = COS2+ isin2,则/二 一2+且i 662 2B.若Z=COSq+ isin?,贝Jz5=l + i一 . J 7万.l J . . 1 ril /C. zl =21 cos +1 sin I, z2 =31 cos- + sn-j-1, 则 zZ2=6 + 6,.23万.23.( 兀.兀、 rrD. =31 cos-一sn-p-I,
6、z2 =41 cos + sn-I,则 z1 z2 =63-6i 三、填空题II.(2022春广西钦州高一校考期末)arg(-l-i)=.2 212. (2022春安徽合肥高一合肥市第八中学校考期中)写出复数z = 6 + i的三角形式是.(辐角 0,2)13. (2022春上海嘉定高一校考期末)复数的三角形式cos + isin1的辐角主值为.14. (2022春上海闵行高一校考期末)若复数z = -6+i(i为虚数单位),则argz=.四、解答题15. 将下列复数化为三角形式:(l)-3+i;(2)-l-3i;(3)-21 COSy+ sny I ;(4)21 Siny+ ICOSy I.
7、16. 计算下列各式:l,( 4zr . . 4 ( 5乃.( )16 cos + sn4 cos + sn:I 33 J I 66 Jt(2)3(s 20 +isin20 )12 (cos 50 +isin50 ) 10 (cos 80 +isin80 );(3)(-l + i) 可CoS子+ isin?).17. 已知复数z=i(l-i)3.(1)求argz及IZll ;(2)当复数Z满足IZI = L求z-zj的最大值.18. (2021春.广东茂名.高一统考期末)已知A(1,1), 3(肛2), C(-2,3), 0(-1,)是复平面上的四个点,其中小,wR,且向量BC,4。对应的复数
8、分别为ZI, z2.(1) z1-z2=l-i,求z, z2(2)若k+z, = 0k = 2, N?对应的点在复平面内的笫二象限,求二坐.ZIT19. (2022春福建泉州高一福建省泉州市培元中学校考期中)己知复数z = (z+3)-(z+l)i已在复平面内对 应的点在第一象限,i是虚数单位.(1)求实数加的取值范围(2)当? = -2时,求复数Z的三角表示(3)若复平面内,向量。2对应(2)中的复数Z ,把OZ绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ;,求向量OZ;对 应的复数4 (结果用代数形式表示)20. (2022春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中)欧拉(17071783),他是数学史
9、上最多产的数学 家之一,他发现并证明了欧拉公式d9=cos%isin仇从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的。 取作兀就得到了欧拉恒等式e%l=0,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来, 两个超越数自然对数的底数%圆周率乃,两个单位虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类 伟大发现之一的0,数学家评价它是“上帝创造的公式“,请你根据欧拉公式:-0=COS升isin仇解决以下问 题:(1)将复数,+*写成+加(。,bQR, i为虚数单位)的形式;(2)求*i-* I (9R)的最大值.提升篇一、单选题1.(2022春河北张家口高一统考期末)欧拉公式eM=cose+is
10、in9(e = 271828 )是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德欧拉发现的,被誉为数学上优美的数学公式.已知J“JrTrJTA. - + 2kk Z)B. + 2E(ZeZ)C. - + E(ZwZ) D. 一+ E(%Z)36362. (2022春吉林长春高一长春十一高校考阶段练习)在复平面内,若复数-1-5对应的点的坐标为(-1,2),A. 1B. -1C. 2D. -254_ 11_ 5A. -B. -C.D.一乃63634. (2021春山西朔州高一统考期中)已知复数Z=正L 则 argz=() 22C.5C 1A.-B.D.63633. (2022春河南开封高一校联考阶段练
11、习)iz1=-l + 3i,5. (2022春上海浦东新高一校考期末)-1-曲的三角形式是(),则argZ2=()C. 2(sin乂+ ic。SF)D. 2fc0s + isinZl(66 )166 J6. (2021春.吉林长春.高一长春十一高校考阶段练习)任何一个复数z = +历(其中力Ki为虚数单位)都可以表示成:z = cose + isin9)的形式,通常称之为复数Z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现: z =mcose+isin6) = /(cos/+isine)(GN.),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息,下列说法中正确的个数是()团=IZF(2)当 r = l,时,z3
12、= l(3)当r = l, 6 = 9时,z=-i32 2(4)当r=1,时,若为偶数,则复数z”为纯虚数4A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题7. (2022春福建三明高一统考期末)设复数z = +且其中i是虚数单位,下列判断中正确的是() 22A.z + z = lB. Z2 = zC.z是方程2r+l = 0的一个根D.满足zR最小正整数为38. (2022春重庆沙坪坝高一重庆八中校考阶段练习)下列关于复数Z的运算结论,正确的有()A. zz = z2B. z2 =z2c. z1z2=z1z2d. z1+z2zl+z29. (2021春广东东莞高一东莞市新世纪英才学校校考阶段练习)
13、已知i为虚数单位,在复平面内,复数Z =皂,以下说法正确的是()2 + 14A,复数Z的虚部是72 4C.复数Z的共加复数是彳B. IZl=ID.复数Z对应的点位于第一象限10. (2022春江苏盐城高一盐城市伍佑中学校考阶段练习)任何一个复数z = +历(其中a, 6 w R, i为虚数单位)都可以表示成:z = cos+isin0的形式,通常称之为复数Z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现: zn =r(cos9 + isin w, = r(cos + isin79)(wV*),我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息,下列说 法正确的是()A. z2 =I 212B.当 r = 2, O =
14、1时,z =l-3i6C.当r = l, 6 = 2时,Z3=-ID.当r = l,?时,若为偶数,则复数z为纯虚数三、填空题11. (2023春江苏盐城高一盐城中学校考阶段练习)将复数化为三角形式:I-i=.12. (2022春.上海青浦.高一上海市青浦高级中学校考期末)复数1 + i的辐角主值是.13. (2022春上海虹口高一校考期末)已知复数z=-5 + i,若复数Z满足2iz = z,则复数Z的辐角主值 为.14. (2022春浙江温州高一校联考期中)欧拉公式e=cosx+isin% (i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧 拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数
15、函数的关系.试用欧拉公式计算15. (2022春河南安阳高一安阳一中校考阶段练习)设复数Z” Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,若z=2+i, i是虚数单位,则三=.Zl16. (2021春湖南高一校联考阶段练习)欧拉公式*=8sx+isinx (其中i为虚数单位)是由著名数学家欧拉发现的,即当尤=W时,3=cos- + isin-,根据欧拉公式,若将e2i所表示的匏数记为z,则将复数 333A 表示成三角形式为.四、解答题17. (2022春湖北武汉高一武汉市第十一中学校联考期中)已知复数z=l-i, Z2=mT,mR, i为虚数单位.若Zl在复平面内对应向量将OZI绕点。顺时针旋转60。
16、得到向量对应的复数为Z,求Z;若Z2是关于X的方程x2-x+1O = O(7R)的一个根,求实数m与的值.18. (2022春广东东莞高一校联考期中)已知复数z = (2-叫(1-i)(机wR).(1)若Z是纯虚数,求小的值;若,在复平面上对应的点在第四象限,求的取值范围.19. (2022春福建泉州高一福建省德化第一中学校考阶段练习)在复平面内,点A对应的复数是6 + i, 向量OA绕着点。按逆时针方向旋转120。得到向量OC(1)求点C对应的复数zc,;言都是实数,其(2)已知点8对应的复数Z满足IZ-Zol = 1,且(C优。0 = 120。,求复数z.20. (2022春新疆乌鲁木齐高
17、一乌鲁木齐101中学校考期中)已知Z是复数,且z-i和中i是虚数单位.(1)求复数Z和W;(2)若复:数2 + ? + (62_加_3在复平面内对应的点位于第三象限,求实数机的取值范围.第12章复数12.4复数的三角形式精选练习基础篇一、单选题1. (2022春江西南昌高一南昌县莲塘第一中学校考期中)复数(Sin 10o+icos 10o)(sin 10oicos 10。)的三角 形式是()A. sin 30o+icos 30oB. cos 160o+isin 160C. cos 30o+isin 30oD. sin 160o+icos 1600【答案】B【详解】(SinlO + icoslO
18、)(sinlO + icoslO)=(cos80o + isin800)(cos800+isin80o)=Cos 160o+isinl 60.故选:B.2. (2022春新疆巴音郭楞高一校考期末)任意复数z = +历(、bwR, i为虚数单位)都可以写成z = r(cos6+isin6)的形式,其中r = 7下(92乃)该形式为复数的三角形式,其中。称为复数的辐角主值.若复数Z =3+匕,则Z的辐角主值为()22A.-6B.工3C.2 TD.空 6【答案】A【详解】复数Z3 I . . . =+ i = Cos-+ ism,因此,复数2:=3+匕的辐角主值为E2 2662 26故选:A.3.
19、(2022春黑龙江绥化高一校考期末)已知(l-i)2z = 3+2i,则Z=()3333A. -1iB. -1 + iC.+ iD.i2222【答案】B【详解】(l-i)2z = -2iz = 3 + 2i,3 + 2i =(3 + 2i)i =一2 + 3i-2i-2ii故选:B.A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4 + 2i【答案】C【详解】因为z = 2-i,故W = 2 + i,故z(i) = (2-i)(2 + 2i)=4+42i-2=6 + 2i故选:C.5. (2021春广东惠州高一校联考期中)已知z = (l-Ji)xb . . cos+ ism,66)则 arg
20、 z =【答案】B【详解】Z = (I - Gi)X(一 CoS聿+ i si 吟= (I-Gi)X -亭+ =2i=2 cos+ isin-1I 22) 所以 argz = 5,故选:B6. (2022春广东广州高一广东实验中学校考期中)A 8_ 82A. B. C555【答案】A4. (2022春甘肃金昌高一永昌县第一高级中学校考期末)已知z = 2T,则z(N+i)=()Sinf-I 则 Ian = y-= tan2所以。=一1兀+2, kwZ,因为 argz0,2),Q7r所以当A = I口寸,满足要求,argz = y 所以辐角主值为日.故选:A7. (2022春北京大兴.高一统考期
21、中)在复平面内,复数的共粗复数对应的点位于1-/A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【详解】TL=J: 、=4 +%的共枕复数为1-/ (l-z)(l + 0 2 22 2对应点为在第四象限,故选D.8. (2021春江苏苏州高一统考期中)欧拉是瑞士著名数学家,他首先发现:=cos6 + isine C为自然 对数的底数,i为虚数单位),此结论被称为“欧拉公式”,它将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三 角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知,E=()A. 1B. 0C. -1D. 1 + /【答案】C【详解】因为解=CoSe+isin。,所 以 e - cos(-,
22、) + i Sin(Tr) = -1.故选:C.二、多选题9. (2021春江苏南京高一南京市第二十九中学校考期末)欧拉公式*=cosJ + isinO (其中i是虚数单位, 6R)是由瑞典著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数 函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天骄,依据欧拉公式,下列选项正 确的是()A.复数/对应的点位于第一象限B.复数乙的模长等于也1 + 12C. * 为纯虚数D. eTi+eTi+1=0【答案】BD 【详解】A: e3i =cos3isin3 而/30 故*位于第二象限,错误;ex cosxisi .
23、2 - . rr3: k瓦石则其模长为日,正确;C: e,i =cos + isin = -l,则 ei 为实数,错误;r. T Ti 144.44 2 . . 211i1rzflD: e 3 +e 3 +1 = cos + sm + cos + sn + 1 =+ 1 = 0, IL33332 2故选:BD10. (2022春福建莆田高一莆田一中校考期中)已知i为虚数单位,若Zl=MCOSa+isinj,Z2=弓(CoSa+isia),Zn = ,(cos+isin),则Z1Z2 ZfJ=他 乙cos(+a+ +Q)+isin(G+a+ +&).特别地,如果zl= z2= = zn = r(
24、cos+ isin ),那么r(cosO+isin。)二/(cose + isin“。),这就是法国数学家棣莫佛(16671754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式,可判断下列命题臂掌的是()A.若 Z = COS军+isin,则 Z4=- +立i 662 2C -4-,“则 ZS = 1 + iC.D.22=3fcosH+isin12l2 I 1212 )则 zl z2 = 6 + 6i若 z1=3,os 驷Tsin 驷 1212J . . =4 cos + ism I44,则 4 z2 =675-6iB. z = Cos-+ sn-【答案】BCD【详解】A.若Z = CoSm+ ising
25、,则=cos加+ isin;r = +且i,所以该选项正确;66662 2B.若 Z = COSq+ isin?,则 z=cos/r + isin;r = -1,所以该选项错误;C.若 ZlJ7l=2 cos+ sm I1212)22=3cosll+isinl2 I 1212z1z2 =6cos + isin = -6i,所以该选项错误;= 6J+6i.所以该选项错误.zl Z2 = 12(csU/isinU 万I 66故选:BCD.三、填空题11. (2022春广西钦州高一校考期末)arg(-l-i)=. 22【答案】y【详解】由argewO,2力,而一_L-立i = cos色+ isin网
26、, 2 233所以 arg(-cos- + isin?)【答案】(l)32J + 32i . . cos+ sn-=66)323 + 32i.(2)-303 + 30isv+isinv)=64(1(2) 3 (cos 20 + i sin 20 )12 (cos 50 +isin50 ) 10 (cos 80 +isin80 )=60 cos(20+ 50 +80 ) + isin(20 +50 80 ) = 6(cosl50+ isin 150 ) =60一日+ gi = -30J+30i.17. 己知爱数z=i(l-i)。求argz及;(2)当复数Z满足z = l,求IZ-ZJ的最大值.【
27、答案】(l)argz=与,|zj = 2&; (2)2j+l【详解】解:ZLi(IT)3=22i,将Zl化为三角形式,得z=2eOS?+ isin?),argz1=, zl = 22.(2)解:由于复数 Z 满足忖=1,设 Z = CoSa+isin,则 Z-Zl=(COSa-2)+(Sina+ 2)i,z-z112 =(cosa-2)2 +(Sina+ 2)2 =9 + 4&sin (-?), 当sin(.) = l时,z-z了取得最大值9 + 4立.所以IZ-ZJ的最大值为2+1.18. (2021春广东茂名高一统考期末)已知A(IJ), 8(肛2), C(-2,3),是复平面上的四个点,
28、其中机,R,且向量BC, 4。对应的第数分别为4,z2.(1)若Z-Z2=l-i,求z, z2(2)若k+Z2 = &k = 2, Z?对应的点在复平面内的第二象限,求王卓.Zl-I【答案】(D ZI=-I+i, z2 =-2+21; (2) -l + 2i.UUU【详解】解:(1)由题意可知BC = (2,3)(叽2)= (-2-肛1),所以马=-2-z + i.UUIIAD = (-l,n)-(l,l) = (-2,n-l),所以z2 =-2+(l)i.Xz1 -z2 =-m+(2-n) = 1-i,-m = 1,m = -1,91所以a2-n = -l, = 3,所以z,=T+i, z2
29、=-2 + 2i.(2)由已知可得,z1+=(-m-4)+wi, z1+z2 = 2,所以(一加4+/=4,又应=2,所以(2 6)2+1二2,解得m = -3或切=T (舍),又N2对应的点在第二象限,所以 =L可得 Z2 =+ l)i, z2 y3i = 2i, Z1=l + i可得 Z2-G=2 = -i + 2i.zi -1 i19. (2022春福建泉州高一福建省泉州市培元中学校考期中)已知复数z = (z+3)-(z+l)i已在复平面内对应的点在第一象限,i是虚数单位.(1)求实数m的取值范围(2)当? = -2时,求复数Z的三角表示(3)若复平面内,向量。Z对应(2)中的复数z
30、,把OZ绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ,求向量OZI对应的复数Zl (结果用代数形式表示) . , cos + sin 144c、 1 + V3 l-3. 4=-+ 1【详解】(1)因为复数z = (m+3)-(m+l)i已在复平面内对应的点在第象限,所以w + 30.-(,l)0解得一3所以实数,的取值范围为:(TT)(2)当 z = -2 时,z = l + i,所以 r = J。+=, COSe = Sine =, . cos+ sn-44 )(3)根据题意得OZ = (1,1),设其旋转60。后对应向量OZ=(力),所以a2+b2=2a + b=1,解得,y2ya2+b2 2l +
31、 3a2或,42l-3 a =232又因为绕点。顺时针方向旋转60。得到OZ;,所以OZl对应的点在第四象限,l + 3所以工,所以V匕且+上回. z l-322b =220. (2022春浙江金华高一浙江金华第一中学校考期中)欧拉(1707 -1783),他是数学史上最多产的数学家之一,他发现并证明了欧拉公式/O=COS孙isin仇从而建立了三角函数和指数函数的关系,若将其中的。取作兀就得到了欧拉恒等式e+l=0,它是令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来,两个超越数一自然对数的底数e,圆周率兀,两个单位虚数单位i和自然数单位1,以及被称为人类 伟大发现之一的0,数学家评价它是
32、“上帝创造的公式“,请你根据欧拉公式:/e=cos6+isine,解决以下问题:(1)将复数学+*写成+历(小bSR, i为虚数单位)的形式;(2)求|*| (GR)的最大值.【答案】(1)4-1 +争;(2) 2.【详解】(1)+ c,t = cos + i sin + (cos + i sin )=44(2) Iem -* |=|cos;r + isin乃一(CoSe+ isin6)=(T-CoSe)TSinel =(1 + cos02+sin2 =2 + 2cos , ,当cos=l,即6=2反,kZ时,*-* (HGR)的最大值为2.提升篇一、单选题1.(2022春河北张家口高一统考期
33、末)欧拉公式ei=8s6+isin,(e = 2.71828 )是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德欧拉发现的,被誉为数学上优美的数学公式.已知则6=()22TrjrJrTrA. 一+ 2A(&Z) B. + 2A( Z)C. + A( Z) D. - + k(k Z)3636【答案】B【详解】e=cos6+ isin。,e=cos=MG + a;b; +入月+牙质又IZIHZ21 =+6)(片+ 砥 =+ a/ + a圻 +可以,故C 正确;I zl + z212 = (al +2)2+( +b2)2 =af+c +月 +$ +2%。2 + 2Z1(z1+z2)2=12 +月 +a2 +片+ 213;+)(好+片)因为2;+42)(4;+片)=2+。;片+ 4 + b滤 2yJaa1 + 2a1a2blb2 + bk = 2axa2 + 2bh1所以z+Z2z+忆2I,D 正确.故选:ACD9. (202