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1、题型10函数对称问题xlnx-2x,x01.已知函数/(x)=3的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-l的对称点在)，=-1的AT+,;,O2图象上，则实数%的取值范围是()A(g,l)B,WB)C，4。D，弓Ixlnx-2x,x0,3的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=T的对称点在x+-x,x,yO2y=收一1的图象上，而函数y=Ax-I关于直线y=-的对称图象为y=-kx-,(xbx-2x,x0,3的图象与y=-&-l的图象有且只有四个不同的交点,x+x,;,O2xbx-2x,xO作函数/(x)=,3的图象与y=-h-l的图象如下，X+x,x,02易知直线y=-去一1恒过点A(O,
2、-1),设直线AC与y=xlnx-2jv相切于点C(X,xlnx-2x),y,=Inx-X,故 Inx-I =xlnx-2x + 解得，x=l:故攵AC=T；设直线AB与y=f+-%相切于点Bxyxi+-x),22MC3故2x+二2解得，彳=一1;3I故kti=-2+二=:u22故-1一4，2故v%Og)=+2e+l的图象上，则实数k的取值范围为()A.(1,2)B.(-1,0)C.(-2,-1)D.(-6,-1)【解析】解：函数/(x)=J+4x,图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e的对称点在函数xlnx,x0g(x)=kx+2e+l的图象上，而函数g(x)=kx+2e+关于直线y=e的
3、对称图象为y=-kx-,.函数ff(x)=图象与y=去1的图象有且只有四个不同的交点,xlnx,x0作函数/(X)=J-+4MX，。图象与丁二一如一1的图象如下,xlnx,x0易知直线y=lr-l恒过点A(O,T),设直线AC与y=xlnx相切于点C(X,xbc),/=Zztr+1,ur,txlnx+cmx+1=,X解得，X=I;故AAC=1；设直线AB与y=xlnx相切于点C(X,炉+4x),故 2x + 4 =X2 +4x + l解得，X=-I:故ac=-2+4=2;故IVTIV2,故一2女一1;故选：C.3 .已知函数/(x)=-+2,图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e的对称点在函
4、数xlnx,xOg(x)=+2e+l的图象上，则实数的取值范围为()A.(1,2)B.(-I,O)C.(-2,-1)D.(-6,-1)【解析】解：函数/3) =厂+4乂&0图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=e的对称点在函数xlnxix0g(x)=AX+2e+l的图象上,而函数g(x)=kx+2e+关于直线y=e的对称图象为y=-kx-,.,.函数 /(x)=作函数f(x)= O厂+4X,K,0图象与y=-图象如下,xlnx,xO易知直线y=Tlr-I恒过点A(0,-1),设直线AC与y=xlnx相切于点C(x,xlnx),ur,txlnx+cmx+1=X解得，X=I故AC=1；设直线AB与
5、y=f+相切于点B(X,x2+4x),=2x+4,.,X2+4x+1故2x+4=X解得，X=-I:故ac=-2+4=2;故IVTIV2,故一2女0时，f(x)=l-InX,，当OVX0,当xe时，,(x)0,./()在Oe)上单调递增，在(e,+x)上单调递减，作出y=f()与直线-自+1=y的函数图象，如图所示：设直线y=-依+1与y=2x-x历X相切，切点为(,yl),1 - Inxi = -k2xl - xtInxl - -kx1 +1解得：内=1, k = -l,设直线y=-Ax+l与y=-x2-3x(x0)相切，切点为(Xy2),则2：2一：二一解得片=一1，k=l.(-2-3x2=
6、-kx1+1直线y=-kx+与y=f(x)有4个交点，直线y=Ax+l与y=/(x)在(TQ,0)和(0,+8)上各有2个交点,.-l 0X2 +2x,j, O的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y = T的对称点在y =-1的图象上，则实数%的取值范围是()A.(pl)B.(0,1)C.(-,0)D,(-1,0)【解析】解：已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在Ix2+2x,a;,Oykx-的图象上，而函数y=kx-关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-,.已知函数f(x)(xlnx-2x,x0x2 +2x,j, O的图象与y =-履-I的图象有且只有四个不同的交点,作函数
7、/*)的图象与y=lr-l的图象如下,易知直线y二-履一1恒过点A(O,T),设直线AC与y=xbvc-2x相切于点C(X,xV-2x),y=Inx-X,故bx-1=,X解得，X=I:故&c=-l;设直线AB与y=f+2ax相切于点B(x,x2+2x),y,=2x+2,故2x+2二尸+2x+l,X解得，x=T;故kAB=-2+2=0,故一1一&0,tO则此函数图象上关于原点对称的点有()一f4x,Xyy0A.0对B.1对C.2对D.3对【解析】解：作出函数y=(x)图象如图所示：再作出-y=/(-幻，y=2-4xt恰好与函数图象位于y轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称,记为曲线C,发现y
8、=(g)x与曲线C有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A、8就是符合题意的点.故选：13.7 .若直角坐标平面内的两个不同的点M、N满足条件：M、N都在函数)，=(x)的图象上；NI 与1N,M、N关于原点对称.则称点对M,N为函数y=f(x)一对“友好点对”(注：点对,M为同一“友好点对”).已知函数/(x)=K严),此函数的友好点对有()-x-6x(;,0)A.。对B.1对C.2对D.3对解析解：令M(s,r)(50),N(-s,),函数小)=MM：。)，-2-6x(X”0):.t=Iog4s,-t=-S2+6r,.Iog4s=s2-6s画出y=Iog4xty=x2-6x
9、(X0)的图象,由图象可得有两个交点.故该函数的友好点对有2对.P,Q关于原点对称，则称点对(尸,。)是函数y=(x)的一对“友好点对”.(注：点对(尸,。)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数/(x)=Pg,21,则该函数的“友好点对”有()-x-4x,x,OA.。对B.1对C.2对D.3对【解析】解：根据题意：当x0时，一XV0,W,Jf(-x)=-(-X)2-4(-x)=-X2+4x,可知，若函数为奇函数，可有/Cr)=/-4,则函数y=-x2-4x(0)的图象关于原点对称的函数是y=/-44由题意知，作出函数y=Y4MX0)的图象，看它与函数/(x)=Iog2x(x0)交点个
10、数即可得到友好点对的个数.-4由图象知当x0时，/（x）和y=（；）,xO的图象有3个交点.所以函数/*）的“黄金点对“有3对.故选：D.10 .函数f（x）=Fg的图象上关于），轴对称的点共有（）cosx,x0的部分画出，与y=log；的交点的个数，如图中的红色交点，共有3对.11 .已知函数/(x)=2nv(J麴ke2),g(x)=mx+l,若/(x)与g(x)的图象上存在关于直线y=l对称的点,e则实数小的取值范围是()2A.一,2eB.-3e2,3eC.,3eD.-2e1,3e【解析】解：设力是函数/(X)上的点，则即/,b=2nate则点(,b)关于y=1对应的点为(,2-力在g(x
11、)上，即2。=m7+1有解,即I-2lna=am,当2=0时，不满足条件.当TWHo时，?J-2a.一/、1-2lna设h(a)=,2M2(一ZXa-(I-2/Mxl_2-1+2/。-3+2/。则(a)=-；=;，(TOia2当，都7/时，一啜Ma2,则，一2领幼心4,32即由(a)0,3+fIlna0,#Ina,即Qvave?,时，函数为增函数,23I-由(a)0,得一3+2出a0,得Inav-,即一时，函数为减函数，2e3121_yne2_2即当=/时，函数h(a)取得极小值同时也是最小值/?()=_=一射2,1刃2_q11-2/一又枚2)=，=,(一)=l=3e,.函数力(a)的最大值为
12、3e,eee1RPh(a)的取值范围是-2ei,3e,3则m的取值范围是-23,3e,故选：D.12.已知函数/(x)=x2-奴(！领kefe为自然对数的底数)与g(x)=e的图象上存在关于直线y=x对称的e点，则实数取值范围是()A.1,e+B.1,eC.e,e+-D.e，eeeeee【解析】解：若函数/(%)=2-0(J领ke,e为自然对数的底数)e与g()=的图象上存在关于直线y=x对称的点,则函数f(x)=X2-or(-e,e为自然对数的底数)e与函数/?(X)=Oir的图象有交点，即f一以=加x,(e)有解，e即=x-也，(e)有解，Xey=x-f(e)fXe,al,X2-1+Inx
13、则y=O，X当L,xl时，y,0,函数为增函数，故X=I时，函数取最小值1,当X=时，函数取最大值e+，ee故实数。取值范围是1,e+-te故选：A.13.已知函数/(x)=h+l,g(x)=e+1(-掇卜1),若f(x)与g(x)的图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线y=l对称，则实数A的取值范围是()A.-,+oo)B.-e,-y)eeC.-ef+oo)D.(-oo,J,+oo)【解析】解：由题意/(x),g(x)图象上分别存在点M,N,使得点M,N关于直线y=l对称，则kx+ex+=21即e=-kx,所以指数函数y=e与一次函数y=-履在-啜JC1恒有交点，画出图形，工=一1时，
14、-=kt即Z=：eeX=I时，k=-e,综上，解得氏(-8,-kJ,-,+00)故选：D.14 .已知函数/(x)=V+m与函数g(x)=/J-3MXW己,2)的图象上至少存在一对关于X轴对称的点，则X2实数，的取值范围是()A.-+b2,2B.2-lnZ-+ln2C.-w2,2n2D.2-ln2f2444【解析】解：由已知，得到方程f+?=加!+37=Tu+3x-X2在L2上有解.X2设F(X)=-InX+3x-X2,.匕Pr.ICC2x23x+1(2XI)(X1)求导得：/(X)=-一+3-2x=-XXX.-M2,2令r(x)=o,解得=g或=,当r)o时，函数单调递增，当ra)vo时，x
15、2函数单调减，.在X=I有唯一的极值点,/(5=历2+：,/(2)=加2+2,f(x)=f(D=2,且知/(2)/(；)故方程相=-仇r+3x-V在g,2上有解等价于2-/2强帆2.从而用的取值范围为2-/2,2.故选：D.15 .已知函数/(x)=x4+ex-(xe)B.(-oo,-=)C.【解析】解：八处与g(x)的图象上存在关于y轴对称的点,等价为/(-x)=g(x)在0时，有解即可，则X4+ex-=x4+lnx+a),2即e-L=m+a),在(,+oo)上有解即可，2设y=X_g,h(x)=IrI(Xa),作出两个函数的图象如图：当X=O时，y=ex-=-=-f222当4,0,将府的图
16、象向右平移，此时加(x+)一定与有交点，满足条件,1 1r-当0时，则力(0)=Ina,得OVaVe2=&,2综上。五,即实数。的取值范围是(-。,G)的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y=-2的对称点在3米一),一3二0的图象上，则实数Z的取值范围是_k1_4【解析】解：函数y=任一3关于直线y=-2的对称图象为y=-Ax-l,所以条件等价于函数/*)与y=-kx-有且仅有2个不同的交点,当x0,f(x)=xbvc-2x,则令r(x)=nr-l=0,解得x=e,且当Oe,f(x)单调递增，作出函数/(x)与y=-Alv-I图象如图：当y二6-1是y=7lt2x切线时，设切点(X,%),则加
17、;)一1=一左，且为=-5-1=XjnTo-2%,解得切点坐标为(1,一2),-k=-t根据图象可知TIVT,则Zl;当y=-米-1是y=f+g切线时，设切点(0,%),则2%+：=-女，且为=4+：/=一线一1,解得切I3点坐标为(一一上)，-k=-t4433根据图象可知一2一,则Av2,443综上，k,4xlnx-2x,x0【解析】解：函数/(x)=,3的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=T的对称点在y=kx-的图象上，而函数y=kx-关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-,xlnx-2x9x0.(x)=,3的图象与y=-1的图象有且只有四个不同的交点,xlnx-2x,x0作函数/(
18、x)=3的图象与y=-米-1的图象如下，X+x,x,O2易知直线y=-履一1恒过点A(O5-I),设直线AC与y=a7x-2x相切于点C(xtxlnx-2x),y,=lnx-,tInx-1=工十,X解得，X=I,故AAC=-1;Qa设直线AB与y=x2+X相切于点B(xtx2+二1),223y,=2x+-,2故2x+3=2,2X解得，X=-I:31故AB=-2H=,AB22t-l-Ar-,2即！“1：2故答案为(；，1).I_、_工,III.-3-2f0123X凸-、.、18.已知函数/(x)=V-Yd领Jce,e为自然对数的底数)与g(x)=el的图象上存在关于直线y=x对称的点，则实数。的
19、取值范围是e【解析】解：若函数f(x)=x2-已麴上e,e为自然对数的底数)e与g()=的图象上存在关于直线y=X对称的点，则函数f(x)=X2-Ord领ke,e为自然对数的底数)e与函数力0)=/X的图象有交点，即f一OV=加X,(-6)有解，e即=x-也，(e)有解，Xey=x-,(e),Xe,a.,X2-1+Inx则y=2,xi当LX时，y0,函数为增函数，故X=I时，函数取最小值1,由于当X=时，y=e+-;当x=e时，yc;eee故当X=J时，函数取最大值e+J,ee故实数。取值范围是1,e+-te故答案为：1,e+-.e19.已知函数/(x)=Jf-a+3,g(x)=-5x+4lv
20、c,若函数/(x)的导函数/(x)与g(x)(xl,9)的图象6o上至少存在一对关于X轴对称的点，则实数小的最大值为-+87/13.一2一【解析】解：因为/(x)=X3-mx+3,所以,()=X2-m.由题意知方程62/,(x)+g(x)=i2-m-5x+4v=0xl,9上有解，等价于7=4丁-5x+4u在xwl,9上有解，2令h(x)=-xz-5x+Alnx(x1,9),则hx)=-5+-=X-缄”=,2XXX当lx4时，Az(x)0,当4vxO.所以函数MX)在1,4)上单调递减，在(4,9上单调递增，所以人(1)h(4),1 1gn因为z(4)=-xl65x4+8历2=-12+82-+8
21、0,2 222Q所以(幻的最大值为-3+83,2Q所以机的最大值为-乙+8加3.2Q故答案为：-2+8加3.220.已知函数/(x)=g-2,xXVO与g(x)=logKx4的图象上存在关于点(1,1)对称的点，即为函数/(x)=-2X关于(1,1)对称的函数KV)=22-*-；,x2的图象与y=8()的图象有交点，由Qm)关于(1,1)的对称点为(2,；),代入y=g(x),可得log4(2-a)=g,解得4=0,由图象平移可得y=g(x)的图象向右平移，均有一个交点，财。的范围是0,故答案为：(0,F8).观察图象可得：它们的交点个数是：2.即f(x)的“友好点对”有：2个.故选：C.9.若函数y=(x)图象上存在不同的两点A,8关于y轴对称，则称点对A,5是函数y=(x)的一对2v,0“黄金点对”(注：点对A,8与8,A可看作同一对“黄金点对”).已知函数/(x)=4则此函数的“黄金点对“有()A.0对B.1对C.2对D.3对【解析】解:由题意知函数/Cr)=2*,XVO关于y轴对称的函数为y=2=g)jr,x0,作出函数f(x)和y=d,x0的图象，
