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1、北京大学2016年高等代数与解析几何试题及解答北京大学2016年全国硕士研究生招生考试高代解几试题及解答微信公众号：数学十五少2019.04.13（10分）设胪上线性变换W在自然基修=求R3的组基，使得W在这ill的下的矩阵为Jordan矩阵.2. （10分）3阶实矩阵.A的特征多项式为尸-+V2.证明人既不是对称阵也不是正交阵.3. （15分）在所有2阶实方阵上定义二次内/:XTr（X2）1求/的佚和符号炼4. （15分）设V是有限维线性空间.M、&V上线性变换满足卜面条件（1） 这里少是0变换.（2） W的任意不变干空间也胞.%的不变于空间.（3） 46+4+小+w“证明弘”=6、5. （
2、15分）设V他全体次数不超过n的实系数多项式组成的线性空间.定义线性变换”:/（x）/（l-x）.求W的特征做和对应的特征空间.6. （15分）计算行列式lao25030IOofiO253ft0产IOlao100wIOl50102w199m其中各行兀出的底数为等也数列,各列兀素的底数也为等第数列,所有兀决的指数都是50.7. （20分）役V是复敷域I.有限维线性空间.W是V上线性变换.W在组基卜矩阵为F.（1）若W可对角化则对任意W的不变/空间U,存在U的个补空间IV是的不变乎空（2）若对任JtM的不变，空间U,存在U的个补空间IV是Srf的不变干空间,证明一可对角化.8. （20分）平面I.
3、个可逆仇射变换将个回映为桃网或I此详细论证这点.9. （15分）ffb+8y+C+0-0叮双曲抛物而2:=/交卜两条直纵证明川di_2CD=0.10. （15分）正I.而体有12个而,年个面为正五边形,催个顶点连接3条板,求它的内切球。外接球中径之比.,故A的Jordan标准型-10002-1OOA=PJ.设P=(&,&,a),则4(曰,&,&)=(&,&)J=*A&0.A-2=1,A3=j,Ais=0,于是可以取&注这里的通过矩阵理论得出的标准型.另一方法是先得出特征多项式为A3,再注意到A20,从而得到JoKbn标准型为J(0;3).2. /(x)=xs-3x2+4x-2=(x-1)(x2
4、-2t+2),实对称矩阵的特征值均是实数,而f(x)=0只有1个实根，从而A不是实对称矩阵.正交阵的行列式为1或T而/()=一2,从而A不是正交矩阵.3. mX-卜),则X21+6刈2+2c+小cdJac+cdbc+a2Jf的秋为I,特征值为1,1,1,-1,符号差为2.4. /()-+x2+.x-工巴=.r11(x-。/)，广是/(工)为丸本一次凶式的乘机从而W住任意Ir-I*7组将F的矩阵在复效域上可相似文角化,卜足一=匕6电匕，匕为”的特征假A1对应的特征/空fJ,li.对于n匕对WC,.jf.c(j+C.).切入Ifll+必人.C.W/C三(Ol三0三三M5. 42/3)三(l-x)-
5、/(X)-32-故W的特征值为1,-1.6./()-Jrw为/(工)的根.从而/(r) = 0,故所求行列式为/(100) 0.详细解祚见此以中隹师的高等代数学习指南第212贞例1.12。例4.13,或衣丘维声老师的高等代数创新教材卜册第310页命翘10.8设“(：)=、(；)，其中 A=(： 11),ad - 6c 0.设Bll的方程为 X2 + y2 R2,则由(P +cl -(ac + M) (c + bd) 2 + fc29.两条相交汽线必屈广异族.助它们的方程分别为+ = 2U(H - y)2v,则分别可取方向向质(-IJ,-2”),(1,1,2。).两直线的交点为(u+v, U-V
6、, 2uv).应当有IU(H+ y) - zA(u + U)+ D(u - ) + 2Cuv + D-O (-L L-2”)X (1,1,2v)(AaC)热(;(:)炉+/=Zf2-./一3十八2_p2ad-bead-be=(fixf2dbxy+2j+c2z+2y-2acxiy=R2(ad6c)2n(/+c2)a+(a2+2)yf-2(ac+bd)xiy=R2(ad-be)2的行列式大J-O,迹大J-0.2(0.故变换后的图形是圈或椭网注此题与北京大学2009年商代解儿试题第10题相同.10.小考虑止I.而体的大小,决定出十一曲体的形状的只是从个顶点O不出的三条极OA。之间的位置关系.设m=A,S=3,7*=O?.NlJmW?两两之间夹角为。*而OAB与正十.面体的外接球相他知到个阴.该踹的内接正五边形为正I.面体的个曲，读赢蝎心相与正十.面体的外接球的球心Q的连线应当与T面04?曜口.。点也是个止，L边形的中心Q点也足止I.面体的内切球的球心.o.qLjabc的小心共找.山广湍,簿=圈=CoS/尸Qa不妨QQl=L则区空WMK,空m由上区才=OR；=_Tmlm.O解0+7+力+7口+Z+Nr+T2(1+2W0)内切球半径PQL77厂m103t-y,3(T+7)-因此福丽否两,31175tan2tf注此解法的灵播来户与此正四面体的两个球的半径之比.
