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1、微积分II期末模拟试卷1(满分：100分；测试时间：100分钟)一、填空题(3X5=15)1、塞级数之E的收敛区间为_2、由曲线y=3-x2及直线y=2x所围成平面区域的面积是3、改变,空严求抛物线y = -x2+4x-3及其在(0-3)和(3,0)处的切线所围成图形的面积。/办的积分次序4、微分方程+)，-2=0的通解丫=5、设二一5xTlimdx,则极限IimmI”等于2J。o二、选择题(3X5=15)6、定积分J；(IXI+x)*dx的值是()。26（八）0；(B)2；(C)2e2+2;(D)e27、一曲线在其上任意一点*,y)处的切线斜率等于-M,这曲线是()y（八）直线；(B)抛物线
2、；(C)圆；(D)椭圆8、设函数z=2(d),其中/可微，则土生+包=()Xyxy12、计算下列多元函数微积分(D设g为连续可微函数，u=f(x9xy)fV=g(x+xy),求F一.OXOX设2+z2=yZ,其中为可微函数，求当.13、计算下列二重积分(1)计算JJxydxdy,其中D是由抛物线)，=及直线y=工-2所围成的闭区域.(2)计算JJJ+xdy,其中D是由V+y2=4所围成的闭区域.14、处理下列级数811(1)求-sin!的敛散性*ln( + 2) n8(2)求Z5 + l)x的和函数/1=115、求解下列微分方程(2) xy, + y = xex(1)(xy2+x)Jx(y-x
3、2y)dy=O四、综合题(2X10=20)16、求函数/(x,y)=xe2的极值.17、设凹(工),丁2。)，为(了)都是方程y+P(%)y+Q()y=/()的特解，且一“不恒等于常数，证明y=(l+q)y+(。2-。)月一。2%为方程的通解(其中C,C2为任意常数)。微积分II期末模拟试卷2(满分：100分；测试时间：100分钟)填空题(3X5=15)1、Vl-SinxtZx=2、Iimln+-)2(l+-)2(1+32用积分形式表示为“T8V/1nn3、已知y=(x)过(0,-1),其上任一点处的切线斜率为XIn(I+/),则/()二.4、基级数(-l)x的和函数为.11=15、设函数z=
4、z(x,y)由方程z=A3z+2y确定，贝j32+空=.xoy二、选择题(3X5=15)OOQOQ6、设%0=l,2,),且收敛，常数;l(0,不)，则级数E(-l)”5tan4)%1w=L三（八）绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与有关7、曲线y=y(x)经过点(0,-1),且满足微分方程y+2y=4x,则当x=l时，y=()（八）O;(B)I;(C)2;(D)48、设2是圆域O=(X,)|犬+/4的第Z象限的部分，记人=J(y-)必力，则4（八）10(B)Z20(C)Z30(D)Z409、设函数/(x,y)为可微函数，且对任意的x,y都有空0,空之)/(文2，%)成立的一个充分条
5、件是（八）l2,y12yiy2(C)2,yy2(D)y210、设4二户SdX/=户上dr,则JXJtanx（八）I1I2l.(B)11I2.(C)I211.(D)1Z2I1.三、计算题(5X10=50)12、计算下列定积分1(1) p|UrCSln%.(2)求)=8SX-sinx,y=0(0x工)绕X轴旋转的旋转体体积hVi-X2412、计算下列多元微积分(1)设Z=2-y,/(Xy)L其中f(，。具有二阶连续偏导数，9()二阶可导，求2zxy(2) f(x+y,yz,zx)=0,求Jz.13、计算下列二重积分(1)设平面区域D是由曲线为=3y,y=3x,x+y=8所围成，Kx1dxdy.(2
6、)求二重积分Jj(X-y)必Uy,其中O=(x,y)(x-+(一以2,yD8(1)试确定ZW=I14、处理下列级数3十(2丫把 ) = Pn(I+ x)公展成4的基级数。匚L(x+1)”的收敛半径、收敛区间和收敛区域。15、求解下列微分方程(1)yy+(y)2=y;(2)y*+2y,+y=xexo四、综合题(2X10=20)16、设f(x)在&6上连续，在(a6)内可导且/(x)0,求证：/(X)=J-/(f)力X-aja在(a,b)内也尸(x)0.17、求曲线V一孙+y3=KQy0)上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。微积分H期末模拟试卷3（满分：100分；测试时间：100分钟）一、填空题
7、（3X5=15）1、曲线（X-Jo”在（0,0）处的切线方程为y=t2ln（2-r2）3、微分方程y=2y满足初始条件YA=O=IMmO=3的特解y=4、ESir1(+工)的敛散性为Mn5、设D是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2),(0,1)的直边梯形，计算J(l+x)ydb=D二、选择题(3X5=15)6、设人=JSinXdX,伏=1,2,3),则有（八）1I2I3(B)32Z1(C)72Z3i(D)I2IlI37、设函数f连续，若F(zz,v)=fff+ydxdy,其中区域为图中阴影部分，则=D,nX2+y2（八）f(u2)(B)-f(u2)(C)vf(u)(D)-f(u)UU8
8、、二元函数/(%,y)在点(0,0)处可微的一个充要条件是(A) )(O.O)J2+y2(D) Ii/；但0)_/(0,0)=0,且1吟7；(0,),)_/：(0,0)=0.9、设函数/(x)在(0,+8)上具有二阶导数，且f(x)0,令=/()，则下列结论正确的是：（八）若对的，则“必收敛.(B)若场2,则叫必发散(C)若，则叫必收敛.(D)若/2则必发散.10、微分方程y+y=f+sin的特解形式可设为(A) y*=0r2+Zzx+c+x(Asinx+Bcosx).(B) y=x(axz+Zzx+c+Asinx+Bcosx).(C) j*=or2+Zzx+c+Asinx.(D)y*=r2+
9、Zzxc+Acosx三、综合题(7X10=70)11、求函函(X)=J(X2-t)e-t2敝单调区间与极值,12、设函数W=/(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式4粤+12堤+5粤=0.oxxyy确定。的值，使等式在变堆=x+ay,=x+by下简化亘土=O3剑13、求微分方程yu+y2)=y满足初始条件y=y(i)=的特解.14、将函数)=4在X=I处展开为基级数，并求x11=215、设函数y = y(x)由参数方程=(t)产确定，其中X是初值问题y=JoIn(I+dx c 八2te =OdtX-O = V 的解求U16、设非负函数y=y(x)(xO)满足微分方程孙-y+2=0,当曲线y=
10、y(x)过原点时，其与直线x=l及y=0围成平面区域。的面积为2,求。绕y轴旋转所得旋转体体积。17、求证：若X+y+z=6,WJx2+y2+z212,(x0,y0,z0).微积分11期末模拟试卷1答案12345232TJay=clex+c2e2x3(1+,)-1678910CDADA1、解.Iim4=Iim(+产出=J.所以收敛半径为2.an3o12nn2n322、yy=3-f与y=2交点为(-3,-6),(1,2),取X微积分变量则S=,J(3-x2)-2xdx=3x-x3-x2L3=y-2fy2x-x2riJl-y2+l3IdxLa=Jha4、该方程为二阶常系数线性齐次微分方程，其特征方
11、程为-+r-2=0,解得特征根A=I,弓=一2,从而通解为y=ce*+C2ex35、【答案】(1+6T户一1【分析】先用换元法计算积分，再求极限.【详解】因为,f=Ixw-*yi+xndx=l+x,(l+x)12JL1n2=1dn)2r,=1i+(-)rt2-i)n0n+1可见Iimna=liml+(F-1=(l+e,)三-1.oon+6、选(C)2JXI+)dx=(Wx+2xexdx=2xex-2ex=22+27、选）；按题意有字=一生，即ydy=-2xdx,积分得1丁+/=。，可见，该曲线axy2是椭圆。8、【详解】土老+导=二-f（.xy）+fxy）+,/）+W（科）=2V（孙）.应yo
12、xyylxxJx该选（八）.9、【答案】D【解析】因dz=x仅+)My可得0故(0,0)为函数z=(x,y)的一个极小值点.10、A解：取SLZMa“一%)11=1=sk=(1-)+2(2-1)3(673-2)+4(4-3)+k(ak-ak)=-0-(1+1+%)+kafi=-%-SL+MSS-Eak-,S=SIT=Z4=-Sn=ln=l则命题（八）正确。11、(1)解：2x34-x2令x=2sin得Jo728sin312st2stdt=32(s2x-l)s2rJsr=32(-cos5X-Cos3t)i=530153解：切线方程分别为y=4x-3和y=-2x+6,其交点坐标是(：,3),.S=
13、(4x-3)dx+G(-2x+6)dx-：(-x24x-3)dx=。12、(1)解.=ff2,y,W=g(l+y).所以OXOXuv八、，/，、=(i+y),(/1+y)OXOV(2)解.原式两边对y求导.zG,、(z-y-zoOZz,zyg、|2z一=-y.所以SyyjVyJy2yz_)，e：J13、(1)计算JJxydxdy,其中D是由抛物线丁二1及直线y=工一2所围成的闭区域。D解:X必dy=f2初可力=CL-yJy=Iy-+i+2y2-.=5dLJy2LJ-I(2)计算JjJtVYXdy,其中D是由V+2=4所围成的闭区域。D解：JJexdxdy=；加)：errdr=(e4-1)D1
14、.1Sin9B14、(1)解.因为Iimln(+?_n_=所以S_J_SinL和有相同的，18ln(w+2)ntt11nnnnn8敛散性.又因为公发散，由积分判别法知一发散.所以原级数发散.nlnx急ln(2)解.IimV5+l)|x|=IXI5+l)f积分二次=1x(1,1)s+1八f3ydyxdx15(1)解：变量分离得，=-,y+1X-I两边积分得，-ln(y2+l)=-ln(x2-l)+-lnc,222从而方程通解为/+1=c(x2-1)(2)解：整理得，y,+-y=exf可见该方程是一阶线性方程,X利用公式得通解为先求函数的驻点：令(XM=(IT2)e2=09fM+厂fy(,y)=-
15、yfe2=Ofr,=(2-3)e解得驻点为(l,0),(l,0)X/；=y(lf)/k工“ay岑对点(1,0),有A=(1,0)=片=X；(l,0)=0,C1=(1,0)=1所以，AG牙0,40,A20,故Fay)在点(LO)处取得极小值一1,0)=-滔.17、证明：因为,0),必(冗)，3(/)都是方程)+尸(工)+。()3;=/)的特解，所以乂-必和必一%都是方程y+P(X)y+Q)y=f()对应齐次方程的解,又因，!二)2不恒等于常数,所以乂一%和内-丫3线性无关，%一出从而对应齐次方程的通解为K=c1(y1-2)+c2(y2-y3)，所以原方程的通解为y=y+=q(y-必)+。2(%-
16、必)+凹，即y=(1+C)y+(c2-cl)y2-c2y3o123454(2-l)2Jjnxdxy=(l+x2)11n(l+x2)-l(I-X)2x”)2678910ABBDB微积分11期末模拟试卷2答案1、4(V2-1)原式=CJ(Sin-cos;dx=,Isin；-COSIldx=(cos-sin)dx+(sin-cos)dx2=2(sins)M-(COS+sin)|/2=4(2-1)2、2f2lnxd【详解】IimInJ(l+-)2(1+-)2(I+-)2JInnnn2=IimIn(1+-)(1+-)(1+-)”T8nnn=Iim-ln(l+-)+ln(l+-)+(1+-)11nnnn7
17、11=lim2yn(l+-)-=2(11MnnJof2ln(l+x)tZrl+x=r2jjntdtf2=2jInXdJxr3、解.由题设得微分方程：=Xln(I+x2)dxXO)=-idy=xln(l+x2)d=ln(l+x2)7(1+x2).所以y=-(l+x2)ln(l+x2)-(l+x2)+c.代入初始条件,得22一g=y(0)=g+c，于是c=0得特解y=g(l+2)n(l+2)-i08/co(XY24、解.V(-l)xz,=x2V(-1)x,2=X2Vxm1=x2=该等式H=I”=2n=2)M-(1一%)在(一1,1)中成立.当*=1时，得到的数项级数的通项不趋于0.所以y（11-1
18、）xm=-2-,X属于（一1,1）.”=15、【答案】2【解析】利用全微分公式,得必=/*3（2A_3必）+2小= 2e-3zdx2dy-3zdz(1+3/)龙=2Zi二公+2力J 2/iz2二. az =-rdy1 + 3/Ag1+3a3z Juh CaZ z _ 从而 3F = 2x yz _ 2e2x-3z z _2豕= + 3-，= + 3e2-3z/ /1、n(tan-)2Iim国=2.所以W2OO006、A解.因为%收敛，所以收敛n三l=1818X5tan2）,z,和5幼有相同的敛散性.所以原级数绝对收敛.7777、选回:方程y+2y=4x为一阶线性微分方程，其通解(J4xJ2J+
19、c)=2x-1+ce2x由X=O时y=-l知C=0,所以曲线为y=2x-l,由此，当X=I时）=1。8、B【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知k巴I1*,Ik=(y-x)dxdy=Sine-CoSe)dr=-J惑(Sin夕一Sine)48Dt(T弓03=(sin+COSe)El2 2所以/=I3=0,12=-J4=应该选（B）.9、【答案】：（D）【解析】：*）0,且学20表示函数/*,y）关于变量X是单调递增的，关于变oxoy量y是单调递减的。因此，当百工2，乂%时，必有7（5，、1）/（电，），故选D.10、B【分析】直接计算/”人是困难的，可应用不等式tanxx,xO.t ri 1-【
20、详解】因为当x0时，有tanxx,于是 1,XY ,/2 = Idx A且2 V1,可排除(A),(C),(D),故应选(B).【评注】本题没有必要去证明 所以老OXOXOX1,八碟+小+凯。，喈W所以狂融吗L13、(1)【详解】JJ x2dxdy Jj x2dxdy+ Jj x2dxdy= J； x2 Jxj/ 办+S 1女4 dy =.DDiD20323(2)【解析】由(xl)2+(y l)22得r2(sin夕+cos夕)，(x-yXrJyf = 34 r2(sin6 + cos6)d(r cos - r sin )rdr j 03-Tr-r41,2(sin6+cos6)=J：-(cos6
21、-sin9)r3d4378=f(cos-sin)(sin+cos)(sin+cos)2dj34374o=-(cos-sin(sin+cos)3dJ7L33r4fj8 - 37夕+cos。)=-x(sin。+CoSe)f=一一.3433+(-2丫14、(1)解：令凡=L收敛半径:Iim#+(-2)”收敛区域：舁3+(-2“/+占nI3=z(%+%H收敛;n三lnl4故收敛区域为-2,3解.二(7尸=(.尸之，(Tu=1=(-r,-dx=(-r,JoXJOMnMn由于收敛，所以当4=1时上述级数都收敛.所以f(x)=1+X)dx=名(7尸g-1,UXn=lN15、(1)解：方程中不显含自变量X,所
22、以可令y=My),则y二p包，代入方程得，dy卯包+p2=p,整理得巫=一女，dy-Iy积分得P二22,即y二2,yy变量分离并积分得y-cJn(y+q)=x+C2,此即为原方程的通解。(2)解：由特征方程户+2r+l=0解得特征根7i=e=-l,所以对应齐次方程的通解为Y=(qx+G)。又因为xe中4=1不是特征根，所以可设原方程的特解为/=(ax+b)ex,代入原方程并整理得，4ax+4a+4b=xt从而a=,。=-4，即y*=(x-l)eAo444所以原方程的通解为y=(clx+c2)e-x+-1)，16、证明：因为f(x)O,所以F(X)单减.f(x)dtF,(x)=f(t)dt+/(
23、x)=2f(t)dt+(x-a)2J-x-a(x-a)2(x-a)2=-w-wro(x-a)ja17、【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗口乘子法.淡ax- 令【详解】构造函数L(X,y)=/+y2+2(x3-xy+y3-1)=2x+(3x2-y)=O=2y+2(3-x)=0,得唯一驻点X=Ly=1,即弧(1,1).X3-xy+y3=1考虑边界上的点，M2(0,1),M3(LO)；距离函数/(x,y)=JY+y2在三点的取值分别为/(1,1)=(0,1)=1,/(1,0)=1,所以最长距离为J,最短距离为1.微积分II期末模拟试卷3答案12345y=2x(In2-1)y=3+3x+1条件收
24、敛73678910DACDA1、【答案】y=2x=2rln(2-r2)-r2i-1=-2=.(t)L-=2所以切线方程为y=2x.2、【答案】(In2-1)2【详解】设W=则Z=/XyzzuzvVTyVi1所以一=+=vu(-)+wInw-xuxvxxy=/一与皿=q41+IttXy)11八X)所以=(ln2-l)(1.2)23、方程y二三三中不显含未知函数y,因此作变量代换令y=p(x),则y=p(x),代入方程得=-7,变量分离法解此方程得p=q(l+f),即y=(+2),代入初1+x始条件Mx=O=3得q=3,于是y=3(l+f),两边积分得y=d+3x+c2，代入初始条件丸=O=I得。
25、2=1，所以所求特解为y=3+3x+4、【答案】条件收敛【解析】解.ysin(27r+-)=y(-l)wSin-.,l=,l=.sin8因为IimT=，又因为Z（T）上，条件收敛，所以原级数条件收敛.X1H_/1=1n5、分析:JJ(1+x)yd=r(1+R)由卜=(1+xpdx=(1+2x+f姑=g6、【答案】：(D)【解析】：由于当X(肛2;F)时SinX0,可知J-etsinxdr0,也即2-10,可知乙/2。又由于JesinMr=J?/2sinXaI+J,esinXar,对Cersinx4j做变量代换E=X万得J2JrJ2e2sinxdx=)sin(f+)dt=-Je()sintdt=
26、一e()sinxdx,故je厂SinAzZr=Je2卜i11zZ由于当x(乃,2乃)时SinX0,J-0,也即(一乙。，可知人/一综上所述有4L0,U.=-lnl=0-1112=m2,而X=-发散，则可排除（八）；取/(外二二，zr()=40,ul=-=u2,而XX4f(n)=收敛，则可排除(B)；取/(x)=x2,fx)=20,%=l4=%,而f(n)=n2n-发散，则可排除(C)；故选(D).事实上，若0.2-12-1对任意x(q,+),因为/”(幻0,所以f(x)()cO,对任意$(%+解：f(x)的定义域(一8,+8),由于*)=2j;erdt-terdt,f,(x)=2x6-厂dr,
27、所以驻点为JC=0,1.列表讨论如下:X(-4)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+8)f,(x)-0+0-0+f()极小/极大极小/因此，/3的单调增加区间为GlQ)及,+),单调递减区间为(-,-l)及(0,1)；极小值为(1)=O,极大值沏(0)=拒”4=3(1-1).12、aXaMyuu -故 = -x2u2u,2u2u=1,=+2+x讹u.uU2_.2U,2=a+b，一T=a+2ab+bfx22将以上各式代入原等式得(5a2+12a+4)-+10a/2+12(a+Z?)+8+(5Z?2+12Z?+4)-=0.由题意，金a = 2-2,52Cl =b = -2a = -2b = -2
28、b =-2 52 5由 Iam+12( +力)+ 80,舍去a = -2b = -22a =5f 2, b =522故，a=-2,力=M或a=2.13、【分析】本题为不含y的可降阶方程，令y=，然后求解方程.【详解】本题不含),则设y=，于是y=，原方程变为px+p1)=p,AX则=-+p,解之得X=P(P+C),将P)二l代入左式得C=O,5P2于是X=p2=y,=4x=y=+C,结合y(l)=l得C=O,14、解:1+(10 W=O这()(-)Ti=I,1 =(1(,7 + 1)(x1) xw(。, 2)71=0 08=/J=I2nY oO1 o011I =(l(rt + 1)7 = 2(
29、1(,7 + 1)7J w=0N =0乙这(R(M-=2Sv 八 72w+,27 2)2 Ej 915、【详解】方法一:,dx-2te-x = 0得exdx = Itdt ,积分并由条件M=O得夕=1 +/，即X = *力-力石一力=办区以所如(IT)=(1+产)111(1+/)T+7dy=d_(dy=#1+广)皿+广)=2n(l+产)+2fW石石厂dx2tdtT+7=(l+r2)ln(lz2)+ldX e以 所力一力一虫力=办区ln(l + r)2f2t+t2= (l + r2)ln(l + r2) = xx方法二：由一一2/T=O得exdx=Itdt,积分并由条件M=O得G=1+/，即X=
30、M3/解微分方程y*-+2=0得其通解y=Ci+2x+C2/,其中G，C2为任意常数又因为y=y(x)通过原点时与直线X=I及y=0围成平面区域的面积为2,于是可得C1=O2=J1y(x)dx=J(2x+C2x2)d=(x2+x3)=1+OO3()3从而。2=3于是，所求非负函数y=2x+3f(0)又由y=2x+3Y可得，在第一象限曲线y=(x)表示为x=g(J币歹一1)于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为丫=57-匕，其中y = 5”与上18186乂=J：C2dy=J：4(Jl+3yT)2dy=-(2+3y-2jl+3y)dy39=一1817、证明：方法1:2(x2+y2+z2)2xy+2y
31、z+2xzX2+y2+z2=(x+z)2-2xy-2yz-2xz36-2(x2+y2+z2)所以3(x2+y2+z2)36,x2+z212方法2:解以下条件极值问题:S(X, y9 z) = X2 + y2 + Z2 条件：X + y + z = 6令F(x,y,z,)=x+y2+z2-(x+y+z6)Fx=2x-=0fF=2y-=0,Fz,=2z-=O解得X=y=z=2.只有一个驻点，当x=y=z=2时达到最小值12.所以X2+j2+z212,(x0,y0,z0)（八）2yf(xy)(B)-2yf(xy)(C)一/(q)(D)-f(xy)XX9、设函数z=(x,y)的全微分为dz=x必;+*fy,则点(0,0)()（八）不是/(x,y)的连续点.(8)不是/(x,y)的极值点.(C)是x,y)的极大值点.(Q)是“x,y)的极小值点QOOo0010、设级数=0,且一白J收敛，则级数()W=InlW=I（八）收敛(B)发散(C)不定(D)与4有关三、计算题(5X10=50)11、计算下列定积分(1)x3*4-x2Jx：I4?收敛区间：x1X11333
