3.52轴对称全章复习与巩固提高知识讲解.doc

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1、 .3.52轴对称全章复习与巩固(提高)学习目标1. 认识轴对称、轴对称图形,理解轴对称的基本性质与它们的简单应用;2. 了解垂直平分线的概念,并掌握其性质;3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念,并掌握它们的性质以与判定方法.知识网络要点梳理要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称(1)轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质:轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这

2、条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质:关于某条直线对称的两个图形形状相同,大小相等,是全等形;如果两个图形关于某条直线对称,则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么它们的交点在对称轴上.(3)轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系,轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形;轴对称涉与两个图形,而轴对称图形是对一个图形来说的._如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,那么这两个图形关于这条轴对称;如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性

3、质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来,与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形 1.作轴对称图形(1)几何图形都可以看作由点组成,我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点,再连接这些点,就可以得到原图形的轴对称图形;(2)对于一些由直线、线段或射线组成的图形,只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点,连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形.2.用坐标表示轴对称点(,)关于轴对称的点的坐标为(,);点(,)关于轴对称的点的坐标为(,);点(,)关于原点对称的点的坐标为(,).要点三、等腰三角形 1.等腰三角形(1)定义:

4、有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.(2)等腰三角形性质等腰三角形的两个底角相等,即“等边对等角”;等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合(简称“三线合一”).特别地,等腰直角三角形的每个底角都等于45.(3)等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等 边”).2.等边三角形(1)定义:三条边都相等的三角形,叫做等边三角形.(2)等边三角形性质:等边三角形的三个角相等,并且每个角都等于60.(3)等边三角形的判定:三条边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形.3.直角三

5、角形的性质定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半.典型例题类型一、轴对称的性质与应用1、如图,由四个小正方形组成的田字格中,ABC的顶点都是小正方形的顶点在田字格上画与ABC成轴对称的三角形,且顶点都是小正方形的顶点,则这样的三角形(不包含ABC本身)共有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路点拨分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴,来找三角形.答案C;解析先把田字格图标上字母如图,确定对称轴找出符合条件的三角形,再计算个数HEC与ABC关于CD对称;FDB与ABC关于BE对称;GED与ABC关于HF对称;关于AG对称的是它本身所以共3个总

6、结升华此题考查了轴对称的性质;确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键举一反三:变式如图,ABC的部有一点P,且D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点若ABC的角A70,B60,C50,则ADBBECCFA( )A.180 B.270 C.360 D.480答案C;解:连接AP,BP,CP,D,E,F是P分别以AB,BC,AC为对称轴的对称点ADBAPB,BECBPC,CFAAPC,ADBBECCFAAPBBPCAPC3602、已知MON40,P为MON一定点,OM上有一点A,ON上有一点B,当PAB的周长取最小值时,求APB的度数.思路点拨求周长最小,利用轴对称的性质,找

7、到P的对称点来确定A、B的位置,角度的计算,可以通过三角形角和定理和等腰三角形的性质计算.答案与解析解:分别作P关于OM、ON的对称点,连接交OM于A,ON于B.则PAB为符合条件的三角形.MON40140. PAB,PBA. (PABPBA)APB140PABPBA2APB280PAB, PBA180APB100总结升华将实际问题抽象或转化为几何模型,将周长的三条线段的和转化为一条线段,这样取得周长的最小值.举一反三:变式如图,在五边形ABCDE中,BAE120,BE90,ABBC,AEDE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得AMN的周长最小时,则AMNANM的度数为( )A100 B11

8、0 C 120 D 130答案C;提示:找A点关于BC的对称点,关于ED的对称点,连接,交BC于M点,ED于N点,此时AMN周长最小. AMNANM180MAN,而2BAMAMN,2EANANM,BAMEANMAN120,所以AMNANM120.3、如图,ABC关于平行于轴的一条直线对称,已知A点坐标是(1,2),C点坐标是(1,4),则这条平行于轴的直线是()A.直线1 B.直线3 C.直线1 D.直线3思路点拨根据题意,可得A、C的连线与该条直线垂直,且两点到此直线的距离相等,从而可以解出该直线答案C;解析解:由题意可知,该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是(1,2),C点坐标是(1,4)

9、AC6点A,C到该直线的距离都为3即可得直线为1总结升华此题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用,解决此类题应认真观察图形,由A与C的纵坐标求得对称轴举一反三:变式1如图,若直线经过第二、四象限,且平分坐标轴的夹角,RtAOB与Rt关于直线对称,已知A(1,2),则点的坐标为()A.(1,2) B.(1,2) C.(1,2) D.(2,1)答案D; 提示:因为RtAOB与Rt关于直线对称,所以通过作图可知,的坐标是(2,1)变式2如图,ABC中,点A的坐标为(0,1),点C的坐标为(4,3),点B的坐标为(3,1),如果要使ABD与ABC全等,求点D的坐标 答案解:满足条件的点D的坐标有

10、3个(4,1);(1,1);(1,3).类型二、等腰三角形的综合应用4、(2012)如图,ABC中AB=AC,P为底边BC上一点,PEAB,PFAC,CHAB,垂足分别为E、F、H易证PE+PF=CH证明过程如下:如图,连接APPEAB,PFAC,CHAB,=ABPE,=ACPF,=ABCH又,ABPE+ACPF=ABCHAB=AC,PE+PF=CH(1)如图,P为BC延长线上的点时,其它条件不变,PE、PF、CH又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明:(2)填空:若A=30,ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时,则AB边上的高CH=_.点P到

11、AB边的距离PE=_.答案7;4或10;解析解:(1)如图,PE=PF+CH证明如下:PEAB,PFAC,CHAB,=ABPE,=ACPF,=ABCH,=+,ABPE=ACPF+ABCH,又AB=AC,PE=PF+CH;(2)在ACH中,A=30,AC=2CH=ABCH,AB=AC,2CHCH=49,CH=7分两种情况:P为底边BC上一点,如图PE+PF=CH,PE=CH-PF=7-3=4;P为BC延长线上的点时,如图PE=PF+CH,PE=3+7=10故答案为7;4或10总结升华此题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积,难度适中,运用面积证明可使问题简便,(2)中分情况讨论是解题的关键5、已

12、知,如图,112,236,348,424. 求的度数答案与解析ACD123B5E解:将沿AB翻折,得到,连结CE,则,1512.6048又236,72,BEBC为等边三角形. 又垂直平分BCAE平分30ADB30总结升华直接求很难,那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与全等的三角形,从而使其换个位置,看看会不会容易求举一反三:变式在ABC中,ABAC,BAC80,D为形一点,且DABDBA10,求ACD的度数.答案解:作D关于BC中垂线的对称点E,连结AE,EC,DEABDACEADAE, DABEAC10BAC=80,DAE60,ADE为等边三角形AED60DABDBA10ADBDDEECA

13、EC160,DEC140DCE20ACD30类型三、等边三角形的综合应用6、如下图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,DMN为等边三角形(1)如图(1)所示,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上? (2)如图(2)所示,当点M在BC上时,其他条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立,请利用图(2)证明;若不成立,请说明理由答案与解析解:(1)ENMF,点F在直线NE上 证明:连接DF,DE,ABC是等边三角形, ABACBC 又 D,E,F是ABC三边的中点, DE,DF,E

14、F为三角形的中位线 DEDFEF,FDE60又MDNNDFMDF,NDFFDENDE,DMN为等边三角形,DMDN,MDN60MDFNDE 在DMF和DNE中,DMFDNE, MFNE,DMFDNE.DMF60DNEMFNMFN60FNAB,又EFAB,E、F、N在同一直线上. (2)成立证明:连结DE,DF,EF,ABC是等边三角形, ABACBC 又 D,E,F是ABC三边的中点, DE,DF,EF为三角形的中位线 DEDFEF,FDE60 又MDFFDN60,NDEFDN60,MDFNDE 在DMF和DNE中,DMFDNE, MFNE总结升华此题综合应用了等边三角形的性质和判定,全等三角

15、形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.(2)题的证明可以沿用(1)题的思路. 巩固练习一.选择题1. 如下图,将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折,接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折,然后剪下一个小三角形,再将纸片打开,则打开后的展开图是( )2. 如图,将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,得折痕BE、BF,则EBF的大小为( )A. 15 B. 30 C. 45 D. 603在以下说法中,正确的是( ) A如果两个三角形全等,则它们必是关于直线成轴对称的图形; B如果两个三角形关于某直线成轴对称,那么它们是全等三角形;C等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图

16、形;D一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 .4. 小明从镜中看到电子钟示数是,则此时时间是( )A.12:01 B.10:51 C.11:59 D.10:215. 已知A(4,3)和B是坐标平面的两个点,且它们关于直线3轴对称,则平面点B的坐标是( )A.(1,3) B.(10,3) C.(4,3) D.(4,1)6如图,已知ABC中,ACBC24,AO、BO分别是角平分线,且MNBA,分别交AC于N、BC于M,则CMN的周长为( )A12 B24 C36 D不确定 A N O B M C (22题图)7. 如图,将沿、翻折,三个顶点均落在点处.若,则的度数为( )A. 49 B

17、. 50 C. 51 D. 528. 如图, ABC中, ACB90, ABC60, AB的中垂线交BC的延长线于D,交AC于E, 已知DE2.AC的长为( ) A.2 B.3 C. 4 D.5二.填空题9. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB2,点E在BC上,且AECE若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点重合,则AC10.在同一直角坐标系中,A(1,8)与B(5,3)关于轴对称,则_,_.11如下图,ABC中,已知B和C的平分线相交于点F,过点F作DEBC,交AB于点D,交AC于点E,若BDCE9,线段DE_12. 如下图,AOPBOP15,PCOA,PDOA,若PC4,PD的长为_13如

18、下图,在ABC中,ABAC,点O在ABC,且OBCOCA,BOC110,求A的度数为_14. 如图,在四边形ABCD中,A90,AD4,连接BD,BDCD,ADBC.若P是BC边上一动点,则DP长的最小值为.15. 如图,在ABC中,ABAC,D、E是ABC两点,AD平分BAC,EBCE60,若BE6,DE2,则BC_16. 如图,六边形ABCDEF的六个角都相等若AB1,BCCD3,DE2,则这个六边形的周长等于_。三.解答题17如下图,ABC中,D,E在BC上,且DEEC,过D作DFBA,交AE于点F,DFAC,求证AE平分BAC18. 如下图,等边三角形ABC中,AB2,点P是AB边上的

19、任意一点(点P可以与点A重合,但不与点B重合),过点P作PEBC,垂足为E,过E作EFAC,垂足为F,过F作FQAQ,垂足为Q,设BP,AQ (1)写出与之间的关系式;(2)当BP的长等于多少时,点P与点Q重合?19已知:如图,在ABC中,ABAC,BAC30点D为ABC一点,且DBDC,DCB30点E为BD延长线上一点,且AEAB(1)求ADE的度数;(2)若点M在DE上,且DMDA,求证:MEDC20已知,BAC90,ABAC,D为AC边上的中点,ANBD于M,交BC于N.求证:ADBCDN答案与解析一.选择题1. 答案D;解析作出对称轴,将图形还原即可.2. 答案C; 解析由题意,ABE

20、DBEDBFFBC,所以EBFABC45,应选C3. 答案B;解析全等的三角形不一定是成轴对称,而成轴对称的两个三角形一定是全等的C 选项应为轴对称图形而不是成轴对称的图形.4. 答案B;5. 答案B;解析点B的纵坐标和点A一样,(横坐标4)23,解得横坐标为10.6. 答案B;解析易证ANON,BMOM,CMN的周长等于ACBC24.7. 答案C; 解析ADOE,BHOG,CEOF,所以236018012951.8. 答案B; 解析连接AD,易证三角形ABD为等边三角形,CEDE1,AEDE2,所以ACAECE213.二.填空题9. 答案4;解析因为AECE,90,所以为AC的中点.AC2A

21、B4.10.答案; 解析由题意15,38,解得.11答案9;解析因为DEBC, 所以DFBFBC,EFCFCB, 因为FBCFBD,FCBFCE, 所以FBDDFB,FCEEFC, 所以BDDF,CEEF, 所以BDCEDFFEDE,所以DEBDCE912.答案2;解析过P作PEOB于E,所以PDPE,因为PCOA,所以BCPBOA30, 在RtPCE中,PEPC,所以PE42,因为PEPD,所以PD213答案40;解析ABAC,所以ABCACB, 又OBCOCA, ABCACB2(OBCOCB), BOC110,OBCOCB70, ABCACB140,A180(ABCACB)4014.答案4

22、;解析过D作DPBC,此时DP长的最小值是.因为ABDCBD,所以ADDP4.15.答案8; 解析延长ED到BC于M,延长AD到BC与N,ABAC,AD平分BAC,ANBC,BNCN,EBCE60,BEM为等边三角形,BE6,DE2,DM4,NDM30,NM2,BN4,BC816.答案15;解析因为六边形ABCDEF的六个角都相等为120,每个外角都为60,向外作三个三角形,进而得到四个等边三角形,如图,设AF,EF,则有1323328所以4,2,六边形ABCDEF的周长13322415.三.解答题17解析证明:延长FE到G,使EGEF,连接CG, 在DEF和CEG中, EDEC,DEFCEG

23、,FEEG,DEFCEG,DFGC,DFEG,DFAB,DFEBAE,DFAC,GCAC,GCAE,BAECAE,即AE平分BAC18解析解:(1)ABC为等边三角形,ABC60,ABBCCA2 在BEP中,PEBE,B60,BPE30, 而BP,BE,EC2, 在CFE中,C60,EFCF,FEC30,所以FC1x, 同理在FAQ中,可得AQ, 而AQ,所以(02) (2)当点P与点Q重合时,有AQBPAB2,2,所以 解得当BP的长为时,点P与点Q重合19解析解:(1)如图ABC中,ABAC,BAC30,ABCACB75DBDC,DCB30,DBCDCB301ABCDBC753045 ABAC,DBDC,AD所在直线垂直平分BCAD平分BAC2BAC15 ADE12 451560 证明:(2)连接AM,取BE的中点N,连接ANADM中,DMDA,ADE60,ADM为等边三角形 ABE中,ABAE,N为BE的中点,BNNE,且ANBEDNNM BNDN NENM,即 BDMEDBDC,MEDC 20.解析证明:作BAC的角平分线交BD于HBAHCAH45ABAC,ABCC45 BAHCANBD于M,AMD90NADADB90BAC90ABDADB90ABDNAC在ABH与CAN中ABHCANAHCND为AC边上的中点ADCD在AHD与CND中AHDCNDADBCDN7 / 7

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