《专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值最值范围问题））(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题06 解三角形（周长（边长）问题（含定值最值范围问题））(典型例题+题型归类练)（解析版）.docx（24页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、专题06解三角形（周长（边长）问题（含定值，最值，范围问题）（典型例题+题型归类练）一、必备秘籍核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）利用基本不等式，石工孚，在结合余弦定理求周长取值范围；2核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）利用正弦定理=2RSinA,b=2RsinB,代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.二、典型例题例题1.在ABC中，角A,8,C的对边分别为,力,c,且而=/+从_02.(1)求角C;（2）若ABC的面积S=S,且U=登，求ABC的周长.4因为入一,由余弦定理，得到C=色萨4又OC2-21
2、,244ab=5-=联立+=26则o+=所以ABC的周长为+b+c=6+J例题2.已知448C中，角A,B,C的对边分别为。，b,。，且加in8-sinA=S-c)sinC.(1)求角A的大小；若z1BC的面积LBC=学，且。=5,求Hc的值.第（2）问思路点拨：由知4 =弥，且 = 5,S =”也要求8+c,可利用面积公式S=生也AAoC 4AjwC 4求出儿,再由余弦定理求出/+/=50,联立，可求出b+c解答过程:【答案】(2)10(1)解：I大I为加in3-sinA=(0C)SinC,由正弦定理可得从一2=S-c)c,即o2=及+2_儿,b2+c2-a2=bc,r余弦定理可得cr=h2
3、+c2-2bcCQSA，故COSA=t=-=因为A(0,r),所以A=f.2bc2bc23(2)解：因为,M=gbcsinA=；XbXCX乎，所以bc=25,再由/=廿+。2一从，即25=从+c?从，所以从+c2=50,所以b+c=J(b+c)=Jb2c2+2bc=10.例题3.在“IBC中，角AABC所对的边分别为凡4c,已知=6,A=2.若sin8=得，求SinC；求b+c的最大值.123526(I),.snA=-sinB=-sinA,/.BAfcosB=-213213所以SinC=sin(A+8)=-+-=213213(2)在中由余弦定理可知a2=3=b2+c2-2反CoSA=b2+c2
4、-be二S+c)2=3+36c3+3(”+)-Hc2g4当且仅当b=c=6时，b+c的最大值为2J例题4.在中，角A,B9C的对边分别为。，b9ct且。=2acosAcosC+2ccos2A(1)求角A;若=4,求c-制的取值范围.【答案】?(2)(-8,4)(1)W：因为人=2。COSACOSC+2CCOS2A,Itl正弦定理得sin8=2sinAcosAcosC+2sinCcos2A,即sinB=2cosA(sinAcosC+sinCcosA),即sinB=2cosAsin(A+C),因为A+8+C=兀，所以A+C=-8,所以SinB=2cosAsinB.因为Bw(0,),所以sinBO,
5、1JT所以8SA=5,因为A(O,),所以4=.(2)解：由正弦定理得，=随，sinA3所以C一给二(SinC-2sin8)=卜n(兀一方一8)一2sin883f3R3.JR_.=cosBsinB=8cosBcoscosBsin,3(22)V33j所以。- 28 = 8cos所以 8 + (,所以cos,+扑卜用，所以c-2(-8,4).例题5.在“IBC中，内角A5,C所对的边分别为。也c,且加in弓一=sinB.（1）求A角的值；若为锐角三角形利用（1）所求的A角值求空的取值范围.ZX第（2）问思路点拨：由（1）知，X=W且A4C为锐角三角形，要求?的取值范围，不适合直接3b利用基本不等式
6、解决问题，当涉及到有约束条件的三角形（锐角三角形）优先考虑利用正弦定理化角.解答过程：直接化角由知伫=而4-血C=S叫一叫丁刃（注意到B+C=与统一化成一个角）bsinBsin5；先拆，后合（辅助角公式），化简XiZ:如一:SinJeCosS1（注意到此时分子分母都含有角B，不容易直接求范围）bsin52SillB2化半角，继续化简，直到角，函数名统一r1fl2si112Jn1R=-必一L9tanL（角，函数名统一，问题转化为求tan?的取值范围）b2oBB22222稿取值范围2sn-cos22B求tan巴取值范围2啥衿，2-3tanl0B-2r.2n0B32-2TtanI1F的取值范围是3-
7、2,b6-12【答案】(I)A=9(2)6-2,(l)Esin=tzsinB,所以sin8cos=SinAsin8,因为B(0,乃)，/sinBO,A.AAxznA1COS-=ZSin-COS-,.*A(O.,.cos0,.*.sin=-222222因为。W后一A=(2)由止弦定理，- h.sinSinA-SinC_3sinBsinB33d1.dCOSDsinB/7-,d1222_31-cosB1的取值范围是3-2,例题6.已知MBC的内角A民C所对的边分别是,b,c,(+?)(SinA-sinB)=(-C)SinC.(1)求角B?(2)若A5C外接圆的周长为2折，求AABC周长的最大值.【答
8、案】(I)B=I2)9由正弦定理可得(+)(-b)=(-c)c,ac=a2+c2-b2.由余弦定理得cos8=Y+d=J,2ac2又5(0,r),所以8=q.(2)因为A8C外接圆的周长为2代,所以AABC外接圆的直径为2L由正弦定理得导=2L贝Jb=2Jx亭=3由余弦定理得9=+2_玄侬夕因为3c=(+c)2-93S;”,所以;(+c)29,即+c6,由三角形性质知3+c6,当且仅当二c时，等号成立.所以6,c=4,求“18。周长的取值范围.JT根据8的取值范围，求出sin(8+X)的范围4因为BG,fc5 + y 4 4,2 32,T,得sin + ?)e 孝,140SinlB+-+4【答
9、案】(1)直角三角形或等腰三角形(2)(8,4+4近)(1)“8C为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由b二c(cos3-COSA)及正弦定理得，sinA-sinB=sinC(sB-cosA),即sin(B+C)-sin(A+C)=sinC(cosB-cosA),即sinBcosC+cosBsinC-SinAcosC-cossinC=sinCcosB-sinCcosA，整理得sincosC-sinAcosC=O,所以cosC(sinJB-SinA)=0,故SinA=Sinb或CoSC=0,又A、B、C为“8C的内角，所以=人或C=f,因此为等腰三角形或百.角三角形.由(1)及知C为直角三角形且
10、不是等腰三角形,且A+8=5,C=故Aq-B,且8工(，ABC周长=+8+c=+b+4=4(cos8+sin8)+4=4忘Sin(B+(J+4,得 Sin(B+ j)e 492去1 ,所以4sisin 4,2 37,T(8 + ?) + 4(8,4应 + 4),所以“IBC周长的取值范围为(&4a+4).三、题型归类练1.aA5C的内角A,BtC的对边分别为,。，c,已知(2。-C)SinA+(2。一。的inC=2Zsin8.(1)求B若为锐角三角形，且c=2,求周长的取值范围.【答案】8=；(3+JJ,6+2.在4BC中，由正弦定理及(2-c)sinA+(2c-)sinC=2bsin8得：(
11、2a-c)a+(2c-a)c=2b2,整理得：a2+c2-b2=ac由余弦定理得：cos6=+-J,而08,解得3=?,Zac23所以84.(2)由(1)知A+C=,即A=与C,因“8C为锐角三角形，即八 2 0C 32J ,解得oc-2由正弦定理就T忌=Ue得:a+h+c _ csin A+sin B+sin C sin CC高亭亭COSTSine)-+sin(-C)+sinC=sinC23C=3 +G(ZcosC)3严2c%a6SEC2sin-cos-tan-222l,CCIC一时，一一,tantantan-,j6212241224BP2-3tanl,因此，+则3+J+c0=6，所以J+c
12、2-73，所以26/3sinA)cosB=cos(A+i?),cosAcosB-3sincosB=cos(A+B)即cosAcos-3sinACOSB=cosAcosB-sinASinB,.sinAO,tan=V3,.Be(09)t.B=-.3(2)由余弦定理可知从=/+c2-2ccos代入可得/=+c2-c=(+c)2-3acl-3x()=l-3x(g)=；,当且仅当=c=g时取等号，.力;,又力v4+c=l,b的取值范围是pl).5 .记锐角ZMBC的内角A,8,C的对边分别为,c,且cos3B=88sA(4cos2l),Bq.A求G的值；D求?的取值范围.O【答案】93(2,J+1)由题
13、意得SinACoS38=SinBCOSA(cos2B+2cos2B)=CosA(sinBcos2B+cosBsin2B)=cosAsin3B,得SinACOs3B-cosAsin38=sin(A-38)=O,因为A,8都是三角形内角，8g,所以A=38,即4=3；3D(2)由(1)得f=4cos26-1,b0A=3B-2因为AABC为锐角三角形，所以0B-,得生B生,3860C=-4B-2Ey乃C271,.-i71_CCCZ因为COSa=2cos，所以4cos?-=2COSl+2=2+j2，所以4cos?工-l=24cos?B-I3sin(-+B)222260B-A8C是锐角三角形0o2ogB
14、J八一2r620C=-32-+B-sin(-+B)13,363266所以b+c的取值范围是(3,26.7.在锐角“IBC中，角A,B,C的对边分别为。,b,J设而=(1M),=(3sinC,h-6rcosC),m!n(1)求角A;求2的取值范围.C【答案】(I)A=套-14,平、6cI23J(1)由加得至Jb-cosC=3sinAsinC,又C为三角形内角，故SinC0,cosA=有SinA,故tan4=,A=J.36llbsinB(2)-=,cSinC.a.csinf-clIcosC+-SinCA.at_SlnB_16)_223+csinCsinCsinC22tanC又“8C是锐角三角形，8
15、e且C(,即O京/r-C且OC,cCL,.-C3.32.旦或-咨即纥侔1222tanC3c238 .已知a,b,c分别为lC三个内角AB,C的对边，而=(,b+c),日=(l,cosC+SinC),且nn，求A；(2)若=4,求6+c的取值范围.【答案】(I)Aq(2)(4,8(1)由题意得：acosC+y3asnC-b-c=Or由正弦定理得：sinAcosC+VJsinAsinC-sinB-sinC=O,因为SinB=Sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以QSinASinCCoSASinCSinC=0因为C(0,),所以SinC0,所以QsinAcosA=1,即2sin(
16、A-)=1,Sin(A_聿=J因为A(0,),所以A=(-*裔,所以A-=，A=g663b_c_a_4_8小(2)因为=4,所以由正弦定理得：si11-sinCsinA-，sin3b+c=-(sn8+sinC)=pin+c)+sinC=cosC+sinC+sinC=8SinC+2)，因为Ce(0,/),所以C+台信裔,所以8sin(c+(4,8,HC的取值范围是(4,89 .“IBC的内角A、B、C所对边的长分别为。、b、%已知&J=JJCCoS8+bsinC.求C的大小；若“IBC为锐角三角形且c=J,求M+/的取值范围.【答案】(I)C=W(2)(5,6(1)由JJa=JJCCOS8+力S
17、inC及正弦定理可得sinSsinC+3cosSsinC=3sinA=3sin(B+C)=3sinBcosC+5/3cosBsinC,所以sin8sinC=GSinBCosC,因为8、C(0,4),则SinB0,有COSC=SinC0,则tan。=有，故a_b_c_73z,(2)依题意，a4BC为锐角三角形且C=有，由正弦定理得=N-嬴万一嬴一道一JT所以=2sinA,=2sin8=2sin(A+C)=2sin(A+?),1f0.2/、1cos2AH协a2+/?2=4sin2A4sin2fA-l=41-cs+4I3)22=2-28s2A+2-2cos(2A+三)=4-2cos2A-2-cos2
18、A-sin2Aj=4-2cos2A+cos2+*73sin2A=6sin2A-cos24+4=2sin(2A-:1+4,0A一由于A+B=,所以2,解得/Av,3cl620A32所以g2A),2A-,所以Sin事.?箝事，36669672E所以2sin0A-e(l,2,所以2sin(2A-5)+4w(5,6.所以/+6的取值范围是(5,6.10 .已知ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,。，且满足2叵SinC-2cosA=丝土3be求角3的大小；若8为钝角，4ABC为等腰三角形，且BC边上的中线长为近，求a48C的周长.【答案】3=已或(2)4+25由余弦定理得：2叵SinC2乂七士工=
19、匕五，所以拽SinC=,32bcbe3b由正弦定理得：sinC=-,因为C(0m),所以SinCW0,3sinB所以SinB=立，0Bf即5=g或4233(2)设等腰三角形腰长为X,即AB=BC=K,CM=1x,且由于4=C=J,B=竺,263在“IBC中，cosB=x+xac,解得AC=6c,2xx在AACM中，由余弦定理得：AM1=AC2+CM2-2ACCMcosC，即7=(L)2+;Y-J,解得：x=2,所以AB=BC=2,AC=23则“IBC的周长：4+23.11 .已知4BC的内角A,B,C的对边分别为,b,c,且。=3,cos2B=cos(A+C).求8；求周长的取值范围.【答案】
20、(1)W;(2)(6,9.在中，2cos?B-I=cos(-B),即2cos?8+cos8-I=O,解得cos8=g,而0vB8=3,即3v+c6,6c=2,所以1+b的取值范围是(2,4.13 .已知a4BC的内角A,B,C的对边分别为e,b,c,且bsinC=ccos(8-7).O求角B；(2)若方=4,求周长的最大值.【答案】(1)8=(：(2)12.因为8SinC=CCOS(8-令，则bsinC=c(cosB+-sinB),在AABdL由止弦定理得，sinBsinC=sinC(-cosB+-sin),lf11C(O,),即SinC0,22整理得SinB=cosB,即tan8=L又B(O
21、,t),解得B=,所以8=去(2)在中，由余弦定理从=+c2-24c8s3得：16=/一4，即一6=3c,而讹(等)2,于是得(+c)264,当且仅当=c=4时取=，因此，当a=c=4时，+c取最大值8,从而+c取最大值12,所以周长的最大值为12.14 .在z8C中，sin2C=3SinC.求NC：(2)若6=6,且“IBC的面积为6L求的周长.【答案】丁6+6#O(I)W:因为CW(O,4)，则SinC0,由已知可得JJSinC=2sinCcosC,可得cosC=3,因此，C=1.(2)解：由三角形的面积公式可得SinC=66,解得4J由余弦定理可得。2=/+/_2曲COSC=48+362
22、x46x6x3=12，,c=232所以，45。的周长为+8+=66+6.15 .在4/WC中，角A,8,C的对边分别为,),c,且sin3=cosA.求角A；(2)若=JLb=l,求“8C的周长.【答案】(I)A=9(2)3+6由正弦定理得：sinAsinB=3sinBcosA.B(0,-),.sinBO,.sinA=VJcosA则tanA=有，又Ae(O,4)，.A=。.(2)由余弦定理得：a sin AcosA-SinBcosC = SinCcosB.=b2+c2-2bccosA=l+c2-2ccosy=3,即/y2=0,解得：C=-I(舍)或c=2,.ABC的周长为+8+c=3+J16
23、.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为,btc.在至4=二；cosBcosA,八GCbcosCCCOS8-OCOSCCCoS8、一AR“上”，山coosA=2bcosA-4cosC：2=2a=这二个条件中任选cosAcosAcosAcosA一个补充在下面的问题中，并解答.若，求A；在第(1)问的前提下，若a=l,求ABC的周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析，A=y(2)(2,3选.由在!=，一及正弦定理得2sinC-jnB=sin,cosBcosAcosBcosA(2sinC-sinB)cosA=sinAcosB,.2sinCcosA=
24、sin4cosB+cossinB=sin(A+)=sinC,由于AABC中，sinCO,A(0,乃)，2sA=L即8sA=L2.A=.3选.hcoosA=2ZcosA-acosC及正弦定理得SinCcos=2sinBcosA-sinAcosC,.2sinBcosA=SinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,由于AABC中，sin8w,A(0,v),2cos = l,即 cos A选.,.zbcosCCCOSBrrr.,BRC.SinBcosCSinCcosB由2a=-及正弦定理得2sinA-=-cosAcosACOSAcosA.2sinAcosA=sinCcosB+sin
25、BcosC=sin(B+C)=sinA,由于AA8C中，A(O,),SinA0,2cosA=l,即8sA=?，2.*.A=.3(2)由将4ng,a=l代入余弦定理/=6+。2一CCOSA得I=6+/一儿，(Z?+c)2=1+3hc,即bc=-,由于警痴得AU,24.(+。TWR+)：,解得b+c2,(当且仅当b=c=l时取等)34又b+ca=l,lv+c2,BP2c7+Zj+c3,.求4人8C的周长的取值范围是(2,3.17 .在锐角“IBC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,S为的面积，B.2S=a2-(b-c)2求SinA,CoSA的值(2)求二的取值范围2c【答案】SinA=W：co
26、sA=;(2)偿J3IlU07(I)/2S=a2-(b-c)2,S=gbcsinAbcsinA=/-(b-c)2,.+C2-fl2)aOa=2-snA=2cosA.be:.cosA=1sinA,2X,sin2Acos2A=Isin?4+(I-TSinA)=1.sinA(；SinA-I)=0,4SinA=O(舍)，SinA=W,又.“IBC为锐角三角形，/3cosA=-sin=55 sin C ABC为锐角三角形,C90o,A=-.(2),A+B+C=,sinB=sin(A+C),bsinBsinAcosC+cosAsinC=3-10 +C2 - 5 n2c2sinC2sinCcosC+-sin
27、C.C90o-,tanCtan(90-A)=CoSA3-7二:，SinA4.o-!O,则?+从一c。一a/?=0则cosC=a2+b2-c22abab_12ab2(2)由(1)可知COSC=J,又0C,则C=1,由SinA=2红工1,可知角A为钝角或锐角7若A为钝角，则SinA=AA+C7233这与内角和为汽矛盾，即A不能为钝角,.A为锐角，由SinA=27,可得COSA=一红. SinB = Sin(A+ C) =sin ACoSC+ cos AsinC =串%4号率陋=也B=返cSinC14321sinB2SinB2l-fl-2sin*2y22sincos22为锐角三角形，工B彳，H有彳丁，2-3tan6212242.3-2tan-l)2222
