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1、能计算运动方程的模拟计算机下面介绍一种可以计算出速度，加速度和功率，位移之间关系的运动方程模拟计算机。用加法器乘法器，积分电路，导数电路按照运动方程的公式进行构造电路，就会计算出位移和功率之间的关系。相关资料下载网址：链接:https:sISWEWW70yBTWfQW4Zjj5u8g?PWd=7q6z提取码:7q6z链接:https:提取码:z312运动方程模拟计算机https:/www.aliyundrive.eom/s/RcGkJLfE6h8微云文件分享:运动方程模拟计算机下载地址:https:S运动方程模拟计算机访问码：za17第一部分推导过程可参见1992年版高等数学，盛祥耀主编，高等
2、教育出版社出版3.22二阶导数及其力学意义注：二阶导数就是一阶导数的导数，它在几何上有其重要意义。简单的说，二阶导数的正负表示一阶导函数的增减性，也就是表示函数的凹凸方向。sint例如，求函数y=e的二阶导数，我们先求其一阶导数：sintsintSintf(t)=(e)=e(sint)=ecost再对所得一阶导函数求导数，则得二阶导数，故sintsintsintf(t)=(ecost)=e(cost)+cost(e)sintsint=e(-sint)+cost*e(sint)sint 2=e (cos t-sint)sintsint=e(-sint)+cost*ecost或者22d y/dt=
3、esint(cos t-sint)二阶导数在力学上具有明显的意义；我们来考虑一下物体依S=f(t)作运动时的情形。在3-7、2内我们已经知道，在3-7、2内我们已经知道，其运动速度的值定义为路程对时间的导数，即，v=S或Orv=dSd如果物体的运动是非等速的，那么，速度V就在各个时刻皆不相同，且在时间间隔内必得一速度的增量Av,在这种情况下，在单位时间内速度的变化4vZt就叫由t到t+ZXt时间内的平均加速度,而在给定的时刻t时的加速度将等于,当at-O时，平均加速度的极限，把给定时刻的加速度记作j,就可写成：vj=Iim=vt-*0tt或dv但v=(S)=Sj=ttdt2或dv(ds)dSd
4、tdt2dt2ds所以J=(S)=S,也就是j=t2dt于是，物体在给定时刻的运动加速度等于路程对时间的二阶导数。例L设点依规律S=2t-3t+5作抛物线运动，试求点在时刻t=5时的速度与加速度。为了确定速度，必须求出给定函数在t=5时的一阶导数，于是：2v=S=(2t-3t+5),=4t-3并且V=4*5-3=17t=5加速度j等于当t=5时函数的二阶导数，即,j=S=(v)=(4t-30),=4,2ds或Or=42dt这样看来加速度对任何t值都是常量，这就是说点依给定的规律作等加速运动。第二部分推导过程可参见1992年版物理学，李迺伯主编，高等教育出版社出版运动学方程如果图1-1中的质点P
5、在运动，那么，它的位置矢量r将随时间变化，也就是说，位置矢量r是时间t的函数。r=r(t)l-2a位置矢量r随时间t变化的函数式称为质点的运动学方程。很明显，这时，质点的坐标x、y和Z也是时间t的函数：x=x(t)y=y(t)1-2bz=z(t)上式称为质点运动学方程的直角坐标分量形式。它表示，质点在空间的运动r=r(t)可以看作是质点在y和Z轴上同时参与三个直线运动X=X,y=y(t)和z=z(t)o式l-2b中的三个直线运动称为式l-2a所表示的质点运动在三个坐标轴上的分运动，中学物理曾讨论过质点作匀加速直线运动，它的运动学方程为2x=x+vt+at/200式中，a是质点的加速度，V是质点
6、初始时刻(t=0)的速度，称为初速度，0X是初始时刻质点位置的坐标，还讨论过质点作平抛运动，它的运动学方程为0x=vt02y=H-gt/2式中，V是质点水平抛出的初速度，H是初始时刻质点矩原点的高度，g是重力加速度，0负号表示加速度g的方向与y轴的正方向相反。上述讨论表明，质点的曲线运动可以用直角坐标系分解为两个(平面上质点的运动)或三个(空间中质点的运动)直线运动。由此可见,直线运动是分析曲线运动的基础。例1-1.湖中有一小船，岸边有人用绳子跨过水面高H的滑轮拉船靠岸，如图1-2,设绳的原长为I,人以匀速V拉绳。试写出小船的运动学方程。解.建立如图所示的坐标轴OX,按题意，初始时刻（t=0）
7、,滑轮至小船的绳长是I此后某时刻3绳长减少到I-Vt,此刻船的位置坐标是上式是小船的运动学方程。它指出小船位置X随时间t变化的规律。1-2位移，路程位移.质点从位置A沿一曲线移动到位置B,如图1-3所示，用从A指向B的矢量表示质点位置的移动。把称为这段时间内的位移。位移是描述一段时间内质点位置变更的物理量。它同时指出质点位置变更的距离和方向。它只和始、末两位置有关，与轨道曲线无关。从A到B的位移等于质点在B（末位置）的位置矢量r和质点在A（初位置）的位置B矢量r之差Ar=r-rl-3aBA在直角坐标系中，位移r=xi+yjl-3b式中=-XBAy=y-yBA是同一段时间内质点坐标的增量。路程.
8、图1-3中，质点从A到B走过的路程是质点沿轨道曲线从A到B经历的长度。路程是恒为正值的标量。随着时间增加，路程跟着增加。即路程是正的增函数。通常，用符号或S表示路程。无穷小位移图l-4a画出某质点所经历的一段轨道的曲线。t、t、t、t各时刻质点分别位于A、C、D、B各点。123tt、tt、tt三段时间内质点的位移分别是r、11223123由图可知，tt时间内的位移3r=r+r+r1-4123上式指出，总位移等于各分段位移矢量和。如果把tt这一段时间细分为无穷多段时间间隔，就得到无穷多个无穷小位移。3用符号dr表示无穷小位移.它的大小是无穷小量，它的方向是沿轨道的切线指向质点前进的方向。如图l-
9、4b所示，从图中还可以看出，这些无穷小位移的矢量和仍然是人在dt时间内的位移dr是无穷小矢量，对应的路程是无穷小标量。用符号ds表示无穷小路程，图l-4b表明IdrI=ds1-5上式指出，在无穷小时间内，位移的大小Idrl等于对应的路程ds.13速度，速率平均速度和平均速率图1-5中，设t时刻，质点在A处，t+at时刻运动到B点。时间内，从A到B质点的位移是，经历的路程是当一定时，如果越小，质点从A到B的变化越快；如果较大，则从A到B的变化较慢。为了描述时间内单位时间位嬖变化，引入平均速度的概念。把与之比称为时间内质点的平均速度，用符号7表示，=rt1-6如果质点作变速圆周运动，除了上述法向加
10、速度外,还应有描述质点速率变化的加速度。可以证明，这个加速度是沿切线方向，即在切线坐标轴上：其大小等于质点速率V对时间t的导数dvdt,称为切向加速度，用符号a表示Xa=dvdtX法向加速度描述质点的速度方向的时间变化率；切向加速度描述质点的速度大小对时间的变化率。法向加速度a和切向加速度a互相垂直，它们是加速度a的两个分量。nr它们是加速度a的两个分量。用它们可求得加速度a的大小22a+al-17anr和方向（用C与速度V之间的夹角6表示）tg=a/al-17bnr质点作一般曲线运动时，速度的大小在变化，方向也在变化，其加速度a也可分解为切向加速度a和法向加速度anr注：对一般曲线运动，式（
11、l-16a）中的R为曲线在该点的曲率半径。质点作直线运动时，速度的方向没有侧向变化，因而没有法向加速度，或者说，其法向加速度等于零。例13已知质点的运动学方程是23x=A+Bt+Ct+Dt其中A、B、C、D是有不同量纲的常量，t是时间，求它的速度和加速度，解.此质点是在直线OX上运动，它的速度：2V=dxdt=B+2Ct+3DtX再求导数，可得加速度a=dvdt=2C+6DtXX上式表明，该质点作变加速直线运动。例l-3a.已知质点的运动学方程是234x=A+Bt+Ct+Dt+Et其中A、B、C、D、E是有不同量纲的常量，t是时间，求它的速度和加速度，解.此质点是在直线OX上运动，它的速度23
12、V=dxdt=B+2Ct+3Dt+4EtX再求导数，可得加速度a=dvdt=2C+6Dt+12EtXX上式表明，该质点作抛物线性变加速直线运动。即，该物体运动时的加速度按抛物线的形状变化.质点运动时的功率是W,运动时所受的力是F,质点的质量是m,运动时的功率是P,所以，W=F*x,F=m*a,P=WdtXXXXXXW=m*a*x=m*a*fVdt=m*a*ffadtXXXXXXP=Wdt=m*a*/adt=m*a*vxx223=m*(2C+6Dt+12Et)(B+2Ct+3Dt+4Et)Pdt=m*(adt*v+a*vdt)xxxxxPdtx=adt*v+a*vdtmXxxxPdtX2=(vd
13、t)dt*v+(vdt)2Pdtdvdvx2=v+()m2dtdt设v=y=dvdt,PdtX=km把上面的方程化为下面的微分方程2yy+y=k解.设y=p(y),则y=p(dpdy),代入原方程得2y*p(dpdy)+p=kpy(dpdy)+p=k在y=O,pO时，分离变量，得y(dpdy)+p=kpzdpdy=kp-pyzdydpyk/p-p2yk-pdyp*dp两边同时积分，得dyp*dpf=fy2k-p2dy1dpf=-fy22k-P因为fdx(a+b)=lna+bb+C所以Iny=-Ink-p/2+C1所以22lny=-lnk+C+CX+InC123因为v=y,2-C X 2或 y=
14、C k*e /23Pdtm所以，2Pdt-CXX2V=C*eX32mX=JV dt= f C2P dt -C XX2*edt32m这样就得到一个功率P和位移X的关系式,利用这个关系式可以根据功率计算位移。注：解法2因为,d(a+b)=lna+bb+C所以2Iny=-In k-pIR+C1所以2lny=-C k 22+C12-C k2+InC 或 y=C *e33因为v=y,dt=km所以PdtX2-C()Pdt2mX2V=C*e+C()X33m这样根据瞬时功率就可求出质点在t时间内运动的位移X推导过程参见高等数学，北京大学出版社2005年出版，林益，李伶主编例18,求解微分方程2yy-y=解.
15、设y=p(v),则y=p(dpdy),代入原方程得2y*p(dpdy)-p=0py(dpdy)-p=0在yO,pr时，分离变量，得dpp=dyy,p=y*dpdy,dy=y*dpp,设dpdy=C1P=Cy1设dpdy=Cy=Cy11再分离变量并积分，得方程的通解为nIyI=nIyI+c所以，CX1Iny=Cx+lnC或y=Ce122若p=o,则y=C(C为任意常数)，因此原方程解可统一表为CX1y=Ce2第三部分例1.有一物体在空中运动,在t -t时间作匀加速直线运动此时，它在X轴的位移是X ,瞬时速度是V瞬时加速度是a此时，它在y轴的位移是O 在t -t时间作平抛运动,12此时，它沿X轴的
16、位移是Xtxltxl,瞬时速度是O,瞬时加速度O,瞬时速度是V,瞬时加速度是atx2tx2此时，它沿y轴的位移是y,瞬时速度是V,瞬时加速度是a2ty2ty2在t-t时间作变加速直线运动，23此时，它沿X轴的位移是X,瞬时速度是V,瞬时加速度是a3t3tx3此时，它沿y轴的位移是y,瞬时速度是V,瞬时加速度是aty3ty3ty3求这个物体运动的运动方程解；因为该物体在第一阶段做的是匀加速直线运动，中学物理曾讨论过质点作匀加速直线运动，它的运动学方程为2x=x+vt+at/2OO式中，a是质点的加速度，V是质点初始时刻(t=O)的速度，0称为初速度，X是初始时刻质点位置的坐标，0所以，这个物体在
17、t-t时刻的运动方程为012X=x+vt+at/2IOllll上式中X表示该物体的初始位置坐标，上式中X表示t-t时刻的位移,时刻的加速度, 10101上式中V表示t-t时刻的速度，上式中a表示t0110上式中t 表示t -t时刻的总时间，在对X 关于时间t 求微分2 *dt=(x +v t +a1 O Ol 12)*dt=v+at1011X位移对时间的微分就等于物体的瞬时速度V,即txlV=x*dt=v+attxl11011X位移对时间的二阶微分就等于物体的瞬时加速度a,即txla=v*dt=atxltxl11X位移对瞬时速度V的微分txlt 2)*d(v +a t )1011X*dv=(x
18、+vt+a1txl0111=x +t01(v +a01t )+t v d(v 1100+a1t+(+tv)(v+at1010OilX位移对瞬时加速度a的微分txl2X*da=(x+vt+at2)*da=at1txlOOl11111因为该物体在第二阶段做的是平抛运动，还讨论过质点作平抛运动，它的运动学方程为X=vt2122)y=H-gt/222式中，V是质点水平抛出的初速度，H是初始时刻质点矩原点的高度,1g是重力加速度，负号表示加速度g的方向与y轴的正方向相反。X位移对时间的微分就等于物体的瞬时速度V,V=vt*dt=vtx2121x位移对时间的二阶微分就等于物体的瞬时加速度atx2即，a=v
19、*dt=Otx2t22X位移对瞬时速度V的微分tx22X*dv=(Vt)*dv=vt/22tx212112X位移对瞬时加速度a的微分tx2X*da=(vt)*da=02t2112y位移对时间的微分就等于物体的瞬时速度Vty2即，2V=(H-gt2)*dt=-gty22y位移对时间的二阶微分就等于物体的瞬时加速度at2即，a=(-g)*dt=0t2y位移对瞬时速度V的微分t2222y*dv=(H-gt2)*dv=(H-gt2)*d(-g)=gtA2t22t222y位移对瞬时加速度a的微分t2y*da=02t2在第三阶段，物体在空中作变加速直线运动，变加速直线运动的运动方程如下x=A+Bt+Ct+
20、Dt3333其中A、B、C、D是有不同量纲的常量，t是时间，求它的速度和加速度.在第三阶段，物体在空中作变加速直线运动，变加速直线运动的运动方程如下23X=A+Bt+Ct+Dt3333其中A、B、C、D是有不同量纲的常量，上式中A表示该物体的初始位置坐标,上式中X表示t-t时刻的位移，上式中V表示t-t时刻的速度,323323上式中a表示t-t时刻的加速度，323上式中t表示t-t时刻的总时间，在对X关于时间t求微分32333232X*dt=(A+Bt+Ct+Dt)*dt=B+2Ct+3Dt133333X位移对时间的微分就等于物体的瞬时速度Vtx3a=v*dt=atx3t311X位移对瞬时速度
21、Vtx32*dv=(A+Bt+Ct3t333的微分3+Dt32)*d(B+2Ct+3Dt=A+Bt+(B+2Ct32+3Dt3)-B-2Ct2-3Dt32+Ct33+Dt*d(B+2Ct32+3Dt)3l+A-B+(B-2C)t32+(C-3D)t+Dt33(B+2Ct3+3Dtx位移对瞬时加速度a的微分x*da=(A+Bt+Ct+Dt)*d(2Ct+6Dt)3tx3333332 3=A+Bt+(2C+6Dt)-2C-6Dt+Ct+Dt(2C+6Dt)3 333332 3l+A-2C+(B-6D)t+Ct+Dt(2C+6Dt)3 333所以，物体在空中的位移X等于三个阶段位移关于瞬时速度的微分
22、的和再关于时间做积分后乘上三段速度的和，加上三个阶段位移关于瞬时加速度的微分的和再关于时间做二重积分后乘上三段加速度的和，再加上初始位移，即，X=X+(x*dv+x*dv+x*dv)*dtj1txl2tx23tx3v*(y*d)*dg)*dg*dt+v*(y*d)*dg)*dgdt+v*(y*d)*dg)*dg*dt)txl1tlt22t2tx33t3+(x*dv+x*dv+x*dv)*dta*(y*d)*dg)*dg*dt5+a*(y*d)*dg)*dg*dt+a*(y*d)*dg)*dg*dttxl1tltx22t2t33t3=X+023ft+(x+tV)(v+at)+vt+l+A-2C+
23、(B-6D)t+Ct+Dt(2C+6Dt)*dt1010011123333v*(y*d)*dg)*dg*dt+v*(y*d)*dg)*dg*dt+v*(y*d)*dg)*dg*dttxl1tlt22t2tx33t323at+0+l+A-2C+(B-6D)t+Ct+Dt(2C+6Dt)*dt113333ffa*(y*d)*dg)*dg*dt5+a*(y*d)*dg)*dg*dt+a*(y*d)*dg)*dg*dtBtxl1tlt22t2t33t3所以，物体在空中的位移y等于三个阶段位移关于瞬时速度的微分的和再关于时间做积分,加上三个阶段位移关于瞬时加速度的微分的和再关于时间做二重积分，再加上初始
24、位移,即，y=y+O(y*dv+y*dv+y*dv)*dt1txl2tx23tx3ff(y*da+y*da+y*da)*dt1txl2t23tx3V*(y*d)*dg)*dg*dt6ty22t2Oy=y+OV*(gt川*dg)*dg*dt由O22f(0+gt4+O)*dtff(O+O+O)*dt2=H+-gt502QH-g*t/2222y*dv=(H-gt2)*dv=(H-gt2)*d(-g)=gt/42t22t2222=(H-gt2)*dt=-gty22第四部分例1-4.已知质点的运动学方程是X=Rcoswty=Rsinwt(1)其中R和W是两个常量。求速度和加速度。解.此质点在XoY平面上
25、运动，将式(1)两式的两侧分别求平方后相加，得222X+y=R(2)这是以原点为圆心，R为半径的圆方程。质点沿此圆轨道运动，式称为此质点的轨道方程,质点的速度在直角坐标系的分量是V=dxdt=-Rw*sinwtX(3)V=dydt=Rw*coswtY速度的大小/22V=/V+v=Rw(4)MXy所以,法向加速度22a=v/R=Rw(5)n而切向加速度a=dvdt=O(6)r例l-4b.已知质点的运动学方程是x/a=Coswtyb=sinwt)其中R和W是两个常量。求速度和加速度。解.此质点在XoY平面上运动，将式(1)两式的两侧分别求平方后相加，得2222X/a+y/b=1(2)这是一个椭圆方
26、程，它的两个焦点Fl,F2之间的距离为2b,椭圆上任意一点到Fl,F2的距离和为2a(2a2c),设M(x,y)为椭圆上任意一点，根据椭圆定义知，IMFlI+IMF2I=2a(a0)即/22/%T/(+c)+y=2a-/(x-c)+y质点沿此椭圆轨道运动，式称为此质点的轨道方程，质点的速度在直角坐标系的分量是.V=dxdt=-aw*sinwtX(3)V=dydt=bw*coswtY速度的大小22a+b(4)所以,法向加速度而切向加速度a=dvdt=O(6)例2.求曲线x=a(t-sint)y=a(l-cost)(a0)在t=兀处的曲率解：因为x=a(l-cost),=asintzy=asint
27、=acostz所以得曲率IXyVIK(X)=222/3I()+M)I114aIsin(t2)|t=代入上式即可得所求的曲率为K=IAa.例l-4c.已知质点的运动学方程是x=a(t-sint)y=a(l-cost)(1)其中a和t是两个常量。求速度和加速度。解.此质点在XoY平面上运动，将式(1)两式的两侧分别求平方后相加，得222222X+y=a(t-sint)+a(l-cost)X +y =a(t-2tsint+sint+l-2cost+cost)+y=3(t-2tsint-2cost+2)222R=a(t-2tsint-2cost+2)222R=a(t-2tsint-2cost+2)R=
28、a/(t-2tsint-2cost+2)(2)这是以原点为圆心，R为半径的螺旋线方程。质点沿此螺旋线轨道运动，式称为此质点的轨道方程，质点的速度在直角坐标系的分量是V=dxdt=a-costXV=dydt=sinty速度的大小2PV=/V+v=Za-2acost+l所以,法向加速度而切向加速度a=dvdt=O(6)r例l-4d.已知质点的运动学方程是X=Rcoswt=QsinntY=Rsinwt=Pcosmt(1)Z=Psinmt=Qcosnt如上图1所示，质点A在坐标系XYZ中的坐标是(x,y,z),质点在平XOY上的投影是R,OR的长度是R,OR和X轴的夹角的角度是wt,t代表时间，质点在
29、平YoZ上的投影是P,OP的长度P,OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间，质点在平XoZ上的投影是Q,OQ的长度Q,OQ和Z轴的夹角的角度是nt,t代表时间，所以X=Rcoswt=QsinntY=Rsinwt=PcosmtZ=Psinmt=Qcosnt其中R、P、Q、w、m、n是六个常量。求速度和加速度。解.此质点在XYZ空间上运动，将式(1)两式的两侧分别求平方后相加，得222222X+y+z=R+Q+P(2)这是以原点为圆心，/222、/R+Q+p为半径的球面方程。质点沿此球面轨道运动，式称为此质点的轨道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是V=dxdt=-Rw*sinwt=Qn*cos
30、ntXV =dydt=Rw*coswt=-Pm*sinmt(3)YV =dzdt=Pm*cosmt=-Qn*sinntz举度的大小，I222222+v +v =Rw+(Pm*cosmt) =Qn+(-Pm*sinmt) =Pm+(-Rw*sinwt)V=或orV=I 2222v +v +v =Rw+(Qn*sinnt)=Qn+(Rw*coswt) =Pm+(Qn*cosntt)所以,法向加速度2a =v /R=2222Rw+(Pm*cosmt) Qn+(-Pm*sinmt)22Pm+(-Rw*sinwt)/2227 R +Q+P或2a =v /R=222222Pm+(Qn*cosnt)/22F
31、7R+Q+P而切向加速度a=dvdt=O(6)例l-4e.已知质点的运动学方程是xa=Rcoswt=Qsinntyb=Rsinwt=Pcosmt(1)zc=Psinmt=Qcosnt如上图1所示，质点A在坐标系XYZ中的坐标是(xa,yb,zc),质点在平XOY上的投影是R,OR的长度是R,OR和X轴的夹角的角度是wt,t代表时间，质点在平YOZ上的投影是P,OP的长度P,OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间，质点在平XoZ上的投影是Q,OQ的长度Q,OQ和Z轴的夹角的角度是nt,t代表时间，所以，xa=Rcoswt=Qsinntyb=Rsinwt=Pcosmtzc=Psinmt=Qcos
32、nt这是一个XMZ坐标轴可以伸缩的弯曲空间，伸缩度分别为a,b,c,其中R、P、Q、w、m、n是六个常量。求速度和加速度。解.此质点在XYZ空间上运动，将式(1)两式的两侧分别求平方后相加，得222222222222X+y+z=R*acoswt+R*bsinwt+P*csinmt或222222222222x+y+z=Q*asinnt+P*bcosmt+Q*ccosnt这是以蹲点为圆心,222222222-7R*acoswt+R*bsinwt+P*csinmt为半径叱椭圆球面方程。或222222222/Q*asinnt+P*bcosmt+Q*ccosnt为半径叱椭圆球面方程。或2.2222222
33、2-/R*acoswt+P*bcosmt+P*csinmt为半径的椭圆球面方程。或22222222-VR*acoswt+R*bsinwt+Q*ccosnt质点沿此椭圆球面轨道运动，式称为此质点的轨道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是=dxdt=-R*a*w*sinwt=Q*a*n*cosntv=dydt=R*b*w*coswt=-P*b*m*sinmt(3)Yv=dzdt=P*c*m*cosmt=-Q*c*n*sinnt速”的大小I222v=+v +v(-R*a*w*sinwt) +(R*b*w*coswt) +(P*c*m*cosmt)2(4)或所以,法向加速度(Q*a*n*cosnt)+
34、(P*b*m*sinmt)+(Q*c*n*sinnt)2222(-R*a*w*sinwt)+(R*b*w*coswt)+(P*c*m*cosmt)/R=-2222222coswt+R*bsinwt+P*csinmt2222(Q*a*n*cosnt)+(P*b*m*sinmt)+(Q*c*n*sinnt)/R=-2222222coswt+R*bsinwt+P*csinmt求曲线xa=Rcoswt=Qsinntyb=Rsinwt=Pcosmtzc=Psinmt=Qcosnt的曲率，解：因为x=-aRwsinwtzx=-aRwcoswt,y=bRwcoswt,y=-bRwsinwtzz=cPmcos
35、mt,z=-cPmsinmtz或者x=aQncosntzx=-aQnsinnt,y=-bPmsinmtzy=-bPmcosmt,z=-cQnsinnt,z=cQncosnt,所以得曲率xy-Xy+z-xz+yz-yzK(X)=I(4)+仅)+(z)I(-aRwsinwt)*(-bRwsinwt)-(-aRwcoswt)*(bRwcoswt)+(aRwsinwt)*(-cPmsinmt)-(-aRwcoswt)*(cPmcosmt)+(bRmcosmt)*(-cPmsinmt)-(-bRwsinwt)*(cPmcosmt)222I(-aRwsinwt)+(bRwcoswt)+(cPmcosmt)
36、或者Ixy-xy+z-xz+yz-yzK(x)=222I(X)+(y)+(z)II(aQncosnt)*(-bPmcosmt)-(aQnsinnt)*(-bPmsinmt)+(aQncosnt)*(-cQncosnt)-(-aQnsinnt)*(cQnsinnt)+(bPmsinmt)*(-cQncosnt)-(-bPmcosmt)*(cQnsinnt)222I(aQncosnt)+(-bPmsinmt)+(-cQnsinnt)而切向速度v=K(x)*dt=rI(-aRwsinwt)*(-bRwsinwt)-(-aRwcoswt)*(bRwcoswt)+(aRwsinwt)*(-cPmsinm
37、t)-(-aRwcoswt)*(cPmcOSmt)+(bRmcosmt)*卜CPmSinrnt)-(-bRwsinwt)*(cPmcosmt)222I(-aRwsinwt)+(bRwcoswt)+(cPmcosmt)或者v=K(x)*dt=rI(aQncosnt)*(-bPmcosmt)-(aQnsinnt)*(-bPmsinmt)+(aQncosnt)*(-cQncosnt)-(-aQnsinnt)*(cQnsinnt)+(bPmsinmt)*(-cQncosnt)-(-bPmcosmt)*(cQnsinnt)222I(aQncosnt)+(-bPmsinmt)+(-cQnsinnt)例l-
38、4e.己知质点的运动学方程是x=R(t-coswt)y=R(l-sinwt)(1)z=P(t-sinmt)或x=Q(t-sinnt)Y=P(I-Cosmt)z=Q(t-cosnt)如上图1所示，质点A在坐标系XYZ中的坐标是(xa,yb,zc),质点在平XOY上的投影是R,OR的长度是R,OR和X轴的夹角的角度是wt,t代表时间，质点在平YOZ上的投影是P,OP的长度P,OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间，质点在平XOZ上的投影是Q,OQ的长度Q,OQ和Z轴的夹角的角度是m,t代表时间，所以x=R(t-coswt)y=R(l-sinwt)z=P(t-sinmt)或x=Q(t-sinnt)
39、Y=P(I-Cosmt)z=Q(t-cosnt)其中R、P、Q、w、mn是六个常量。求速度和加速度。解.此质点在XYZ空间上运动，将式(1)两式的两侧分别求平方后相加，得222222222X+y+z=R(t-coswt)+R(1-sinwt)+P(t-sinmt)(2)或222222222x+y+z=Q(t-sinnt)+P(1-cosmt)+Q(1-cosnt)这是以原点为圆心，222222/R(t-coswt)+R(1-sinwt)+P(t-sinmt)或这是以原点为圆心，222222Q(t-sinnt)+P(1-cosmt)+Q(1-cosnt)质点沿此螺旋曲面轨道运动，式称为此质点的轨
40、道方程，质点的速度在空间坐标系的分量是=dxdt=R+Rw*sinwtv=dydt=-R*w*coswt(3)yv=dzdt=P+Pm*cosmtz或v=ddt=Q-Qn*cosntxv=dydt=Pm*sinmt(3)yv=dzdt=Q+Qn*sinnt速度的大小(4)所以,法向加速度(Q-Q*n*cosnt) +(P*m*sinmt) +(Q+Q*n*sinnt)2/R=(R+R*w*sinwt) +(-R*w*coswt) +(P+P*m*cosmt)222(t-coswt) +R (1-sinwt)22+P (t-sinmt)或2 a =v /R=而切向加速度a =dvdt=O222(
41、Q-Q*n*cosnt) +(P*m*sinmt) +(Q+Q*n*sinnt)/ 2222227 Q (t-sinnt) +P (1-cosmt) +Q (1-cosnt)(6)第五部分四维空间运动方程例l-4d.已知质点的运动学方程是X=Rcoswt=KsinutY=Rsinwt=Pcosmt Z=Psinmt=Qcosnt j=Qsinnt=Kcosut(1)如上图1所示，质点A在坐标系XYZJ中的坐标是(XMZJ),质点在平XOY上的投影是R,OR的长度是R,OR和X轴的夹角的角度是wt,t代表时间，质点在平YoZ上的投影是P,OP的长度P,OP和Y轴的夹角的角度是mt,t代表时间，质点在平ZOJ上的投影是Q,OQ的长度Q,OQ和Z轴的夹角的角度是
