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1、重难点专题OL建立空间直角坐标系常用建系的方法立体几何（向量法）建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一.所谓“建立适当的坐标系”,一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系1.（2023新高考数学全国I卷（第18题）如图，在正四棱柱48CD-A/C。中，AB=2,AAy=4.点,B2,C2,D2分别在棱Al,明,CC,OZ）上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.（1）证明：B2C2ZZA2D2；（2）点P在棱上，当二面角
2、P-4G-A为150。时，求&P.【详解】（I）以C为坐标原点，CQ,C8,CG所在直线为,y,z轴建立空间直角坐标系，如图,则C(O,O,O),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1),.B2C2=(0,-2,1),2D2=(0,-2,1),.,.B2C2A2D2,又不在同一条直线上，:.B2C2/A2D2.(2)设尸(0,2,4)(024),则AQ=(-2,-2,2),PQ=(0,-2,3-),D2C2=(-2AD，设平面P&G的法向量n(%，y，z),nA2C2=-2x-2y+2z=0nPC2=-2y+(3-)z=0令z=2,得y=3-2,x=4-l
3、,.,./7=(1,32),设平面A2C2D2的法向量机=(也C),mAC-,=-2a-2b+2c=0则-，mD2C2=-2a+c=0令a=l,得b=l,c=2,.m=(1,1,2),Hnin6C明64+-l)2+(3-)2112化简可得，2-4+3=0-解得2=1或=3,.尸(0,2,1)或1(0,2,3),.B2P=I.2. (2022天津统考高考真题)直三棱柱A8CA1BC中，AAi=AB=AC=ZAAy1AB,AC1ABtD为AIBl的中点，E为AA的中点，/为C。的中点.求证：EF7/平面ABC：求直线觇与平面CGO所成角的正弦值;求平面ACO与平面CeD夹角的余弦值.【答案】证明见
4、解析（2）1噜【分析】（I）以点4为坐标原点，AA、4、AG所在直线分别为X、y、Z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得直线房与平面CGO夹角的正弦值；（3）利用空间向量法Ur求得平面ACo与平面CG。夹角的余弦值.【详解】（I）证明：在直三棱柱ABCA4G中，AAtj平面AgG，且ACj_A8,则AG以点A为坐标原点，AA、as、AG所在直线分别为x、Z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A。)、3(220)、C(2,0,2),4(，)、4(，2,0)、G(0,0,2)、O(OJO)、石(1,0,0)、F易知平面ABC的个法向最为m=(1,0,0),
5、则所.?=(),故E户上m,EFa平面ABC,故所平面48C(2)解：C1C=(2,0,0),C1D=(0,1,-2),EZ?=(1,2,0),设平面CGo的法向量为=(,y,z3则八，M-C1D=yl-2z1=0、fEBU4取y=2,可得=(0,2,1),cos=p-i=-.因此，直线BE与平面CeP夹角的正弦值为短(3)解：AC=(2,0,2),/D=(0,l,0),设平面AiCD的法向量为v=(x2,y2,),则卜?二=2七+2=0,vAiD=y2=0wvI取“I,可得(LoT),则cs,则。为AAI中点,由直线4A与距离为2,所以BD=2AiD=,BD=2,.AxB=AB=y5f在Rt
6、ZXABC，.BC=yAB2-AC2=3,延长AC,使AC=CM,连接GM,由CM/A,CrCM=1C1知四边形ACMG为平行四边形,.CMA。，.CM平面ABC,又u平面A3C,.ClM1AM则在Rt4AGM,AM=2ACXxM=AyC,.AC1=y(2AC)2+AyC2,l.Rt4B1ClAC1=y(2AC)2+A,C2,BG=BC=B.AB1=(22)2+(2)2+()2=13,巫13又A到平面BCGM距离也为1,所以AB与平面BCC,l所成角的正弦值为J=13三、利用面面垂直关系构建直角坐标系5. （2022全国统考高考真题）如图，四面体ABC。中，AD工CD,AD=CD,ZADB=/
7、BDC,E为AC的中点.（1）证明：平面8即，平面ACQ；设Ae=%=2,ZACB=60。，点/在班）上，当人人?的面积最小时，求CF与平面9所成的角的正弦值.【答案】证明过程见解析B与平面9所成的角的正弦值为竽【分析】(1)根据已知关系证明AAE泾ACBO,得到AB=CB,结合等腰三角形三线合一得到垂百关系,结合面面垂直的判定定理即可证明；(2)根据勾股定理逆用得到破/OE,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【详解】(1)因为Af)=8,E为AC的中点，所以AC_LDE：在AABO和ACBQ中，因为AD=CD,ZADB=CDB,DB=DB.所以AAB叫aC30,所以A
8、B=C3,乂因为E为AC的中点，所以ACJ_3七；又因为0E,8Eu平面Ba,DEcBE=E,所以ACJ平面BE。，因为ACU平面ACQ,所以平面切%_!_平面ACQ.(2)连接石尸，由(1)知，ACj_平面8TO，因为所U平面切北),所以AC_L所，所以SAw=gACE/,当七EjLQ时，EF最小，即AAPC的面积最小.因为AABZ运ZXCBD,所以C3=AB=2,又因为NAC8=60。，所以JlBC是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=B因为AO_LC,所以。E=;AC=1,在aZ)R?中，DE2+BE2=BD2所以破上。以E为坐标原点建立如图所示的空间宜角坐标系E-
9、町2,则4(1,0,0),网,6),Q(0,0,1),所以4O=(T0,l),A5=(-l,J,0),设平面ABZ)的一个法向球为n=(x,y,z),则r,取y=L则=3,后3,n-AB=-x+j3y=0v7又因为C(TO,o)o,手，(，所以Cr二，岑梳.设“与平面4bd所成的角的正弦值为e（oe所以Sine=kOSCT7）=,所以B与平面丽所成的角的正弦值为竽.6. （2022年全国卷）如图，直三棱柱ABCA1BG的体积为4,二的面积为2忘.求4到平面A/C的距离;（2）设。为AC的中点，AAI=A8,平面ABC_L平面ABqA,求二面角A80C的正弦值.【答案】（l）【分析】（1）由等体
10、积法运算即可得解;（2）由面面垂直的性质及判定可得BC平面A88A,建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【详解】（L）在宜三棱柱A8CAR中，设点A到平面ABC的距离为九贝IJ匕-WC=；S2=当h=京小AA=vbcci解得=L所以点A到平面ABC的距离为0：(2)取AB的中点E,连接AE,如图，因为AA=A8,所以AEL13,又平面AyBCI平面ABBlAt,平面18Cc平面ABBlAi=AlBf且AEU平面ABAA,所以AE_L平面ABC,在直三棱柱ABCA蜴G中，84_L平面A6C,由BCU平面ABC,BCu平面A8C可得AE_L8C,BBjBC,又AE,叫U平面ABgA且相交，
11、所以BC工平面4叫AI,所以BCBA两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,由(1)得 AE =日 所以 AA=A5 = 2, 1B = 22,所以 BC = 2, 则 A(020),A (022),8(0,0,0),C(2,0,0),所以 AC 的中点 Z)(LL1),则 8。= (1/)，EA = (0,2,0),3C = (2,0,0),设平面ABQ的一个法向量/M = (x,y,z),贝小m BD = x+ y +z = 0 m BA = Iy = O可取 Z = (Lo,-1),设平面80C的,个法向量 = （c）,贝人n BD =。+。+ c = 0wBC = 2 = 0/
12、tnn11则COSM丽=H6=5,所以二面角A-8DC的正弦值为二等.四、利用图形中的对称关系建立坐标系7. （2016全国高考真题）如图，菱形ABCO的对角线AC与8。交于点O,A8=5,AC=6,点户分别在AD,CD,AE=CF=JEF交BD于点、H,将D叮沿折到DEF位置，OD=回.（1）证明：平面ABCQ：（2）求二面角B-AxA-C的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）2座.25【详解】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即利用线线垂直进行论证，而线线垂直的寻找与论证往往需要利用平面几何条件，如本题需利用勾股定理经计算得出线垂直（2）一般可利用空间向量的数量积
13、求二面角的大小，首先根据题意建立恰当的直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面的法向量，再根据向量数量积求出两个法向量的夹角的余弦值，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角的余弦值.FCF试题解析：（1）由已知得ACl8。，Ao=C。,又由AE=C尸得7R=右，故ACIlEF,因此AUCZEFLHD,从而防J.由AB=5,C=61do=JAB2-AO1=4.OHAF1由ACIlE/得二言二I.所以OH=I,”=OH=3DOAD4于是。”2+0“2=32+2=IO=Zy。2,故/”,O.又DH_LE尸,而OHEF=H,如图，以H为坐标原点，尸的方向为X轴的正方向，建立空间百.角坐标系”-z
14、,则W(0,0,0),A(-3,-l,0),(0,-6,0),C(3,-l,0),D(0,0,3),=(3,-4,0),AC=(6,0,0),AD,=(3,1,3).设2=(,y,zJ是平面ABD的法向量,A = O m-D, = 03x -4 V1 =0即(,3x,+y,+3zl =0可取戊二(4,3,-5).设。=(占,必，Z2)是平面CD,的法向M,nAC=06x7=0,、贝J,，即Q-2八，可取H=(O,-3,1)AZ)=O3x2+y2+3z2=O,/nvn-1475J-是cos(w,n)=.,=-=一=,75OVi25设二面角的大小为8,Sine=冬区.因此二面角8-。为-。的正弦值
15、是名画.2525点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破：第一，破建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标：第三，破“求法向量关，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关8. (2018年全国卷)如图，在三棱锥尸一ABC中，AB=BC=2旧PA=PB=PC=AC=A,。为AC的中点.（1）证明：Po_L平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M-QA-C为30,求PC与平面AAM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）立.4【分析】（1）根据等腰三角形性质得尸。垂直AG再通过计算，根据勾股定理得尸。垂直。仇最后根据线面垂直判定定理得结论；（
16、2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面FM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得“坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面弘M法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.【详解】（1）因为AP=CP=AC=4,。为AC的中点，所以。尸_LAC,旦OP=2J连结0B.因为AB=BC=也AC,所以AABC为等腰直角三角形，2且。8_LAC,08=；4C=2,由OP?+OB?=PB?知PO工OB.由OP_L08,OP_LAC知，Poj_平面48。.（2）E方法一:【通性通法】向量法如图，以0为坐标原点，。8的
17、方向为X轴正方向，建立空间直角坐标系O-Z.由已知得0(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP=(0,2,23)取平面PAC的法向吊OB=（2,0,0）.设M(,2-,0)(0,=0可取2=(G(。-4),疯?,一)所以CoS08力=26(,-4)由已知得COS08二走.23(t-4)2+3fl-+a222的1|_ B”以 213(。4)；+3片+/ - 24解得 = 7(舍去)，a = - .所以=又PC=(0,2,-26)，所以COSPC,”=虫.4所以Pe与平面PAM所成角的正弦值为立.4方法二:三垂线+等积法由(1)知PoJ_平面
18、ABC,可得平面RACJ_平面ABC.如图5,在平面ABC内作MN_LAC,垂足为M则MNJ.平面PAC.在平面PAC内作N尸J_AP,垂足为F,联结MF,则MF_LAP,故NMRV为二面角图5设MN=a,则NC=a,AJV=4，在RtZAFN中，FN=04一).在RtZXMfTV中，由a=*告(4-4),得a=4,则/M=2a=g.设点C到平面RAM的距离为小由匕ipc=%w,得叵42.924%,33343323解得人=JL则PC与平面M所成角的正弦值为立.4方法三:三垂线+线面角定义法Itl(1)知PoJ_平面48。，可得平面PACJ_平面ABC.如图6,在平面ABC内作MVJ_AC,垂足
19、为N,则MN_L平面PAC在平面PAC内作NrJ_AP,垂足为入联结M/，则MFJ_AP,故NMFTV为二面角4M-乃A-C的平面角，即NfRV=3（.同解法1可得MN=.图6在中，过N作NE尸C,在AMVM中，过N作NG_LRW,垂足为G,联结EG.在RfANGM中,NG=BNM=0&=迈.因为NEPC,所以NE=A=4-=.22333由RAJ平面RVW,可得平面AAM_L平面FMN,交线为FM.在平面MWN内，由NGj_RW,可得NG_L平面尸4W,则NNEG为直线NE与平面QAM所成的角.、设NEG=a,则Sina=黑=茎=坐，又NE尸C,所以直线PC与平面QAM所成角的正弦值为立.NE
20、443E方法四:【最优解】定义法如图7,取QA的中点儿联结C”,则CH=2L过C作平面PAM的垂线，垂足记为7（垂足T在平面PAM内）.联结W则NazT即为二面角M-QA-C的平面角，即NewT=30。，得CT=JL图7联结HT,则NCpr为直线PC与平面PLW所成的角.在RtZXPCT中，PC=4,CT=6所以SinZCPT=-.4【整体点评】（2）方法：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出,是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段：方法三：根据三垂线法找到二面角
21、的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦：方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解.五、利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系9：(2020年全国卷(理科)新课标I)如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.a44C是底面的内接正三角形，尸为。上一点，PomDO.6(1)证明：PA_L平面P8C；(2)求二面角3尸。一七的余弦值.4. (1)证明见解析；(2)工.5【分析】(1)要证明BA_L平面P8C，只需证明QAJ即可；(2)以。为坐标原点，OA
22、为X轴，ON为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平面PCB的法向量为，平面PCE的法向量为机，利用公式cos=上/L计算即可得到答案.nm【详解】(1) Itl题设，知%为等边三角形，设4石=1,则。=立，CO=BO=-AE=-,所以Po=显Do=立,22264PC=PO2+OC2=,PB=PO2+OB2=,44又A6C为等边三角形，则一处一二2。4,所以Ai=由，sin6023PA2+PB2=-=AB2,则NAP3=90，所以PA_LP3，4同理BAJ_PC，乂PCPB=P,所以PA_L平面PBC：(2)过。作QNBC交A8于点M因为PO_L平面A8C,以。为坐标原点，04为X轴，O
23、N为y轴建立如图所示的空间直角坐标系，设平面PCB的一个法向量为=(5,M, z),nPC = G由nPB = O-内 - y - 2zl = O-xl + 3yl -应ZI= O令玉=J,得Z=-l,y=O,设平面PCE的一个法向量为机= (/,%，Z2)/? n22 _ 2511cos=-故nm设二面角3PCE的大小为eIjIiJCOS9=.5【点晴】本题主要考查线面垂宜的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能力，数学运算能力，是一道容易题.10：如图，在空间直角坐标系O-XyZ中，已知正四棱锥P-A5。的所有棱长均为6,底面正方形48CD的中心在坐标原点，棱4D,BC平行于X
24、轴，AB,CD平行于y轴，顶点P在Z轴的正半轴上，点M,N分(1)求直线MN与PC所成角的大小；(2)求锐二面角A-PN-D的余弦值.5. (1)30：(2)11【分析】(1)首先建立空间直角坐标系，然后求出M,NtP,C点坐标，根据点坐标即可求出直线肋V与PC所成角的大小；(2)首先求出平面APN与平面AWO的法向量，根据二面角公式即可求出二面角APN。的余弦值.【详解】解：(1)如图，已知正四棱锥P-A8C。的所有棱长均为6,A(3,-3,0),3(3,3,0),C(-3,3,0),D(TT0),网(),0,3闾,设(py,zJ,TV(x2,y2,z2),由鬻嘿斗得丽T丸BN=*D,即(王
25、，凹，4_3人)=；(3,3,3戊)，所以阳=1,yl=-l,zl=22由(x2-3,y2-3,0)=(-6,-6,0),得W=L%=1故N(IJ0),所MN=(0,2,-2),PC=(-3,3,-3),所以Cos(MMPC)=叵吗=耳=在,/1232y32所以百.线MN与PC所成的角为30。：(2)因为ACjL平面P8。，设平面PB。的法向量4=(1,1,0),设平面BAN的法向量为=(x,y,z),Pz=卜,一3,-30)，PM=(I,1,-3),n PA = O , Z得nPN = 0由，31-3尸产=。，故=R在,a)，x+y-32z=0所以CoS6外=平出=叵/2TH故锐二面角A-PN-D的余弦值为MI11XB【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解几何体中线线角与面面角，属于一般题.
