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1、重难点专题02：用空间向量研究直线、平面的位置关系考点01：线线平行设直线的方向向量分别是。，则要证明4/4，只需证明6，即ci=kh(kR).1 .(多选)己知=p+l,0,2),=(6,2-l,2),若Gw则/1与的值可以是().A.2,；B.-,JC.3,；D.3,223226=(2+1)【详解】由i/人可设b=M，BP(6,2z-l,2)=(l+l,0,2),2/-1=0,解得=；,之=一3或2,2=2k故A,C都符合选项.故选：AC2.已知长方体COAISCa中，AB=4,4)=3,M=3,点S、P在棱CG、AA上，且ICSl=；ISGAP=2PAlt点R、。分别为A8、AG的中点.
2、求证：直线尸Q直线RS.【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得.【详解】以点。为原点，分别以D4、OC与的方向为小y与Z轴的正方向，建立空间百角坐标系.H则。(0,0,0)、A(3,0,0),C(0,4,0)、6(3,4,0)、A(0,0,3)、A(3,0,3)、C1(0,4,3),片(3,4,3),由题意知尸(3,0,2)、0(023)、S(0,4,1)XR(3,2,0),PQ=(-321),RS=(T2,1).PQ=RS又PQ,RS不共线，.PQ/RS.考点02：线面平行设直线/的方向向量是，平面的法向量是，则要证明/,只需证明。_L,即=0.3 .（多选）若直线/的方向向量为，平面。的
3、法向量为，能使/a的是（）A. a = (1,0,0), Zi =(0,-2,0)B. = (1,3,5), n = (1,0,1)C. a = (0,2,1), n = (-1,0,-1)D. a = (1,-1,3), = (0,3,1)【答案】证明见解析【答案】AD【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明，结合各选项中的向量，计算判断即可.【详解】若IUa,则g=0，对于A,.=（）,故A正确；对于B,.=6,故B错误；对于C,an=-,故C错误；对于D,g=0，故D正确.故选：AD.4 .如图，在四棱锥P-ABCo中，底面ABCQ为直角梯形，其中ADBC.AO_LA8,AO=3
4、,AB=8C=2,R4平面ABCz）,且=3,点M在棱PD上，点N为BC中点.若DM=2MP,证明：直线MN平面PAB.【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可.【详解】如图所示，以点A为坐标原点，以AB为X轴，AO为V轴，为Z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0,3),B(2,0,0),ZX0,3,0),C(2,2,0),(2,1,0),若DM=2MP,则M(Oj2),MN=(2,0,-2),因为。41.平面ABCD,AoU平面ABCf,所以AQ_LR4,又因为Az)IAB,PAAB=At尸AABu平面5,所以Ar)I.平面PAB平面Rm的其中一个法向量为D=(0,3,0),所以MN
5、AD=O,即Ar)LMN,又因为MNN平面PAB,所以MN平面PAB.考点03：面面平行若平面。的法向量为“，平面夕的法向量为V,要证夕，只需证口，即证5 .己知平面。的一个法向量为(3Z6,l+6),平面夕的一个法向量为(2+132%),若aH,则4=【答案】2【解析】【分析】由条件可得两个平面的法向量平行，然后可得答案.3A7T【详解】,解得；1 = 2.64+6=32故答案为：26 .在正方体48CZ)-AMGR中，M,M尸分别是CG,4G，GA的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面MNP平面A8。.【答案】证明见解析【分析】根据正方体的结构特征，以A为坐标原点建立空间宜角坐标系
6、，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面MNP平面AtBD.【详解】证明：如图，以A为坐标原点，AA，ACI，A。所在直线分别为X轴、y轴、Z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则有A(Lo,0)，8(1,1,1),0(0,0/)，,1,oJ,M10,1,；)。(。，；，。于是AB=(Ojl)，Ao=(T，0，1)，NM,PM=(Og,11显然有=5A。，PM=3A1B,所以NMAD,PMHAB,由NM/A1O,NMa平面A8。，AOU平面A8。，NM平面ABD,同理PM平面A8。，NM,PMu平面MNP,NMPM=M、所以平面MNP/平面A8。考点04：线线垂直
7、7 .设直线/的方向向量分别是则要证明/口心只需证明a，。，即0=0.设直线储2的方向向量分别为Z=(L2,-2),“(-2,3,M,若,则实数，等于()A.1B.2C.3D.4【答案】B【详解】因为所以“l6,则ah=(1,2,-2)(-2,3,m)=-2+6-2rn=0,解得tn=2.故选：B.8 .如图，ADJ.AB,ADlAC,ABlAC,AB=AC=AD=X,E,F分别是AB,的中点，M,N分别是BC,80的中点，证明：EhMN.【答案】证明见解析【分析】由题意，利用向量法，根据空间向量的基本定理，结合数量积证明垂直，可得答案.【详解】由题意，连接及)，如下图：MN=-CD=-(CA
8、+AD)=-(AD-AC)t222同理E尸=EO+O尸=(gA8+4O)+g(ACAD)=；(AO+ACAB),EFMN=AD-AC)AD+AC-d+ADAC-ADAB-ACAD+AC-AB由AD1AB,ADlAC,ABlAC,AB=AC=AD=X,则MN=O,故EF工MN.考点05：线面垂直(法一)设直线/的方向向量是,平面。的法向量是，则要证明/La,只需证明a，即a=.(法二)设直线/的方向向量是“，平面a内的两个相交向量分别为加、，若atn=O,则/_La.an=O9 .在正方体48CQ-AISGA中，直线AG与平面ABO交于点E.(2)若AE=JACf,求；1的值.【答案】(1)证明
9、见解析【分析】(D建立空间直角坐标系，利用向量法证得宜线AG_L平面(2)计算出AG，AE，由此求得，【详解】(1)设正方体的边长为1，建立如图所示空间直角坐标系，A(1,0,1),G(0,1,0),0(0,0,1),A(1,0,0),B(LLl),AG=(T,1,T),AO=(T,0,1),48=(0,1,1)，所以AGo=o,AG.A5=o,所以AG_LAzXAG_LAB,由于AoCA5=4，4。，45,所以AG，平面A/D.(2)连接AE,由于AGj平面人田,AEU平面ABO,所以AELAG.根据正方体的性质可知AAI，AG,在直角三角形4AG中，AG=J2,AG=G，所以！l=J6AE
10、,AE=,223所以AE=/图哼10.如图，正四棱柱ABCOA/8C/D中，AAl=2AB=4,点E在Ca上且CE=3EC.求平面BED的一个法向量;(2)证明：A/CL平面8EQ.【答案】(LT,2)(2)证明见解析【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用法向量的性质即可求解;(2)只需证明AC与平面BEQ的法向量共线即可.【详解】(1)如图所示:以O为坐标原点，射线。AocOA分别为工/逐轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系：。-02：依题知，O(0,0,0),8(2,2,0),E(0,2,l),C(0,2,0),A(2,0,4),则有。E=(0,2,1),D=(2,2,0),C=(-2
11、,2,-4),设平面BEf)的一个法向量为：=(x,y,z),则有2y +z = 02x+2y = 0,DE=0,即nDB=0令X=1,解得：y=-l,z=2故平面BED的一个法向量为：(1,-1,2)；(2)由(1)知,平面BEO的一个法向量为：n=(l-l,2),又AC=(-2,2,-4)=-2(1,-1,2)=-2n,所以AC与平面BED的一个法向量=(1,-1,2)共线，即可证明：A/C_L平面8EQ.考点06:面面垂直若平面的法向量为，平面的法向量为L要证a_L/,只需证即证wv=O.11 .如图，在四棱锥Q-ABCO中，四边形ABC。为矩形，AAPB是以NAPB为直角的等腰直角三角
12、形,平面平面A8CO.证明：平面PAr)，平面/NC.【答案】证明见解析.【分析】首先取AB的中点O,CD的中点M,连接O得到OM_LA5,根据平面R45J_平面ABa)=AB,得到QMJL平面尸A3,根据FA=P8,得到尸O_LAB，再以点。为原点，OP，OB，OM分别为x,y,Z轴建立空间立角坐标系，分别求出平面R4D和平面PBC的法向量M，2,根据加小=0,即可证明平面AAOJ_平面?BC.【详解】取A5的中点。，Co的中点，连接OM,则QMjLAB,又平面EAB_L平面ABCD,平面BABC平面ABCD=AB,所以QMJL平面尸A3,IPA=PB,所以PO_LAB,以点。为原点，OP，
13、OB,QM分别为X,y,Z轴建立空间门.角坐标系,如图所示：设AP=T4,AD=btMA(0,-a,0),B(OM,0),P(Ao,0),C(OM,b),D(0,-a,b),所以4D=(0,0),AP=(,0),BC=(0,0力)，BP=(a,-a,0)设加=(X,y,zj是平面PyA。的法向量，2=(9,必/2)是平面P8C的法向量,/Zl=O则由他A0=O,他AP=O,得V八axl+ayl=Oy=-l令玉=1,则_八，即阳=(1,-1,0),Z=0bz?=0y2=1.同理，八，令W=L可得八，即2=(,o)ax2-ay2=0-z2=0因为百1小=I-I=0，所以平面PAZ)J平面P8C12
14、 .如图所示，ZiABC是一个正三角形，ECJ_平面ABC,BOIICE,且CE=CA=28。，M是EA的中点.求证：平面。4-L平面Ee4.E【答案】证明见解析【分析】建系，分别求平面区4、平面EeA的法向量，利用空间向量证明面面垂直.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=I,则C(0,0,0),a(3,1,0),8(020),(0,0,2),D(0,2,l),所以EA=(G,1l2),CE=(0,0,2),EO=(0,2,7),设平面ECA的一个法向信是w1=(,1,ypz1),nlE=)xl+0x2=0,所以“J%,所以平面QEAJ_平面ECA.
