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1、1.2空间向量基本定理盥课前预习1素养启迪手知识梳理,L空间向量基本定理(1)定理条件如果三个向量a,b,cxxx,那么对任意一个空间向量p结论存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc基底与基向量如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是pIp=xayb+zc,x,y,zR,这个集合可看作由向量a,b,C生成的，我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.问题U如果Eb,c是空间中的一个基底,则a,b,c会有零向量吗?答案:不会,如果a,b,c有零向量,则a,b,c一定共面,不会构成基底.问题2如果a,b,c是空间中的一个基底,X,y,zR
2、,xayb+zc=O,则X,y,z一定全为0吗？答案:X,y,z一定全为0.2.空间向量的正交分解(D单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是L那么这个基底叫做单位正交基底,常用i,j,k表示.(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.问题3空间中任意三个不共面的单位向量,都可以构成单位正交基底吗？答案:不是.三个基向量必须两两垂直,且长度都为1,这个基底才叫做单位正交基底.套预习自测,1 .设向量a,b,c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是(C)A.a2b,3a-b,0B.a,b,abC.3a+b,a+b,cD.a+b+
3、c,ab,c)解析:A中，由于0与任意两个向量共面,不能作为基底;B中，a+b=a+b,故三向量共面,不能作为基底;D中，a+b+c=(a+b)+c,故三向量共面,不能作为基底.2.如图,在平行六面体ABCD-ABCD中,AB=afAD=biAA1=Cf则用基底a,b,c表示DlB为(C)ABy ACf 40与ZB, AC, 4E均不能构成空间的一个基底,则下列结论中 正确的有(ABC )A.a+b-cB.a+b+cC.a-b-cD.-a+b+c解析:D1B=AB-AD1=AB-(D+1)=a-(b+c)=a-b-c.3.(多选题)已知A,B,C,D,E是空间五点，且任何三点不共线.若TTTA
4、. ABfADy不能构成空间的一个基底B. ACiADi族不能构成空间的一个基底C. BCyCDi而不能构成空间的一个基底D. AB,CDy0能构成空间的一个基底解析:因为几,ACiG与,AC,晶均不能构成空间的一个基底,且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线,所以空间五点A,B,C,D,E共面,所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底,所以A,B,C正确,D错误.4 .对于不共面的三个向量a,b,c,若a=xa+yb+(z-3)c,则X=,y=,Z二.X=1,解析：因为a=xa+yb+(z-3)c,所以对应系数相等可得y=0,解得z-3=0
5、,x=l,y=0,z=3.答案：1035 .在三棱锥D-ABC中，各个棱长都相等,M,N分别是BC,AD的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值是.解析:不妨设三棱锥D-ABC的棱长为1,AB,ACiG两两之间的夹角为60,又京=G4+品),国三G-丘设心,扇的夹角为,则ABAC=AB1Ccos60同理ABD=j,AC40二点11AMCN=-(AB+AC)(-AD-AC)22=|(AD-ABACACAD-AC2)TlJTTNllTTTTl/oM=(AB+AC)=jyJAB2+AC2+2ABC=jl+1+l=y,ICW=JGG-晶)2=AD2+AC2-ADC=J+1-潜,1则COS。=人Y二-
6、史片4MCN43故异面直线AM与CN所成角的余弦值为|.答案：|殴课堂探究素养培育置探究点一J基底的判断例1设X=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c)是空间的一个基底,给出下列向量:a,b,x;b,c,z;(3)x,y,a+b+c).其中可以作为空间的基底的有()AI个B2个C.3个D.0个解析：因为x=a+b,所以a,b,X共面,错误;b,c,Z不共面,正确;X,y,a+b+c不共面,正确.故选B.8方法总结判断基底的基本思路及方法基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底；若不共面,则能构成基底.方法:如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另
7、外的向量线性表示,则不能构成基底.假设a=bc,运用空间向量基本定理,建立入，U的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.针对训练下列能使向量向,MB,靛成为空间的一个基底的关系式是()ITITIT.OM=iO+iOB+iOC333B. MA=MB+MCC. OM=OA+OB+OCD. MA=2MB-MC解析:对于选项A,由晶二xA+yd+z辰(x+yz=l)=M,A,B,C四点共面,得扇1,MB1前共面;对于选项B,D,可知后,MBy共面,故选C.置探究点二用基底表示向量例2在四面体OABC中,M是OA的中点,G是AABC的重心,试用基向量。力,OB,OC表示向量
8、MG.解:如图所示,连接AG并延长交BC于点D,则D为BC的中点,且前三G+品t).因为G为aABC的重心，T2TITT所以4G-a=i(4B+C).33又因为旗二法-6AC=OC-OAf所以品(+i4C)J(-2CM+OB+OC).33又因为M为OA的中点，所以八二TOk所以J-薪=i(-2tM+00C)+-(M32ITITIT=-iO+iOB+iOC.633g方法总结用基底表示向量的步骤定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.找目标:用确定的基底（或已知基底）表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
9、下结论:利用空间向量的一个基底a,b,c可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.针对训练在平行六面体ABCD-ABCD中，设AB=afAD=b,AA1=C1E,F分别是AD1,BD的中点.用向量a,b,c表示D1B,EF;(2)若DIF=Xa+yb+zc,求实数x,y,Z的值.解：如图,连接AC.TTTD1B-D1D+DB-AA1-AB-AD-a-b-cf靛反+配三品=TR+G)+G4+G)三/WR*Wc(2)0；*(D：D+D；B)=|(一刀1+。；B)W(-c+a-b-c)-c,又Dl产二xa+yb+zc,所以x-,y=-,z=-l.置探究点三
10、,利用空间向量基本定理证明线面位置关系例3如图,在平行六面体ABCD-AB，CD,中,E,F,G分别是V,D),L的中点,请选择恰当的基底证明：平面EFG平面ABC.证明：取基底44,G.因为诟二产。+D,G=AAf+i4,AB,=AB+AA,=2FG,所以启/夕，又FG,AB无公共点，所以FGAB.又FGa平面ABC,AB,U平面ABC,所以FG平面ABC.同理可得EG平面ABzC,又FGEG=G,FG,EGU平面EFG,所以平面EFG平面ABC.g方法总结合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量
11、的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明.J针对训练如图所示，已知AADB和aADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD,ZBAC=60o.求证:BDJ平面DC.A证明：不妨设AD=BD=CD=1,则B=C=2.取基底ABfADyAC,=45o,=60o,因为AC=(AD-AB)AC=ADAC-ABACy又G品二IGll品IeOS450=l2y-l,ABACAB1Ccos60o=22=1.所以晶AC=Of即
12、BDlAC.又因为BDI.AD,ACAD=,AC,ADu平面DC,所以BDJ_平面ADC.好探究点四,求两直线所成的角例4在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是菱形，NADC=60。，AC与BD交于点O,EC_L底面ABCD,F为BE的中点,AB=CE.求证:DE平面ACF;求异面直线EO与AF所成角的余弦值.证明：设AB=CE=I,CD=afC=b,CE=cf选择a,b,c为基底，则a=b=c=l,=90o,=120o.0Z=C-CD=c-a,C=(C+C)(b+c),Ol=CDC=a+b,所以法二2井-即Z,CF,21共面.又DEa平面ACF,CF,CAU平面ACF,CFCA=C,所以DE
13、平面ACF.解:因为访二而-&胃(a+b)-c,AF-CF-CA=-(b+c)-(a+b)=-a-b+-c,222-r=所以E0尸二二，归。|二JA川二1,827所以cos-EOAF120所以异面直线EO与AF所成角的余弦值为呼.8方法总结求两异面直线的夹角，可转化为求两直线的方向向量的夹角.由两个向量的数量积定义得cos=R,求的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出的余弦值,进而求a,b的大小,在求ab时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出ab的值.异面直线AB,CD的夹角Q(0,式，而,cB0,n,故=ABf(或=Ji-ABfCD.J针对训练如图,在三棱柱
14、ABC-A1B1C1,底面ABC为正三角形,侧棱垂直于底面,ABM,AA1=6.若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()A13D213A.D.1313C皿叵1326解析:设4B=a,4C=b,44=c,则a,b,c构成空间的一个基底,所以AC1=AC+CC1=b+cf则 COS4；E,急二13力；E（b+c）_10_AEAC1IWCIlb+C5213所以异面直线A1E与AG所成角的余弦值为普.故选A.置探究点五,求线段的长度例5如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,NADC=60,PA_L平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.j4.V.dBC解：因为
15、在平行四边形ABCD中，NADC=60,所以NBAD=120.又PAJ_平面ABCD,所以PAAB,PAAD,选择b4,AD,AP为基底,=3,I筋=4,AP=6f=90of=120o.PC=AC-AP=AB+AD-AP,所以IPCI=y(AB+AD-AP)2=Ji2ad2+ap2+2ABad-2abap-2adap=j9+1636+234(-)-0-0二7,即线段PC的长为7.g方法总结求两点间的距离或线段长度的方法将此线段用向量表示.用其他已知夹角和模的向量表示该向量.利用IaI二必,通过计算求出a,即得所求距离或线段长度.针对训练如图,在120。的二面角a-1-B中,Al,Bl,ACu,
16、BDc,且ACJ_AB,BDAB,垂足分别为A,B,已知AOAB=BD=6,试求线段CD的长.解：因为ACj_AB,BDlAB,所以乙AB=O,BDAB=O.又因为二面角-AB-B的平面角为120,选择CAiABiBD为基JfCA=AB=BD=6y=90o,=60o所以CD2=IcB2=(CA+AB+BD)2=CA2+AB2+BD2+2(CAAB+CABD+BDAB)=362+262cos60=144,所以线段CD的长为12.套课堂达标,1 .若0,A,B,C为空间四点,且向量6OB,后不能构成空间的一个基底,则(D)A. OAiOBy儿共线B. OAf而共线C. OBi(共线D. 0,A,B
17、,C四点共面解析：由OBf展不能构成基底,知晶,后三向量共面,所以0,A,B,C四点共面.2 .在正方体ABCD-A1B1C1D1,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是(B)A.重合B.垂直C.平行D.无法确定解析:连接GE（图略），则AC1=AB+AD+AAliCE=CC1（EAA1-AB.设正方体的棱长为1,所以AC1CE=（AB+ADAA1）（4冬-18孕。）二0-；-0+0-0弓+1-0-0=0,故71ZjC,即AG与CE垂直.3 .如图所示,在三棱锥P-ABC中,M为线段BC的中点、,AM=xPA+yPBzPCf则x+y+z=.解析:以易,PBf晶为一个基底，
18、则薪二(AB+AC)=-(PB-PA+PC-PA)=PA+-PB+-PCf2222所以X=-I,y=z=,x+y+z=0答案：04 .如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形,且NAAD=NAIAB=60。,AA尸2,则线段AC1的长为.解析:因为22ACl=(BFC+CC1)2=(AB+AD+AA1)2=AB2+AD2+AA1+24B/0+2AB1+2D1=l+l+4+0+2l2cos60o2l2cos60二io,所以IaZIl=1U,即线段AC的长为1U.答案:同殴课时作业选题明细表知识点、方法题号基底的概念1,5用基底表示向量237,8判断和证明线面关系
19、4XXX10,13,16求两条直线所成的角9,11综合6,12,14,15,17基础巩固1 .已知a,b,c是空间的一个基底，则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是（D）A.2aB.2bC.2a+3bD.2a+5c解析：由于a,b,c是空间的一个基底，所以a,b,c不共面,在四个选项中，只有2a+5c与p,q能构成基底.2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是四边形BB1C1C的中心,且l=a,4B=b,AC=c,则等于（D）ala+lb4cB. -a-+-c222C. -a+-c222D. -a+-c222解析:连接AB（图略），则4；D=IG4；B+4、i）404；4+4
20、良+4、1）二亭+抄3.3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面AC的中心,若族=4%+x+yG,贝Jx,y的值分别为（C）A.1,1B.1,1C.,D.-,1222解析:族三（R+启）三（R+R+6+G）=R+射+：启所以=,yg.4 .如图所示,在正方体ABCD-AlBCDl中,O是底面正方形ABCD的中心,M是DDl的中点,N是AB的中点，则直线ON与AM的位置关系是（B）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.无法判断解析:因为薪=G+2易1，加二oR+/W+励+R+射二-射+R,设IABI=a,则薪ON=(ADAA1)(TG+41)=-AD2+ADAA1-AA1D+yi1
21、2=-+=0,故加J_R即ONAM.5 .(多选题)设a,b,c是空间一个基底，下列选项中正确的是(BC)A.若aJLb,bc,贝!jacB.a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.a+b,b+c,a-c一定能构成空间的一个基底解析:a_Lb,bc,则a,c所成角不一定为A错误;若a,b,C共面,则不能构成空间的一个基底,B正确;根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,C正确;a+b=(b+c)+(a-c),故a+b,b+c,a-c共面,不能构成空间的基底向量,D错误.6.
22、(多选题)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=P03,G是aPAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点，且BE：EC=PF：FB=I：2,则下列说法正确的是(ABD)A.EGlPGB.EGlBCC.FGBCD.FGEF解析:设Pa=a,PB=b,PC=c,则a,b,c是空间的一个基底,ab=ac=bc=0,取AB的中点H,连接PH,则近=2而=X工(a+b)+,33233TTTII2IlllTTTEG=PG-PE+-b-b-c=-b-c,BC=POPB=cf,3333333FG=PG-PF=-a+-=ia,3333EFPF-PEo-(-c+)=-,33333所
23、以启诟二0,A正确;启品二0,B正确;启#入立(入R),C不正确；FG前二0,D正确.故选ABD.7 .如图,在长方体ABCD-ABCD中,。为AC的中点.用筋,ADf。入表示OC1=.解析：由向量的加法运算法则得,OC1OA1+AC1OA1+AD+AB.答案:OA1+AD+AB能力提升8 .正方体ABCD-A,BC,D,中,0,0力O3分别是AC,AB,AD的中点，以AOlfAO2iAO3为基底,C,=x01+y102+zyi03,则x，Z的值分别是（八）r 2 2 2D. 2, 2, 2解析:如图所示,因为AL=AB-AD+AA,=(4B+40)+(AB+4)ADAA,)二AO1+AO2+
24、AO3i且4C=xAO1-yAO2+zAO3,所以x=y=z=l.9 .已知三棱柱ABC-ABG的侧棱与底面边长都相等,A在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CG所成角的余弦值为（B）解析:设通刊AC=byAA1=ctBC的中点为D,则平面ABC,所以AJ)J_AB.设三棱柱的各棱长均为1,则Ia=IbI=ICI=1,且=60o,所以4二元)-。Ig(a+b)-c,所以AlOAB=(ab-c)a=0,解得ac=,4所以cos=-=4acIxl4所以异面直线AB与CG所成角的余弦值为生410 .如图，已知PAL平面ABC,NABC=I20,PA=AB=Be=6,则PC等于B解析:因
25、为=易+薪，所以|而|2=(PA+AB+BC)2=PA2+AB2+BC2+2PAAB+2PABC+2ABBC=36+36+36+0+0+2ABBCcos60o=108+266=144.所以PC=12.答案：1211 .在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1,NBCA=90。，AA尸2,则cos=.解析：选择C,CBiCC1为基底，因为CA=CB=1,NBCA=90,所以NABe=45。，JWWfiCB=BACcos(180o-ZABC)=21Xcos135二-LXBTlCC1=O,BB1CB=OfBB1CZI=4,所以扇1=(R4+BB1)(CB+CC1)=BACB+BACC1+BB
26、1CB+BB1CC1=-1+0+0+4=3.又jBA11ICB11=65=30,所以cosB1,CBJ-篇一.答案粤12 .棱长为m的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是,线段EF的长度为.解析:设4B=a,AC=b,AD=C,则a,b,c)是空间的一个基底，所以IaI=IbI=ICI=m,ab=ac=bc=m2.因为E3tT=(ab)-c,所以E尸a2+-ab-ac=,2222扁=JGa+*23,TTTT12!匚匚I、IrULxEFAB2m2所以cos-=IEFIiABlmm2所以异面直线EF与AB所成的角为E4答案：；争13.在正四面体AB
27、CD中，棱长为a,M,N分别是棱AB,CD上的点,且MB-2AM,CNgND,求MN.解:MN=MB+BC+CN7-*TTITT=-AB+(AC-AB)+i(AD-AC)33ITIT2-=-AB+-AD-ACf333所以嬴MN=(-AB-AD-Acy333JAB2-ADAB-ABACACAD-AD2-AC2999999_121222.22.12.42a-a-a+-a+-a+-a999999故IMN=MNW-ya.即MN=a.314.如图所示,在正方体ABCD-ABCD中,棱长为1,E,F分别为BB1,BC的中点.(1)求直线DlC和BIC的夹角;求证：AG_LEF.(1)解:设/B=a,AD=
28、bfAA1=Cf则R二a-c,|0；C=,BC=AD=AD-AA1=b-ctBC=2.TT所以DlCB1C=(a-c)(b-c)=ab-ac-bc+c2=0-0-0+l=l.cos:乎2D1ClB1C222又O,所以g,所以直线D1C与B1C的夹角为今(2)证明：因为/C=a+b+c,B；cg(b-c),所以Ac1EF=(a+bc)(b-c)=|(ab-ac+b2-bc+bc-c2)(0-0+l-0+0-l)=0,所以所以AC1EF.应用创新15.（多选题）如图,一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-ABCD,其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60,下列说法中正确的是（
29、AB）A. ACl=66B. AC11DBC.向量Ae与必1的夹角是60D.BDI与AC所成角的余弦值为当解析:因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60,所以/171AB=AA1AD=ADAB=66cos60=18,(AA1+AB+AD)2=IAA1AB2+AD2+2AA1AB2ABAD+2AA1AD=36+36+36+3X2X18=216,则C1=AA1+AB+AD=66,所以A正确；AC1DB=(AA1+AB+AD)(AB-AD)=AA1AB-AA1AD+AB2-ABAD+ADAB-AD-0,所以B正确；显然，ZAAJ)为等边三角形，则NAAj)=60.因为且向量D与R
30、L的夹角是120,所以B；C与1的夹角是120。，所以C不正确；因为薪I=G+。/欣AC=AB+AD,BD1AC=(AD+AA1-AB)(B+D)=36,所以cos所以D不正确故选AB.BD1AC6263616.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，NBAD=NBAA尸NDAA尸60。，AB=2,AD=2,AA尸3,AC与BD相交于点0,则OAf解析:由题图可得,OA1=AA1-AO=AA1-AD-AB),2所以。&AA1AD+AB)2T2ITAA1+-AD2+-AB2-AA1AD-AA1AB+-ABAD144112=9-4+i4-3X2X工3X2i+-2X2-=6,442222所以
31、|。111二访答案:连17.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P,Q,R分别在AB,CC1,(1)用i,j,k表示,T?;(2)设APQR的重心为G,用i,j,k表示法；(3)当R时，求a的取值范围.解:(1)=+BC+=(l-a)+AD+aCC1=(l-a)i+j+ak,玲二曲+。1+4；R=-a6+R+(l-a)/1=-ai+k+(ba)j(2)ZJG=Z+C+QG=i4+aCC1+(QP)=i+ak+(a-l)i-j-ak+-ai+k(l-a)j=(a+l)i+(a+l)k-(a+l)j(3)因为启，法，所以是DG=Of又命二G+6g二血+Ad+6g-s.A1D1DD1+DG=aj-k+(a+l)i+(a+1)k-(a+l)j=(a+l)i+(a-2)k(2a-l)j,所以病Z)G=i(a+l)ii(a-2)k-(2a-l)j-(a+l)ii(a+l)33333k-(a+l)j)=-(a+l)2+(a-2)(a+l)-(2a-l)(a+l)=g(a2+2a1+a2-a-2-2a2-a+l)=0,即对任意Oal,都有RGLOG,即a的取值范围为0aL
