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1、2. 2.3直线的一般式方程或课前预习J素养启迪手知识梳理,直线的一般式方程直线的一般式方程关于X,y的二元一次方程Ax+By+C=O(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.(2)二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合组成一条直线.在平面直角坐标系中,任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线;反之,直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示.叁预习自测,1 .过点(T,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为（八）A.-2y+7=0B.2x+
2、y-l=0C.-2y-5=0D.2x+y-5=0解析:设与直线-2y3=0平行的直线是-2y+c=0(c3),代入点(-1,3)得T-6+c=0,得c=7,所以直线方程是x-2y+7=0.2.若方程Ax+By+C=O表示直线,则A,B应满足的条件为(D)A.A0B.B0C.AB0D.A2+B2O解析:A,B不能同时为0,则A2+B20.3 .若bc0,则直线ax+byc=0的图象只能是（D）解析：由题意,b0,将方程axby+c=0转化为尸-9一三易知OD4 .（多选题）（2022云南昆明高二期中）已知直线1:x+y-2-a=0在X轴和y轴上的截距相等,则a的值可以是（ABCD）A.0B.1C
3、.-lD.-2解析:令尸0,得到直线在X轴上的截距是2+a,令x=0,得到直线在y轴上的截距为2+a,所以不论a为何值,直线1在X轴和y轴上的截距总相等.5 .已知mR,直线1:mx-y+l-2m=0过定点Q,则点Q的坐标是若点P（3,2）,当直线PQ与直线1的夹角为15。时,m的值为解析：l:mx-y+l-2m=0变形为y-l=m（-2）,故过定点Q（2,1）,直线PQ：F=*,即x-y-l=0,直线PQ的斜率为1,倾斜角为45,所以直线1的倾斜角为30或60,所以m=tan30o=g或m=tan60o-y3.答案：（2,1）/或5豌课堂探究二素养培育好探究点一,求直线的一般式方程例1根据下
4、列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.斜率是3,且经过点A（5,3）;斜率为4,在y轴上的截距为-2;经过A(T,5),B(2,T)两点；(4)在X轴、y轴上的截距分别是-3,T.解：(1)由点斜式方程可知,所求直线方程为丫-3二百-5),化为一般式方程为V3-y+3-5V3=0.由斜截式方程可知,所求直线方程为y=4-2,化为一般式方程为4-y-2=0.由两点式方程可知，所求直线方程为胃二2，一1-52-Ll)化为一般式方程为2x+y-3=0.(4)由截距式方程可得，所求直线方程为彳+-1,-3-1化为一般式方程为x+3y+3=0.g方法总结求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形
5、式一般作如下设定：X的系数为正；系数及常数项一般不出现分数;一般按含X项、含y项、常数项顺序排列.易错警示要注意斜率不存在或者为0时的情况.针对训练根据下列条件分别写出直线的方程.经过两点A(5,7),B(l,3);经过点(-4,3),斜率为-3;经过点(2,1),平行于y轴；(4)斜率为2,在X轴上的截距为1.解：(1)由两点式方程得分二分，即-y2=0.(2)由点斜式方程得y-3=-3(x4),即3xy+9=0.(3)由题意知x=2,即-2=0.(4)由点斜式得y=2(-l),即2x-y-2-0.好探究点二J直线方程几种形式的相互转化及其应用例2设直线1的方程为2x+(k-3)y-2k+6
6、=0(k3),若直线1的斜率为-1,则k=;若直线1在X轴、y轴上的截距之和等于0,则k=.解析：因为直线1的斜率存在,所以直线1的方程可化为y=-2,kS由题意得-W=T,解得k=5直线1的方程可化为三+白1,k-32由题意得k-3+2=0,解得k=l.答案：51g方法总结(1)直线的一般式方程Ax+ByC=O中要求A,B不同时为0.由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了)；反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程,注意斜截式、截距式方程的适用条件.解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式
7、方程化为斜截式,利用直线的斜率和在y轴上的截距作出判断.针对训练设直线1的方程为(al)xy2-a=0(aR),若1不经过第二象限,则实数a的取值范围是.解析:将直线1的方程化为y=-(a+l)x+a-2,财0,或=0,所以WL(Q-203一20,答案：(-8,-1后探究点三J由直线的位置关系求方程例3已知直线1的方程为3x+4yT2R,求直线的方程,使1满足：(1)过点(7,3),且与1平行；过点(-1,3),且与1垂直；(3)1与1垂直,且1与两坐标轴围成的三角形面积为4.解：(1)法一1的方程可化为y二-9+3,4所以1的斜率为-未4因为1与1平行,所以r的斜率为-未4又1过点(-1,3
8、),所以由点斜式得直线r的方程为y-3=V(x+l),4即3x+4y-9=0.法二由1与1平行,可设1的方程为3x+4y+m=0(mT2),将点(-1,3)代入得m=-9.所以直线1的方程为3x+4y-9=0.法一1的方程可化为y=x+3,所以1的斜率为4由1与1垂直,得1的斜率为，又1过点(-1,3),所以由点斜式得直线r的方程为y-3(x+l),即4-3y+13=0.法二由1与1垂直，可设1的方程为4-3y+n=0,将点(-1,3)代入得n=13所以所求直线1的方程为4-3y+13=0.法一1的方程可化为y=f+3,所以1的斜率为。因为rj_i,所以设1在y轴上的截距为b,则直线1的方程为
9、y=+b,令y=0,可得1在X轴上的截距为-；b.由题意可知，围成的三角形面积丹b(b=4,所以b=孚所以直线1的方程为4146-e446y寸+丁或yw即4-3y+46=0或4-3y-4V6=0.法二由1与1垂直,可设直线1的方程为4-3y+p=0,则1在X轴上的截距为-3在y轴上的截距为与43由题意可知，围成的三角形面积得p-46.所以直线1的方程为4-3y+4V=0或4-3y-4V=0.g方法总结过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程.可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=O(A2+B
10、2O)平行的直线方程可设为Ax+By+C尸0(ClC),再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0(A2+B20)垂直的直线方程可设为B-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.易错警示利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率时要注意斜率不存在或者为0的情况.J针对训练(1)过点(1,0),且与直线-2y-2=0平行的直线方程是()A.-2y-l=0B.-2y+l=0C.2x+y-2=0D,x+2y-l=0(2)直线1过点(T,2),且与直线2-3y+4=0垂直,则1的方程是A.3x+2y-l=0B.3x+2y+7=0C.2-3y+5=0D.2-3y+8=0解析：(1)
11、所求直线与直线-2y-2=0平行,故所求直线的斜率k=i又直线过点(1,0),利用点斜式得所求直线方程为y-O=(-l),即-2y-l=0.故选A.(2)由直线1与直线2-3y4=0垂直,可知直线1的斜率是-1,由点斜式可得直线1的方程为y-2=-(xl),即3x+2y-l=0.故选A.好探究点四,根据直线的位置关系求参数值(取值范围)例4(1)直线l1(2m2-5m+2)-(m2-4)y5=0的斜率与直线l2：x-y+l=0的斜率相同，则m等于()A.2或3B.2C.3D,-3若直线ax+2y+l=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a的值为()12A.1B.-C.-D.-233解析：直线L的
12、斜率为当炉,直线L的斜率为1,则25：+2二,即2m-5m+2=m2-4,m2-5m+6=0,解得m=2或3.当m=2时，2m2-5m+2=0,-(m2-4)=0,则m=2不符合题意，故m=3.故选C.(2)由题意，得(-3X(T)=T,解得a=-2.故选D.g方法总结对于由直线的位置关系求参数的问题,有下列结论:设直线L与12的方程分别为人津+8日+00Q,81不同时为O),A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),则LIT髓二器1：或(A1B2A2B10,(A1C22C10;1iLA1A2+BiB2=0.J针对训练(1)若直线l2x+(ml)y+4=0与直线b：mx+3y-2=0平
13、行,则In的值为；若直线(2L3)x+y+6=0不经过第一象限，则t的取值范围是.解析：(1)若m=T,则L的斜率不存在，k的斜率为*此时L与k不平行;若mT,则I1的斜率为心-二,b的斜率为k2=-.因为Lk,所以k.=k2,即一二7二日,解得m=2或-3.经检验均符合题意.直线方程可化为尸(3-2t)-6,所以3-2t.答案：(1)2或-3(2),+8)课堂达标,1 .已知直线l:kx-y+2k-2=0(kR),若1不经过第四象限,则k的取值范围为(B)A.klB.klC.k0D.k0解析:根据直线方程可得y=k(x+2)-2,故直线过点(-2,-2),当k0时,若直线过原点可得k=l,当
14、kl时,直线不过第四象限，当km2+ll=0-1-0,则倾斜角m2+lm2+lm2+lm2+l的最小值是135.答案135套备用例题,例题已知直线ax3yl=0与x(a-2)y+a=O平行，则a的值为.解析:法一因为两直线平行,所以a0,a2,且M解得a=3.法二令3Xl=a(a-2),解得a=-l或a=3.当a=-l时,两条直线的方程都为-3y-l=0,即两条直线重合,故舍去；当a=3时,两条直线的方程分别为3x3y+l=0,x+y+3=0,两条直线平行.所以a的值为3.答案：3改课时作业选题明细表知识点、方法题号求一般式方程及应用3,8,9由直线的位置关系求方程1,2由位置关系求参数4综合
15、5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,18基础巩固1.过点M(-3,2),且与直线x+2y-9=0平行的直线方程是(D)A.2-y+8=0B.-2y+7=0C.x+2y+4=0D.x+2y-l=0解析:依题意，设直线方程为x2yc=0(c-9),由点M(-3,2)在直线上,得-3+4+c=0,解得c=-l,所以直线方程为x2y-l=0.2.已知直线1过点(0,3),且与直线xyl=O垂直,则1的方程是(D)A.x+y-2=0B.-y+2=0C.x+y-3=0D.-y3=0解析:法一依题意得直线1的斜率为1,又直线1过点(0,3),所以直线1的方程为y-3=l(-0),即-
16、y+3=0.法二因为直线1垂直于直线xy+l=O,所以可设直线1的方程为-y+c=O.又直线1过点(0,3),则c=3.故直线1的方程是-y+3=0.3.直线1:XSin30o-ycos30+1=0的斜率是（八）A.B.3C.-3D,-33解析：由直线1的方程XSin30o-ycos30+1=0,得斜率为弛整二COS30tan30o.34 .若直线y=2x与直线(1-M-丫+1=0平行，则&等于(B)A.-lB.2C.-1或2D.1或-2解析：依题意得a2-a=2,解得a1=2,a2=-l.又a+l0,因此a=2.5 .m=l是直线(m+4是+3my+l=0与(-4)x+(m+4)y-5=0垂
17、直的(B)A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：两直线垂直=(m+4)(m-4)+3n(m+4)=O=(m+4)(mT)=O=l或m=-4.又气4,所以m=l,是“直线(m+4)x+3my+l=0与(-4)x+(+4)y-5=O垂直”的充分不必要条件.6 .(多选题)如果ABO,那么直线Ax+By+C=O经过(ACD)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：因为ABO,故B0,故直线的斜截式方程为y=Y1,因为BDABo,一宗0,故直线经过第一、第三、第四象限.(多选题)(2022山东青岛高二月考)直线1.：ax-y+b=O,bbx+y-a
18、=O(abO)的图象可能是(BC)解析:直线l1ra-y+b=O(abO)的斜率为a,在y轴上的截距为b,I2:bxy-a=O(abO)的斜率为-b,在y轴上的截距为a,A中，直线I1的斜率a大于零,直线k在y轴上的截距a大于零,直线L在y轴上的截距b小于零,直线b的斜率为-b,小于零,矛盾,故排除A;B中,直线L的斜率a大于零,直线b在y轴上的截距a大于零,直线L在y轴上的截距b大于零直线I2的斜率为小小于零,故B满足题意;C中，直线L在y轴上的截距为b,大于零,直线L的斜率为-b,小于零,直线I1的斜率a小于零,直线b在y轴上的截距a小于零,故C满足题意;D中，直线L的斜率为a,大于零,直
19、线L在y轴上的截距为a,小于零，矛盾,故排除D.7 .斜率为2,且经过点A(l,3)的直线的一般式方程为.解析：由点斜式得所求直线的方程为y-3=2(xT),整理得2-y+l=0.答案:2x-y+l=09.直线l:mx+y-l-m=O过定点,过此定点,且倾斜角为5的直线方程为.解析:直线1的方程可化为m(xT)+(y-1)=0,令层：M:故直线1过定点又倾斜角为5时,直线垂直于X轴，所以其方程为X=L答案：(1,1)x=l10.不论m为何值,直线(3m+3)x+(5-2m)y+m-6=0都恒过一定点，则此定点的坐标是解析：直线(3m+3)x+(52m)y+m-6=0可化为3x5y-6+m(3x
20、-2y+l)=0,联立方程组朋露：0：解得X=/y=l,所以不论m为何值,直线过定点(1,1).答案:停DIL已知a+b=l(a,bR),若直线l:2ax+by-l=0不过第四象限，则实数a的取值范围是.解析:由a+b=l,得b=l-a,所以直线l:2ax+byT=0可化为2ax+(l-a)yT=0,即a(2-y)+y-l=0,令C解叱所以直线1过定点Pg1).当a=l时，1:X三过第四象限,所以若1不过第四象限,则al,由2ax+(l-a)y-l=Oy=-x+-,l-l-akp02,由直线1不过第四象限知，20-2,l-a解得a0,则实数a的取值范围是(-8,o.答案：(-8,0能力提升12
21、 .已知a0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为(B)A.0B.2C.4D.2解析：由两直线互相垂直知,a2(b+2)(b-2)=0,所以a2+bM.又a2+b2ab,所以ab2,当且仅当a=b=时，取等号，所以ab的最大值为2.13 .(多选题)已知直线1:mx+y+l=0,A1),B(0,-l),则下列结论错误的是(ACD)A.直线1恒过定点(0,1)B.当田二1时,直线1的倾斜角为FC.当m=0时,直线1的斜率不存在D.当m=-l时，直线1与直线AB平行解析:对于A,当x=0时,y=-l,直线1恒过定点(0,-1),故A错误;对于B,当
22、m=l时,直线的斜率为-1,倾斜角为F，故B正确;对于C,当m=0时,直线的斜率为0,故C错误;对于D,当m=-l时,直线-x+y+l=O经过A(2,1),B(0,-1)两点,故直线1与直线AB重合,故D错误.14.(多选题)已知直线li：ax-y+l=O,l2:x+ay+l=0,aR,以下结论正确的是(BC)A.当a=3,直线I1的倾斜角为30B.不论a为何值时，L与k都互相垂直C.当a变化时,11与b分别经过定点A(0,1)和B(-l,0)D.不论a为何值时，L与b都关于直线xy=O对称解析:对于A,当a=5时,直线I1的斜率为5,L的倾斜角为60。，A错误；对于B,当a=0时，L为y=l
23、,k为X=TJJLb;当a0时，fcl=a,kl2=-fkllfci2=-l,l1l2,l1k互相垂直恒成立,B正确;对于C,直线l1ra-y+l=O,将点A(0,1)代入总成立,所以L恒过定点A(0,1);l2:x+ay+l=0,将点B(T,0)代入恒成立,所以b恒过定点B(-l,0),C正确;对于D,在L上任取点(x,axl),关于直线x+y=O对称的点的坐标为GaxT,-x),代入l2x+ayl=0,则左边不恒等于0,故D错误.15 .已知直线1的斜率为方与y轴的正半轴有交点,且与坐标轴所围成的三角形的周长是30,则直线1的方程为.解析：由题意,可设y*(x+b),则与坐标轴交点分别为(
24、0,汾(也0),且b0,所以墨+J(Il)2+炉等30,可得b=12,所以y*(x+12),整理得5-12y+60=0.答案：5xT2y+60=016 .已知直线1经过点P(3,-3),且在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0(1)求直线1的一般式方程；(2)若直线1z:m2x+(2m-3)y-3m-3=0与直线1平行,求m的值.解：(1)由题意设直线方程为口Z=l(a0),将点P(3-3)代入得a-a2+W=lna=6,所以直线方程为各所以直线1的一般式方程为a-a66-y-6=0.(2)由(1)知直线1的斜率存在且不为0,所以若直线1,m2x(2m-3)y-3m-3=0与直线1平行,则m2
25、(T)=IX(2m3),所以m=-3或m=l,当m=-3时,直线1,:x-y+|=O,满足题意，当m=l时,直线1,:-y-6=0与直线1重合，不满足题意，所以m=-3.17 .设直线1的方程为(m2-2m-3)x+(2ni2+niT)y=-2in+6,根据下列条件分别确定m的值.直线1在X轴上的截距为-3;直线1的倾斜角为45.(m2-2m30,解：(1)由题意得-2m+6Q-=3,m2-2m-3m3f且mT,解得1rm=-一或m=3,3所以m=-.故当m=时，直线1在X轴上的截距为-3.(2)由题意得2m2+m-l0,m2-2m-3Y-I.2m2+n-lm且Tn-1,m=士或7H=-1.3
26、所以m=.故当W时,直线1的倾斜角为45.应用创新18.A是直线1:y=3x上的第一象限内的一点,B(3,2)为定点，直线AB交X轴正半轴于点C,求使AAOC面积最小的点A的坐标.解：如图，设点A的坐标为(m,3m)(m0).当直线AB不垂直于X轴时，由两点式得直线AB的方程为广23m2m-3(m,且m3).令y=0,得xc=三-.3n-2因为点C在X轴的正半轴上,2 - 3m艮所以AAOC的面积S弓XX3m二片gX党产的-2+4)Zxt2(3m-2).43m-2.+小沁丹,当且仅当m3时,等号成立,此时点A的坐标为64).(2)当直线AB与X轴垂直时，点A的坐标为9),此时Saoc=3C27.289=.23综上所述,A0C的面积的最小值为学此时点A的坐标为g4).
