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1、注意:a.必须是等式b.必须具有未知数。一、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解叫方程1.方程:具有.易错点：（1）.方程式等式,但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用X表达，也可以用其他字母表达；（3）.方程中可以含多个未知数。考法:判断是不是方程：例:下列式子：（1）.8-7=1+0（2）.1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是:ax+b=0（其中X是未知数，a,b是己知数,且a#0）。A要点诠释：A一元一次方程须满足下列三个条件：知数的次数是（3）整式方程.勿、方程的解：A判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等.知识点二：一元一次方程的解法1、方程的同
2、解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。A假如那么ac=bc.（C为一个数或一个式子）。等式的性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数，结果仍相等。A假如a=b,那么函=儿；假如a=b（c0）,那么匕一二要点诠释：a分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。即：3bmb+m（其中i11W0）a特别须注意：分数的基本的性质重要是用于将x-3x+4方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数，如方程：不亍一”=1.6,将其化IOX-30IOX+40为：5-2=.6o方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。沙、解
3、a0 时， 方 程 有a = 0 ,b= 0时,方程有无数个解:AbX =唯 一 解 a ；a=0,bW0时，方程无解。A牛刀一元一次方程的一般环节:解一元一次方程的一般环节形节变环具体方法变形根据注意事项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质21 .不能漏乘不含分母的项；2 .分数线起到括号作用，去掉分母后，假如分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分派律、去括号法则1 .分派律应满足分派到每一项2 .注意符号,特别是去掉括号移项把具有未知数的项移到方程的一边，不具有未知数的项移到另一边等式性质11 .移项要变号；2 .一般把具有未知数的项移到方程左
4、边,其余项移到右边合并把方程中的同类项分别合并，化成“ax=b”的形式(10)合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加,字母与字母的指数不变未知数的系数化成方程两边同除以未知数的系数。，得bX=a等式性质2分子、分母不能颠倒要点诠释:A理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简朴应用:A小试例1、解方程()y一1=2.9例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程X=IO-4x的解与方程5x+2桃=2的解相同,求m的值.二、经典例题透析A类型：元一次方程的相关概念22X-5=1；8-7=1；X+y；2x-y=?;3x+y=6；5x+3y+4z=0；活力=8;X=O。其中方程
5、的个数是()A、5B、6C、7D、&A举一反三：变式1判断下列方程是否是一元一次方程：(1)-22+3=x(2)3X2y(3)x+彳=2(4)22-1=1-2(2-2)变式2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6=0是一元一次方程，求a的值。变式3(2023重庆江津)已知3是关于X的方程2X-a=l的解,则a的值是()aA.-5B.5C.7D.%解一元一次方程的一般环节是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为U假如我们在牢固掌握这一常规解题思绪的基础上,根据方程原形和特点，灵活安排解题环节，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。1a.巧凑整数解方程: 变
6、式 解方 程举一反三：举一反三：0.3x+0.5_2x-l变式（2023山东滨州）依据下列解方程0.2-3的过程,请在前面的括号内填写变形环节，在后面的括号内填写变形依据。3x+5_2x-l解：原方程可变形为2-3()去分母，得3(3X+5)=2(2x-l).()），得合并， 得 5x=-17.17-4x = - 1 5 -2 .(_ _ )( 合 并 同 类项)()解 方 程：x5 , x5 x3 . 2x3+=+3849思 想 解 方 程：2x + l 2(2x + l) 5(2x1) h-q236去括号，得9x+15M-2.()思绪点拨：由于具有工的项均在“2x+l”中，所以我们可以将2
7、x+l作为一个整体,先求出整体的值，进而再求X的值。A三、课堂练习3X1、已知下列方程:(1)X-2=;(2)O.3x=1;(3)=5-1；(4)x2-4x=3；(5)x2=0;（6）x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（A2B3C4D52、下列四组变形中,对的的是（）A由5x+7=0,得5=-7B由2x-3=0,得2x-3+3=0C由二=2,得X=LD由5x=7,得x=35633、一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2小时可把空池灌满;单独开乙水龙头3小时可把空池灌满,若同时开放两个水龙头，灌满空池需（）Ag小时B2小时C2小时D3小时56C 6x=l 1 D-8+3 = -6x4、
8、下列方程中,是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（）A7x=x+5B7x+5=X5、下列方程的变形中，是移项的是（B 由 6x=3 5 X,得 6 =5 x + 3D 由 2x-3=x+5,得 2x-x=5+ 3A由3=X,得3x=322C由2x=-1,得X=-26、方程6x=3+5x的解为（）X =-2D x=-3AX=2BX=3C7、方程4(a-)-4(x+1)=60的解是x=-l,贝IJa为(A -14B 20C 14D -168、动物园的门票售价:成人5O元/张,儿童30元/张。某日动物园售出门票70O张，共得29OOO元。设儿童票售出X张,依题意可列出下列哪个一元一次方程()A、3
9、0X+50(700-x)=29000B、50x+30(700-)=29000C、30x+50(700+x)=29000D、50x+30(700+x)=290009、解方程上-J=1,去分母对的的是(32A2(X-I)-3(4X-1)=1C2(X-1)-3(4-X)=610、假如&曰-2的倒数是3,那么X的值是(6A、一3B、-111、超市同时卖出两台电子琴，B 2 X-1-12+X=lD 2X-2-12-3X=6)C、1D、3以成本计算,其中一台赚钱2 0 %,另一80元每台均卖960元,台亏本2 0 %,则这次出售中商场()A不赔不赚B赚160元C赚D赔80元12、笼中有鸡兔共12只，共40
10、条腿，设鸡有X只，根据题意,可列方程为()A2(12-X)+4X=40B4(l2-X)+2X=40C2X+4X=4040D-4(20-X)=X2712、已知下列方程：工-2=-；0.3x=l;；=5元+1；X2X2-4x=3;戈=6；x+2y=0.其中一元一次方程的个数是（）.A.2B.3C.4D.513、己知关于X的方程4+x=5-（2+I）X的解是X=T,贝I。的值是（）.A.-5B.-6C-7D.814、方程3x+5=2x-l移项后，对的的是（）.A.3x+2x = 5-lB.C. 3x-2x = -5。方程2 一等=3 一个,去分母得A.2-2(2x-4) = 3-3(x + l)B.
11、3x-2x = -l+5D. 3xZx = -15( ).12-3(2x-4) = 18-3(x+l)C.12（2x4）=18（x1）D.62（2x4）=9（x+l）16、甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行,2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5km,则乙的时速是（）.A.12.5kmB.15kmC.17.5kmD.20km17、某商店卖出两件衣服,每件60元,其中一件赚25%,另一件赔25%,那么这两件衣服售出后商店是（）.A.不赚不赔。B.赚8元C.亏8元D.赚15元二、填空题:1、圆的周长为4,半径为X,列出方程为2、已知方程（m-2）l-+5= 9是关于X的一元一次方程，
12、则m3、己知代数式x+2y的值是3,则代数式2x+4y+l的值是。4、3a2,w-3b4与2a6b4是同类项，则m=.5、若卜一日+(y1)2=O,贝I-y=.6、某商品的进价为25O元,为了减少库存,决定每件商品按标价打8折销售，结果每件商品仍获利1O元,那么本来标价为o7、当X=时，殳卫的值是O.158、7.1班发作业本,若每人发4本,则还余12本,若每人发5本,则还少18本，那么该班有名学生。9、使(a-l)x-6=0为关于X的一元一次方程的。二(写出一个你喜欢的数即可).10、当机=时，式子网式的值是-3.311、若2ly2与4丁尸,在某运算中可以合并则加=,=12、设某数为X,根据下
13、列条件列出方程：2(1)某数的;比它的相反数大5.9(2)某数的！与！的差刚好等于这个数的2倍.13、某次数学竞赛共出了15道选择题,选对一题得4分,选错一题扣2分.若某同学得36分，他选对了道题（不选算错）.14、某商场对某种商品作调价,按原价8折出售,此时商品的利润率为10%,此商品的进价是100O元，则商品的原价是.15、某人将Iooo元存入银行,定期两年,若年利率为2.27%,则两年后利息为元,若扣除20%的利息税,则实际得到的利息为元，银行应付给该储户本息共元.三、解答题：1、解方程2 0 2 x=-l(l)6-3(5X-2)=0X+0.41-32Tk26T(5) (x+l)-2(x
14、-l) = l-3xx-3 2x+1 i=1(7 ) 2x + 1 = 2 X(8)2y- y + 2四、家庭练习、填空题：1、已知方程（a-2）x=1是一元一次方程，则a=,x=.2、下列说法:、等式是方程；、x=4是方程5X+20=O的解;、x=-4和X=6都是方程Ix-1I=5的解.其中说法对的的是.（填序号）3、已知代数式8x-7与6-2x的值互为相反数，那么尤的值等于4、假如方程5x+3臼=-宓）解是X=-6,那么=.5、三个连续奇数的和是75,则这三个数分别是O6、我校球类联赛期间买回排球和足球共16个,花去900元钱,已知排球每个42元,足球每个80元,设排球买了X个。则可列程为
15、,7、小慧在一张日历的一横列上圈了连续的四个数，它们的和为22,这四个数为8、数学竞赛共有10道题，每答对一道题得5分,不答或答错一道题倒扣3分，要得到34分必须答对的题数是,9、自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按0.8元收费,超过10吨的部分按每吨1.5元收费,王老师三月份平均水费为每吨L0元，则王老师家三月份用水吨.二、选择题：1、若a=b,则下列式子对的的有（）a2=-2-a=-b-。f一。b5a1=561.3244（八）1个（B）2个。（C）3个。（D）4个2、下列变形中，对的的是（）A若ac=bc,那么a=b。B、若=2,那么a=bccC同二例,
16、那么a=boD、若屋=旷那么a=b3、给出下面四个方程及其变形：4x+8=0变形为x+2=0;x+7=5-3x变形为4x=-2;_2（3）-x=3变形为2x=15;4x=-2变形为X=-2；其中变形对的的是（）A.B.。C.D.4、假如方程6x+3a=22与方程3x+5=ll的解相同,那么a=（）2x1x15、将方程三一二1去分母，得到6%一3-2%一2=6,错在（）23A、最简公分母找错B、去分母时,漏乘3项C、去分母时，分子部分没有加括号D、去分母时,各项所乘的数不同6、初一（一）班举行了一次集邮展览，展出的邮票比平均每人3张多24张，比平均每人4张少26张，这个班共展出邮票的张数是（）A
17、.164B.178C.168D.1747、某商场卖出两个进价不同的手机，都卖了1200元，其中一个赚钱50%,另一个亏本20%,在这次买卖中，这家商场（）A.不赔不赚。B.赔100元aC.赚100元D.赚360元8、某牧场放养的鸵鸟和奶牛一共70只，已知鸵鸟和奶牛的腿数之和为196条，则鸵鸟的头数比奶牛多A、20只B、14只D、13只三、运算题:1、Ix+3(2X-1)=16-(x+l)x+2-(x-4)=2x+3x-34x+l3、252x-110x+I2x+l1=13645.2x+3(2x-l)=16-(x+l)x-34x+1(=1四.当X为什么值时，代数式LM与1-四的值大2.23三、一元
18、一次方程应用题（找出等量关系）一、列一元一次方程解应用题的一般环节（1）审题：弄清题意.（2）找出等量关系：找出可以表达本题含义的相等关系.（3）设出未知数，列出方程:设出未知数后,表达出有关的含字母的式子，然后运用已找出的等量关系列出方程.（4）解方程:解所列的方程,求出未知数的值.（5）检查,写答案:检查所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际,检查后写出答案.1、数字问题要搞清楚数的表达方法:一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c（其中a、b、c均为整数,且lWaW9,OWbW9,0c9）则这个三位数表达为：100a+10b+Co例1、若三个连续的偶数和为18,求这三
19、个数。例2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，假如把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36,求本来的两位数等量关系：原两位数+36二对调后新两位数例3、有一个三位数,个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1,若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49,求原数。分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.2、日历中的规律：横行相邻两数相差竖行相邻两数相差一o例1、假如今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出2x2个数，则它们的和一定能被整除。A3B4C5D6例3、假如某一年的
20、5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80,那么这个月的4号是星期几？3、等积变形问题常用等量关系为：形状面积变了，周长没变;原料体积=成品体积。例1、用直径为4cm的圆钢,锻造一个重0.62kg的零件毛坯，假如这种钢每立方厘米重7.8g,应截圆钢多长？例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125x125“/内高为8Imm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少Inm?（结果保存整数万。3.14）4、和、差、倍、分问题:倍数关系：通过关键词语“是几倍，增长几倍，增长到几倍，增长百分之几，增长率”来体现。多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、局限性、剩余”来
21、体现。(1)劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化.例1.某厂一车间有64人,二车间有56人。现因工作需要,规定第一车间人数是第二车间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？例2.甲、乙两车间各有工人若干,假如从乙车间调100人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；假如从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等,求本来甲乙车间的人数。(2)配套问题：例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分派生产螺栓和螺母的工人,才干使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)例2.机械厂加工车间有85名工人，平均每人天天加工大齿轮16个
22、或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才干使天天加工的大小齿轮刚好配套？分析：列表法。每人天天人数数量大齿轮16个X人16X小齿轮10个(85-x)人10(85-x)等量关系：小齿轮数量的2倍=大齿轮数量的3倍解:设分别安排X名、(85一力名工人加工大、小齿轮3(16x)=210(85-x)J48x=1700-20x68x=1700X=25/.85-X=60人答：略.分派问题：例L学校分派学生住宿，假如每室住8人,还少12个床位,假如每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。例2.三个正整数的比为1：2：4,它们的和是84,那么这
23、三个数中最大的数是几？(比例分派问题常用等量关系:各部分之和=总量。)(4)年龄问题：例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的3倍多5岁，求小华现在的年龄。5、工程问题工程问题中的三个量及其关系为：工作总量二工作效率X工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例L一件工程，甲独做需15天完毕，乙独做需12天完毕，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完毕，问乙还要几天才干完毕所有工程？分析设工程总量为单位1,等量关系为：甲完毕工作量+乙完毕工作量二工作总量。
24、解:设乙还需X天完毕所有工程，设工作总量为单位1,由题意得，（错误!+错误!）X3,错误!=1,例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程,两队分别从两端施工相向前进，甲队平均天天可完毕480米，乙队平均天天比甲队多完毕220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完毕所有任务？6、打折销售问题（1）销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等（2）基本关系式：利润二售价一进价;售价=标价X折数；利润率=利润/进价。由可得出利润=标价X折数一进价。由可得出利润率市场经济问题（1）商品利润二商品售价一商品成本价（2）商品利润率=给坐rX10
25、商品成本价0%（3）商品销售额=商品销售价X商品销售量（4）商品的销售利润二（销售价-成本价）X销售量（5）商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售，即按原标价的80%出售.例1、一件衣服标价是2OO元,现打7折销售。问：买这件衣服需要多少钱?若已知这件衣服的成本（进价）是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱?利润是多少？例2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利25%,另一件亏损25%,问这次售货员是赔了还是赚了？7、行程问题。（行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点）要掌握行程中的
26、基本关系:路程=速度X时间。相遇问题(相向而行)，这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题(同向而行)，这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间二乙的时间甲走的路程-乙走的路程=本来甲、乙相距的路程同地不同时；甲的时间=乙的时间一时间差甲的路程二乙的路程解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能迎刃而解。并且还经常借助画草图来分析，理解行程问题。例L甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。(D慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？(2)两车
27、同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？(5)慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。故可结合图形分析。(1)分析:相遇问题,画图表达为：.AVr人、甲乙等量关系是:慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出X小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+l)=480解这个方程，230x=390X=I错误！答：略.(2)分析：相背而行
28、，画图表达为:甲乙等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。解：设X小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120X=f(12,23)答:略.(3)分析:等量关系为:快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。解：设X小时后两车相距600公里，由题意得，(140-90)x+480=60050x=120/.x=2.4答：略.(4)分析:追及问题，画图表达为：甲乙等量关系为:快车的路程二慢车走的路程+480公里。解:设X小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480解这个方程,50X=480x=9.6答：略.（5）分析
29、：追及问题，等量关系为：快车的路程二慢车走的路程+480公里。解：设快车开出X小时后追上慢车。由题意得，140x=90（x+l）+48050X=570解得，x=l1.4答:略.环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和二一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差二一圈的路程。航行问题:顺水（风）速度二静水（风）速度+水流（风）速度逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）速度例：一艘船在两个码头之间航行,水流速度是3千米每小时,顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？抓住两码头间距离不变,水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系.1、
30、A、B两地相距150千米。一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发,另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发,相向而行，问通过几小时,两车相距30千米？2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，假如甲让乙先跑1秒,那么甲通过几秒可以追上乙？3、一架飞机飞行在两个城市之间,顺风要2小时45分,逆风要3小时，已知风速是2O千米/小时，则两城市间的距离为多少？4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥,用了半分钟,则火车自身的长度为多少米？5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道,求列车的长度。
