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1、例：采样频率FT=100oHz,那么序列X(n)=cos(0.4n)对应的模拟频率为(400)弧度配说明：此题旨在理解数字频率与模拟频率之间的关系：=看。例：X(II)=COs(0.4n)的根本周期为(_5_)。说明根本周期的定义即计算公式：N=生k，其中N和k均为整数,N为根本周期使得N为最小整数时k取值。此题=0.4兀，代入上式得到：N=5,k=l例：判断以下系统是否为线性、时不变系统。(1) y(11)=x(?)+2x(n-1)+3x(n-2);(2)y(n)=x2(n);解：(1)令：输入为x(n-n),输出为y(n)=x(i-h0)+2(w-110-1)+3x(i-0-2)y(n一0
2、)=(n-o)+2x(一o-D+3x(-n-2)=y()故该系统是时不变系统。y(n)=Taxi(力)+bx2(n)=ax()+bx2ti)+2(r1(n-l)+bx2(n-)+3(or1(-2)+bx2(n-2)Tax()=0r1()+20r1(-1)+30r1(-2)Tbx2(n)=bx2(n)+2如(-1)+3bx2(n-2)Taxl(h)+bx2(n)=aTx()+bTx2(n)故该系统是线性系统。y(n)=x2(n)令：输入为输出为y()=/(-)，因为y(n-n0)=x2(n-n0)=yn)故系统是时不变系统。又因为Tax(?)+bx2()=(axl(n)+fer2(n)2aTxi
3、(n)+bTx2()因此系统是非线性系统。=竭()+娼()例：x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解：1翻转，移位，相乘，相加)88y(n)=Zx(m)h(n-m)=ZR4(m)R4(n-m)f11=-00TW=-OC表1图解法(列聂法)x(m)1111(m)1111(-m)1111JT(O)-I(lm)1111y(l)=2(2-m)1111(2)-3(3-m)1111(3)三4(4-m)1111M)=3(5-m)1111y(5)-2(6-m)1111y(6)l例：设x(n)=/?,04,力5)=6(x()和()如图1所示。求M)和力()的卷积)。图解方
4、法一：用图解法求卷积和。(1)将x()和人()用MM和力(M表示(图2中(a)、(b)图)。0 I 2 3 4 5 (f)4(5 - m )JTTT J-3 -2 -1 O (C)R4(-m)TTTi J图解法求卷积过程(2)将力(M进行反折,形成Mf)(图2中(C)图)；将成以移位,得到Mi-(图2中(d)、(e)、图)。(3)将M和力(-相同”的序列值相乘,再相加，得到刈)(图2中(g)yS) = 1,3,6,10,9,7,4ln7再讨论解析法求线性卷积。Hlx火)=Xxni)hn-m)用式mf求解上式首先要根据(。和恤-加)的非零值区间确定求和的上下限,的非零值区间为1qW4,h(n-m
5、)的非零值区间为OW-W3,或-3WmW，由两个非零值区间可得的取值区间为1WW7,它们的乘积M。力(-M的非零值区间应满足:IWZWW4/口3WmW因此当7时，M)=。；rzQ必)=力.1=妁上12当1WW3时，.幺2y(n)= Z 1 =m=n-3N与图解法结果一致。lw34w7其他y（）用公式表示为(?+1)/25+1)(8-)/2O方法二：当序列（）和力的长度分别为有限长N和M时，可采用“不进位乘法”求两序列线卷积。如图1所示:M)=*1,2,3,4(n)=l,l,lJ01234XIlll01234012340123401234013610974y（w）=,l,3,6,l,9,7,4）
6、例：两线性时不变系统级联，其单位取样响应分别为/4（）和似），输入为M%求系统的输出M）。.x(n)=()，%()=5()一5(一4),h2(n)=a,1u(n)。解：设第一个系统的输出为必)，那么(ti)=x(n)*h(n)=()*(?)-(n-4)=()一(九一4)=ri)+(n-l)(n-2)(n-3)因而输出为y(n)=(n)*Ii2(?)=()+-1)+(n-2)+(n-3)*a,u(n)=anu(n)+anxun-1)+an2u(n-2)+a,3u(n-3)例：判断线性时不变系统的因果性、稳定性，并给出依据。1Af-I+%(1)。)=石ZM-Z)；(2)y(n)=ZMk)；N=0k
7、=n-)解：(1)只要NN1,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果x5)M,那么Iy()KM,因此系统是稳定系统。(2)如果似砌M,y5)x()20im,因此系统是稳定的。系k=n-%统是非因果的，因为输出还和x(n)的将来值有关。注意：如果给出的是h(n),用上面要求记住的充要条件判断！例：设系统的差分方程为S)=05y(i)+1.5x(/2)9输入序列为Ml)=6(%求输出序列M)。解：一阶差分方程需一个初始条件。设初始条件为：(F=。那么XO)=O.5X-1)+L5x(O)=L5MI)=0.5y(0)+1.5x(l)=0.75y(2)=0.5X1)+1.5
8、x(2)=0.375y(n)=1.5(0.5),w(?)设初始条件改为：y(T)=那么MO)=0.5X-1)+1.5MO)=2y(l)=0.5y(0)+1.5x(l)=ly(2)=0.5y(l)+l.5x(2)=0.5y(h)=2(0.5)wm()该例说明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。例：有一连续信号M)=8s(2M+9),式中，f=20Hz,*求出乙的周期。用采样间隔7=0.02$对兀进行采样，试写出采样信号K的表达式。(3)求出对应乂。的时域离散信号(序列)S),并求出的周期。解：(1)儿周期为T=-=0.05sf(2) x()=MZ)5
9、(，-nT)=SLoS(2加7)伙一叫(T=0.05S)=-QOW=OOX(II)的数字频率=08,故里=需=：,因而周期N=5,所以0.8;T2x(n)=cos(0.8n+2)简答题：1 .是不是任意连续信号离散后，都可从离散化后的信号恢复出原来的信号？为什么？2 .一个连续时间信号经过理想采样以后，其频谱会产生怎样的变化？在什么条件下，频谱不会产生失真？3 .离散信号频谱函数的一般特点是什么？例：求以下序列的Z变换及收敛域：(1) 2u-n1);(2)2()；(3)2()(10)J解：(1)ZT2-l,u(n)=2-nw(i)zw=2-rtz-w三1,i,zn=-oJi=O1-2Z2ZT-
10、2,u(-n-)=Z-2,tu(-n-)z-n二三一2一”二工一2n-w=-lw=l=土二Jl-2z1-2-,-,h12ZTTnu(ri)-u(n-10)J=2Tzn13)=。IO-Io-IO=Lr,oool-2lzl11说明上题也可以改为求序列的傅立叶变换。可以利用Xd)=XO例：假设X(Z)=I+I,收敛域RoC为0.3目05,那么X(Z)1().5z1().3z的Z反变换为(一(0.5)“u(-n-)+(0.3)nu(n)。说明：此题要求掌握序列的时域特性域Z变换收敛域之间的对应关系。具体说，有限长序列的Z变换的ROC是怎样的，右边序列的Z变换的RoC是怎样的，因果序列的Z变换的RoC是
11、怎样的，左边序列的z变换的ROC是怎样的，反因果序列的z变换的ROC是怎样的。典型序列的z变换表达式是否记住了？-anu(-n-1)irROC:IzI逆Z变换非常重要。ZZ例：试求与X(Z)对应的所有可能的序列工()。解：同一个Z变换函数，收敛域不同，对应的序列也不同。此题没有给定收敛域，所以必须先确定收敛域。X(Z)有两个极点：4=0,5,Z2=2,因为收敛域总是以极点为边界，所以收敛域有以下三种情况：同。.5,Q5z2,三种收敛域对应三种不同的原序列，分别讨论如下：(1)I2Io5对应左边序列，x(n)=-0.5nu(-n-l)-2nu(-n-i)(2)IW2对应右边序列.x(n)=0.5
12、nu(n)-2nu(n)X(Z)=-!llC例:设。-2z-)(1-0.5z-)忖2,用局部分式展开法求逆Z变换。解：先去掉Z的负幕次，以便于求解，将X(Z)的分子分母同乘以z2,得:X(Z) =2Z(z2)(z0.5)X(Z)将等式两端同时除以Z,得：Z(z-2Xz-0,5)z-2Z-0.5A1 =,2 = (z-2)= (z-2)2=2(z-2)(z-0.5)z=2& =Res82.5 = (Z-0.5) Zz= (z-0.5)z=O.5(z-2)(z-0.5)2=23因而得:4X(Z)=-3z-23z-0.541由收敛域知，“为右边序列，得:x(n)=一2w(n)0.5u(ri)33主要
13、应用于单阶极点的序列。例：假设实序列xn的DTFT记为X（三）,那么其幅值|x(叫是关于的(偶函数)。说明：还记得反复强调的一句话，实序列的DTFT的幅度、实部是关于频率偶函数，而相位和虚部那么是关于频率奇函数。例：.一因果LTI离散时间系统的传输函数（z）=Tr,那么系统1（）.5z的单位冲激响应为（0511（n）o说明：根据传递函数求系统的单位冲激响应，其实就是将传递函数进行逆Z变换，但要注意系统的因果性如何。例：因果IIR离散时间LTI系统，其传输函数那么系统（稳定）。例：一FIR离散时间LTI系统总是（稳定）。说明：系统的稳定性如何判断？按照教材中的说法，就是系统传递函数的收敛域如果包
14、括“单位圆”，那么系统是稳定的。如果你熟悉了序列的Z变换的RoC的性质，那么此题不难答复。对于因果系统来说，其单位冲激响应为因果序列，故其Z变换的RoC一定是某圆外部的整个区域。而这个圆就位于离原点最远的极点上，所以，对于因果系统，如果系统传递函数的全部极点都位于单位圆以内的话,那么系统是稳定的。对于FIR系统,其单位冲激响应是一个有限长序歹（J,其z变换的ROC为除了无穷远和原点之外的整个Z平面，自然包括单位圆，所以FlR系统始终是稳定的。例：设N）=&（），求G）的4点DFTo解：的4点离散傅里叶变换为：V小V/jkn。一片A-弓成sin(欣)X(k)=Xx(n)eN=Ze4=e4=O=0
15、inZbsm(4)Z=O,1,2,3TOI4.A0123k简答题：1 .一个序列的DFT与序列的傅里叶变换之间的关系是什么？2 .序列的DTFT和序列的Z变换间的关系是什么？序列的DFT和序列的Z变换间的关系是什么？例：计算下面给出的两个长度为4的序列入()与%()的4点和8点循环卷积。Mw)=(0),(2),(3)=1,1,1,1XS)=x(0),x(l),x(2),x(3)=l,2,3,4解：按照循环卷积矩阵写出以)与X()的4点循环卷积矩阵形式为32143114121110101010乂(0)”Je一帅焉视照睛窜？褶脖产式为yc(D2100004313K3210000416K432100
16、00110(4)0432100009久0043210007Vc(6)0004321004(7)0000432100【补充】计算Mn)与x()的线性卷积？哪一种情况下计算的循环卷积结果就等于线性卷积？【说明】当循环卷积区间长度L大于等于y(n)=加)&5)的长度时,循环卷积结果就等于线性卷积。例：给定一16点实序列X(n),其16点DFT记为X(k),X(13)=2+j3,那么X3)=(2+j3)o说明：DFT的性质。实序列的DFT的共钝对称性：X(k)=X*(Nk),或X(Nk)=X*(k)o(牢记)简答题：用DFT进行谱分析带来哪些误差问题？采取什么措施可以减少这些误差？、8z3-4z2+1
17、1z-2“(5,3177-I7例：IIRDF的系统函数为448画出直接I型、直接II型的结构流图。解：先将(Z)化为ZT的有理式H(Z) =8-4ZT +llz2 -2z3y(n)直接I型: (n)&1+2z-1+2z-2+z-3例：HRDF的系统函数为(2)i-2z-z-画出级联型和并联型的结构流图。解：级联型H(z) =l+2z+2z+N-l-2z1z-3_(1+ZT+Z-2)+(ZT+Z-2+z-3)(I-ZT)-(zT-z)_(l+z-+z-2)+zT(l+zT+z)(Ir-)-z7(l-z)(l+z-1)(l+z1z2)-z-)-ZTa-ZM)+z)(l+z1)(l+z1z2)(l-
18、z-1)(l-z-,-z-2)(n)y()Z-11 7l并联型:W、l2z, +2z-2 +z3H(Z)=：l-2z-1+z-3l-2z, +z-3+4z, +2z2l-2z, +z3 1 4zl +2z-2 1+l-2z-z-=1 +-66 + 4z,T7r+I-Z-1-Z-2Z-15.3例：FIRDF的系统函数为H(Z)=Oa+2.()z+2.8z-2+1.5z-3画出直接型和级联型的结构流图。解：直接型：级联型：7(z)=0.96+2.0z,2.8z-21.5z3=0.96+2.0z,+z-2+1.8z2+1.5z3=(0.6+0.5z,)(1.62z,)+3z2(0.6+0.5z,)=
19、(0.6+0.5z,)(1.62z-,+3z2)IIR和FIR滤波器的根本结构形式有哪些？各自有什么特点?简答题：1.分析采用双线性变换法将该模拟滤波器转换成数字滤波器,数字滤波器的频率特性相对原模拟滤波器频率特性是否有失真，为什么？2.是否可以用脉冲响应不变法或双线性变换法把模拟带阻滤波器变换成数字带阻滤波器，为什么？答案：可以用双线性变换法把模拟带阻滤波器变换成数字带阻滤波器，但不能用脉冲响应不变法把模拟带阻滤波器变换成数字带阻滤波器。因为脉冲响应不变法中从s平面到z平面的映射是多值映射,将模拟带阻滤波器变成数字带阻滤波器会存在频率响应的混叠失真，而双线性变换法从中从S平面到Z平面的映射是
20、对应的，不存在频率响应的混叠失真。例：图示是由RC组成的模拟滤波器(1)写出传输函数/；(2)选用一种适宜的转换方法将几转换成数字滤波器”，设采样间隔为T;(3)比拟脉冲响应不变法和双线性变换法的优缺点。解：(1)由图可知该滤波器为模拟高通滤波器WaW三-=-=?AMC+1S+,sCRC12)采用双线性变换法，因为选用脉冲响应不变法，会在高频处发生频率混叠现象。H=H.32J3-h7r(3)脉冲响应不变法：优点：时域逼近良好，0=GT;缺点：容易产生混叠失真，只适用于带限滤波器；双线性变换法：优点：设计运算简单；防止了频谱的混叠效应，适合各种类型滤波器；2缺点：u=?tanI,会产生非线性频率
21、失真。例：模拟滤波器传输函数为乩(三)=;萼，设r=05s,用脉冲响应不变法和双线性变换法将儿转换为数字滤波器系统函数。解：用脉冲响应不变法(令()=%()将乩转换为数字滤波器系统函数”(Z)。W、3T3T1.51.5nZ=井-777-7=Ol-e-2z-il-e-3rz-l-0.3679z41-0.223Iz1用双线性变换法将/G)转换为数字滤波器系统函数”。/、/、I5+10z,+5z-20.1667+0.3333z,+0.1667z2H(z)=Hl(三)-2-1=：7=：z“4:430-28z,+6z21-0.9333z,+0.2z2画出窗函数设计法的根本流程图:对FlR滤波器的影响：调
22、整窗口长度N只能有效的控制过渡带的宽度，并不能减少带内波动以及增大阻带衰减。设计步骤：(1)根据对阻带衰减以及过渡带的指标要求，选择窗函数的类型，并估计窗口长度N；2)构造希望逼近的频率响应函数Hdd),即孙*)=HdgMe-加22计算4：如果给出待求滤波器的频响函数为Hd(ejw),那么在单位脉冲响应作用下：4()=IrHdei)d(4)加窗得到设计结果：h(n)=hl(n)w(n).2Jy简答题：1用窗口法设计FlR数字滤波器时，为了改善阻带的衰减特性，窗函数形状需要满足的两个标准是什么？2什么是吉布斯现象？3窗口法设计FIR数字滤波器，改变窗的宽度对滤波器的频率特性有什么影响？4综述数字滤波器的两个主要分类IIR和FIR滤波器的特点和设计方法的不同。
