圆中最定值.doc

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1、标准文档圆中最定值类型一、圆中将军饮马例1、如图,AB是O的直径,AB=10cm,M是半圆AB的一个三等分点,N是半圆AB的一个六等分点,P是直径AB上一动点,连接MP、NP,则MP+NP的最小值是_1、已知圆O的面积为3,AB为直径,弧AC的度数为80度,弧BD的度数为20度,点P为直径AB上任一点,则PC+CD的最小值为_2、如图,菱形ABCD中,A=60,AB=3,A、B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、A和B上的动点,则PE+PF的最小值是_ 类型二、折叠隐圆【基本原理】(一箭穿心)点A为圆外一点,P为圆O上动点,连接AO并延长交圆于P1、P2,则AP的最小值为AP2,最大值

2、为A P1例、如图4,在边长为2的菱形ABCD中,A=60,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN,连接AC,请求出AC长度的最小值 A在以M为圆心,AM为半径的圆上. A在MC上时, AC最小.1、已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐标洗中,点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合),经过点O、P折叠该纸片,则CB的最小值为_B在以O为圆心,OB为半径的圆上. B在OC上时, CB最小.2、四边形ABCD中,ADBC,A=90,AD=1,AB=2,BC=3,P是线段AD上一动点,将ABP沿BP所在直线翻折

3、得到QBP,则CQD的面积最小值为_类型三、 随动位似隐圆例、在RtABC中,ACB=90,BAC=30,BC=6点D是边AC上一点D且AD=2,将线段AD绕点A旋转得线段AD,点F始终为BD的中点,则将线段CF最大值为_分析:易知D轨迹为以A为圆心AD为半径的圆,则在运动过程中AD为定值2,故取AB中点G,则FG为中位线,FG=AD=,故F点轨迹为以G为圆心,为半径的圆。问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F,求CF的最大值。思路2:倍长BC到B,则CF为BDB的中位线,CF= BD,当BD最大时,CF也取最大值,问题实质为D在圆A上运动至何处时,BD取最大。 【方法归纳】、如图,点A和点O

4、1为定点,圆O1半径为定值,P为圆O1上动点,M为AP中点点M运动轨迹为圆O2,且O2为AO1中点。、构造中位线1、如图,在RtABC中,ACB = 90,D是AC的中点,M是BD的中点,将线段AD绕A点任意旋转(旋转过程中始终保持点M是BD的中点),若AC = 4,BC = 3,那么在旋转过程中,线段CM长度的取值范围是_ 2、如图,ABC是边长为2的等边三角形,以AC为直径作半圆,P为半圆上任意一点,M为BP中点,则在点P由A到C运动过程中,点M运动路径长为_类型四、定性分析垂线段最短例、如图,半圆O的半径为1,ACAB,BDAB,且AC=1,BD=3,P是半圆上任意一点,则封闭图形ABD

5、PC面积的最大值是_【分析】:思路1、连接CD、梯形ABCD面积为定值,要使封闭图形ABDPC面积取最大值,则使CPD面积取最小即可,CPD中,底边CD为定值,则当高取最小值时,面积有最小值,故问题变成当点P在圆上运动至何处时,点P到CD距离最小。C、D、O为定点,则点O到CD距离为定值,计算CD、OC、OD长,由勾逆知OCCD,设点P到CD距离为h,则h+rOC,hOC-r,即当O、P、M三点共线时,h有最小值,此时M与点C重合,故OC与圆O交点即为所求点P。思路2:P点的确定也可以这样想,平移CD,设平移后的直线为m,则直线m与CD间的距离即为CD边上的高,显然,当直线m与圆O相切时,高h

6、有最小值。 1、如图,P为圆O内一个定点,A为圆O上一个动点,射线AP,AO分别与圆O交于B,C两点,若圆O的半径为3,OP= ,则弦BC的最大值为_2、如图,AB为O的直径,C为半圆的中点,C的半径为2,AB=8,点P是直径AB上的一动点,PM与C切于点M,则PM的取值范围为_ 类型五、定弦定角【基本原理】如图1O中,A、B为定点,则AB为定弦,点C为优弧上任一点,在C点运动过程中则ACB的度数不变逆运用如图2、点A、B为定点,点C为线段AB外一点,且ACB=(为固定值)点C在以AB为弦的圆上运动(不与A、B重合) 图1 图2例、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足ACB=60度,

7、请在图中画出点C的运动轨迹,简要说明作图步骤步骤1、_步骤2、_练习、1、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足ACB=120度,请在图中画出点C的运动轨迹,并写出圆心角AOB=_2、如图,AB为定长,点C为线段AB外一点,且满足ACB=120度,请在图中画出点C的运动轨迹, 【实战应用】例、如图,O的半径为1,弦AB=1,点P为优弧AB上一动点,ACAP交直线PB于点C,则ABC的最大面积是_1、如图,ABC是边长为2的等边三角形,D是边BC上的动点,BEAD于E,则CE的最小值为_2、如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4,P是ABC内部的一个动点,且满足PAB=PBC,

8、则线段CP长的最小值为_类型六、定弦定角反客为主例、如图,XOY = 45,一把直角三角尺ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动,其中AB = 10,那么点O到顶点A的距离最大值为_点O到AB的距离的最大值为_【分析】:题意中AB为定长线段在角的两边滑动,O为定点,滑动中C为动点,AB两点位置发生变化,点O到AB距离的最大值的确定有难度,若改变思路,借助物理中运动的相对性可知,若将ABC固定,将XOY的两边绕AB滑动,与原题中运动效果等价,题目中数量关系不会发生改变。问题则变为当点O在圆上运动至何处时,点O到AB距离最大。1、如图,D,E分别为等腰直角三角形ABC的边AC、AB上的点,且

9、DE=2 ,以DE为边向外作正方形DEFG,则AF的最大值为_2、如图,ABC中,ABC= 45,AC=2,半径为的圆O始终过A、C两点,连接OB,则线段OB长的的最大值为_ 类型七、定弦定角条件的确定例、如图,扇形AOD中,AOD=90,OA=6,点P为弧AD上任意一点(不与点A和D重合),PQOD于点Q,点I为OPQ的内心,则当点P在弧AD上运动时,求I点运动路径长。分析:由内心的基本结论知 PIO=90o+PHO=135o为定角,但其所对的边OP并非定弦,连ID,易证 AIOOID,OID=PIO=135O,且其所对的边为OD,符合定弦定角条件,故I点轨迹为圆弧,问题易解。1、如图,边长

10、为3的等边ABC,D、E分别为边BC、AC上的点,且BDCE,AD、BE交于P点,则CP的最小值为_2、如图,AC3,BC5,且BAC90,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于E点,连CE,则CE的最小值为( )类型八、隐切线例、已知A(2,0),B(4,0)是x轴上的两点,点C是y轴上的动点,当 ACB最大时,则点C的坐标为_分析:将 ACB看作以AB为弦的圆上的角,则圆心在AB的垂直平分线上,当圆心运动时, ACB的大小也随之改变,又因为点C为为y轴上的点,所以可将点C理解为圆O与y轴交点。Y轴与圆o的位置关系有两种:相交或相切,当圆O与y轴相交时,记交点为C1,当圆O与y轴

11、相切时,记交点为C,如图所示, AC1B= AC2B,由圆上的角大于圆外的角可知, ACB AC2B,故当圆O于y轴相切时, ACB有最大值。考虑对称性可知,点C的位置有两个,y轴正半轴和y轴负轴上各有一个点。 1、已知点A、B的坐标分别是(0,1)、(0,3),点C是x轴正半轴上一动点,当 ACB最大时,点C的坐标为_在RtABC中,BAC=30,斜边AB=,动点P在AB边上,动点Q在AC边上,且CPQ=90,则线段CQ长的最小值=_类型九、捆绑旋转例、已知A(2,0),B(5,0),点P为圆A上一动点,圆A半径为2,以PB为边作等边PMB,求线段AM的取值范围。 分析:思路1:要求AM的取

12、值范围,则先确定M点运动轨迹。由等边三角形联想共顶点的双等边结构,可构造和PBM共顶点B的等边ABH,则APBHBMHM=PA=2,所以点M运动轨迹为以H为圆心,半径为2的圆H上的点。AM过圆心时取得相应最大和最小值。思路2:线段BM可看作由线段PB绕点B顺时针旋转60度得到,当点P在圆A上运动时,作出其绕点B顺时针旋转60度后的每一个对应点,则其应点的集合就是点M运动轨迹。显然其轨迹为圆。因为每个对应点都是点P绕点B顺时针旋转60度得到,所以点M所在圆的圆心即为将P点所在圆圆心A绕点B顺时针旋转60度得到。想象成钟摆绕点B顺时针旋转60度 1、如图,已知A(2,0),圆O半径为1,点B为圆O

13、上一动点,点C在第一象限,且ABC为等腰直角三角形,BAC=90度,求线段OC的最大值_2、如图,AB为O的直径,AB=4,点C为半圆AB上动点,以BC为边在O外作正方形BCDE,(点D在直线AB的上方)连接OD当点C运动时,则线段OD的最大值为_ 类型十、半径不确定的处理策略例、在ABC中,AB=4,BC=6,ACB=30,将ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到A1BC1.点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点P的对应点是点P1,则线段EP1长度的最大值为_,最小值为_分析:显然BP=BP1,P1点轨迹为以B为圆心,BP为半径的圆,半径是多少呢?好象无法确定,因为点P为AC上动点,则BP长度有最小值和最大值。如图当BP垂直AC时,半径最小,当P与C重合时,半径最大,由图可知P1点轨迹为以B为圆心的无数个同心圆。不难确定其最小值和最大值1、在ABC中,ACB=90,ABC=30,将ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为(0180),得ABCE为AC的中点,AB中点为P,AC=4cm,则EP的最大值为_2、在ABC中,AB=AC=5,BC=6,将ABC绕点C顺时针方向旋转,得到A1B1C, 点E是BC上的中点,点F为线段AB上的动点,在ABC绕点C顺时针旋转过程中,点F的对应点是F1,请直接写出线段EF1长度的最大值与最小值的差实用文案

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