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1、数列的概念与简单的表示本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大!1数列的相关概念(1)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成出,&，Qn,，简记(即.2数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4n无穷数列项数无限的数列1,2,3,4,+1.按项的大小递增数列Qn%S2)2,4,8,.12n,.递减数列Qn21【题型一】数列的相关概念【典题1下列有关数列的说法正确的是L数列一1,0,1与数列1,0,一1是同一数列；数列0,1,2,3,可以表示为
2、n数列&的第A1项是高w；每一个数列的通项公式都是唯一确定的.【解析】对于，数列是有序的，故数列一1,0,1与数列1,0,一1是不同的数列，故选项错误；对于，数列0,1,2,3,.可以表示为8-1,故选项错误；对于，数列e的第k一1项是其下，故选项正确；对于，数列的通项公式可以有多个，故选项错误.故选：.【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别.数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求.【典题2】求数列伯翳是增减性.【解析】an=三=2+“n+4n+4方法一作差法333n+l-即=初一百=（n5）（n4），所以%+10,所以每+i0，数列%l是递增数列,
3、符合题意；对于8,%l=M-3n,则Ql=I-3=-2,。2=4-6=-2,数列即不是递增数列，不符合题意；对于C,an=2n,有%=2-1=,2=22=数列Qr不是递增数列，不符合题意：对于D,Qn=(ToL有。2=(-2)2=4,%=(-3)3=-27,数列册不是递增数列，不符合题意；故选：A.6(*)已知数列%是递增数列，且对于任意N*,卅二九2+2Q+,则实数A的取值范围是.【答案】4一,【解析】数列n是递增数列，.对于任意n,n+1n,(71+I)?+2(+1)+1M+2n+1化为：.数列Lw1单调递减，.V7()已知数列瓦满足匕=2“一nT-112,若数列%是单调递减数列，则实数;
4、I的取值范围是.【解析】数列%是单调递减数列,则%+1-=24(一)-(n+I)2-2(-)n1+n2=6(-)-2n-l0,当？I为偶数时，6=(2n+l)(-2)n,即6lV(2+l)2n,由于2+l)2z为递增数列，则数列2z+l)2rl的最小值20,.6220,即6若,当Tt为奇数时，6-(2n+l)2n,由于(2n+l)2r为递减数列，则数列一(2n+l)2z的最大值一6,:66,:19综上所述实数/1的取值范围是(-l,g)【题型二】数列与函数的关系【典题1】数列4l的通项7=-2浓+9n+1,当On取最大值时，n=.【解析】方法一数列的单调性根据题意，册-1=-2(n-I)2+9
5、(n-1)+1=2n2+13n10,则Qnan-1=-4n+11,当1113时，an-an.10,即QlQn,当n3时，an-an1。3，故数列%l各项中最大项是第2项.方法二函数法依题意，Qtl=-2几2+9几+1,表示抛物线f(n)=-2n29n+1当九为正整数时对应的函数值，又y=-2+9x+l为开口向下的抛物线，故到对称轴式=:距离越近的点，函数值越大，故当71=2时，%=/5)有最大值.故数列aj各项中最大项是第2项.【点拨】数列是特殊的函数，可用数形结合的方法，但要注意自变量n是正整数.【典题2】数列qQ的通项On=品r则数列斯中的最大值是.【解析】a=端语=豕W,/(%)=%+：
6、在(0,7)上单调递减，在(7,+8)上单调递增，,斯=1上在(0,夕)上单调递增，在(，+8)上单调递减，而。2=U0，即an%,当16时，an-n10,即ar3C.k2D.k2【答案】4【解析】若(+lan成立，则函数Qn=M+k+2,在nAT,上为增函数，则对称轴一33即可，即k-3,故选:A.3(加数列$()A.既有最大项，又有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.既无最大项，又无最小项【答案】A【解析】；210=1024,211=2048,二根据指数函数的单调性知，悬砺在110时为减数列且为负，在ri11时为减数列且为正，数列工J的最小项为第10项，最大项为Ii项.故
7、选：A.4()已知数列6的通项为斯=哼，对任意7iN*,都有即。6,则正数上的取值范围是()A. k6B. 5 k 6D. 6k 0,n k.对任意n,都有n生,n=6时，On取得最小值，由k是正数以及反比例函数的单调性可知6T0,正数k的取值范围是6k7.故选：0.$()已知数列an的前n项和为S71,Qn=(3n-19)5n,则当Sn最小时，n的值为()A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】根据题意，数列a7l中斯=(3n-19)5%当116时，Wan0,则当n=6时，Sn最小,故选：B.6 ()数列a7l中，Qn=2n+。若对任意11N*,都有ar的成立，则实数A的取值范围为【答案】
8、12,24【解析】数列6中，Qn=271+3,若对任意nO都有Qna3成立，故有2n+W6+宗*W2l6,即k嚎2(l3),当?I=3时，kWR,不等式恒成立；当n4时，k6n,当九=2时，k12,当n=1时，k6.综上，实数k的取值范围为12,24.7 ()已知数列az的通项公式是an=(2几+1)舄)n,nJV*,则4l中的最大项的序号是【答案】9【解析】an+1-an=(2n+3)1-(2n+l)n=舄W空等2-(2n+1)=(歌喑*可得n0解得k,/c2,故选：B.【典题2己知数列a71满足4=2,an+1=an+藤岛，求时【解析】由条件知由l+Qz=三“十un(n+l)nn+1把以上
9、n-l个式子累加得到an-a1=1z+z-7+-T-=1-(n2)“122334n-lnnv/*Qn=Ui+1=3(n2)nnva1=2满足上式，故时=3-；(n)【点拨】这是累加法，适合形如%l+=an+/(九)的递推公式求解通项公式.巩固练习1()在数列即中，a1=,an=1-则t=()/anA.2B.3C.-1D.；2【答案】C【解析】QI=kan+=1,则。2=12=1,a3=1+1=2ct4=l-1=ga5=12=1,故选：C.2()在数歹Jan中，a1=1,a2-7且一+工=二一(九3,九AT),则4=()3an-2ann-IA.-B.-C.-D.-2525【答案】B【解析】,*,
10、1-=-a11-2QnQnT令n=3,得上+工=Z,解得的=：；令=4,得上+工=三，解得。4=3a1a3a22a204035故选：B.(2ananQll=3,1+。2+。3=9,。2+。3+。4=9，可得。4=1，同理可得：OL1-10=l,9=5.CLq3,。6=5,Q5=3,Q3=5可得:。2016=。3=5.故答案为：5.6 ()在数列r中，已知%=1，a2=5,且r+2=an+1-an(nN*),则Q2020=-【答案】-1【解析】法一：令n=1,则的=。2=51=4；令n=2,则=03-02=45=-1；令n=3则的=04一=一1一4=一5：令n=4,则诙=a5a4=-5(1)=-
11、4；令n=5则7=a6as=-4(5)=1；令n=6,则他=。7怒=1(一4)=5；二数列%为周期为6的周期数列，工。2020=。3366+4=Cl4=-I-法二:an+2=an+1-an(nV*)an+3=an+2%+1，得力+3an+2=an+l-nan+2an+lan+3=-an,an+6=-an+3=an,6周期为6，:,。2020=。336X6+4=Q4，由Q1,Q2=5,次以3=4,=-1.a2020=117 ()已知4=1,an=n(n+-an)(nV*),求数列r通项公式.【答案】an=n(nN*)【解析】an=n(7t+1-0n),二手=等，ann又有Q=a1=l-.-=n(
12、n2),a1a2n-112n-1：a1=1满足上式，.an=n(nN)设数列%是首项为1的正项数列，且5+DW+1-nW+Qn+i。=。，求通项公式是an【答案】曲=【解析】M是首项为1的正项数列，旦(+l)-naii+an+xan=0,可得几(W+一成)+(W+a11+a11)=0,即有九(ft11+l-%)(册+1+Qn)+an+l(n+l+Qn)=，由0r是首项为1的正项数列，可得(n+1)n+1=nn,则Tlan=(九-1)Qn-I=202=Ql=1，可得11=1，nEN【题型五】“与Sn的关系的应用【典题1已知数列n的前n项和为Sn=n2an(n2),而%=1,通过计算。2，。3，。
13、4,猜想等于()A.-B.-C.D.:(n+l)2n(n+l)2n-l2n-l【解析】(1)Szi=n2n,n+1=Sr+-Sn=S+l)2n+-Manan+=Q几，11211=而=与，%=京，猜测；an=-7故选：B.【典题2】己知数列%t的前n项和Srl,满足a2=-4,2Sn=n(an-7),求的和数列%的通项公式.【解析】(1)在2Sn=11(Qn-7)中，当n=1时，2S=%-7=2a1=Ql-7=Ql=-7；由2Sn=(an-7)得，2Sn+1=(n+l)(an+1-7)，由一可得，2an+1=(n+l)an+-nan-7,化简得(九-l)an+-nan=7,当2时,有华一含=e=
14、7(三一)(此处利用裂项康=W-B二年号=(等-悬)+(悬-彩)+(-)(累加法)=7(三-+7*-曰+一+7(：-=7(1-；)=不，.11=M+7(nT)_4+757_3n-7,n1nnnan+l=3n-7(n2),(n2不能漏，注意所得结论的前提)故Qn=3n-10(n3),(此时注意ZZ的取值改为Zl3)又4=-7ta2=4也都符合上式，所以ar=3n-10(n).【点拨】若已知条件已知Sn或者Sn与斯的关系式，均可以利用的=-1力；=1求解数列的通项公式0n巩固练习1 ()已知数列时的前项和为，若Sn=WN*,则02=()ATB.C.*DI【答案】A【解析】根据题意，数列Mn的前n项
15、和Sn=；,则%=52-S=(-1=故选:A.2(*)已知数列%的前Ti项和sz=3nq-n)-6,若数列%l单调递减，则如勺取值范围是()A.(一8,2)B.(-8,3)C.(-,4)D.(-8,5)【答案】A【解析】；srl=3zl(2九)一6,sn-1=3n1(-n+l)-6,n1,一得数列=3n-1(2-2n-l)(nl,nN)为单调递减数列，ann+1,且%&3n1(2-2n-1)3n(2-In-3),且AV2化为2Vn+2,(1),且;IV2,.A2,的取值范围是(一8,2).故选：A.3(*)若数列即的前71项和Sn=2n2Sn+2,则它的通项公式时是.【答案】即=*Mn2【解析
16、】当=1时，Ql=Sl=232=1.当n2时，Qn=Sn-Sn-=2n2一3n+22(nI)23(n-1)+2=4n5._fl,n=1,n三Un-5in24()已知无穷数歹Jn的前n项和%,并且arl+Srl=l,求41的通项公式.【答案】On=Q)n【解析】an+5n=1,当n=1时，臼=鼻van+l=Sn+1-Sr=Q11-an+lran+l=2an,又=3装l是以首项为5公比为T的等比数列，=(Dn5(*)设数列an的前n项和为无,已知%=2,a2=8,Sn+14Sn.1=5Sn(n2),求数列an的通项公式；【答案】an=22n【解析】由5n+4SnT=5Sn(n2)可得工+-S11=4(Sn-5n-1)(n2),an+l=4，(112)a1=2,u，2=8,*两足Cigi=4a九，所以数列册是首项为2,公比为4的等比数列，故ar=24n1=22n1fC.an+=an+(n+l),nJVzn2D.an=an-1+(n-l),n/V*,n2【解析】根据题意，可得%=1,a2=3,a3=6,a4=10,.发现规律：M=吗工，
