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1、数列的概念重点：1、理解数列的概念；2、掌握数列的通项公式及应用；3、掌握数列前项和的概念,能由Sn求an难点：1、理解数列是一种特殊的函数；2、能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式；数列的概念及表示方式1、数列的有关概念数列按一定次序排列的一列数叫做数列项数列中的每一个数叫做这个数列的项首项数列的第1项常称为首项通项数列中的第项叫做数列的通项2、数列的表示(1)-形式：,。2，。3，an1(2)字母表示：上面的数列也可以记为%注：。”是数列的第项，也叫通项。3、数列的通项公式(1)通项公式：如果数列q的第项氏与之间的函数关系可以用一个式子表示成q=/()，那个这个式子就叫做这个数列的通项
2、公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.(2)递推公式：如果已知数列,的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项。与它的前一项-M或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.二、数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列4其中nN+递减数列%4ly5,J(3)6,66,666,6666,66666,；（4）2,0,2,0,2,.【答案】（1）竽；（2）%=户/（3）4（10-1）=01）；（4）=（-l,l;【解析】（1）该数列的分子成公差为2的等差数列，分母成公比为2的等比数列，则an=2；（2）
3、该数列是正负交错的摆动数列，被开方次数依次递增，故为=（-1广4;（3）9,99,999的一个通项公式为4=10-1；则6,66,666的一个通项公式为(10T)=I(IoJ);(4)1,1,1,1,1,.的一个通项公式为.=(T)Z,则2,0,2,0,2,的f通项公式为，=(-lf+1.题型三写出或判断数列中的项【例3】(2023甘肃酒泉高二敦煌中学校联考期中)已知数列%的一个通项公式为a“=(T)”2+，且仆=-5,则实数”等于()A.1B.3C.-1D.-3【答案】B【解析】因为q=(T)2+*=-5,所以一23+=-5,解得。=3.故选：B.【变式31】(2023广西河池高二统考期末)
4、已知数列的通项公式为勺=*,则下列数是该数列中的项的是()A.7B.8C.9D.10【答案】D【解析】对于A,令/+1=7,解得：=N*,故A不正确；对于B,令+1=8,解得：=7eN*,故B不正确；对于C,令2+1=9,解得：=2应任N*,故C不正确；对于D,令/+1=10,解得：=3或髯=-3(舍),故D正确.故选：D.【变式32】(2023.新疆高二校联考期末)已知数列t-6,2l氐，则该数列的第100项为()A.10B.-10C.-11D.1T【答案】A【解析】由题意知：该数列的通项公式为4=(T)/,X)=(Tr)X三=10故选：A.【变式33】(2023上高二课时练习)已知无穷数列
5、1x2,23,34,.,9+1)，.(1)求这个数列的第1。项和第31项.(2)420是不是这个数列中的项？如果是，是第几项?(3)证明：60不是这个数列中的项.【答案】(1)4。=11。，%=992;(2)420是这个数列中的第20项;(3)证明见解析【解析】(1)因为无穷数列1x2,23,3x4,(+1),.,所以该数列的通项公式为4=必什D，贝4o=10x(10+1)=110,%=31x(31+1)=992.(2)因为为=(+l),将420代入，得(+1)=42。,解得=20或=-21(舍去)，所以420是这个数列中的第20项.(3)因为。“二(+1),将60代入，得心+1)=60,BP
6、+-60=0,解得=_g+与(负值舍去),又N,故=-：+写也不满足题意,所以60不是这个数列中的项.题型四根据递推关系求通项【例4】(2023.全国高二专题练习)根据条件,确定数列叫的通项公式.6=2,%=%+n(l+:(wN,).【答案】【解析】+ lnf 1 + l-=ln其中生二+Inf 1+1= 2 + ln2； an =(47-a”_J+(4i-4一2)+(生一生)+生= In-+ ln-!- + + ln- + ln2 + 2 = 2 + In -2 | = 2 +Inn n-n-22n- n-22)(2).又4=2适合上式，故.=2 + hw (wN.).【变式41】(2023
7、河南南阳高二校考阶段练习)已知数列叫的项满足凡+|=黑”，而q= ,贝IlqI【答案】B【解析】由所以含t 2B ( +1)2w-lDT所以2f，, ul u2 u31 2 3=XX-XX3 4 5% 二八一2an-2 nn-2 n-X n/2 + 1a n-1=i ,(,* n + , v i,因为4=1,所以凡二2因为q=满足上式,所以凡=花石，故选：B【变式42（2023全国高二课时练习）数列/中，对所有的2都有-4,贝!%+%=（）A旦BCDA-16b-9.16-15【答案】A【解析】由2,axa2a7,勺二标得九与时，小。小=（T）I2因此当3时，见=7,故，%=4,所以/+%=2,
8、故选：A（/I-I）Io4Io【变式43】（2023.重庆九龙坡.高二重庆市渝高中学校校考期末）数列4满足q=T,且“向二（1+：卜+：（”），则等于（）A.19B.20C.21D.22【答案】B【解析】根据题意,数列以满足q,且=（i+%+；（wn*）,r11L=l+?(wN*)即+1nn(n+),222=n(n+1)n+1则有，=-+(T-T)+T则4=-2(2)f故%=22-2=20;故选：B.题型五由数列的前项和求通项【例5】（2023浙江绍兴高二校考期中）已知数列叫的前项和邑=3、8,则数列叫的通项公式为.【答案】12,n = 16 + 5, 2【解析】由数列叫的前项和为S.=3+8
9、l,当2时,可得勺=5.-5小=32+8+1-3(-1)2+8(-1)+1=6+5;当=1时，q=S=12I?n=I右TJftI04【变式51】（2023甘肃张掖高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列也满足2+L+4=3+z则数列间的通项公式为.【答案】 =4, = 123ni + l,n2当2时，+L+.,=3-,+-1,因为仇+H+L+bn=y+n,所以两式相减可得a=3+-(3Z+T=2x3M+1；显然伉=4不满足上式，缀t可得=23,+l,n2【变式52】(2023四川校联考三模)已知数列满足汨+22/+23%+2Z=2,则的通项公式为()l,w=1+11,=1ALi2B.”丁C.D
10、.【答案】B【解析】当=1时，有羽=12,所以4=I,当2时，由2q+2202+23q+2Zr=-2,+22305+2m-,1=(i-1)2m-r两式相减得2%=2-(-1-=(+1)2、此时，4=等，4=1也满足，所以“的通项公式为。”=等.故选：B.【变式53】(2023全国高三专题练习)记数列q的前项和为S”，已知4=1,3Sll=叫一则为=_【答案等2【解析】由已知可得，S=an+l.当M=I时，51=-=6z1=1,所以4=3;当2时,有StT=当LrJ,5这4+1,两式相减得，%=KU-,所以可“二4”.所以有=1,%=3，,Lan=-an,iln23n-两边同时相乘可得，aia2
11、a3a4an=13-%=47%Ql,ZJ一/TZ整理可得，见=心罗.当=1时，4=竽=1,满足该式，电=竽=3,满足该式，4w(n)故4=.题型六数列单调性的判断【例6】(2023.辽宁朝阳高二建平县实验中学校考阶段练习)已知F-6=5(N),则数列也是()A.递增数列B.递减数列C,常数列D.不确定【答案】A【解析】由题意可知-q=11O(N),即从第二项起数列4的每一项比它的前一项大，所以数列%是递增数列；故选：A【变式61】(2023上.甘肃白银.高二甘肃省靖远县第一中学校联考期中)若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称应是7数列.下列数列不是7数列的是()A.2丘2B.(f
12、C,D,【答案】D【解析】当4=20-2时，如是单调递减数列，同=U，因为同-同=4应-6VO,当2时,忸-2闾单调递增,所以旧1是单调递增数列，所以20-2是7数歹I，故A错误；当4=(T)时，易知()不是递增数列，因为I(T)I=4,所以M|是单调递增数列，所以(T是T数列,故B错误；因为，所以是递减数列，ZnZyn)Zn因为嵋-“中T“,且同是单调递增数列，所以是丁数列，故C错误；所以WI不是单调递增数列，不是T数列，故D正确.故选：D【变式62(2023广西桂林高二统考期末)数列的通项公式为勺=、如，那么人-1”是%“为递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D
13、.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当AN-I时,m+i=(n+l)2+k(n+l)-n2-h=2n+k2n0,数列凡为递增数列，充分性成立；当数列4为递增数列时，n-n=(n+)+k(n+)-n2-kn=2n+k0,一(窃+1)恒成立,又一(2+I)L=-(2x1+1)=-3,.-3,必要性不成立；,m，是他为递增数列，的充分不必要条件.故选：a.【变式63】(2023.北京怀柔.高二统考期末)数列的通项公式为为=()2(=12),若上是递增数列，则义的取值范围是()A.1,-h)B.(1+Iog2e,3)C.(-,1+log2eD.(-,3)【答案】D【解析】因为数列4的通项公式为4=
14、(4)25=1,2,),且叫是递增数列，所以an4+1对于WN都成立,所以(-2)2(+1-92川对于皿一嘟成立，即-22(+1-2)对于N*都成立，所以丸+2对于DeN*都成立，所以ll+2=3,即丸的取值范围是(-,3),故选：D题型七求数列的最大(小)项【例7】(2023湖北高二校考期中)已知数列(凡的通项公式为=MlJ,则数列中的最大项的项数为()A.2B.3C.2或3D.4【答案】C122o48.88.1664解析=1x5=3；=2xg=g；a3=3-=-=a2la4=4-=-a3l当“4时，见+ir=5+l)g-(I)=T|0,所以“U所以数列口中的最大项的项数2或3.故选：C【变
15、式71(2023下辽宁辽阳高二统考期末)在数列中，可=/，则的最大值是2-15 D3-23 C1 1 8B)专(A【答案】DH_1【解析】由题意可得凡=正.根据对勾函数与复合函数的单调性,尸二在（XviZ）上递增，在（内，+0）上递减，X所以在4中,4%,当=3时，当 =4时,14/? + =n14n + =n233，152 .23 215A .数列%的最大项为6C.数列%的最小项为内B .数列4的最大项为“5D .数列4的最小项为出15322因为，所以，所以4的最大值是（=卷.故选：D2-18【变式72】（2023江西高二统考期末）（多选）数列4满是为【答案】BD【解析】因为r =2-182
16、n-18-2rt+,-18-2【答案】（1 ） 4M2(2)a,12+,-18-2-18(2rt+,-18)(2rt-18)(2rt+,-18)(2rt-18)由4川-%0,得至Ij9218,且易知,4时，勺0,所以。416所以数列MJ的最大项为出,最小项为一故选：BD.【变式73】（2023江苏高二海安市曲塘中学校考期中）已知数列叫的前项和为S”，5d=2n3（1）求数列j的通项公式见；（2）若数列出满足:/求数列出的最大项.【解析】(1)斗=2”+3中,令=1得=2+3=5,当2时，见=S“-St=2+3-2T-3=2”T,其中小=。”，5,=12nn2(2)当=1时，=-q当2时,=q-
17、0,1112n(+1)-2,ln2+2/1+12n当心3时r111,X河W港1，故l5=2所以”是周期为3的数列，故M=限34=2.故选：A【变式81】（2023.重庆.高二荣昌中学校校考阶段练习）设数歹IJ满足4=2,=,则n3=（）A.2B.IC.-yD.3【答案】C221【解析】=2所以数列4是周期为4的周期数列，2023=50543,所以023=%=-g.故选：C【变式82】（2023高二课时练习）已知数列MJ,若4=3,2=6,且=%凡（为正整数）,则数列的第35项为（）A.6B,3C.12D.6【答案】D解析4+2=4+工4+3=4+2-an+l=a+l-an-4+1=一4,/M=-q+3=-(fJ=%,数列叫是以6为周期的周期数列，%=%6+5=%,又=3,%=6,.%=6-3=3,=3-6=-3,a5=-3-3=-6f/.a35=-6.jj：D.【变式83】(2023下新疆高二校联考期末)若数列4满足=-吟-/-三一=1,贝IjI=unu11+lurun+1()A.2B.C.-3D.I【答案】C【解析】因为：一；L一+二1，所以岩，anan+l44+1l-anI+必=+%=I-J11-611q-4=-=a,4+2_,ttn所以端是周期为4的数列，故/5=%-3.故选：C
