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1、引力机械能守恒定律在各惯性系都成立摘要：文章讨论万有引力机械能守恒定律在各惯性系都成立的问题.关俊询：动能：势能：机械能：伽利略变换中图分类号：0313.1文献标识码：A一、引言重力机械能守恒定律和弹性机械能守恒定律在各惯性系都成立的问题,文山己经讲明白了，本文讨论引力机械能守恒定律在各惯性系都成立的问题。给定一个质量为M,半径为R的星球，并假设星球的质量是均匀分布的，再给定一个静止质量为的质点，“趋向于0,此时星球可以视为惯性系，下面研究质点机。在星球引力作用下的运动规律，由于我们讨论的引力场是球对称的情况,因此可进一步假设质点机只在星球的径向做直线运动。首先将球坐标系固定在星球M上，并令坐
2、标原点与星球球心相重合。在牛顿力学中，质点质量是一个常量，根据牛顿第二定律和万有引力定律，质点运动方程为：叫虫=-CM，。(1)dr广牛顿引力场的能量守恒方程Woy+=O(2),从能量守恒方程(2)可以得出，质点运动时其动能与势能之和等于常数，质点运动只同质点的起始和终了位置有关，而同质点运动的路径无关。这表明在牛顿力学情况下，引力场是一个保守力场。下面推导牛顿引力势e=e(百,x2,七)所满足的引力场方程.根据引力场基本公设，通过一微小闭曲面的引力场通量为d二一加7.其中：应是曲面所包围的质量，一Kt加是相应引力源的强度.根据“散度”的定义，三维欧几里德空间中引力场强度g的散度为,.d-dm
3、小divg=-p0.(3)dVdV因为引力场强度g与引力势夕之间的关系为g=-grad.将上式代入(3)式，得divgrad9=KPo(4)3a2其中：v2=y-v是三维欧几里德空间中笛卡尔坐标系下的拉普拉斯算符，A)=夕O(X，W，&)是三维欧几里德空间中物质的静质量密度.(4)式即三维欧几里德空间中的引力场方程.其等价于牛顿引力场方程V2q=4乃Gqr以地球绕太阳运动为例讨论万有引力机械能守恒定律是否在各惯性系都成立的问题，以往有人认为是两体问题，由于太阳相对两体质心会有微小的加速度，由此认为日心坐标系不是严格的惯性系，仅当假定太阳质量充分大时，日心坐标系才是严格的惯性系，如果这样考虑以太
4、阳为坐标系引力机械能也不守恒,必须以太阳和地球的质心为参照系机械能才守恒，但是由于地球的质量与太阳的质量相去甚远，这个影响可以忽略。如果我们再忽略非保守力所做的功，地球的机械能守恒。行星轨道运动的机械能守恒定律可以统一写成，Ek+Ep=E(6)其中。为t时刻在日心系行星轨道速度矢量的模，m为行星质量，r为I时刻行星坐标矢量的模，M为太阳系总质量而非太阳质量，G为万有引力常数，EVo为行星轨道运动的机械能，是个常数E=-色如，a为椭圆运动轨道的半长轴。证明如下一一2a利用近日点和远日点的特点：速度和坐标轴垂直(极坐标)，两点的机械能守恒，两点的动量矩(角动量)守恒：mnv1=mr2V2=mh=J
5、,即rV=r2v2=ho在近日点机械能守恒-加研2.0=E(7)2乙在远日点机械能守恒-mv20=E(8)2R(7)式乘r/变为一加入2_门GMm=Ie(9)2(8)式乘22变为一z/z2_r2GMm=rE(10)2(9)(10)有rzGMm-nGMm=E-IE,所以(r2-)GMm=(r2-)(r2+r1)E又因为门工口，2+=2a,所以E二一GMfn。2a二、引力机械能守恒定律在各惯性系都成立由于本题假定太阳质量充分大，忽略太阳能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少。选择相对日心匀速直线运动的宇宙飞船系为另一个惯性系，则两坐标系坐标变换关系为x=x,+ut,y=
6、y,ft=t,为简洁明白，我们采用矢量式坐标变换关系，并假定飞船速度在地球轨道平面内沿X轴方向，P=O时两坐标系原点重合，=0时地球过近日点，如图r=r,+ut,dr=dr,+udtfv=v,u,a-a,全部采用矢量运算，按定义，t时刻在日心系地球动能、势能和机械能分别为Ek =-mv2 GMmIT GMtnE=-X t- dr = -GMm =j rr r r由|、| 二八口/, 12 GMm GMm c所以 Ep(0+k(r)=mv =E2 r2a(13)式即地球轨道运动的机械能守恒定律，即(5)式。在宇宙飞船系，t时刻地球的动能、势能和机械能分别为E1M= m v,2 = m22(V-u
7、 ) 2=- mV2-mV u+ mu2dE，= (-f) dr = (-f) dr+f udt =2GMmmdvGMm；dr+ udt=； drmudvr2 dt r2InGME,p=+mv u +Cr由于U=O时，飞船坐标系和太阳坐标系重合，根据玻尔的对应原理可知n mGM 1,nGMEp= Ep=,所以 C=0, E,p=+mv urr,12 GMm 19 GMm 19Ep()+Ek(/)= mv - + mu=+ tnu2=E,2 r 2 2a 2(11)(12)(13)(14)(15)(16)式(13)和式(16)比较可见，地球(质点)机械能守恒定律在各惯性系都成立。两坐标系“守恒量
8、”不相等，当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加Lzm2-7Qo其2中。为t=0时静止系测量的质点初速度(因为在原点处势能相等，动能之差等于mu2-mu.vo9在静止系和运动系测量的机械能都守恒，所以机械能之差始终为一根2一22mu.voy)f上面的计算只是一个特例。三、结语（1）机械能守恒定律成立的条件并不像文献5说的那样错综复杂，而是非常简单明确的一一仅当不存在任何非保守力作用或非保守力所做之功可以忽略时，我们才可以认为系统的机械能是守恒的。（2）什么是“系统”？“系统”就是研究对象，不是参考系。系统可以是质点组，也可
9、以是质点。例如研究自由落体问题时，研究对象就是落体，系统不包括坐标系地球。当我们研究弹簧振子问题时，系统就是弹簧加小球，不包括参考物地球或小车。当我们研究地球轨道运动时，系统就是地球（质点），系统不包括参考物太阳。势能属于系统是正确的，但是由于地球的质量与太阳的质量相去甚远，把太阳的质量考虑在内结果影响不大，而且我们不知道太阳的确切质量，因此可能出现误差更大的问题。当行星质量较大时（例如木星）可以利用太阳和木星的折合质量代替木星的质量计算。周衍柏理论力学教程（1979年第一版，人民教育出版社）第47页“由于物体间相对位置发生变化所具有的能量，通常叫做势能。”这里势能应该是指内势能，具有伽利略变
10、换的不变性，在外势能中如果二者质量差别极大，外势能不具有伽利略变换的不变性，但是机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性。对于势能属于系统应该全面理解，特殊情况下认为外势能存在（这是一种数学处理方法），量变引起了质变。在这个问题中按照内势能处理也可以，只不过运算比较复杂，此时太阳坐标系就不再是惯性系，系统的质心和相对于质心匀速运动的观察者才是惯性系。作为外势能处理时，太阳坐标系和相对于太阳匀速运动的飞船坐标系是惯性系,考虑势能时不能再计算保守力做功。（3）朗道的书力学中说，在惯性参考系中自由运动的版点，由于时间和空间的均匀性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向。在这
11、个问题中引力场场强是位置的函数，不能认为是显含时间的力，在拉格朗日函数中只要是显含时间的力，能量肯定不守恒。（4）“品=-丝+mvu和纥=一也”并不始终相等，只有当宇宙飞船的相对r于太阳的速度为O时即两个坐标系重合时势能才始终相等，符合玻尔的对应原理。经典的引力势能公式皿只是一个特例（适用于观察者相对于引力源的速度为0）,它不是r定义式，是在特定条件下推导出来的，并非对于所有的观察者都成立，我们没有理由认为其它情况下也成立,需要根据势能定理（保守力做的功等于势能的减少）重新进行计算。从数学上讲，不完全归纳法得到的结论未必一定是正确的，人们一直把二者当成充要条件，才导致了这个问题争论50多年。在
12、分析这个问题时不能在太阳坐标系系用外势能机械能守恒定律，在飞船坐标系用内势能机械能守恒定律，考虑惯性力做功，前后不自洽，在惯性系里不可能观测到惯性力。如果我们这样认识经典力学，剔除了一些错误的认识，经典力学便显得更加和谐。如果坚持Ep=-N细适用于所有情况，由于两点间的距离是伽利略变换不变量，因r此参考文献46坚持认为引力势能对于不同的观察者不变，才出现了机械能不守恒的错误结论，可是我们又找不出能量的来源和消失的途径。这个问题在国际上也比较纠结。玻尔的对应原理在经典力学和量子力学之间建构起了一种独特的对应性,这一物理学原理为重构逻辑学的方法论提供了一种启发式的形式类比。现从逻辑方法论的观点上把
13、对应原理重新概括为经典逻辑是非经典逻辑的前身，非经典逻辑将构成更为普遍的逻辑形式,经典逻辑作为非经典逻辑的极限形式在局部情况下仍保持自身的意义。展开来讲,对应原理的实质性内容包括以下三个方面非经典逻辑与经典逻辑之间存在重大差异扩展型逻辑,甚至于“根本对立异常型逻辑。非经典逻辑与经典逻辑之间存在“渐近一致关系”，即非经典公式或定理在某种极限条件下将自动退化、趋近、过渡到经典逻辑对应的公式或定理。反过来,这种渐近一致关系可以作为猜想未知非经典公式或定理的依据。在“合理改写形式”下,非经典逻辑与经典逻辑之间可以找到更一般的“对应性处理方式”。因此,可以自然地预料，经典逻辑的基本概念和公式在失去普遍有
14、效性之后，仍然是定义和构造非经典逻辑的未知概念和公式的有力的辅助框架。第一条讲的是,作为先行理论的经典逻辑与待创的后继理论一非经典逻辑之间的区别。在逻辑哲学中，非经典逻辑被划分为两种类型。（a）扩展逻辑,它不触动经典逻辑的基本公理和规则,但增添新的算子以及相应的公理和规则。（b）异常逻辑,使用与经典逻辑相近的词汇，却从根本上修改公理和规则。第一类（扩展型）非经典逻辑与经典逻辑存在重大差异。例如模态逻辑增添了“必然”和“可能”等算子；道义逻辑增添了“应该”“允许”和“禁止”等算子第二类异常型非经典逻辑则与经典逻辑存在“根本对立性”。如直觉主义逻辑废弃了排中律，次协调逻辑修改了矛盾律,模糊逻辑以“
15、亦此亦彼”的“中介过渡性”代替了真假判断的“非此即彼性”。第二条是说待创的非经典的后继逻辑理论对经典逻辑仍有继承性,而且这种继承性往往是可以形式刻划或者定量化的某种一致关系。这种渐近一致关系是基于先行理论创造后继理论的一个相对的立足点和出发点。第三条讲的是对应性处理,即如何充分利用先行逻辑理论作辅助框架来发现和发展非常规的后继逻辑理论。关键在于,不仅要注意“对应性”,而且更要注意进行转译或“合理改写”。借用尼尔斯玻尔的话来说,对应原理表现着一种倾向，即当系统地发展非经典理论按我们指的是非经典逻辑,玻尔原先说的则是量子理论时，要在一种合理改写的形式下利用经典理论的一切特征,这种改写、转译应该适用
16、所用公设和经典理论之间的根本对立性。丁肇中认为：“好奇心是科学研究的原动力，不要盲从专家的结论，永远要对自己有信心,做你自己以为正确的事，别人反对是别人的事。要实现一个目标,最重要的要有好奇心,对自己做的事情感兴趣,要勤奋地工作！”四、应用根据机械能守恒可得E=AT+AU（17）T=-（7dT_dUdrdr由（17）式得尸G）=E=丝=生，因此可借助动能的梯度求质点所受之力F。drdr例如若假设质点的轨道方程为：r=r（6）=i（6?）这就是所要求的轨道微分方程，通常叫做比耐公式，引力时F为负号，斥力时F为正号。利用这个公式，除了在已知力的情形下求轨道方程外，也可从已知质点在有心力作用下的轨道
17、方程，求出有心力的具体形式。力与质点到力心间的距离，成平方反比。万有引力就是力与距离平方成反比的引力作用下产生的。例如用Q粒子（带正电）轰击原子核（带正电），将发生散射现象。这时。粒子所受的力虽然也是有心力，但与万有引力不同，是一种与距离平方成反比的排斥力。如果我们已知太阳的质量和行星的质量，则由万有引力定律，知行星和太阳之间的作用力可以写成F=_G”,n=包=_mkI”？上式中G为万有引力敞亮，r为行星和太阳之间的距离。把这个公，22，4丝+）=22Iae2J依次推导可得出我们所需要的轨道方程条。答M可以得到三种类型的圆锥曲线：椭圆，抛物线，双曲线。把一个带正电荷2e的粒子射入一原子中，如果
18、院子的结构中有一集中在很小区域的核心，而且此核心的电荷也是正的，而根据电学中的库仑定律知，采用国际单位制单位时，两者之间的作用力表示为广=_岑_=&,而a粒子方程就可以得出r2r2-12+=E。它的轨道为双曲线的一支，力心在轨道凸的一边,与引力的情形不同。万有引力和库仑力都是平方反比力，质点（或点电荷）在平方反比力作用下的运动轨迹是圆锥曲线。质点（或点电荷）的运动轨迹到底是圆锥曲线中的椭圆、抛物线，还是双曲线,则是由如下表所示的质点（或点电荷）所具有的总能量决定的：总能量负（引力）零（引力）正（斥力或引力）离心率1轨道椭圆抛物线双曲线参考文献：1赵文桐，刘文芳，刘明成.重力机械能守恒定律在各惯
19、性系都成立.物理通报，2015（3）:96-98.2李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷.物理通报，2014（9）:119-120.3蔡伯源.关于力学相对性原理与机械能守恒的来稿综述.大学物理，1994（1）：2022.4白静江.两体问题中的功能原理及机械能守恒定律.大学物理，1997（3）：11-14.5蔡伯濂.关于讲授功和能的几个问题，工科物理教学，1981（1）：7136易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理（现名：物理与工程），1998年第8卷第5期：1822.7SantosFC,SoaresVandTortAC.AnoteontheconservationofmechanicalenergyandtheGalileanprincipleofrelativityJ.EuropeanJournalofPhysics.2010,31(4):827-834.
