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1、6.2指数函数【题型归纳目录】题型一：指数函数定义的判断题型二：利用指数函数的定义求参数题型三：求指数函数的表达式题型四：指数型函数过定点问题题型五：指数函数的图象问题题型六：指数函数的定义域、值域题型七：指数函数的单调性及其应用题型八：比较指数募的大小题型九：解指数型不等式题型十：判断函数的奇偶性【知识点梳理】知识点一、指数函数的概念：函数），=（0且l）叫做指数函数，其中X是自变量，。为常数，函数定义域为R.知识点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如），=优（。0且l）的函数才是指数函数.像y=233y=2;y=3+l等函数都不是指数函数.（2）为什么规定底数。大于零且不等于1：如果 =
2、0,则X0时，4,恒等于0,X 0时,优无意义如果”。，则对于一些函数，比如7,当11,时，在实数范围内函数值不存在.如果=l,则y=r=l是个常量，就没研究的必要了.知识点二、指数函数的图象及性质:y=axOVa1时图象时图象图象:(0同性质定义域R,值域(0,+)4。=1,即X=O时，y=l,图象都经过(0,1)点屋=a,即X=I时，y等于底数a在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数xXO时，Oa*1x0时，0ar0时，ax1既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：(I)当底数大小不定时，必须分l和OvaVl两种情形讨论.(2)当Ovacl时，X+oo,y0；当al时x-,y0.当al
3、时，。的值越大，图象越靠近)，轴，递增速度越快.当Oval时，的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快.(3)指数函数y =优与y=O 的图象关于)，轴对称.知识点三、指数函数底数变化与图像分布规律(1)y=a,y=f,Iy=C*,y=dx,则：Ohadc又即：x(0,+)时，bxaxdxaxdxcx(2)特殊函数y=2xry=3x,y=(；)*，y=()的图像:【方法技巧与总结】1、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若A-80oA8;A-BA,或4/的不等式
4、，可借助y=ax的单调性求解；优的单调性求解;(2)形如。的不等式，可将匕化为。为底数的指数哥的形式，再借助y=(3)形如的不等式，可借助两函数)，=优，y=。X的图象求解.【典型例题】题型一：指数函数定义的判断例1.(2022全国高一单元测试)下列函数中，是指数函数的个数是()y=(-8),=2t；y=;y=23”.A.1B.2C.3D.O【答案】D【解析】中底数一80且。工1时，才是指数函数；中3,前的系数是2,而不是1,所以不是指数函数.故选：D.例2（2022全国高一专题练习）下列是指数函数的是（）A.y=（-4yB.y=22-1C.y=axD.y=x【答案】D【解析】根据指数函数的解
5、析式可知，y=方为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，C选项中的底数。的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.故选：D.例3.（2022全国高一专题练习）下列函数：y=3J丁=61y=62），=8+1；y=-6.其中一定为指数函数的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】形如y=优3011。工1）为指数函数，其解析式需满足底数为大于0,且不等于1的常数，系数为1,指数为自变量，所以只有是指数函数，都不是指数函数，故选：B.变式1.（多选题）（2022重庆西南大学附中高一期中）下列函数是指数函数的有（）A.y=x4B.y=（；）“C.y=22xD.y=-3v【答案
6、】BC【解析】对于A,函数y=/不是指数函数，对于B,函数y=（g）*是指数函数；对于C,函数y=22=4是指数函数；对于D,函数y=-3不是指数函数.故选：BC.变式2.（2022全国高一专题练习）下列函数中是指数函数的是（填序号）.y=2();y=2T；y=图;y=xx；一；)，=%.【答案】【解析】y=2(五的系数不是1,不是指数函数；y=2的指数不是自变量X,不是指数函数；N=11是指数函数；)，=犬的底数是X不是常数，不是指数函数：v-3+的指数不是自变量”，不是指数函数；(g)y=)是察函数.故答案为：【方法技巧与总结】一般地，函数y=(0且。工1)叫做指数函数，其中指数X是自变量
7、，定义域是R,。是指数函数的底数.题型二：利用指数函数的定义求参数例4.(2022山东淄博职业学院高一阶段练习)若函数/(x)=(T)X为指数函数,则4的取值范围是【答案】lvv2或2,【解析】/()=(-1)x为指数函数，则01,解得：l2,故答案为：lv02,例5.(2022.全国.高一专题练习)函数.丫=(储-5+5)/是指数函数，则4的值为.【答案】4a2-5+5=1【解析】因为函数y=(-5+5)为指数函数，则0,解得=4.a故答案为：4.例6.(2022湖南长沙市南雅中学高-一阶段练习)函数是指数函数/(x)=(-3a+3)优，则有。=【答案】2【解析】由题意可得“2-3+3=l,
8、解得=2或=l,又0且l,所以。=2.故答案为：2变式3.(2022全国高一专题练习)己知函数y=2和y=2b都是指数函数，则.+=.【答案】1【解析】因为函数y=2是指数函数，所以1=l,由y=2E是指数函数，所以力=0,所以。+=1,故答案为：1.变式4.(2022.宁夏平罗中学高一期中)函数y=(2a-3)是指数函数，则。的取值范围是.【答案】|,2)J(2,+8)【解析】因为)，=(2。-3)*是指数函数，f24-303所以C,一解得：=v2或20且亦1)图象上，对于函数y=f(x)定义域中的任意4,x2(x1x2),有如下结论：/(%+x2)=/(X)./(%)；/(%)=/(%)+
9、/(&);XT2中)；/上述结论中正确结论的序号是.【答案】【解析】点(2,9)在函数/(幻=能(。0且。)图象上，即9=/,.=3,f(x)=3t,对于函数x)=3定义域中的任意的x2X2),有+x2)=3e=333电=/&)/(/) 结论(1)正确；又f(g)=3%/(x1)=3r-3,/(x1x2)(x1)(2), 结论(2)错误；.4)一/(工2)二0又/(x)=3是定义域R上的增函数， 对任意的不与，不妨设王毛，则/()vf(%),，内-9。，/(vj)-(a)O,结论(3)错误;乂)(芭+4)二3中,/(，)+/(%)二3国+3士/(x,)+(x2)X1 X221,33“、1”丝，
10、p+s)2、牛3牛2/(斗)+/(毛)-*22F.2、1,3-322平广)；结论(4)正确;故答案为：(1),(4).【方法技巧与总结】)二系数为1.题型三：求指数函数的表达式例7.(2022全国高一单元测试)已知函数/(x)是指数函数，且/=9,则出)【答案】3【解析】由题意，设力=(。0且al),因为f(2)=9,所以/=9,又0,所以a=3,所以/(x)=3,所以/仁)=.故答案为：3例8.(2022湖南高一课时练习)已知函数/(x)是指数函数，且-I)=W,则/(3)=.【答案】125【解析】设“力=(0且1)，则/)=t3=害=5太得a=5,故力二5因此，/(3)=53=125.故答
11、案为：125.例9.(2022.重庆市璧山中学校高一期中)写一个函数，满足函数值域为(0,+8).(答案不唯一，写出一个符合题意的即可)【答案】八)=2，(答案不唯一)【解析】因为函数值域为(0,+),所以函数/(幻=21故答案为：/(X)=2(答案不唯一)变式6.(2022福建省福州外国语学校高一期中)已知函数/(x)满足：(1)对于任意的内，WeR,有/(%+%)=/(X),/(%)；(2)对于任意的M,awR,且西工天，都有*2)o1x2请写出一个满足这些条件的函数.(写出一个即可)【答案】/(x)=(；J(答案不唯一)【解析】由题知：设/(x)因为任意的对eR,有/)=(；1，/(X2
12、)=小)小)=成出=3，(Hr.所以满足对于任意的百，七WR，有/(+A)=(xi)(x2);因为对于任意的,wcR,且西士马，都有一)0,4/1）恒过定点.【答案】（TJ）【解析】当x+l=0,即X=-I时，y=l,所以y=ax+a0,41）恒过定点（一覃）.故答案为：（-11）例1L（2O22全国高一单元测试）若0且。1,则函数/（x）=i+3的图像恒过的定点的坐标为.【答案】（4,4）【解析】令-4=0,得x=4,所以/（4）=+3=4,所以函数力=。1+3的图像恒过定点（4,4）.故答案为：（4,4）例12.（2022全国高一单元测试）函数/。）=优7+230,。点）的图象恒过定点.【
13、答案】(1,3)【解析】令X-I=0,可得X=1,所以f=0+2=3,即f(x)图象恒过定点(1,3).故答案为：(1,3)变式8.(2022安徽省定远中学高一阶段练习)不论。为何值时，函数/(X)=优-(且恒过定点【答案】(2,0)【解析】因为/(x)=4-=(2-l),/(2)=0恒成立，所以恒过定点(2,0).故答案为:(2,0)变式9.(2022.全国高一单元测试)函数y=dr(0M)的图象恒过定点A,若点A在直线m+ny-=Otinn0)上，则J+的最小值为.2mn答案三逑2【解析】当X=I时，y=l,所以，定点A的坐标为(1,1),由已知可得W7+=l,因为?()，则ZWO且0,f
14、-c.,t11(11Y、3n加、3fnin3+2-72JjFf以,+-=+(/+)=+-+2J=-2mn2mn)22mn22mn2当且仅当=机时，等号成立，因此，的最小值为三2叵.2mn2故答案为：3+2,2【方法技巧与总结】令指数为0求解题型五：指数函数的图象问题例13. (2022浙江宁波高一期中)函数的图像()【解析】由题可得函数的定义域为（y,（）u（o,+）,当*0,厂（9（1J,函数单调递减，此时Oycl,排除AC：当vo,aJn,函数单调递增，此时y0,且l）的图象有两个公共点，则。可以是（）A.2B.C.-D.343【答案】C【解析】由题意，1线y=3与函数y=|-l（0,的图
15、象有两个公共点,当OVaVI时，），二炉-1|的图象如图所示,o由已知得OVMVI,04l时，)，=2-1|的图象如图所示，斗由已知可得()3avl,.0al可得无解，综上可知，。的取值范围为(0,；),故选：C例15.(2022山东青岛二中高一期中)已知函数/(x)=(x-)(x数g(x)=+b的图象大致是()儿41.i-b)(其中6)的图象如图所示，则函-TA.B.【答案】C【俯析】/(x)=(x-G(x4)的函数图象与X轴的交点的横坐标为(X-)(x-8)=。的两个根,由(x-)(x-b)=0可得两根为,b,观察“力=(工-4)(工-3的图象，可得其与轴的两个交点分别在区间(To)与(L
16、+)上,又.ab,.*.1,1l时，优为增函数,又由TVhVO得g(x)的图象与.、，轴的交点在X轴上方,分析选项可得C符合这两点.故选：C.变式10.(2022全国高一单元测试)函数y=优；y=bx；y=c;y=d的图象如图所示，,b,5214 , 3 , 2则, b, cf d的值分别是()【答案】C【解析】由题图，直线X=I与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为。，d,a,从而6qgg故选：C.B. 0 1D. a,b变式11.(2022.浙江省淳安中学高一期中)若函数/(x)=(A-Da-匕+1)的图象如图所示，则()C.atb0,解得61；又由函数“力的图象得，当XVO时,F(X)0
17、,当XVO时，因为61,可得x-b+lO,所以一10,即优l.故选：D.变式12.(2022全国高一期末)若函数/(x)=+b的图象如图所示，且/(T)=O,则实数，b的值可能为()B. a = t b =-33D. = L b = -22【答案】C【解析】由函数/(九)=+的图像，可得函数“可为单调递增函数，所以l,又由/(T)=O,可得+人=0,可得H=-I,结合选项，只有C项适合.故选：C.变式13.(2022全国高一课时练习)已知。0且l,f(x)=x2-axt当x(-l,l)时均有f(x)l时，,（-l）解得lv2.当OVaVI时，l2-p解得:0且分1）在区间-2,2上的最大值和最
18、小值的和为号，则。的值为（）A.：B.好C.3D.且或J333【答案】D【解析】当00,得出产-20,解得fT（舍去）或f2,即2jr2,解得xl.因此，函数y=f（x）的定义域为L+）,故答案为l,+）.变式16.(2022湖北武汉市第十五中学高一期末)函数/(x)=+l(0,最大值为13,则实数的值为.【答案】3或g【解析】(x)=+l令/=/,则f0,则y=f2+=(r+g)2+1,其对称轴为z=-g该二次函数在-g,+)上是增函数.若al,由xwT,l,得Z=wa,故当f=,即Ar=I时，Fm=+l=13,解得=3(=-4舍去).若0vl,由xe-l,l,可得=a,_a故当r=L即X=
19、T时，a,”!或-!(舍去).34综上可得a=3或g.故答案为：3或;.变式17. (2022山东烟台高一期末)已知函数/(X)=(l-a)x+2fz,x03-i,0则实数。的取值范围为【答案】aO.JI，解得，l.2a-63故答案为：aO且工L则函数y=/(x)(x0)的值域是.【答案】(。，2【解析】因为/(x)=(X0)的图象经过点(2,1),所以;=/7,解得则力=(gJ%O),所以00),.函数 y = 4+2M+3(xwR)化为/(f) =+2r+3 = Q + l)2+2(f0),-22r+3=(2r-l)2+2,设2,当Xe(FW时，0r2,所以2(z-iy+23,即函数y=4
20、*+23+3的值域为(3,+).(x-l,2)的最大值为故答案为：(3,+)变式24.(2022河北武强中学高一期中)函数y【答案】8【解析】设，=T2+1,因为Xe-l,2,所以当X=O时，f有最大值1,当x=2时，有最小值-3,即一31,所以g(g8,即y=(g)的取值范围是g,8所以函数的最大值为8,故答案为：8.变式25.(2022陕西渭南高一期末)方程2+3X=攵的解在0,2)内，则&的取值范围是.【答案】(5,10)【解析】令y=2+3x,xe(l,2),显然该函数为增函数，2+3x1=5,2?+3x2=10,值域为(5/0),故50且lxl)的值域是,则实数=【答案】3或g【解析
21、】当l时，函数y=-2(0且wl,-lxl)是增函数,1_2=_5.值域是团-2,4-21,.*.a3=3;a-2=当0v0且4wl,-lxl)是减函数,值域是。-2,a-2,.=-.a-2=-53综上所述，可得实数=3或g.故答案为：3或g【方法技巧与总结】求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义.题型七：指数函数的单调性及其应用例19.(2022广西南宁高一期末)设函数/(x)=(g)-2x,则/(力()A,是偶函数，且在(0,+8)单调递增B.是偶函数，且在(0,+8)单调递减C.是奇函数，且在(0,+8)单调递增D.是奇函数，且在(0,+8)单调递减【答案】D【解析】函数/
22、(力=(夕-2*=27-2的定义域为/?,-力=2-2-=一(2一一2)=-7),所以函数力为奇函数.而“H=(fx-2=(；)+(-2),可知函数/(x)为定义域R上的减函数，因此，函数/(x)为奇函数，且是R上的减函数.故选：D.例20.(2022浙江温州市第八高级中学高一期中)已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，/(x)=2xx-l,则不等式1一1)2的解集为()A.(0,2)B.(-,2)C.(2,+)D.(-,0)(2,+)【答案】A【解析】当x0时，/(力=2*+x-l,则在0,用)上单调递增，又函数/是R上的偶函数，且/(1)=2,因此，/(x-l)2oF(B-IDO
23、(I)Ok-I卜1,解得0xv2,所以不等式/(x-l)0时，f(x) =(JW则，单调递减;当XVo时，/()=,=6)=3,则/(x)单调递增.故选：D.变式28.(2022河南登封市第一高级中学高一阶段练习)函数y=5*+4-3的单调递减区间是()A.+oo)B.(-,2C.(-,1JD.l+)【答案】A【解析】设=T2+4x-3.在(-,2单调递增，在2,+oo)单调递减，丁=5在(-00,+00)单.调递增，根据“同增异减”可得，函数丁=5*+47的单调递减区间是2,+8）.故选:A.zx2x2-3x1小+00变式29.（2022安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）函数），=g的单调递减
24、区间为（）A.0,+）B.卜双？C.（-,1）D.【答案】D【解析】因为函数），=2/31+1在区间卜8,|上单调递减，在%+8）上单调递增，函数y=J在定义域内是单调递减函数，所以，根据复合函数单调性法则“同增异减得z x22-3+1的单调递减区间为5,+8故选：D【方法技巧与总结】研究V=7.型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时,y=y2J1B.必1%C.y1y3y2D.y2y3yl【答案】D【解析】由题意可知，y1=ll08=（ll2）04=1214,%=1607=（24）-7=2x8=（27）04=1284,j3=2506=（52）06=5i2=（53）4
25、=125o4,又因为函数产产在（0,+巧上是增函数，i28125121,所以167256118,故故选：D例23.（2022陕西安康市教学研究室高一期末）若ab,则下列各选项正确的是（）A.-7B.abC.3D.3a3bab【答案】C【解析】对于A：取=T6=-2,则L-1,，=一!，故A错误；ah2对于B：取。=-1/=-2,则lal=I,网=2,故B错误；对于C：函数=?在R上单调递增，又ab,所以故C正确；对于D：函数y=3*在R上单调递增，又ab,所以一v4,所以3-。3，故D错误；故选：C例24.（2022四川德阳高一期末）已知=0.23?,b=05,C=则以下关系不正确的是（）A.
26、bacB.abbeacC.D.-cabbbb-【答案】D【解析】对于指数函数：丁=诡，若00.25,ab,对于基函数：J=Z3是增函数，.0.330.23,即，a,b,C的大小关系为：OVbVaVC,故A正确；对于B,由于vc,.bAc,由于b,.Mcvac,故B正确；对于C,由于y=!是减函数，.,故C正确；Xcab对于D,若成立，则有c（b+l）yy2B.y2yiJ3C.yiy3y2d.yly2J3【答案】c【解析】由题意可知，y,=909=318,y2=27048=(33)48=产，又函数y=3在R上是单调递增函数，因为1.8151.44,所以3L8353L44,故必%必，故选:C.变式
27、31.(2022浙江高一阶段练习)已知=2h=4%=25上则)A.bacB.abcC.bcaD.ca黑函数y=f在R上单调递增，指数函数y=16在R上单调递增，ba,:bac故选：A.【方法技巧与总结】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较，从而得出结果.总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.题型九：解指数型不等式例25.(2022全国高一专题练习)已知函数力=3川-4工-5,则不等式/(力0的解集是.【答案】(
28、TJ)【解析】因为函数/(力=3川-41-5,所以不等式/(x)Vo即为3川4x+5,在坐标系中作出y=3xZy=4x+5的图象，如下图所示，y=3r+,y=4x+5都经过A(TI),5(1,9),/(x)VO即丁=3.的图象在y=4x+5图象的下方，由图象知：不等式/(x)1的解集为.【答案】(e,0)【解析】由可得Xo,故解集为(y,o)故答案为：(f,o)例27.(2022内蒙古呼和浩特市第一中学高一期中)已知函数f(x)=ex-e-x,则不等式/。-2)+/(%2-4)0的解集为.【答案】(一3,2)【解析】因为/(X)=e,定义域为R,且f()=ex=-(x),故/(力为奇函数;乂y
29、=ey=均为单调增函数，故“同是R上的单调增函数；KJ(x-2)+(x2-4)0,BJ(x-2)(4-),也即-24-W,2+-60(x+3)(x-2)0,解得-3x2.故不等式/(x-2)+(x2-4)0的解集为(-3,2).故答案为：(一3,2).2tr1变式32(2022.浙江省杭州学军中学岛一期末)已知函数小)力工/则不等式的解集为【答案】(-00,09r1【解析】因函数/(X)=，则不等式/()i化为：1c,1,x,x2*1xlxx1,解彳2，1得：x,解20.故答案为：(口,O变式33.(2022全国高一课时练习)不等式厂4或x02a -4 .r0【解析】0,则)=一幻=2一工一4
30、, .J(x)=: -4,x0,X-2 O,2 0时，有1 2 4、C或尸+2解得x4或XV0.Z 4U Z -4U,+x-20,解得x(y,-2)U(Lhx)故答案为：(00,2)kj(l,+).变式34.(2022河南南阳中学高一阶段练习)函数/(力=州+/，则不等式2工-1)1-2)的解集为【答案】(TI)【解析】显然f(-x)=2问+(-X)2=2w+X2=/(x),/(X)是偶函数，x0时，/(x)=2+r是增函数，所以不等式/(2x-l)vx-2)等价于/(2x7)(x-2),即2XTIVk-2|,(2x-l)2(x-2)2,3x2-34或x4或x0【方法技巧与总结】利用指数函数的单调性求解.题型十：判断函数的奇偶性例28.(2022北京五十五中高一期中)如果函数$+是奇函数，则。的值是.2+1【答案】-1【解析】因为函数的定义域为R，并且函数是奇函数，ZO所以“0)=0,即黄+=O,解得。=-1；经检验=T符合题意故答案为：-1.例29.(2022浙江省临安中学高一期中)已知/(x)是定义在T4上的奇函数，当xe0,4时，/(x)=2+4(R).求人力
