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1、9.2椭圆及其性质基础篇考点一椭圆的定义及标准方程1.（2023届广州阶段测试,3）记p:“方程（怯1）r+（3加）V=1表示椭圆”，g：“函数/（x）=+（e2）x无极值”，则是g的（）A.充耍条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案B2. （2021新高考I,5,5分）已知产1,B是椭圆C+=l的两个焦点,点用在C上,则IMFlHMF2的最大值为（）A.13B.I2C.9D.6答案C3. （2021浙江嘉兴一中开学考）已知P为椭圆t+=I上一点,若P到一个焦点的距离为941,则P到另一个焦点的距离为（）A.3B.5C.8D.12答案B4. （2022广东深圳中学
2、月考,6）已知直线/:尸x+1与曲线Cx2W=I相交于A,8两点,F（0,-l）,则然的周长是（）A.2B.22C.4D.42答案D5. （2023届江苏省包场高级中学检测，13）已知椭圆+若=1,长轴在），轴上.若焦距为2,则相等于.答案76. （2021全国甲，理15,文16,5分）已知Q,B为椭圆C+=l的两个焦点,P,Q为CIo4上关于坐标原点对称的两点,且IPQ=IaF2,则四边形PFlQF2的面积为.答案8考点二椭圆的几何性质1. （2022武汉二中月考,5）已知椭圆J+y2=（g）和双曲线_尸=（加有相同焦点，则（）A.=m+2B.n=a+2C.a2=rn2+2D.m2=a2+2
3、答案A2. （2019北京理,4,5分）已知椭圆W+=1（ab的离心率为士则（）A.2=2B3a2=4b2C.a=2hD.3a=4b答案B3. （2023届广东佛山顺德教学质量检测一,6）己知四边形A5CD是椭圆C+V=I的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形ABCO为矩形,则四边形ABCO的面积的最大值为（）A.43B.yC.3D.42+26答案A4. （2022河北秦皇岛三模,5）已知椭圆+，=1（a比0）,F（-3,0）为其左焦点,过点F且垂直于X轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tanN40FW（O为原点），则椭圆C的长轴长等于（）A.6B.12C.43D.83答案C5
4、. （多选）（2022河北衡水冀州一中期末，10）已知椭圆Cw+g=l（a0）的右焦点为F,点尸在椭圆C上,点。在圆氏（x+3）2+（4）2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆。外,若IPQHPA的最小值为25-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确的是（）A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为百C.PQ+PF的最小值为25D.过点尸的圆E的切线斜率为言立答案AD6 .(2021浙江，16,6分)已知椭圆盘+(ab0),焦点F(C,0),F2(c,0)(c0).若过R的直线和圆(-c):产=/相切，与椭圆在第一象限交于点P，且PBLx轴,则该直线的斜率是,椭圆的离心率是.答案等
5、B7 .(2019课标In理，15,5分)设R,B为椭圆C+l的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若AMQB为等腰三角形,则M的坐标为.答案(3,15)考点三直线与椭圆的位置关系1.(多选)(2022福建莆田二中模拟，10)已知椭圆C=+岸l(a),焦点HQGO),2(c,O)(c0),下顶点为B过点Fx的直线/与曲线C在第四象限交于点M,且与圆A:(x+2c)2+V=g相切,若丽钻=o,则下列结论正确的是()A.椭圆C上不存在点Q,使得QF1QF2B.圆A与椭圆C没有公共点C.当。=3时,椭圆的短轴长为26D.F2B-LFiM答案AC2.(多选)(2022山东荷泽二模，11)已知椭圆：y+
6、=l的左,右焦点分别为F1,F2,直线x=m(-V2m0),由l+b2b2A(Lm在C上可得T+盘=1，解得b2=3或6=卓舍去)，故椭圆C的方程为9+7=1.设直线AP:V-I=Z(X-1),AQy-I=-MX-1),(y_|=k(1),联立221肖去y整理得(3+4d)x2-(8Ai2Qx+4%2-i2h3=0,土+匕=1,143Wn(mil,iSk2-12k44fc2-12k-3设P3,y),则=r=65=%(介1),丁尸6+8k2，lllp4k2-12k-3-12k2-12k+9人03+4“2-6+8k2-Jf以代替“，得。(e等)，24k_.秘=Ql=雷=3,即直线/的斜率为;.XQ
7、FE222yr25. (2020天津,18,15分)已知椭圆巳+=1(abO)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为Ft且IoAI=OE,其中。为原点.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足30C=和,点8在椭圆上(8异于椭圆的顶点)，宜线AB与以。为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.解析由已知可得43.记半焦距为c,由IOFl=IoAl可得c4=3.又由a2=b2+c2i可得=18.所以椭圆的方程为3+-=1.因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以A6_LCP.依题意知,直线AB和宜(y=k-3,线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为产质3.由方程组/y2消去必
8、可得(6+.=1，(26M)X212U0,解得广O或广标.依题意,可得点B的坐标为(悬,票习.因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,3),所以点P的坐标为(就7五三)由30C=OF,-3得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为亨；即“2:人.又因为CP,所以-12kZ-6k+l2k2q37=-L整理得2&2-3-1=0,解得鸟或A=L所以直线AB的方程为尸#3或y=x-3.6.(2022山东济宁三模,21)已知椭圆上:5+。1(公历0)的左、右顶点分别为A、B,点厂是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上,且IQQ的最大值为3,椭圆E的离心率为去(1)求椭圆E的方程；(2)若过点A的直线与椭圆
9、E交于另一点P(异于点B)t与直线x=2交于点MNPFB的平分线与直线户2交于点N,求证:点N是线段的中点.1QFma=+c=3,解析由已知可得|=三a2a2=2+c2,a=2,22解得b=3,因此椭圆上的方程为亍+$1c=1.证明：由对称性,不妨设点尸在X轴上方.当直线P/7的斜率存在时，因为FN平分NPFB,所以NPFB=2NNFB,所以tanNB=三i,即h产篇设直线AP的方程为广屋x+2),其中k0,联立消y可得(4乃+3)/+16&+16R-12=0,设点P(x,y),则以尸嗡言,所以第=黑，则3+2)二送p即点尸(黑,黑)，12k_所以kpF=*1=备，X1-I6-8fe1l-4k
10、23+4k2设直线FN的方程为y=m(x-),则点N加，把x=2代入广攵G+2)得y=4kf即M(2,4k),因为M=熬Q所以号=彘，整理可得(2k-m)(2to+l)=0,因为切0,所以m=2k,所以=三=,所以点N为线段的中点.当直线P尸的斜率不存在时,不妨设点尸(1卷)，则直线AP的方程为G+2),所以点M(2,2),又因为直线HV的方程为y=x-l,所以点N(2,1),所以点N为线段的中点.综上可知,点N为线段BM的中点.综合篇考法一求椭圆的标准方程1.（2022江苏苏州中学月考,7）已知椭圆C：W+，=l（a0）的左、右焦点分别为离心率为今过B的直线/交C于A,8两点,若“尸山的周长
11、为43,则椭圆C的方程为（）y2A.y + y2 = l2 v2C二+J=I128答案BbX + =i322 v2DN +J1242. （2022全国甲文，11,5分）已知椭圆C：4+A=I（Ab0）的离心率为;,AhA2分别为C的左、右顶点,8为C的上顶点.若西两=-1,则C的方程为（）2y22v2A+77=1B.-+-=l181698v2v22C9+5=d.=i答案B3. （2019课标I文，12,5分）已知椭圆C的焦点为长（1,0）,尸2（1,0）,过户2的直线与C交于A,B两点.若IABl=2B仇A5=3B,则C的方程为（）f22y2A+y2=lB.-+v=l2J322丫22y2C.V
12、+-=1D.W14354答案B4. （2022河北保定部分学校期中，16）已知椭圆。的中心为坐标原点,焦点在），轴上,FhB为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点尸,使得IPBI=6|PB|,写出C的一个标准方程:.答案9+9=1（答案不唯一）5. （2020课标H理，19,12分）已知椭圆G:冬+，=I（G/0）的右焦点尸与抛物线Cz的焦点重合,Cl的中心与C2的顶点重合.过产且与X轴垂宜的直线交Cl于4,6两点,交Cl于C,。两点,且C0WA8.（1）求G的离心率；设M是G与C2的公共点.若IMFl=5,求G与C2的标准方程.解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=2
13、-b2.不妨设A,C在第一象限，由题设得A,B的纵坐标分别为弓;CD的纵坐标分别为2c,-2c,故A3=r,CQ=4c.由IS二轴引得4c=挛,即3-=2-2()；解得=2(舍去)或=所以Ci的离心率为;.33aaaaa22(2)由(1)知a=2c,b=y3ctiCi:-77+7=l.4CbO)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为Q/DA已知5OA=2O3(0为原点).(1)求椭圆的离心率；(2)设经过点尸且斜率为1的直线/与椭圆在X轴上方的交点为P,圆C同时与X轴和直线/相切，圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解析(1)设椭圆的半焦距为GV3OA=2OB,2.*.y3a=2b.又
14、由a2=b2+c2,消去匕得a2=(y)+c2,解得:=/,椭圆的离心率为今(2)由知,a=2c,b=y3cf故椭圆方程为三+*1.由题意知,F(-c,0),则宜线I的方程4cz3c为月(x+c).fi+21=1点P的坐标满足4C23C2消去y并化简,得到72+6c-.13c0,解得X1=CX2=三(y=2(+c),7代入I的方程,解得,1=C,y2=C.因为点P在X轴上方,所以P(CqC)由圆心C在直线x=4上,可设C(4,i).因为OC4P,且由知A(-2c,0),故：=等4C+2C解得U2.则C(4,2).因为圆C与X轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与/相切,得唯穹1=2,可得c=2
15、.同22所以椭圆的方程为+=1.16IZ考法二求椭圆的离心率（或范围）1.（2023届福建部分名校联考,4）椭圆CW+（a5）的左、右焦点分别为FbF2,经过点B的直线与椭圆C相交于A,3两点,若AAB乃的周长为16,则椭圆C的离心率为（）A.aB.再C.1D.更4424答案A2.（2023届南京学情调研,6）已知椭圆a十步1（值0）的左、右焦点分别B、左顶点为A,上顶点为B,点P为椭圆上一点,且PF2IFiF2,若AB/PFh则椭圆的离心率为（）A浮B.CwDv5232答案A3. （2023届南京雨花台中学调研,7）直线x-y+l=0经过椭圆圣+=（ab0）的左焦点F,交椭圆于A、B两点,交
16、），轴于C点,若元=2而,则该椭圆的离心率是（）A10-2D3-lA.B.22C.22-2D.2-l答案A4. （2022全国甲理，10,5分）椭圆C:/+（aZA）的左顶点为A,点P,Q均在C上，且关于y轴对称.若直线APfAQ的斜率之积为则C的离心率为（）AWB.3C.|D.2223答案A5. （2023届长沙雅礼中学月考,7）已知椭圆C+g=l（aO）的左、右焦点分别为R,B,尸为椭圆上一点,且NBPF2专,若R关于NBPF2的平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为（）a2o3r1n1A.-B.-C.一D.一2323答案B6. （2022湖南岳阳一中开学考,8）己知椭圆M的左,右焦
17、点分别为FhF2,若椭圆M与坐标轴分别交于ABtC,O四点,且从F1,F2,A,B,CiD这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形,则椭圆M的离心率的可能取值为（）A.dB.更C.D2232答案A7. （2023届贵阳一中月考二，11）已知A,B分别为椭圆E：+=l（aZ?0）的左、右焦点,E上存在两点A,8,使得梯形AFIF28的高为c（其中C为半焦距），且丽=3瓯,则E的离心率为（）A*BWCwDA3323答案A8. （2023届贵阳一中月考一，11）油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户
18、外展览场地上,如图所示,该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为60时,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,若该椭圆的离心率为e,则e=（）A.B.33-5C.3-22D.7-23答案B9. （2022山东滨州二模,8）己知椭圆C和双曲线C2有相同的左,右焦点FbF2,若ChC2在第一象限内的交点为P,且满足NPOF2=2NPFIF2,设外会分别是C,C2的离心率,则e,02的关系是（）A.e2=2B.ef+ef=2C.el+ele2+ef=2D.e：+雄=2登登答案D2210. （2021全国乙理，11,5分）设8是椭圆。邑+=1（ab
19、0）的上顶点,若C上的任意Q/一点P都满足IPBIW2则C的离心率的取值范围是A怜1)BGl)C（。,第D.（身答案C11. （2021福建莆田三模,5）明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图2所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图1、2、3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为E去冬设图1、94572、3中椭圆的离心率分别为白、62、则（）A.ee3e2C.ee2e3 答案AB.e2e3e1D.e2ee3图2图312（2022江苏盐城三模,7）已知点尸为椭圆Crg=l（OtC山）D.（%）答案B13.（多选）（2022山东济宁二
20、模，11）设椭圆。:圣+十（公外0）的左、右焦点分别为丹、Fa上、下顶点分别为A1、Az,点P是C上异于4、A?的一点,则下列结论正确的是（）A.若C的离心率为右则直线PA1与PA2的斜率之积为TB.若PAJ_P&则APRB的面积为加C.若C上存在四个点P,使得PF1IPF2,则C的离心率的范围是（0,乎）D.若IPFII02b恒成立,则。的离心率的范围是（0,才答案BD14.（2023届湖北沙市中学月考，15）已知点A为椭圆W+=1（0）的左顶点,O为坐标原点,过椭圆的右焦点尸作垂直于X轴的直线Z,若宜线/上存在点P满足NAPo=30。,则椭圆离心率的最大值是.答案i考法三直线与椭圆的位置关
21、系问题1. （2021江苏盐城伍佑中学期末,8）己知F,B为椭圆1+=1的左、右焦点,尸是椭圆84上一点,若SaFPE=4,则NBPB等于（）A.30oB.45oC.60oD.90o答案D2. （2022郑州检测，11）斜率为1的直线/与椭圆+y2=l相交于4,8两点，则IABl的最大值为（）A.2B.迪3C.2D.这33答案D3. （多选）（2022山东临沂三模,12）2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F（0,2）
22、,椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G若过原点。的宜线与上半椭圆交于点Af与下半圆交于点Bi则（）A.椭圆的长轴长为4企B.线段AB长度的取值范围是4,2+22CZAB/面积的最小值是4D.AFG的周长为4+42答案ABD4. (2023届广西柳州摸底，已知A(3,1),B(30),P是椭圆盘+=1上的一点,则Io7P4+P8的最大值为.答案95. (2022新高考I,16,5分)已知椭圆CW+=1(*b0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为去过F1且垂直于的直线与。交于E两点,|。|=6,则。E的周长是.答案136. (2023届重庆一中月考,21)已知椭圆Cw+(
23、AO)经过点(b*),其右焦点为F(3,0).(1)求椭圆C的离心率；(2)若点P,Q在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为会求面积的最大值.(C=V5,m=2,+-=解得b=l,a4r-a2=b2+C2tIC=73,所以椭圆C的方程为?+),离心率e与(2)易知直线AP与AQ的斜率同号,所以直线PQ不垂直于X轴，故可设PQ.y=kx+m,k0fP(xby),。(如及)，由jj+y2=L可得，(+43)+8Wd+44=0,所以即+爵=侏=16(4F+1病)o,由心向Q嗑HP=可得20(kx+m)(kx2+m)=(XI-2)(立2),20k2xX+20knt(x+x2)+20n
24、2=xX2-2U1+x2)+4,2020km建+20m2=-2郎4,化简得62+-m2=0,所以l+4k2l+4fc2l+4fc2l+4k2m=-2k或n=3kf所以直线PQ:产MX-2)或产女G+3),因为直线PQ不经过点4,所以直线PQ经过定点(3,0).设定点8(-3,O),SAp=SA5PS5Q=MBIlyly2=IIMlXI-X2I=1fc(x+x2)2-4%i%25./-8kn24m2-4=#成由)-4X由_5|fc|J16(4k2+-n2)_Ioj(-2)H2l+4fc2.1+4/C2，因为15庄0,所以02P(PIjM?当且仅当W，即Fq时取等号，即A尸。面积的最大值为半7.
25、(2020课标In理,20,12分)已知椭圆C:+=I(0m5)的离心率为厚,A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上,点Q在直线=6上,且IBPI=I8Q,BPYBQ,求APQ的面积.解析由题设可得空空=乎,得加,所以C的方程为忘+0,由题意知ypX).由已知可得3(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),Vq所以6P=ypJlTyJ,IBQl=Jl+赂因为出PI=5。|,所以y尸1,将加=1代入C的方程,解得知=3或3.由直线BP的方程得九=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),(6,2);P2(-3,1),Q(6,8).P=10,直线PQ的方程为产$
26、,点A(5,0)到直线PQ的距离为祟故的面积为TX手1U=李P22=130,直线PiQi的方程为y-x+当点A到宜线PIQI的距离为缪,故AAPzQz93Zo的面积为：X缪X130=.综上,APQ的面积为NZoii8.(2022广东佛山一中月考,21)已知椭圆G:1+岸1(bO)的离心率为给且过点(3,1).(1)求椭圆G的方程；(2)斜率为1的直线/与椭圆G交于A、8两点，以A8为底边作等腰三角形,顶点为PQ3,2),求尸AB的面积.(c6=-=,2+2=1,解得仅1;2，a2=b2+c2f故椭圆G的方程为1+4=1.124设直线AB的方程为y=x+%则线段AB的中垂线方程为y=-(x+3)+2,即y=-x-.O=X+几联立白“消去),整理得42+6mx+3w2-12=0,7=L由J=(6)2-44(3w2-12)0得44.设4(孙y),B(M,%),则x+X2=-y,XX2=n12,yy2=x+x22n=p又(空,空)在线段AB的中垂线上，?-1=3可得=2,即x+x2=-3,XlX2=0,AB=yl+I2(x1+x2)2-4x1x2=32,又P(32)到直线AB的距离d上笺W=萼22JSapab=T148|d=(
