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1、人教A版(2019)必修第一册453函数模型的应用2023年高频易错题集弁考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1. 一种药在病人血液中的量不少于1500?g才有效，而低于500名病人就有危险.现给某病人注射了这种药2500如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过()小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.(附：20.3010,/30.4771,结果精确到0.1人)A.2.3小时B.3.5小时C.5.6小时D.8.8小时【分析】设应在病人注射这种药X小时后再向病人的血液补充这种药，根据题意列出不等式，求解即可.【解答】解：设应在病人注射这种药X小
2、时后再向病人的血液补充这种药，由题意可得：2500(1-20%)，1500,整理得：(g)XW旦,55两边取对数，得后1%去耳51 3因为IQg3_K_lg3-lg5_lg3-(I-Ig2)_04771-(1-0,3010)3514lg4-lg521g2-(l-lg2)-30.3010-15%所以xN2.3,即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药.故选：A.【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.2. 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的55.2%,碳14的半衰期
3、为5730年,lg5二I.3,以此推断水坝建成的年份大概是公元前()IgO.552A.3500年B.2900年C.2600年D.2000年【分析】根据碳14的半衰期是5730年，即每5730年含量减少一半，设原来量为1,经过，年后则变成了0552,列等式求出/的值.【解答】解：根据题意可设原来量为1,则经过f年后变成了1X55.2%=O.552,t所以IX(1.)5730=0.552,两边取对数，得二一=logo.50.552,5730因为Iogo.5(1552=lg552=1,IgO.51.1665所以t=-57304912,1.1665所以49122010+1=2903,以此推断此水坝建成
4、的年代大概是公元前2900年.故选：B.【点评】本题考查了根据实际问题选择函数模型应用问题，正确理解题意是解题的关键，是中档题.3.某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如表所示：可以享受折扣优惠金额不超过400元部分折扣率5%超过400元部分15%若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为()A.935元B.IOoo元C.1035元D.IloO元【分析】设此商场购物总金额为X元，可以获得的折扣金额为y元，可得到获得的折扣金额)，元与购物总金额X元之间的解析式，结合y=6
5、520,代入可得某人在此商场购物总金额，即可得出答案.【解答】解：设此商场购物总金额为X元，可以获得的折扣金额为y元由题可得当OVXW400时，y=0；当400VxW800时，y=0.05(x-400)=0.05x-20；当x800时，j=0.15(x-800)+20=0.15x-100,0,0400综上所述，)，=005-20,400800,某顾客获得65元折扣优惠,即y=6520,x800,即0.15%-100=65,解得X=Ilo0,1100-65=1035元，故此人购物实际所付金额为1035元，故选：C.【点评】本题考查分段函数的应用和函数的值，考查函数思想和分类讨论思想，考查逻辑推理
6、能力和运算能力，属于中档题.4.碳-14测年法是由美国科学家马丁卡门与同事塞缪尔鲁宾于1940年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用，其原理为：宇宙射线中的中子与氮-14反应产生碳-14,而碳-14会发生衰变变成氮-14,由此构建一个核素平衡.空气中的碳-14与氧反应生成的二氧化碳被生物圈接收,活体生物体内的碳-14和碳-12浓度比例是一定的，只有当生物死亡后，碳循环中断，碳14会衰变并逐渐消失.放射性元素的衰变满足规律N=M）/（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量M）与经过时间，后的含量N间的关系，其中入=L（T为半衰期）.已知碳-14的半衰期为5730年，TM）=I.
7、2X10-12,经测量某地出土的生物化石中碳-14含量为4X10-3,据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据log23QL585）（）A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年【分析】根据题意，利用函数解析式，把数值代入函数解析式，求解即可得出结论.【解答】解：放射性元素的衰变满足规律N=M）得EN=InNO-Xt,INo1N0lrTln-则-JL=!L,ln2当T=5730,NO=L2X10%n=4X103时，5730 X In-1.2X10-1241013-5730 ln3ln2ln2=57301og23=5730X1.585=9082.059082
8、.所以出土的生物化石中碳-14含量为4X103时，推测该化石活体生物生活的年代距今约9082年.故选：C.【点评】本题考查了函数模型的选择及应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.5. 一家商店使用一架两臂不等长的天平秤黄金，一位顾客到店里购买IOg黄金，售货员先将5g的硅码放在天平的左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次秤得的黄金交给顾客，你认为顾客购得的黄金是（）A.大于IOgB.大于等于IogC.小于IOgD.小于等于IOg【分析】不妨设天平的左臂长为小右臂长为从且4b）,先称得黄金的实际质量为，后
9、称得黄金的实际质量为加2,利用杠杆的平衡原理求得?1+，22,再利用基本不等式求出答案.【解答】解：因为天平的两臂不相等，可设天平左臂长为m右臂长为b（不妨设b）,先称得黄金质量为小后称得黄金实际质量为?2,由杠杆的平衡原理知，加?=5,atn=5b,解得m2=皿，ba所以八十?2=皇+生，ba则叫+闭2=&+型22、厘二亮=10,baVba当且仅当昱=型，即=b时取“=”，ba因为b0,所以即顾客购得黄金大于10g.故选：A.【点评】本题考查不等式的应用问题，也考查了实际应用问题，是中档题.6. “字节”（8*e,B）常用于表示存储容量或文件的大小.随着网络存储信息量的增大，我们还用千（K,
10、kilo）、兆（f,mega）吉（G,giga）太（T,iera）、拍（P,peta）等单位表示存储容量.各单位数量级之间的换算关系如下：1KB=IO248；IMB=1024K8；IGfi=1024A/B；I7B=1024GB;PB=024TB=xB.已知X是一个m位整数，则m=（）（参考数据：g2七0.3010）A.8B.9C.15D.16【分析】计算1P8=25B,利用对数转化为10进制，即可得出结论.【解答】解：因为IPB=207B=22G8=23MB=24K8=25t,且g25=50Xg215,所以25al0%又因为是一个M位整数，所以/“=16.故选：D.【点评】本题考查了进位制的应
11、用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.7.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000SP,四周空白的宽度为IOC旭，两栏之间的中缝空白的宽度为5c%要使矩形广告牌的面积最小，广告牌的高与宽的尺寸比值为()A.140：175B.175：140C.(25+605)：(20+605)D.(25+605):(20+605)【分析】可设广告牌的高和宽分别为bcm,由此表示出每栏的高和宽，基底广告牌的面积，利用导数求出最值，从而求出结果.【解答】解：设广告牌的高和宽分别为acm,bcm,则每栏的高和宽分别为a-20,上空，2其中20
12、,b25.两栏面积之和为2Q-20)红臣=18000,由此得b=18+25.2a20广告牌的面积S=b=(18000+25)=1800a25a.a-20a-20所以=18000(a-20)-a,=_360000(a-20)2(a-20)2令S0,得140;,令S0),根据题意求出d,再求冬至时对应的署长即可.【解答】解：设相邻两个节气署长减少或增加的量为d(d0),则谷雨到夏至减少44夏至到霜降增加8d,则5.5-4d+8d=9.5,解得d=L霜降到冬至增加4d,所以冬至所对的展长为9.5+4=13.5尺，所以二十四节气中轻长的最大值为冬至对应的唇长，是13.5尺.故选：B.【点评】本题考查了
13、等差数列的应用问题，也考查了数学建模应用问题，是基础题.10 .为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间/的关系为W=/(八，用一f(b)-f(a)ba的大小评价在。，切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中描述错误的是()a.在m，这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强B.在12时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强C.在13时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标D.甲企业在0,川，12,这三段时间中，在0,用的污水治理能力最强.【分析】结
14、合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可.【解答】解：对于A,f(b)-f(a)表示区间端点连线斜率的负数,在“，这段时b-a间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，选项A正确；对于8,在Z2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强,选项5正确；对于C,在13时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；选项C正确；对于,甲企业在0,用，这三段时间中，甲企业在山，这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在山，
15、的污水治理能力最强；选项。错误.故选：D.【点评】本题考查了函数模型的应用问题，也考查了函数图象与导数的关系，是中档题.二.填空题(共5小题)11 .某正方形铁板在0C时，边长为当温度在很小范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为，时正方形的边长为10(+at)cm,其中。为常数.设此时正方形的面积为Scm2f且S=AQ,则0时,铁板面积的膨胀率为(20Oa)cm2oC.【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求解即可.【解答】解：因为正方形的边长为IO(+at)cm.所以正方形的面积为S=f(f)=IO(l+r)J2=100(+2at+a2t2)f求导数为/(Z)
16、=100(2a+2azt当E=O时，f(0)=100(2a+0)=200,所以0时，铁板面积的膨胀率为(200。)cm2oC.故答案为：(20Oa)cn2oC.【点评】本题主要考查了导数的几何意义与应用问题，是基础题.12 .据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度,大约经过一60年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上(结果保留整数)(参考数据：20.30,/gl3F.ll).【分析】写出这种鸟类的数量与年数的函数关系式，利用函数解析式列出不等式求出对应的结论.【解答】解：这种鸟类的数量与年数的函数关系式为y=1.04xN.令1.04后4,可得x2
17、丁4,Igl.04因为lg421g221g22X0.30=60,Igl.04lglO4-lglOO31g2+lg13-230.30+l.11-2所以x60,即约经过60年以后，这种鸟类的数量达到现有数量的4倍或4倍以上.故答案为：60.【点评】本题考查了指数函数与对数函数模型应用问题，也考查了转化思想与计算能力，是中档题.13 .在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：mi-mi-其中星等为加I的星亮度为Ek(k=1,2),已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度比是10.【分析】根据题意把数据代入公式中，化简求值即可得出结论
18、.【解答】解：设太阳的星等是如=-26.7,天狼星的星等是磔=-1.45,CE1由题意可得：-26.7-(-1.45)=-2E2El2，/g-=25.25XW=IO.1,E25则且=0。.E2即太阳与天狼星的亮度比是IO101.故答案为：oL【点评】本题考查了对数的运算性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.14 .光线通过某种玻璃时，强度损失10%,要使光线强度减弱到原来的工以下，至少需要113这样的玻璃.【分析】对数不等式计算【解答】解：设需要块玻璃，由题意可得（I-Io%）r10.427.故答案为311【点评】本题考查了对数的性质，利用对数性质解对数不等式15 .已知某种药物在血
19、液中以每小时20%的比例衰减,现给某病人静脉注射了该药物2500mg,设经过X个小时后，药物在病人血液中的量为）ag.（1） y与X的关系式为y=2500X0.8A；（2）当该药物在病人血液中的量保持在150OMg以上，才有疗效；而低于500mg,病人就有危险,要使病人没有危险,再次注射该药物的时间不能超过小时（精确到01）（参考数据：0.230.6,O.823O.6,0.872=0.2,0.8990.1）【分析】（1）利用指数函数模型求得函数），与X的关系式；（2）根据题意利用指数函数的单调性列不等式求得再次注射该药物的时间不能超过的时间.【解答】解：（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时
20、20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2500?g,经过X个小时后，药物在病人血液中的量为y=2500X（1-20%）=25000.8（mg）,即y与X的关系式为y=2500X0.8*;（2）当该药物在病人血液中的量保持在150Omg以上，才有疗效；而低于500病人就有危险，令2500义0.82500,0.8r0.2,V0.8720.2,y=0.8*是单调减函数,x7.2,所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.故答案为：（1）y=25000.8x,（2）7.2.【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题.三.解答题（共5小题）16.佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎
21、的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产X台，另需投入成本Ct）（万元），当月产量不足70台时，P（X）=1x2+40x（万元）；当月产量不小于70台时，P（X）=IoL叶超”-2060（万元）.若每台机器售价100万元，且该机器能X全部卖完.（1）求月利润y（万元）关于月产量工（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.【分析】（1）利用分段讨论法求出利润y（万元）关于月产量X（台）的函数关系式；（2）利用分段函数分别求出对应函数的最大值，比较即可得出结论.【解答】解：（1）当OVXV7
22、0时，y=100x-（+40）-400=-r2+60x-400,22当x270时，y=100a-（IOI+翘6-2060）-400=1660-（+超”）.XX所以利润y（万元）关于月产量入（台）的函数关系式为1 2-yx+60-400,OX7O且XEN*y=；1660-（x+），x）70且xN*X（2）当00),冰墩墩的日销量Q(X)(套)与时间X的部分数据如表所示:X1381524Q(x)(套)1231415已知第24天该商品日销售收入为32400元，现有以下三种函数模型供选择：Q(X)=tax+b,(X)=p(x-16)2+qfQ(X)=m+l+(1)选出你认为最合适的一种函数模型，来描述
23、销售量与时间的关系(无需说明理由);(2)根据你选择的模型，预估该商品的日销售收入/(x)(lx30,xN)在哪天达到最低.【分析】(1)根据对指数型、二次函数型、事函数型三种函数模型的特点，结合表中数据及其增速较慢，即可得出答案；(2)由表中数据和第24天日销售收入，分别求出第(1)问中选择的Q(X)模型和P(x)中的参数，代入/(x)=P(X)Q(X)求解即可.【解答】解：(1)模型最合适，分析如下：对于模型：QU)=tab为指数型函数模型，表格中Q(X)对应的数据递增的速度较慢，模型不合适；对于模型：QG)=pG-16)2+夕为二次函数模型，其图象关于直线X=16对称，则Q(8)=Q(2
24、4),与表中数据不符，模型不合适；对于模型：Q(X)=71+，基函数型增长模型满足表格中Q(X)对应数据较慢的递增速度，将表中数据(3,12),(8,13)代入模型，mfQ(3)=r3+1+n=12舛1_n则(,解得?=1,=10,Q(8)=rtv8+l+n=13所以。(x)=x+l+10,又Q(15)=15+l+10=14,Q(24)=24+l+10=15均满足表中数据,所以使用模型来描述销售量与时间的关系最合适；(元/ 5(2)因为第24天冰墩墩的日销售单价P(24)P(X)=2OOO+-7=2000+-24+1套),所以第24天的日销售收入为P(24)Q(24)=(2000+)15=32
25、400(元5解得k=800,所以尸(4)=2000+平，由(1)所选模型，当1WxW30且xN*时,则/(x)=P(X)Q(X)=(2000+-2)(V7*d+10)=20800+207h49x+lx+l20800+2.鬻=288。(元),当且仅当2000Ti=丝丝，即x=3时等号成立，x+l所以在第3天时，该商品的日销售收入f(外达到最低28800元.【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型应用问题，也考查了推理能力和运算能力，是中档题.18.某城市居民每月自来水使用量X与水费/(x)之间满足函数/a)=100xA当使用4/时，缴费4元，当使用27时，缴费14元；当使用35户时，缴费19元
26、.(1)求实数A、B、C的值；(2)若某居民使用29“户水，应该缴水费多少元？【分析】(1)由题意知C的值，再把(27,14),(35,19)代入/(%)中求出8和A的值：(2)写出/(x)的解析式，计算/(29)的值即可.【解答】解：(1)由题意得：C=4,将(27,14),(35,19)代入F(X)=4+8(X-A),得：4+B(27-A)=14,4+B(35-A)=19,解得A=ll,B=;8所以A=I1,8=$,C=4.84,0-eH(2)由(1)知，f(x)=Ic、；4(-ll)，xll当X=29时，/（29）=4+$X（29-11）=旦1=15.25；84所以该居民使用29户水时，
27、应该缴水费15.25元.【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.19.瓜子是一种深受大家喜爱的零食.某炒货店两种口味瓜子的成本价与售价如表:原味瓜子成本（元/公斤）15售价（元/公斤）20焦糖味瓜子1623（1）若该炒货店某月（30天）原味瓜子的日销平均值为45公斤，焦糖味瓜子的日销量平均值为55公斤，求该炒货店这两种口味瓜子的月利润；（2）已知该炒货店某天卖出了两种口味的瓜子共100公斤，若当天售卖瓜子获得的利润不低于560元，求当天焦糖味瓜子的最低销量.【分析】（1）根据月利润=天数X每天利润数，计算即可；（2）设焦糖味瓜子卖出了X公斤，由此列出不等式求出
28、X的最小值.【解答】解：（1）该炒货店这两种口味瓜子的月利润为3045（20-15）+55（23-16）=18300（元）；（2）设焦糖味瓜子卖出了X公斤，则原味瓜子卖出了（100-x）公斤，所以售卖瓜子获得的利润为7x+5（100-X）560,解得xN30,所以当天焦糖味瓜子的最低销量为30公斤.【点评】本题考查了利润函数的应用问题，也考查了不等式解法与应用问题，是基础题.20.2022年3月23日15时44分，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，“太空教师”翟志刚，王亚平、叶光富相互配合，生动演示了太空“冰雪”实验，液桥演示实验，水油分离实验，太空抛物实验等.他们在传播普及空间科学知识的同
29、时，激发了广大青少年不断追寻“科学梦”，实现“航天梦”的热情，背后更是体现了我国航天技术的突飞猛进，空间站并非一直处于我们头顶上方的位置，有时候会运行到地球的另一面，如果直接进行地面与空间站对话，信号就会被地球阻挡，不被接收，所以实际信号传输是通过地球卫星信号转发的.如图L天链一号Ol星，02星，03星（分别记为点A,B,C）分布在赤道上空，距地球（记为点。）3.6XIO4公里的同一圆形轨道上，且分别位于轨道的东经77度，东经177度，东经17度（如图2）,随时实现空间站与地面信号的五通，保证通话更加流畅、及时，画面也更加清晰.东（西）经（1）计算天链一号Ol星与03星之间的弓形（图2阴影部分
30、）面积（单位：X1（）8平方公里）；（2）若再向该轨道发射一颗卫星（记为。），为使四颗卫星组成的四边形面积最大，确定。的经度（直接写出，不需要说明理由），并计算四边形面积（单位；Xl（）8平方公里）的最大值.（参考数据Sin50。-5【分析】（1）计算aOAC和扇形OAC的面积，求差即得弓形的面积；（2）当ABCD为等腰三角形时其面积最大，由此确定点。的位置.根据四边形四条边所对圆心角的度数，计算三角形的面积，从而求出四边形48CZ）面积的最大值.【解答】解：（1）由题意，计算SaQAC=工X3.6X3.6Xsin600=JLXaiX也xY=22552,25S扁形OAC=IX3.6X3.6X=
31、工X至X至X匹L,2255325所以弓形的面积为S弓形=S醋形以cS4oc=54兀-81F（单位：X1（）8平方公里）；25（2）由题意知，当aBCD为等腰三角形时，其面积最大，所以从。点（东经17）经西经90到达东经177,共200,所以点。位置在从C点（东经17）向西经90方向转100即可，此时为西经83,所以若使四颗卫星组成的四边形面积最大，。的经度为西经83.由题意知，四条边所对圆心角分别为60,100,100,100；且SinIO00=2sin50ocos50o=2-三-,5525所以四边形ABCD面积的最大值为5=AllS+3x21）=2025愿+11664（单位：i（）8平方公里）.255225625东（0）经【点评】本题考查了扇形与弓形面积的计算问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题.
