《《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版).docx（54页珍藏版）》请在课桌文档上搜索。
1、第一章习题答案1-1试求图L27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。图1-27系线方块结构图X1=X2=X5=-/C1X3KlX6令夕(三)=y,则y=项所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为*00100Kb000000-0工200Jl旦Jl7l17X2x3+0000010000000KX5UK、Kl30000Kl不.-KPX212有电路如图128所示。以电压“为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R?上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令=玉,，2=r2,c=/，输出量丫=冗2x2Rlxi+L1x1+x3=u有电路原理可知：L2x+R2X2=
2、x3x1=X2+CX3写成矢量矩阵形式为:X7=OX9OLlWiiLX30CCJLy=R2Ox2儿1-3参考例子1-3(P19).1-4两输入外,%，两输出y,%的系统，其模拟结构图如图130所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。图l30双输入-双输出系统模拟结构图解：系统的状态空间表达式如下所示:Wilx(S) = (si-Ar Ba2-10-15 + a1Oa504-1%0 b 0 0% (s) = C(s4) B = 1s + ai0a5O OOh2OO1-5系统的动态特性由下列微分方程描述(2) y+5y+7y+3y=u+3u+2列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解
3、：令X=y,X2=y9X3=yf则有相应的模拟结构图如下:U(2)已知系统传递函数W(三)=K1,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解：W(s)=6(s+1)S(S+2)(s3)2-410T+1(S+3)-s+3s+200y=-410TO3给定下列状态空间表达式y=010-2-1(1)(2)画出其模拟结构图求系统的传递函数(2)W(s)=(si-A)=-1s+3sl-H=s(s+3)2+2(S+3)=(S+3)(5+2)($+1)(si-A)T=(5+3)(+2)(5+1)Wux(三)=(Sl-A)-lB=(s+3-2(5+3)-5-5(5+3)(5+2)(5+1)(5+3)
4、(5+2)(5+1)(s+3)S(S+3)(25+1)(5+3)MV(三)=C(S/AVB=0(25+1)(s+2)(s+l)5+3S(S+3)5-1(s+3)?2(s3)-5-5(s+3)S(S+3)(25+1)(5+3)00(5+1)(5+2)s+3S(S+3)5-100(5+1)(5+2)(5+3)(5+2)(5+1)1-8求下列矩阵的特征矢量O1O(3) A=3O2-12-7-6解：A的特征方程 -12Z-A= -3 12 7O-2=23+622+lU+6=02+6解之得：4=1，4=2,4=-3当4=时，O3-12解得：Px=P3I=-PII令Pll=I当4=一2时,（或令PII=-
5、1,得耳O3-12P12P12P32解得：22 = 一22，32 =P12令 PvI=2得g=“22=-4/32.一1当4=一3时,O3-12（或令P2=1，得6解得：23=-3Pi3,小3=3令P13=119将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）1O-1-223X2(2)解：A的特征方程l-A=2-4-1-1-112-22-3(2-1)(2-3)2=O4.2=3,4=14当4=3时，11O-1解之得P21=P3I=Pn令PII=IPu1“21=13L14当4=3时，1解之得p12=P22+1,p22=p32令P2=1得A2J1P2=p22=0_。32_。41-2Pi3Pl3当4=1时
6、，102“23=P231-13.凸3_-解之得 13 = ，23 = 233 令 P33 = 1P1304 = 23 = 2.P331L-11O-0-12-T=102,=11-210101-1-121-21-18-5-3-124CT=约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为Wl（三）和W2（三）叱W(S) =吗(S)叫(S) =15 + 31_7+1(5 + 1)(5 +3)(5 + 2)(5 + 3)(5 + 4)1(S + 1)2(5 + 1)(5 + 2)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结15+2s+1羊.52+55+7（2）并联联结
7、11W(S) =叫(s) 叫(S) =5+3s+405+11-11（第3版教材）已知如图122所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为Wl(s) =17+2W2(S) =求系统的闭环传递函数解：叱%(s)=17+2S17+2/+W1G)W(s)=I+17+70S17+2Ss+37+2s+37+20W=l+Wl(三)W2(s)叱G)=5+31(5+2)(5+1)517+T5+2515+37+2017+25+15(5+3)5+2s+35+27+T_s+lS(S+3)15+317+T1T21-11（第2版教材）已知如图122所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为Wi(s)=5+1S2I
8、5+2求系统的闭环传递函数解：Wi(三)Wl(三)=5+12W2(三)=5+37+2-2W(s)=+Wi(三)Wl(5)-lW1(三)=s(s + 1)(5 + 2)+ S(S + 2)$($ + 2)52 +55 + 22(s + 2)1-s + 5$ + 25 + 2(S+1)2(3$+8)(5+2)2(52+55+2)s3+652+6$(5+2)(52+55+2)$2+5$+21-12已知差分方程为y(k+2)3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+3(Z)试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为O=F12z + 3解法1：W(Z) =-5=+z+3z+
9、2z+1z+2x(A + l) =0 -2x(A) +I(女)y(k)=Ik(Z)解法2：xl(k+T)=x2(k)x2(k+1)=-2xl(k)-3x1(k)+uy(k)3xx(k)+2x2(k)01一X(Z+1)=X(&)+IlMk)- 2-3jL1y(Z)=32k(女)求T,使得出=；得TT=；所以T=CT=32所以，状态空间表达式为- 4O1z(%+D=z(Q+u(k)- JI1y(Q=3-z(k)第二章习题答案2-1、证明：由。融=/+(4+8%+g(4+5)U+、(4+3浮+=Z+(4B)t+(42+AB+BA+3。)，+g(/3+A2B+ABAAB2+BA2+BAB+G40友=(
10、Z+l,42?+1?+)(/+及-B2t2+l3?+.)2131213=Z(4Byt+(42+2AB+8?)J+,+(-3+-A2B-AB2+13)Z3+.R21213将以上二式相减，得即一ear=g(班一力州？+g(朗+ABA+BiA+BAB-2AlB-2ABi)ti显然，只有H5=A4,才有M即0&=OJ即-物二04透田#2-2、证明，2-17)由eM=1-h-Ai-h-A2t2+-A3I3+2131#证明:218)由04=Z+4z+-42r2+43/3+jZ3知三可逆阵p,stp1Ap=,则4=pApT,且4,4,是特征根,可知别由由A=Ar若可对角化，则三一变换阵2，定义其中A=4其解
11、为I初)=Zzi(0);x(f)=px(f)=pepx(O);又由x()=e%(O)IrC4_SCa-1蟆。=PQP注意到尸=/+&+累”+9日.将于是有41 04 =04 019L00 A.22410 02240A2 =00手0；: 240002.A33V3%1 -0 -0A332；34 .-043 =0000A30342 .A3 -0-00000 A3,91将以上求得的A及其A诸次方的表达式带入(1)式，令二=有-0以a/%叫2i2(W-I)IaV10理.潸-过，_叫(w-2)av2一a*VU(w-3)!000t.At2At尸1tetee&2m-1)1产-20/tei.=(w-2)!.施一
12、3UUee(tn-3)!000户这是第i上小块的情况，其余小块类W34，卷Iid-1i.2(w-l)!小一2OlE(W-2)!尸-3001(w-3)!OoO1正。#证明：(2-20)采用拉氏变换法：e&=T(sf-H)T)而3-4)-=s/(S-S2+凉)-0S-1z1一(+2S-cr+Jco(12jS-j)s-JCD=Zrl(S/_/)一】)由Eular公式，有a./coscotsincot_I/we=e-Sin改coscut2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数*,。(11、(2)A=(4D解：第一种方法：令A=0则；：=，即(九一1)2-4=0求解得到4=3,2=-当4=3时，特征矢量Pl
13、=PN-P21_由API=APJ得；网1.41JL72iJVPz即Pu+P3Pu,可令pLT4p+P2=3p2L2_当4 =T时，特征矢量2PnP12PnP21LP22|_一。22_即 R+P22=-P2 ,可令人 4P2+ P22=-P22第二种方法，即拉氏反变换法:-4,=-i-11lj(S-3)(s+1)45-1J5-1(5-3)(5+1)(s-3)(s+l)4S-I(s-3)(s+l)(5-3)(5+1)44第三种方法，即凯莱-哈密顿定理由第一种方法可知4=3，=-l442-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。(3) (r) =2e2t -2e,2e-2
14、1 -e-,(4) (r) =解：(3)因为(O) =/,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件-2e-, +2e2t-e, +le2t(4)因为(O) =/,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件=(zL1 , 3-e +-e22e,+3e3f1j.3.4e+4Jl11T33141e+-e2-6求下列状态空间表达式的解:0118X=x+u001y=(l,0)x初始状态X(O)=J,输入Mr)时单位阶跃函数。解:si-A=(r)=,(7-A),=；因为B=,(/)=/)x(z)=(r)x()+(z-r)11()tr2T考虑如下式给出的系统：X-Ax+Bu证明：(D脉冲相应:(Z)=KO(E),X(CL)=
15、XO时,由状态方程解为：XS=/7)机)+、期-B)d把4=0_带入，有x(Z)=c，0_)+eBu()d0-带入(2)=K5(2),有X(Z)=x(0.)+；BK()d(考虑到J函数的特点)=Txo+BK(2)阶跃响应：由状态方程解为：X(t)=k&)+jtBu()d把Eo=0_带入，有x(z)=x(OD+；，X3()d”A2ri=2与+血!0(/-工7+当一一)dK,积分，有J=x0+(Z-)BK而+e3-(T)O-I)BKejilxti+A-ejii-1)BK(3)斜坡响应：由状态方程解为：XG)=。期7)忒4)+e-Bu()d把：0=_，()=友X1(2)带入，有X(I)=23道0_)
16、+(g2f*BK=exo+03lo(7-j4)dBKai3J22上3342/4,&A。+e(/14)BK23!4!=/而+A-2(eji2-I-Af)BK=。出演+/-2(e3-l)-AkBK2-8(略)2-9有系统如图2.2所示,试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s,而对和%为分段常数。T(s+Drr-+d2I图2.2系统结构图解：将此图化成模拟结构图U2-rpr苍4T1x2列出状态方程xi=kif-.X2=X1-Uy=巧+ 2玉则离散时间状态空间表达式为X(Z+1)=G(T)X（八）+H(T)MA)y（八）=cr（八）+Dw（八）由G(T)=eAt和H(T)=et
17、dtB得：-10k0A=B=1Oj0-1“心力=WLJOJo-e当T=I时X(Z+1)=X（八）+e)0(火)i-eIJLkeT_y(a)=2)0e-0jOl0当T=O.1时(Z+1)=x(k)+(Jc)7-e-l1JV7(,-0.9)-0.1)y(%+)=2)(X2-10解：G的特征根为3/8,5/8；对应的P为-11,5-0.5-P=?P=;110.50.5(乃=Gi=PMP0.5 -0.50.5 0.5由X3=()x(0)+V(力砌(-l)由初值和输入可递推计算，得结果如下：x(l)=(l)x(0)+(0)功(O)-1/21/8TTlOT01-V8-1/8l/2j|_3JLO1J1J19
18、/8x(2)=(2)x(0)+(0)j(1)+(X)Hu(0)T+0.23442-l邛X?当Gs“左宦同卷右Go(三)=s+E:W)C叶ITl工01求名或恭侬拗螂”4.困(4,aC)电”心撤七瓢制”M装WyMr仆门；:Tu”.冬由点会9间表MNJ4短=e-)寸C-e)ud)%d)VCRZd)十如-eT)u心Ud)=r(b-b-M八(卬。-%)4认QTT工&制=(2e-y(/；+(I-ejz6+(/-e)rrb4心)小一。乃四十命毋勿，尸加力也427.当T=O/S时VlH=一：lG-Lao产*，4JL.。J,=。N.u。/二。3(w=O晨I=O可上2=o.q。&y)=oo4与f.2XI=Olg8
19、矢=dtbfy=。.。，64大二3Xi=020Nam尤Jo)=0.03352=4X-5i4NZ二久。8Jf44)=。夕3,於二夕xl=久38号XLa3ysyu-j=0.07bA=100j=Obbb入=0.3333外网:。333327.当-TNQ/S时ZlJ。.。/=ON=O= IN,= O.DJZ於 2%=JBC?大=3Xi=。7,4=4X=C7/=$Nl=久用37%noo Nt=0.66”K/=O?CWUO=doyobyr)=oo46DC2O.bt小引=0.Of64之二也2Z初3=o335X2=2270*Jf4)=D。夕37X工二。3075gg;Qs6,4=0.3333勿3=。3333“7.
20、而注网怖向/必冷抬入UZ支火Y在6203时沟邑同田”，B.,G)仍以在笈,“听詈:工1.O-16“J珞人信3中文。=厂-)(2D=8%久0.25沟*时妥,在/=Qks叱乂。.4)二022q1.。,”=CN/=ae2”第三章习题答案3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？(1)系统如图3.16所不：uc111.-H0解：由图可得：X=-=X4=y=状态空间表达式为：2X2_X4Ly=JXJ0l匕JL图3.16系统模拟结构图-axx+u-bx2-CX3+x2+X1=X1+X2-CX3r3-dx43-000Tx1I0-Z?
21、00X90+U1I-CoX30001-tjx4j|_0_)10-由于乙、与、Z与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于)，只与七有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。(3)系统如下式：X2解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有0S00要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有cO,dO.3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解：方法一：nmkM=1 P1 = JA2P2 = P? = J，T1 =2_22TTB中有全为零的行，系统不可控。CT中没有全为O的列，系统可观。3-3确定
22、使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数和力a.111(I)A=,b=1,C=l-lOa21解：构造能控阵：M=bAb=J/+1要使系统完全能控，则/+I。%，BPa1-a2+lO构造能观阵：CAj_a-a2要使系统完全能观,则1-%工-%，BPa1-a2+l03-4设系统的传递函数是y(s)_s+aN(三)53+10v2+275+18(1)当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？(2)当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。(3)当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。解：(1)方法 1 ： W(s) =W(S) (5+ 1)(5+ 3)(5+ 6)系
23、统能控且能观的条件为W(三)没有零极点对消。因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。方法2：a-1ci3a-6yG)五二十五u(s)(5+1)(5+3)(5+6)s+1s+3s+6Xy系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为O的列。因此当a=l,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。(2)当a=l,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型y = a 1OO -18(3)根据对偶原理,当a=l,a=2或a=4时,系统的能观标准型为O001O1O03-6已知系统的微分方程为：y+6y+ly+6y=6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解：4=661=1La2=6,a3
24、=3,bQ=6系统的状态空间表达式为00-66-111传递函数为IVCv)=C(Sl-A)-1B=60其对偶系统的状态空间表达式为:01000010-6-11-6传递函数为W(三)=s3-6s2-115+63-7线若林力包心:闾:3-3能双秤侬军方:口:：叩C二043-9已知系统的传递函数为W(s)s2+6+8$2+45+3试求其能控标准型和能观标准型Obtn1.zz、s2+6,+812s+5解=BG+E75系统的能控标准I型为01-3-4y=52卜+u能观标准II型为0-31-4y=lx+u3/0给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型。01-2一300-3解：A=0-2-1
25、一1111-31M=bAbA2h=1-2-5-3711rankM=23,系统为不能控系统，不能变换为能控标准型rankN=3,01-1-3-79系统为能观系统，口以变换为能观标准型,3-11试将下列系统按能控性进行分解(1)A=Tl21-4解:M=bAbA2h-103-409rankM=23,系统不是完全能控的。构造奇异变换阵R1,R2=,其中凡是任意的，只要满足凡满秩。0-10即RC=Oo1130301得R=-100C0100-32TA=RrAR,=14-2b=Rih=0c=cRe=20010rank N=23,该系统不能观3-12试将下列系统按能观性进行结构分解1-11构造非奇异变换矩阵/
26、,有用=2-320013-1-1则=2-10001y=cx=l0x3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解解：由已知得M=AAhAZ?2=2122620-2rank M=3,则系统能控7 4-354解:AC =-100-1所以此系统为能控并且能观系统取Q=21226,则7；二7一;20-21002-l则X=10-5,B=TAb=O,c=cTc2=71323O14Jj3-14求下列传递函数阵的最小实现。(1)BC =DC=系统能控不能观取咫=，则K)=人1-10A111所以A=咫伏=0_，B=XM=o所以最小实现为4=1,Bm=Cwf=；,Dm=验证：Cn(S瓦=+II=W(三)3-15
27、设和2是两个能控且能观的系统O1,0r1-3-4J=ljG=Q12:A2=-2,b2=1,C2=1（1）试分析由和2所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数;（2）试分析由和2所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。解：（1）&和7串联当的输出N是2的输入2时，x3=-2x3+2xi+x20100X=-3-4210x+1，-2jo_y=Olx01M=bAbA2b=1-4O1-413-4则rankM=23,所以系统不完全能控。W(三)=C(C-A)Tb=5+2(5+2)(5+3)(5+4)-$2+75+12当2得输出火是弓的输入/时O1X=-3-4OO11x+Oy=210x
28、-2j|_1_O01因为M=bAbA2b=01-61-2-4rankM=3则系统能控因为N=CAcA21-25rankN=20 、=30 ,1- -1 4XX2,1 -1 -13= -1 4 -3 =-160-1 -3 1因此Q(X)不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程:aW a2X =试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负 实部。I-A=ana2-a21即：= -（471 I 出2 ）4 + 4122 42生1=O有解，且解具有负实部。即：an + a22 ci2a2方法（2）：系统的原点平衡状态 =0为
29、大范围渐近稳定，等价于A7P+?A = -Q。取Q=/,令P =,则带入A?尸+PA = -Q,得到24a202%aW +“222%02(% +22)A|川 +。21 +a22(a2a22 *21l)-(tz12+21a11)A + 01 02其中 det A = IH= a11-6r12021要求P正定，则要求i=i =- 2(q +%)A0乂 =IH =(%+%2)+(/%)” 0-4(a11 +)因此41+4204-3试用IyaPUIIOV第二法确定下列系统原点的稳定性。21=4（即+。22）（%。22一4221）0，则此方程组有唯一解。即2a22解：(1)系统唯一的平衡状态是毛=O。选
30、取LyaPUnOV函数为V(X)=x；+考0,则V(x)=2x1x,+2x2x2=2%(-xl+22)+2x2(2x1-3x2)=-2+6xX26x；=-2(x12x2Vo03)是负定的。H,有V(X)8即系统在原点处大范围渐近稳定。(2)系统唯一的平衡状态是毛=0。选取LyaPUnoV函数为V(X)=x；+考0,则V()=2x1x1+lx2x2=2x,(-x1+x2)+2x2(-xi-x2)=-2xf-2x;0试确定平衡状态的稳定性。解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：f(x)=2-(l+x2)-x2-xlJ(x)=三=1;11一4依23X2取P=/-Q(x)=J7(x)+J(x)0-101=2+21-q4tzx,-3cxx1-ci4tzx0-3clx000-Ia-ax2-6”；很明显，Q(X)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Ly叩UnOV函数为V(x) = xj2+O,则V(x) = 2x1x1 + 2x2x2= 2xix2 +2(-xi -a( + x2)x2)=-2(1 + 考)考 (),Qa)的符号无法判断。-l+3x12(2)李雅普诺夫方法：选取Ly叩UnoV函数为V(X)=IX0,则V(x)=3x+3x2x2=3xx2+3(-M-x2)=-320,丽羽陪诺夫赧为/(加温+幻
