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1、9.4直线与圆、圆与圆的位置关系必备知识预案自诊知识梳理1 .直线与圆的位置关系设直线l.Ax+By+C=O(A2+B2O圆Xx-)2+(y-b)2=r2(r0),d为圆心3力)到直线/的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次方程的判别式为4.位置关系方法几何法代数法相交(1r40相切dr0相离dr02 .圆与圆的位置关系设圆Or.(x-a)2+(y-b)2=r(r0),圆O2.(x-a2)2+(y-b2)2=r(r2O).位置关系方法几何法:圆心距d与打八的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离外切一组实数解相交两组不同的实数解内切O),其中a,b是定值,r是参数.7.过直
2、线Ax+By+C=O(A2+B2)ISl2+j2+Dv+Ey+F=(D2+EMFO)交点的圆系方程为X2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=O(R).8.过圆C1+j2+Ox+Ey+n=0(Z+母-4F0)和圆C2,X2+y2+D2x+E2y+F2=0(D1+欧4F0)交点的圆系方程为/+卡+述+|,+|+w2+)!2+)2%+；2)，+尸2)=0(/-1)(该圆系不含圆。2,解题时,注意检验圆Cz是否满足题意,以防漏解).考点自诊I.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“X”.(1)若直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.()(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和
3、,则两圆相交.()(3)“4=1”是“直线x-y+k=O与圆X2+j2=l相交”的必要不充分条件.()(4)过圆。:x2+y2=r2外一点P(XOJo)作圆的两条切线,切点为A,民则0,P,A,8四点共圆且直线AB的方程是XaX+yoy=r2.()(5)联立两相交圆的方程,并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()2 .(2020山东泰安三模,4)己知抛物线C=4y的准线恰好与圆用：*一3)2+3)2=/&0)相切,则r=()A.3B.4C.5D.63 .直线l:x+ay=2被圆2+r=4所截得的弦长为25,则直线I的斜率为()A.3B.-34 .(2020全国2,理5
4、,文8)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为()r35n45CTdT5.(2020天津,12)已知直线X-5y+8=0和圆f+)?=/&()相交于a,8两点.若IABI=6,则r的值为.关键能力学案突破I考点直线与圆的位置关系及其应用I【例1】(2020全国1,理11)己知OMf+y2-2x-2y-2=0,直线A+y+2=0,P为/上的动点.过点P作C)M的切线PA,PB,切点为48当IPM48最小时,直线AB的方程为()A.2x-v-l=0B.2x+y-l=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=O(2)(2020全国3,理10)若直线/与曲线产近和圆f
5、+产都相切，则l的方程为()A.y=2r+1B.y=2v+CJ=IX+1o.y+(3)(2020浙江,15)己知直线产区+仪QO)与圆x2+y2=l和圆(x-4)2+y2=l均相切,则k=;b=.愿困在直线与圆的位置关系中,求参数的取值范围的常用方法有哪些？解题心得L判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数或圆心到直线的距离的表达较烦琐,则用代数法.2.已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式(组)解决.对点训练1(1)己知直线I过点P(20),当直线/与圆+y2=2r有两个交点时
6、,其斜率k的取值范围为()A.(-22,2)BGMC.(-2,2)K辅(2)(2020山东荷泽一模,15)已知直线Ar+的+C=O(其中/+於=。，*)与圆f+9=6交于点,M。是坐标原点,则IMNl=,丽而=_一I围点圆的切线与弦长问题i例2已知点M(3,l),直线-),+4=0及圆(心1)2+(),-2)2=4.(1)求过点M的圆的切线方程；(2)若直线4x-y+4=0与圆相切,求。的值；(3)若直线x-y+4=0与圆相交于A,B两点,且弦AB的长为28,求a的值.困圄如何运用圆的几何性质求解圆的切线与弦长问题？解题心得1.求过某点的圆的切线问题,应首先确定点与圆的位置关系,然后求切线方程
7、.若点在圆上(即为切点),则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线.2.求直线被圆所截得的弦长,通常考虑由弦心距、弦长的一半、半径所构成的直角三角形,利用勾股定理来解决问题.对点训练2(1)(2020全国1,文6)已知圆/+.y2如=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.lB.2C.3D.4(2)己知P(XJ)是直线区+4=0伙0)上一动点,小,28是圆C:f+产2产0的两条切线AB为切点,若弦AB的长的最小值为I则k的值为极点I圆与圆的位置关系及其应用I【例3】(1)已知圆+y2-2=0(40)截直线x+y=0所得线段的长
8、度是2,则圆M与圆M(X-I)2+(J-I)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2020山东日照一模,4)已知圆C2+j2=1,直线g-y+4=0.若直线/上存在点M以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点,则。的取值范围是()A.(-oo,-3U3,+)B.-3,3C.(-oo,-31U3,+)D.-3,31(3)若圆C.x2+yr=5-fn与圆E(x-3)2+(jf-4)2=16有三条公切线,则m的值为()A.2B.3C.4D.6阿圄在两圆的位置关系中,圆心距与两圆半径的关系如何？解题心得L判断两圆的位置关系,通常用几何法,从圆心距d与两圆半径的和、差的关系入手.如
9、果用代数法,那么从方程组解的个数来判断,但有时不能得到准确结论.2.两圆位置关系中的含参问题有时需要将问题进行转化,要注重数形结合思想的应用.对点训练3设P,Q分别为圆Oi:/+0,-6)2=2和圆O2：-r+r-4x=0上的动点,则P,Q两点间的距离的最大值是()A.2i+2+2B.10+22C.210+l+2D.10+l+2(2)(2020江苏镇江三模,10)已知圆Cu(x-)2+(y+2)2=4与圆C2(x+b)2+l)2=l外切,则ab的最大值为.(3)已知圆C与圆Dx2+10x+10y=0相切于原点,且过点A(0,-6),则圆C的标准方程为_.极点I直线与圆的综合问题I【例4】己知过
10、原点的动直线/与圆Gf+V-6x+5=0相交于不同的两点A.(1)求圆Ci的圆心坐标.(2)求线段A8的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数匕使得直线j=Mx-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.恿国如何求解直线与圆的综合问题？解题心得1.利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决.2.直线与圆和平面几何联系十分紧密,可充分考虑平面几何知识的运用,如在直线与圆相交的有关线段长度计算中,要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长放到一起综合考虑.对点训练4(2020浙江杭州第二中学高三期中)
11、已知圆心在X轴上的圆C与直线/x+22y-10=0相切于点E(zn,2V2),P,.x1+(a+2)x+y2-ay+a+1=0.(1)求圆C的标准方程.(2)己知圆户与X轴相交于两点M,N(点M在点N的右侧).过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A,B两点.问:是否存在实数使得/AMW=NBMW?若存在,求出实数a的值,若不存在,请说明理由.要点归纳小结1.直线与圆、圆与圆的位墨关系问题,考虑到圆的几何性质,一般用几何法解决.2 .直线与圆、圆与圆的交点问题,要联立直线与圆的方程,或联立圆与圆的方程来解决.3 .圆的切线问题：(1)过圆上一点的切线方程的求法是先求切点与圆心连线的斜率,
12、再根据垂直关系求得切线斜率,最后通过直线方程的点斜式求得切线方程；(2)过圆外一点的切线方程的求法,一般是先设出所求切线方程的点斜式,再利用圆心到切线的距离等于半径列出等式求出所含的参数即可.若只求出一条切线方程,则斜率不存在的直线也是切线.4 .圆的弦长问题首选几何法,即利用圆的半径、弦心距、弦长的一半满足勾股定理;弦长问懑若涉及直线与圆的交点、直线的斜率,则选用代数法.警示3错3混I1 .过圆外一定点作圆的切线,有两条,若在某种条件下只求出一个结果,则斜率不存在的直线也是切线.2 .本节问题的解决多注意数形结合,圆与其他知识的文汇问题多注意问题的转化.3 .若圆与圆相交,则可以利用两个圆的
13、方程作差的方法求得公共弦所在直线的方程.9.4直线与圆、圆与圆的位置关系必备知识预案自诊知识梳理.=r+r2无解d=r+r2r-r2d0),则(2-a)2+(l-a)2=a2,解得=l或。=5.当时,圆心为(1,1),此时圆心到直线2x-y-3=()的距离为4=与琶=25.当a=5时,圆心为(5,5),此时圆心到直线2r-y-3=0的距离为办=丐/I=等.综上,圆心到直线2x-y-3=0的距离为尊.故选B.5.7B5如图.VAB=6,AD=3.圆x2+f2=r的圆心为(0,0).圆心到直线的距离ICDl=A=4，.AC=5,即r=5.关键能力.学案突破例I(I)D(2)D(3)y-竽由已知得。
14、Mg)2+(y-l)2=4.因为S-M片3尸MAB=2Ssam=IpAlAM=2PA=2jPM2-4,所以IPMAB最小,即IPM最小,此时PM与直线/垂直,PM所在直线的方程为产夕+今直线PM与直线/的交点为P(-1,0).PM=(1+I)2+(I-O)2=号,在RtPf中,IAPI=JlPMf-4M2=l.又IAPl=IBPl=L以P(JQ)为圆心,IAPI=I为半径作圆,则AB为。M与。P的公共弦,。尸的方程为(+1)2+=1,三Px2+2x+y2=0.两圆方程相减,得4x+2y+2=0,即直线AB的方程为2x+y+l=0.(2)由y=得)二，彳设直线/与曲线y=yx的切点为(x(),则
15、直线/的方程为y-yxo=x-xo即-y+T小=由直线/与圆/+V1相切,得圆心(0,0)到直线/的距离等于圆的半径片即=l+k2l+fc2与解得XO=I(负值舍去),所以直线/的方程为产权+去(3)由对称性可知直线/必过点(2,0),即2A+b=0,并且=隼坦=1,由解得k=y,b=-.对点训练I(I)B(2)25-10直线/为此y+2D,又直线/与圆f+y2=2x有两个交点,故譬Ml,所以女当故选B.河44由已知42+82=c2,c*o,得圆心到直线AX+8)，+C=O的距离g泮=1,则、储+MV=26-d2=25.设而?与前苻的夹角为4则cos(兀-O)=?*=衅，OM6所以COSe=-
16、,所以而？.丽=625(-察)=-10.例2解由题意知圆心的坐标为(1,2),半径r=2.当直线的斜率不存在时,直线方程为x=3.由圆心(1,2)到直线X=3的距离d=3-l=2=r知,此时直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设直线方程为y-l=A(x-3),即依-),+l-3k=0.由题意知k2+l-3k=2,解得它所以直线方程为y-l=3),即3x-4y-5=0.故过点M的圆的切线方程为x=3或3x-4y-5=0.(2)由题意得展=2,2+l解得a=0或=*(3)因为圆心(1到直线0r-y+4=0的距离为粤k2+lo2所以(瑞)+(竽X解得a=i4对点训练2(1)B(2)当(1)圆的方程可化
17、为(x-3)2+y2=9.因为J(l-3)2+(2-0)2=23,所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心O(3,0),A(l,2),当弦BC与OlA垂直时弦最短,因为IoMl=2,0/二3,所以A3=J0iB2-0i42=98=1,所以IBCl=2|ABl=2.圆Gx2+),2-2)=0的圆心为C(0,1),半径-1,如图所示,根据圆的性质知ABJ_PCIABl=2PBlSinNBPC=2P8x黑=2x需,|A砰=4x鬻I-点),当IPCl取得最小值时,A8取得最小值企,即有2=4( I1)廨得IpCI=,此时圆心C到直线的距离就是IPCl的最小值,即1三=,解得A=平(负值舍去).府2例3
18、(1)B(2)C(3)C由题意得圆M的标准方程为+02=2(心0),圆心(0/)到直线x+y=0的距离d=亨,所以2Jqzf=27,解得a=2.故圆M与圆N的圆心距IMNI二因为2-lv2+l,所以两圆相交.(2)由题意知,圆Cx2+y2=l的圆心(0,0)到直线g-y+4=0的距离dW2,d=君=2,解得n+r2=2+2以两圆相离,则IPQmaX=2TU+2+故选A.(2)由题意,得IGC2=J(Q+b)2+(-2+1)2=2+1,所以(+份2=8,即a2+b2+2ab=S,4abS,当且仅当4=b时,等号成立,故ab的最大值为2.(3)由已知得圆心D的坐标为(-5,-5),因为圆C与圆。相
19、切于原点。，则圆心C在直线OOj=X上.又圆C过点A,则圆心C在线段OA的中垂线y=-3上,则圆心C的坐标为(-3,-3),半径EoCl=3企,故圆C的标准方程为(x+3)2+(y+3尸=18.例4解(1)因为圆C的方程x2+)j2-6x+5=0可化为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为(3,0).(2)设点AaIjI),8(X2,y2)(x1x2),M(Xojo),则Xo=Fno=；”.由题意可知直线/的斜率必存在，设直线/的方程为产H将上述方程代入圆G的方程，化简得(l+r2)x2-6x+5=0.因为诏+7o=了/+W=券岩=T=3xo,所以(&4)+韬=*由0解得,名又产20,所以黑的
20、3.所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为(X-I)2+y2芸G1,点M在点N的右侧，点M-l-,0)M-l,0).设点A(XIjl),8(X2J2),过点M,倾斜角不为0且不垂直于X轴的直线的方程为y=k(x+1)(原0),代入圆C的方程,消去y,得(1+2)x2+2(2-l)x+2-8=0,工2(l-fe2)_fc2-8,即+也=而nX2=R设直线AN.BN的斜率分别为Mh则上胪二者行：.h+.=”1)+蛆沪=2(空工+必+1+a立+1+。X+l+&+1)_攵(Xi+l)(x2+l+)+(x2+l)(xi+l+)j2x%2+(2+)(x+%2)+2+2X2+l+a(x1+l+aXx2+l+0)(%+1+0)(%2+1+)令Z=2xx2+(2+a)(x+x2)+2+2=+由/ANM=NBNM,知14c1+k1+kK+A2=0,则f=0,即处当=0,解得=4当直线垂直于X轴时,显然满足NANM=NBNK故存在l+k2实数满足题意.
