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1、不动点与数列一、什么是不动点取两根长短不一，有着同样刻度（但长度单位不同）的尺子（比如：一根长5cm,一根长5寸），我们将其中较短的一根无论放在较长尺子的什么地方，只要短尺全部落在长尺内（图2）厕两根尺子总有某刻度,它们的数值是相同的（如图中的这一刻度），这个数值相同的刻度，就是这种移动变换下的一个不动点.一根橡皮绳子上打着许多结，当你均匀拉伸后，对称地放在原来的位置下面，再把绳子相应的结用线连接起来，其中必有一条与橡皮绳垂直（图中A）,则这条垂线的结点，便是橡皮绳在拉伸变换下的不动点.“不动点”是一个重要的又十分有趣的数学概念，斯丕诺（Spemer）定理可以说是不动点在数学上有趣的应用：把A
2、BC任意分割成许多小三角形（如图所示），然后把一ABC的顶点分别涂上三种不同的颜色，再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一.规则是：若小三角形的顶点落在/8C某条边上，则这个顶点，只能涂该边两端之一的颜色，若小三角形顶点落在.ABC内，则可以任意涂三色之一.无论如何分割ABC,最后必有一个三角形（确切些，有奇数个小三角形）使它的三个顶点恰好涂有三种颜色.从不动点观念看，这个小三角形就是在“分割”、“着色”变换下的不动点.历史上证明了SPemer定理后，导出了布劳韦尔(Brouwer)不动点定理：“任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点”.定理的严格证明是艰深的.由于篇幅所限，不
3、可能给出这个证明了，但是，我们可以看看布劳韦尔不动点定理最简单而又特殊的情况：定理：设/(力是连续函数,其定义域为0，值域，则必有不动点(即存在一点3使3)=3).预备知识：定义1对函数f(力，若存在实数X。，满足/(M)=AO,则称为为“X)的不动点.对此定义有两方面的理解：(1)代数意义：若方程力=工有实数根%,则y=f(X)有不动点(2)几何意义：若函数y=()与y=有交点(.%,%),则%为F=()的不动点.利用递推数列/()的不动点，可以将某些由递推关系I)所确定的数列转化为较易求通项的数列(如等差数列或等比数列)，这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求
4、其通项公式.定义2若数列,J满足3,=f(4),则称/(x)为数列4的特征函数.定义3方程/(x)=称为函数f(X)的不动点方程(特征方程)，其根称为函数/。)的不动点.具体应用：若数列4的递推公式为4=/(。1)把此式中的凡、。“-1均换成、得方程=(),我们把方程X=f(A-)的实数根X称为数列叫的不动点利用数列仆的非零不动点,可以转化求等比、等差数列，继而可求出数列4的通项公式.命题1若/(X)=以+b(0,。l),/是“力的不动点，勺满足递推关系4=%)51),则4F=(%f),即4-不是公比为”的等比数列.证明因为小是/(力的不动点，所以5+b=%,所以-Xo=-x.由4=,+得4f
5、=a%+b-Xo=a(an-xo)所以6一%是公比为。的等比数列.命题2设/(X)=竺学(CWOMd-松工0),且外力只有两个相同的不动点/,如果叫cx+a满足递推关系4,=4.1)(1),初值条件4(q)，则:三=7三+攵.(这里anan-l%证明由/(3)=不得.八%)=瑞G=Xo,整理得*+(d-a)o-b=O.所以-x=c-rfXo=F，所以-AO=詈喑-AOICcan-十Cl二(/Mi+】Todcan-+d(-cxo)(-)2c1=+a+dan_x-x0,2c1I令k=-,则=+ha+dan-xo命题3设/(X)=%(CW(Ud火工0),也满凝推关系=(%)51),初值cx+a条件q
6、),若/(另有两个相异的不动点X-”,贝uFfJ=hMF(这里an20r-l2k=2)a-CX2,证明因为W,占是不动点,ax+bcx2+ d% +b叫+47(%+d) 叫-+bT2(c%+d)(_以)q_+一巾(a-cx2) an_t +b-x2d(一以)*7(45)a-cx2)an,l-x2(a-cx2)”必峭一芭O-CX2 an,l-x2 cx-ax=b-xdcx-ax2=b-x，命题2、命题3的另一种证明方法：(DffiS当数列递归方程满足。用=?苧,十v2若令4向=/(力，an=x,根据不动点定义f(x)=X,即4+1=4=X,可列出方程X二言氏，整理得f+(G-)-G=OB当判别式
7、a=(Gt)*+4g=。时，该数列具有一个不动点与；当判别式A=(G-f+4Go时，该数列具有两个不动点司，两种情况均满足数列特征方程人-x)x(4r)+A(a”+-x)+3(%r)=0e(2)验证将递归方程0产幺当变形为4“。+G+1-C1=O,对比式系数得俨7=-1X2-Ax-Bx=-Cl消去未知量A.B,推出等式f+(C2-l)x-C1=O,即特征方程，证毕.命题4设函数/(力=竺士第(工0,工0)有两个不同的不动点，9,且由CAJ/、24,=41)确定数列叫，那么当且仅当=(),e=为时，上K=%10.此时a11-cIqI-4J/(加第(0)知识延伸：利用函数不动点构造桥函数求数列的通
8、项公式.定义2已知函数“X),记工(力=Fa)(力=ZJT(X),1,则力称为函数f()的次迭代.定义3已知函数/(力和g(x),若存在可逆函数(存在反函数)(x),满足g(x)=，(/(P(X),则函数“力和g(x)互为相似函数，其中。(工)称为桥函数.说明(1)若g(M=(S(X),则/(C=Hg(%)且(%)=*&(X).(2)若的不动点为,则，(AO)为函数g(x)的不动点.对于数列“：已知首项为,及递推公式凡=(4),n2,则数列%的通项公式即为4=薪(4).若能求出，(力，则数列的通项公式即可很容易求出.而求力关键是需要找到合适的桥函数8(汇)，使得与7%)相似的函数g(x)能比较
9、简单(常为一次函数或反比例函数)，从而求g.G),再由。(切=夕卜“(/(力)求(力.而由说明(2)又启发我们可以利用函数/的不动点去构造桥函数。(力.2桥函数的使用：已知数列4满足：i=2,an=-.n2,求数列4的通项公1十an-式.2解令/(X)=沅，则/(x)的不动点为%=-2,2=1,构造桥函数。(x)=,则/(力二户，X+ZI-X令gV(X)言)=J誉察：_2x_3,又g,(x)=(-2)(x+1)-1,则，(X)=O(eT(X)=Og”Fi弁)*卜)+信”.2)侑-1+2(-2)n(2x)-2(l-x)=(-2(2+x)+(l-x),所以数列4的通项公式为勺=A-1(2)=(：?
10、；：；，(T)-I说明goCr)=p+g(P,夕工,Pl4为常数)，贝!UW=p(-)+o,其中一%是心(力的不动点.最后我们来研究关于数列%=署署(c=0.4一加WO吗=P)的周期性问题：n对于方程以2+(一。)一6=0;(1)若=(),则数列4无周期.(2)若A0,则数列“有周期的充要条件是,且周期7=2.(3)若(),则数列4有周期的充要条件是arg(T=网(其中小，攵为方程k-Kcjn0?+(a-。)一力=O的两木艮八wN,，1,rN,显然一1工+f-l,所以勺0.“，故数列凡无周期.(2)若A0,则两根MWR,n+f-1因为贵:既需4,+rtn_Pfn(ck+dant-kp-kcm+
11、d所以数列J有周期的充要条件是，ck + dcm d/1-1ck + dcm + d+f-lI (1N) lck + d cm + d1.所以ck + d cm + dO J所以或+ d = -c7w-d , k + m = c注意至U方程令， = -=-故d = -.a b aan+b -a+-R .七 be-ad、+，（其中R=I-） an 一一R(n l, N) ，a R，得，4一? 二 ,1一，于是为“二41说明数列4的奇数项、偶数项分别相同，故数列/有周期丁 = 2.(3)g0 , Wqk = a-dyTd-a)J4bcijLdyJ由于a - mea-kca + d - J-Aia
12、+ d + *T-Ai=1-c(a-mc2tz,、故可设arg=(r,N,zw).a-c)n则TS为1的一个次方根/伫竿=1a-ca-kc)反之，若叫是周期为的周期数列，则必有(纥产=1.Va-kc)_(a-tnc2t,Z于是arg-=(z,nN,r0,数列.满足，4=力，%=d52),求数列.的通项公式.【强化训练4】4 .已知首项为西的数列玉,满足Xm=F(。为常数)当。确定后，数列乙由其首项内确定，当4=2时,通过对数列玉的探究，写出“玉是有穷数列”的一个真命题.【强化训练5】tz95 .已知4川二广W,4=1,求4的通项公式.【强化训练6】a-86 .已知=M,4=1,求“的通项公式.
13、【强化训练7】7 .已知q+L/M=1，求凡的通项公式.【强化训练8】8 .已知函数/(x)=W-4,设曲线广力在点仁JE)处的切线与K轴的交点为(J,0),N,已知百=4.用x”表示Xe,并求数列%的通项公式.【强化训练9】29 .已知数列叫满足：4=2,%=7(2),求数列g的通项公式.1十fl-l【强化训练104a-210已知数列4中,%=3q=-,求k的通项.4.1十1【强化训练11】2a-4H.在数列4中，4=2,且=昔,求其通项公式【强化训练1212 .已知数列4满足%=尊W(“2),首项4=普,求其通项公式-56【强化训练13z12Ia24zX13 .已知数列叫满足。向=七+7，
14、=4,求数列4的通项公式.【强化训练14(、,2an+214 .已知数列4满足0=IMz=一厂，判断数列的周期性.【强化训练15】15 .数列4满足4=1MM=生三，判断数列的周期性.【强化训练16一16 .数列4满足勾=2,用二=T,试研究数列4的周期性.【强化训练1717 .已知/(力会，且/(X)=戈)JW(X)=/(产)(幻)(，此2”叱),求/(x)的解折式.【强化训练1818 .求数列4：。川=菱?的周期.n【强化训练19】19 .已知函数/a+)=%；：；,求证：f(”为周期函数.参考答案：1+2【分析】令=q=X,求出数列的不动点，据此变形递推关系式，可构造等差数列，即可求出数
15、列通项公式.【详解】令统出数列的不动点A解得N=工2=2.将不动点X=/=2代入递推公式，,3。“一4.得“2=-2整理得2=岩Urgw2%-2,1令”二,4一2,11+1=1,=I=3.数列是以：为首项，以1为公差的等差数列.2他的通项公式为“=A6_2代入，得%-22=n3,3Ca=+2.3n-2【分析】在4=-1或=3时，直接可计算彳导出可；在T且00且工3时,推导出数歹I丐为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得句.综合可得结果.M+J【详解】解：当=-时，4=-1,=T，L,以此类推可知q=T(N);aI2+3当=3时，6=3,%=-=3,L,以此类推可知见=3(衣叶)；aI2x+
16、3当且。工()且3时，特征方程为X=,BP-2x-3=0,解得X=T或x=3,X因为。工一1且H且3,且4=4且。“+1=2;+3,可知对任意的en*,凡WT且缘324+33所以，数列为等比数列，且该数列的首项为y,公比为-4，+1Jci+13IS=1),3 .%=W(l-b)&C-、“S0wl).【分析】将分=?二(让2)递推得到J”两边取倒数得到,%+-1an+n1 1-cn+- h n b(+1)a+n11人=K=LwZ令行=贝此”当h=l时%是等差数列，求出g,通项公式进而求出,J的通项公式；当“，1时利用构造法求出%通项公式进而求出七的通项公式.【详解】解：“,两边取倒数得到(+1)
17、+WI1人mlJ X +11 11两边同时取倒数，得=$一=1+不，+I x L Xn /HkF令则当8=1时，.明=葭+；，*=。”+1，%=1,二数列是首项为。=!=；=1UDan公差为1的等差数列q=l+5)r=q=.当&1时,加W则M占中。+占),，数列卜+占是以g+T=+T=3+T=瓦七为首项，5为公比的等比数歹k.1111.1_1_.=1_1c+Tb/?(1-h)h=bn(l-b)C,bn(-h)Tb,bn(-b).n_1_1_-bnnb,(-b)hn(-h)Thhn(-b)a-bnIS=1),-a,-nbn(-b)Tj(bO,1).-bn4 .答案见解析【分析】根据题意中的递推公
18、式，利用取倒数法可得;一1=；(；T),数列/为等I乙Xn比数列，根据等比数列的通项公式可得;T=(JT)(fg,进而求出分X;令%=-1可XnxI乙得N=7,结合充要条件的概念即可得出结论.I-Z【详解】由。=2,由J=合得=j须t十INr十1有-LT=U，X+12xn所以；T是首项为1，公比为J的等比数列，Xn1/所以;-I=产i乙、2li=Xn所以七(21即数列 F 是以 为首项，4 = 一：为公差的等差数列，% T2其通项公式力=-；+ (-I)X(T汨，得 4 =3 一 . n-l)x1+lzA|(l-2w-|)xn+2rt,令/=T,则g=(-Dg严=7,即第项为-1,有穷数列在第
19、项停止.综上：写出的真命题为：数列%是有穷数列的充要条件是：存在mN.使得某项jT,所以n=3，12即内=丁二，且有穷数列的项数为“I-Z5.%=3二n【分析】根据不动点法求出不动点为3,进而可得数列7L7是以-:为首项、-为公差。”-322的等差数列，利用等差数列的通项公式即可求出.【详解】设。川=。“=4,X9SP-V=-,解得x=3,即不动点为3一X-5111可变形为不工一力二一5,lunj乙131【分析】先将条件进行变形，化简为:;=-l,进而变形为-L7一二31一L7-,然后通过等比数列的概念求得答案.%-22Iq-22)【详解】由题意，qr2=*=y*=-4=W=止芋，为一5%-5
20、all-5azt+1-2a,-2an-213IIrlI)11311所以?=7J7，贝U=3,11,?7=2,故J一点是5-2an-2%-22an-22)%-2221%-22J3以-1为首项，3为公比的等比数列.113.14-23”于是=3n-=3a=an-2222l-3w【点睛】凡“二矢?是=(McO)的一种变形,首先anJOan十Caa,1ba,+cCIb“向第七=I=二L=7广+力，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案十Ca”.aanaana因此我们可以将原式作如下处理：-=yT=支生W电，并且要求q-5an-51x=I=X=2,现将=2代入或4(亦可，无根的情况和分母为0的情况均不在
21、屿豌列)，l-2=-2=2U-=,进而转4一5an-5an+l-2an-2an-2化为等比数列解得答案.【分析】将已知式子变形为-+1=2(,+l,进而根据等比数列的定义求得答案.“+11+212I(II,c【详解】根据题意变形为丁=十一=1+7，则+1=2+1,而1+1=2,所以%，4+1%)6J+1是以2为首项,2为公比的等比数列.于是5+1=*=4=“.C+48 . n+ -,2%【分析】求导,写出在(ZJa”)处的切线方程，令广。求解【详解】因为r(x)=2x,则/5)=2%,所以f(x)在仁J(X“)处的切线方程为丁一(片-4)=2/(Xfj.令),=。，得玉X=?，(易知WWO),
22、24三-+2=-2=i1l-222x所以三二KL%+lT4%TfI22匕从而% 一2N - 2xzt + 2 IXI+2)6的2口+1)所以X=_!L.n3r-I(-21+29，a，=(-2)n+-【分析】由题设中的递推关系可得数列廿为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列q的通项公式.21-an2(2+a,)【详解】因为4“二777,故4M-I=TT广且。向+2二个一任，见+|+2故受而皆=故若叫故翌一所以数列容是以4为首项，以-2为公比的等比数列，故髓= )T=(W,，解得=(-2f,+2(-2)w+,-l2-2_23n,10.a=；_o-l【分析】利用不动点法求出不动点为1和2进
23、而可得数列-2是公比为T的等比数列，利用等比数列的通项公式求出即可.【详解】因为的特征函数为/（X）=*,4r-2则特征方程为一-=x,BPx2-3x+2=0,x+1解彳导内=1，=2,则8咛-1虫中的+1峭+1=一2=%+1%+1_Ca-13a11则得j=kT，数列j24是公比为目的等比数列，IA-2J2叱L=上Lf2Y,%-2a,-2(2J,-3-=2,4-2114=4b【分析】根据特征方程解出M=W=-2,令,-（-2）=，得到%=二之，利用取倒数法tz求出2=3,即可求出q的通项公式.2at-4【详解】因为勺+产昔，所以特征方程为=a,解得芯=-2.x+64b令4（一2）=,代入原递推
24、式得%=立因为a=+2=40,所以化tNj,111故二厂“Il/八14因此，彳二1+(-Dq=I，从而勿=丁442/?又因为。”=2一2,所以q二一一2=.nnOX-D33r2+?【详解】特征方程为X=/,得3/-5%一2=0,6x-5则(3x+l)(x-2)=0,故内=2是函数/(x)=与三的两个不动点36x-5则).13l2(113c,-1+I3)36an,1-5I3yl6%一5。2=&.+2_2=3(%-2)6%56651(1Van+-a.+则小得一一,4-2%-2Z%p,1-l+Pn-2+)所以由迭代法得一J=M=4-2.-2JH-2-2)l63r-+l则为=产，.332-a“=J-i
25、+313-11“11【分析】先将式子变形为1=1,%-39an-3J详解根据题意，一3=等序-3=等?也+1也+144一/,/.2*,4+一.=0=32X/进而根据等比数列的定义求得答案.9(a-3)=q-,贝U也+1，人J3r2+21%+.q+.【分析】先由X=方4，求得不动点为再=-不=2,进而得到一=J求解.139,又因为【点睛】=7T/r于是q -321 -24匕(chO)的一种变形，首先1_4,+l4(4-3)+13ZTm=9(可-3)=943)+l=2,所以+1是以2为首项，为公比的等比数列.一31%-3J91ban+ccb=-=-,进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案.an+
26、aanaana因岷们可以将原式做下处理：/L=*善T=T言，并且要求K=R=2或I现将I代入(户2亦可,无根的情况和分母为的情况均不在此考虑之歹!J), 4用3 二21324 3,9(33) =4%+l4% + 1,1 =13._+4 94一3) 9 %-3 9 进而转化为等比数列解得答案.14.不是周期数列.【分析】根据题意，先求出数列的通项公式，然后再假设数列的最小正周期为7,进而根据a”=%+t判断问题.【详解】由题意(1+G)=七2-(1+司=一：+2=(1_6)3一(：+4)1an_an-(1+3)+(1+7?)所以6+1-。+网(I-G)凡-(1+G)(I-(1+G)j(1+6)1
27、2+31+3”到北司+r=T三Fm,进一步化简为：1/厂、I1_1“0+可=-(2+叫；+剃,而;动二一边所以a),+ -(! + V?)是以一赤为首项，-(2+为公比的等比数列，于是23H-11+5=2T+1+J3e-.(2+3)f1-(23)J1,所以-(23)J,=-(23)Jiy1=9(2+曲)(=1，显然T不为定值，即该数列不是周期数列.2a,t+2aan/,八、【点睛】本题求解数列的通项公式是难点q.L是ML总上()的一种变形，an十Caan1ban+cclb首先=0七=丁，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答十cwzrllaanaana案.因此我们可以将原式作如下处理：4=为旦
28、J2t)4+2,并且要求氏4Ee=E+6或E苻,三.=l3R(EM亦可，无根的情宓口分2+2母为O的情;诵柞此考跳歹IJ),田一(1+6)=(1+6),an1=23+1-(l3)-(13)l+3下一进而转化为等比数列求出该数列的通项公式.15.周期为2.【分析】通过递推公式列举出数列的项，进而发现周期，然后再进行证明即可.2at,+12+1【详解】因为“芸，所以二71=1,则猜想该数列的周期为一/2.下面进行证明：根据题意，为+222+1=2j+l=凡-2=44+2+4-2*-2-22atl+-2(an-2)。一2于是数列J的周期为2.16.周期为4【分析】根据通项公式，写出特征方程为f+1=
29、0,由方程根的情况求出数列叫的周期.【详解】数列的递归函数为/(X)=言，其特征方程为X2+1=0.因为A=0-lx4=-40,解彳导：w=i,=-i(a-mc/1一i1316兀arg=arg=arg(-)=-=Va-kc)U+)24所以数列4是周期T=4的周期函数.17JS)=?【分析】通过尸OJ(力，/(尤)(x)j(6)(),f(X)J，得到其循环的规律求解.【详解】因为/(x)=rLj(K)=岩，I-XZx-1/)=?j(X)=MLJ=巴严(X)=尹D=FL，Z-XI-X易知”()=()=yP)(X)J(X)卜).即/(X)W(X)T(X)=，严=/)(X)=/寸软力,所以/(X)=,W=严(%)=?.18.周期为6.【分析】根据通项公式，写出特征方程为+1=0,由方程根的情况求出数列”的周【详解】因为。用差?，所以特征方程为Y-x+l = 0 ,因为。，解得：砂1斤子16 ,cr-x(a-tnc所以arg5Kj=3=所以函数/(v)的迭代周期为7=6.所以数列&有周期r=6,19.证明见解析【分析】证明/0+3)=f(x)即得证.【详解】证明：由题得+$IG+(+)._折(1+1)2G_2/(x+1)25-2-二I-2-236+/(X)1万6+x可d2扃(x+l)l-3(x+l)I-折(幻_8(x):)I-MX)所以/G)是周期=3的周期函数.
