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1、专项09勾股定理之蚂蚁行程模型综合应用（3大类型）几何体中最短路径基本模型如下:长方体基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解【典例1如图，一圆柱体的底面周长为10c7zn高AB为12cw,BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（）A. HcmC. 2cmD. 14c【答案】B【解答】解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为IOcm,则 A。= IOX工=5 （CW .2又因为 CD=AB=I2cm,所以 AC= i22 + 52 = 13（cm）,故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13c
2、m.故选：B.【变式1-1 如图所示，一圆柱高Scm,底面半径为2cm, 一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（取3）是（）A. 1OcmC. 20cmD.无法确定【答案】A【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开,Y底面半径为2cm,4JTQrBC=生上=2产6cm,/2/在RtZXABC中，/9/AC=SchBC=6cm,/A8=VaC2+BC2=62+82=1OCmAA故选：A.【变式1-2（2021春济南月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿3cm与蜂蜜相
3、对的点A处，若该圆柱底面周长为40,，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（）【答案】CB.18cwC.25cwD.40cm【解答】解：如图：是侧面展开图的一半,：高为15cm,底面周长为40cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿30与饭粒相对的点A处,AD=20(Cm),BD=15-3+AE=15(cm),将容器侧面展开，作A关于律的对称点A,连接A8,则A8即为最短距离，AD2+BD2=V202+152=25=20,在直角三角形ABO中，根据勾股定理得：aae=Vbd2+AD2=Vl52+2O2=25;只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的
4、平面形成一个长方形，如第2个图:长方体的宽为10,高为20,点8离点C的距离是5,BD=CD+BC=20+5=25,AD=10,在直角三角形ABo中，根据勾股定理得：AAe=VBD2+AD2=V102+252=5729:只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如笫3个图:;长方体的宽为10,高为20,点8离点C的距离是5,AC=CD+AD=2O+1O=3O,在直角三角形ABC中，根据勾股定理得:BC2=302+52=537jV25529537,，蚂蚁爬行的最短距离是25.故答案为：25【变式2-1】正方体盒子的棱长为2,BC的中点为M,一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离
5、为()A.13B.17C.5D.2+5【答案】A【解答】解：展开正方体的点M所在的面，TBC的中点为M,所以MC=Lc=I,2在直角三角形中AM=22+(l+2)2=.故选：A.【变式2-2】如图，一只蚂蚁从长为7cm、宽为5cm,高是9c?的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到8点，那么它所走的最短路线的长是15cm.【答案】15【解答】解：由题意可得，当展开前面和右面时，最短路线长是：(7+5)2+92=V225=15(on)：当展开前面和上面时，最短路线长是：72+(9+5)2=245=75(Cm)：当展开左面和上面时，最短路线长是：52+(9+7)2=281(Cm)：V1575e29 .如图，一
6、只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高4的端点A到达Ai,若圆柱底面半径为巨,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为.【解答】解：因为圆柱底面圆的周长为2Xg=12,高为5,所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形，根据勾股定理，对角线长为必7覆=13.故蚂蚁爬行的最短距离为13.34.一个长方体盒子，它的长是12dm,宽是4dm,高是3dm,(1)请问：长为12.5dm的铁棒能放进去吗？(1)如果有一只蚂蚁要想从。处爬到C处，求爬行的最短路程.【解答】解：(1)如图L连接8。,VAD=12,AB=4,BD2=AD2+A2=122+42=160,=bd2+bc2=160+32=i3(dm).3dm2.5dm,，
7、长为12.5d,的铁棒能放进去；(2)如图2所示,CD=yj(i2+4)2+32=J265山.如图3所示，CD=yJ(3+4)2+122=7193而?，如图4所示，CD=J(12+3)2+42=724Idm,V265241193爬行的最短路程是J夜曲.I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复ppt免费领180套PPT模板回复天天领券来抢免费下载券
