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1、专项10勾股定理之垂美四边形模型综合应用（3大类型）【定义】对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.【结论】如图，四边形ABCD的对角线AC_LBD,工贝!A1P+CD2=AD2+BC2.S四ABCD=2ACBD【典例1定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.概念理解：如图，在四边形ABCO中，如果A8=4O,CB=CD,那么四边形ABC。是垂美四边形吗？请说明理由.性质探究：如图，垂美四边形ABC。两组对边A8、8与BC、A。之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明.问题解决：如图，分别以RtACB的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形ACFG和正方形ABZ)E,连接CE、BG
2、、GE.若AC=2,AB=5,则求证：ZXAG8gACEGE=.【解答】解：概念理解：四边形ABCO是垂美四边形.理由如下： ：AB=AD, 点A在线段BD的垂直平分线上，YCB=CD, 点C在线段BD的垂直平分线上， 直线AC是线段BD的垂直平分线，ACBD,即四边形ABCo是垂美四边形；性质探究：4D2+fiC2=2+CD2.理由如下：如图1,已知四边形A8C。中，AC.LBD,垂足为E,VACBD,；NAED=NAEB=NBEC=NCED=90,由勾股定理得，Al+BC2=AE1+DE1+BE1+CE1,AB2+CD2=AE1+BE1+CE1+DE1tD2+C2=B2+CD2;问题解决：
3、连接CG,BE,如图2所示:ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,KflNGAB=NCAE,在AAGB和AACE中，AG=AC:Zgab=ZcaeAB=AEAGBACE(SAS)；MAGB咨ZXACR：NABG=NAEC,又NAEC+/AME=90,ZAfiG+ZAE=90o,BPCELBGf，四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得，CdZ+B*=C伊+G产,VAC=2,A8=5,*C=21,CG=22BE=5如，J.GE1=CG2+BE2-Cfi2=37,GE=37;故答案为：37CD=2.【变式1-1】四边形A8C。如图所示，已知A8_L8C,AB=3,BC=6,AD=I,(1)求证：A
4、CLCDx(2)求四边形ABCO的面积.XD【解答】(1)证明：A8_L8C,A8=3,BC=6,c=AB2+BC2=45jVAC2+CD2=45+4=49=4D2,，ZXACD是直角三角形，NACo=90,：.ACLCDx(2)解：四边形ABeT)的面积=Sabc+Saacd=y36+y452=9+45=9+35【变式1-2如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：给出下列图形：平行四边形：矩形；菱形：正方形.其中一定是“垂美四边形”的是(填序号)：(2)性质探究：如图1,四边形A8C。的对角线AC、BD交于点O,ACLBD.求证：AB2+Cb2=AD2+BC2i(3)解
5、决问题：如图2,分别以RtZXACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACrG和正方形A8QE,连接CE,BG,GE.已知AC=&，AB=3.请问四边形CGE8是垂美四边形吗？并说明理由：求GE的长.图2图1【解答】解：(1)菱形、正方形的对角线垂直,，菱形、正方形都是垂美四边形.故答案为：.(2)证明：VAC-LBDfZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90o,由勾股定理，t5AD1+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,BG与CE交于点M如图2,图2A2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,.t.AB2+CD2=AI)2+BC2;(3)连接CG、BE,A8与CE交于点O,VZ
6、CAG=ZBAf=90o,ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NGAB=ZCAE,在AGAB和aCAE中，AG=ACAB=3,zc=AB2-AC2=32-(5)2=2CG=2C=10jBE=AB=3JGE2=CG2+BE2-CB2=(iq)2+(2)2-22=24,GE=26【龈朦制称】1 .如图1,我们把对角线相互垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解，在四边形ABCO中，以下是垂美四边形的是.平行四边形；矩形；菱形；AB=AO,CB=CD.(2)性质探究，小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等，即，如图1,在四边形ABCO中，若ACJ_8。，则2+CQ2=AQ2+8C2.请
7、判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由.(3)问题解决：如图2.在aABC中，BC=3,AC=4,。、E分别是AC、BC的中点,连接AE、BD.AELBD,求A8【解答】解：(1)Y菱形的对角线互相垂直，菱形是垂美四边形，*：AB=AD,CB=CD,：.ACA.BD,，当A8=AO,CB=CO的四边形48Co是垂美四边形，故答案为：；(2)猜想正确，理由如下：丁四边形ABC。中，ACrBD,；NAOB=NCoD=NBOC=NAoD=90,AB2=OA2+OB2,CDz=OC2+OD2,BC2=OB2+OC2,AD2=OA2+OD1,.AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2,BC2+AI
8、)2=OB2+OC2+OA2+OD1,2+CD2=D2+C2;(3)VBC=3,AC=4,D、E分别是AC、8C的中点，AD=-k4C=2,BE=工BC=3,DE=-kAB,2222,AEBD,.t.AB2+ED1=AD2+BE2f4B2=4-i,44B=52.如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：在下列四边形中，正方形；矩形：菱形；平行四边形.是垂美四边形的是：(填写序号)；(2)性质探究：如图1,垂美四边形ABCO中，ACLBD,垂足为0,试猜想：两组对边AB,CD与8C,AO之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图2,分别以RtZXACB的直角边AC
9、和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形48fE,连接CE,BG,GE,已知8C=6,Afi=IO,求GE长.图1图2【解答】解：(1)正方形，菱形的对角线互相垂直，正方形，菱形是垂美四边形，故答案为：.(2)结论：AD2+BC2=AB2+CD2.理由：四边形A8C。是垂美四边形，：.ACLBD,ZAOD=ZAOB=BOC=ZCOD=90o,由勾股定理得，4f2+C2=AO1+DO1+Bd1+CO1,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,J.AD2+BC2=AB2+CD2.(3)连接CG、BE,YNC4G=N8AE=90,AD CAE,ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NG
10、AB=NVAG=AC,NGAB=NCAe,AB=AE,GABCAE(SAS),JNABG=NAEG又NAEC+NAME=90,ZAG+ZAE=90o,BPCELBG,，四边形CGEB是垂美四边形，.t.CG2+BE1=CB2+GE2,*：BC=6,A8=10,NACB=90,，mc=7aB2-BC2=V102-62=8CG=82BE=02.GE2=CG2+E2-Cfi2=292,GE=2733.如图1,我们把对角线互相垂宜的四边形叫做垂美四边形.（1）判断：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的有菱形和正方形；（2）如图2,垂美四边形ABCO两组对边48、CD与BC、AO之间有
11、怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；（3）如图3,分别以RtZ4BC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,CE与BG交于点0,已知AC=3,AB=5,求aOGE的中线0的长.【解答】解：（1）Y菱形、正方形的对角线垂直,，菱形、正方形都是垂美四边形.故答案为：菱形和正方形.（2）猜想：AD2+C2=A2+Cl）2.理由：VAC.LBD,JZAOD=ZAOB=NBOC=/COD=W，由勾股定理，AD1+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2fD2+C2=2+CD2.(3)连接CG、BE,设A8,
12、CE交于点、M,YNCAG=NBAE=90,ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC.KfINGAB=NCAE,Y在aGAB和ACAE中，AG=ACNgab=Ncae,AB=AE,GA的ZkCAE(SAS),二NASG=NAEc,又NAEC+NAME=90,NABG+AME=90,即CEL8G,，四边形CGEB是垂美四边形，j.cg2+be2=cb2+ge2,VAC=3,AB=S,BC=5ab2-ac2=4,CG=AC=3近,BE=AB=5版,.GE=CG2+BE2-Cfi2=18+50-16=52,GE=213,O7=AgE=1324.【图形定义】我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.【
13、性质探究】如图1,四边形ABCD是垂美四边形，试探究两组对边48,CD与BC,AD之间的数量关系，并证明你的结论；【拓展应用】如图2,RtZAC8中，NACB=90,分别以AC和AB为直角边向外作等腰RtZACO和等腰RtZ4BE,连接OE,若AC=4,AB=5,求OE的长.【解答】解：（1）结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.（或：AI）z+BC2=AB2+Cb2.）证明：设AC与8。相交于点E.*：ACLBD,：NAED=/AEB=NBEC=CED=90,由勾股定理得，)2+fiC2=AE2+DE2+BE2+CE1,B2+CD2=4E2+E2+CE2+DE2,D2+fiC2=2+CD2
14、;(2)连接CE,BD相交于点N,CE交AB于点M.NCAO=NBAE=90,ZCAD+ZBAC=ZBAE+ZBAC,BflNOAB=NCAE,又YAB=AE,AD=AC,DBCAE,.NA3O=NAEC,又AEC+NAME=90,，NA5O+NAME=90,BPCELBD,四边形SEB是垂美四边形，由(1)得，CD2+E2=CB2+DE2,VAC=4,A8=5,.BC=3,CD=42,BE=HDE2=CD2+E2-C呼=73,DE=735.定义有一组对角是直角的四边形是垂美四边形.理解如图，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形A8CO,每个三角尺三个内角的度数都是30、60和90
15、0.四边形ABCO是四边形，ZABC+ZADC=度；探究如图，四边形ABCO是垂美四边形.NA=900,ZB=SOo,E是边AO延长线上一点，求NC和NCZ)E的度数.应用如图，四边形ABCD是垂美四边形，ZA=90o,BE和。尸分别是N48C和NAoC的平分线，交A。、Be于点E、F.试说明BE。尸.【解答】解：理解如图中，A=NC=90,，四边形ABeO是垂美四边形，ZAfiC+ZADC=360o-90-90=180故答案为垂美，180；探究如图中，四边形ABa)是垂美四边形，ZA=ZC=90o,VZA+ZB+ZC+ZADC=360o,且NB=80,ZADC=360o-90-90-80o=
16、100o,VZADC+ZCDE=180o,ZCDE=80o,应用如图中，由探究可知，ZABC+ZADC=180,YBE和D尸分别是NABC和NAOC的平分线，ZABE=ZABCrZADF=ADC,22ZABE+ZADF=A.(ZABC+ZADC)=90，2VZA=90o,ZBE+ZAEB=90o,/./AEB=/ADF,：.BE/DF.6.如图1,我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中肯定是垂美四边形的是.(2)性质探究：如图1,已知四边形ABCO是垂美四边形，直接写出其两组对边A8、8与8C、AO之间的数量关系
17、.(3)问题解决:如图2,分别以RtZXACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形AC尸G和正方形ABDE连接BE,CG,已知AC=4,AB=5,求GE的长.【解答】解：(1)Y菱形、正方形的对角线垂直,菱形、正方形都是垂美四边形，故答案为：菱形，正方形；(2)猜想：AD2+BC2=A2+CD2.理由如下：四边形ABCO是垂美四边形，：.ACYBD,：.ZAOD=ZAOB=ZBOC=ZCOD=90o,由勾股定理，得4D2+4C2=A02+Q02+8p2+co2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AB2+Cb2;故答案为AIy2+BC2=AB2+CD2;(3)CE
18、、84相交于点M,连接CE,BG,图2TNCAG=NBAE=90,ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBACf即NGAB=NCAE,在AGAB和ACAE中，AG=AC,NGA8=NCAE,AB=AE,JZXGA8gZCAE(SAS),/.NA6G=NAEC,XVZEC+ZAAlE=90,ZA5G+ZAE=90o,又NBMC=NAME,ZABG+ZBC=90o,CEtBG.，四边形CGEB是垂美四边形，由(2)可知Cd2+B件=C用+GW,VAC=4,A8=5,1 由勾股定理,得CB2=9,CG2=32,fiE2=50,GE2=CG2+fiE2-Cfi2=73,GE=737 .如图1,我们把对角线互
19、相垂直的四边形叫做垂美四边形.（1）概念理解：如图2,在四边形ABCo中，AB=AD,CB=CO,问四边形ABCO是垂美四边形吗？请说明理由.（2）性质探究：试探索垂美四边形48CZ）两组对边A8,CD与BC,4。之间的数量关系.猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）.（3）问题解决:如图3,分别以RtZAC8的直角边AC和斜边A8为边向外作正方形ACFG和正方形ABZ)E 连接CE, BG, GE,已知AC=4, AB=S,求GE长.【解答】解：（1）四边形A8C。是垂美四边形.证明：AB=AD,点A在线段BD的垂直平分线上，YCB=CD,，点C在线段BD
20、的垂直平分线上，：.直线AC是线段BD的垂直平分线，：,ACLBD,即四边形48C。是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等.如图2,已知四边形ABCO中，AClBD,垂足为E,求证：ad2+bc2=ab2+cd2证明：ACBD,，NAED=ZAEB=ZBEC=NCED=90，由勾股定理得，D2+fiC2=AE2+DE2+BEi+CE1,ab2+cd2=ae?+be1+ce1+de2,D2+C2=2+CD2;图3(3)连接CG、BE,YNCAG=NBAE=90,：.ZCAG+ZBAC=ZBAE+ZBAC,即NGAB=NCAE,在aGAB和aCAE中，尸AG=ACZgab=
21、Zcae*AB=AEGBC4F,ZABG=ZAECt又NAEC+NAME=90,JNA8G+NAME=90,BPCELBG,四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得,CG?+B伊=C由+G岛VAC=4tA8=5,BC=3,CG=42,BE=52*GF2=CG2+F2-Ca=73,Gf=73.8 .如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.垂足为0,求证：AB2+CD2(1)性质探究：如图1.已知四边形A8C。中，ACA.BD,=AD2+BC2.(2)解决问题：已知AB=5,8C=4,分别以aABC的边BC和AB向外作等腰RtZ8CQ和等腰RtASP.如图2,当NAC8=90,连接PQ,
22、求PQ；若MN= 2,则如图3,当AC8W90,点M、N分别是AC、AP中点连接MMSMBC=P,B图1【解答】解：（1）证明：如图1中,AC.LBD,：.ZAOD=ZAOB=/BOC=/COD=W,由勾股定理得，AQ2+8C2=AO2+QO2+8O2+CO2,AB2+CI)2=AO2+BO2+CO2+DO2fAAB2+CD2=D2+C2;（2）方法一：连接PC、A。交于点。，如图2,YXABP和ACBQ都是等腰直角三角形,图2：.PB=AB,CB=BQ,ZABP=ZCBQ=90o，ZPBC=NABQ,P5CA(SAS),XV ZBPC+ZCm+ZBAP=90o ,：ZBPC=4BAQ,即NB
23、AQ+NC7+NR4P=90,ZPDA=90o,：.PC-LAQ,利用（1）中的结论：AP2+CQ2=AC2+Pf即(52)2+(42)2=32+P2;/.F=73-连接PC、AQ交于点D,如图3,M、N分别是AC、AP中点,图3同可证aP8CgZA8Q(SAS)，AQ=PC且AQ_LPGImn=Lpc,2:MN=2如,A=PC=43延长QBW-ELQE,则有AE2+be2=25,F2+E2=48,.EQ=4+BE,：.(4+8E)2-E2=23,解得BE=L8.*.Sbc=-BCBE=X4X=2284方法二：连接PC,AQ,PQ,延长PB使8”=A6,由得，ABPCqABAQ,：.PC=AQ
24、=2MN=43，PCA-AQ,1.NPBM=QBC=90,：.ZPBQ+ZABC=SOa,即NQBH=NCBA,YBQ=BC,AB=PB=BH,BQ%ZXBCA(SAS),*SABC=S&PBQ=SAQBH,sc=(PCAQ-Sabp-Saqbc)=y(4343-55-y44)_7.4故答案为：1.4I免费增值服务介绍，V学科网(https:WWW3网校通合作校还提供学科网高端社群出品的老师请开讲私享直播课等增值服务。V组卷网(https:ZUjU)是学科网旗下智能题库，拥有小初高全学科超千万精品试题，提供智能组卷、拍照选题、作业、考试测评等服务。扫码关注组卷网解锁更多功能扫码关注学科网每日领取免费资源回复ppt免费领180套PPT模板回复天天领券来抢免费下载券
