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1、专题02函数与导数(新定义)一、单选题1. (2023河南洛阳市第三中学校联考一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数为：设xwR,用凶表示不超过X的最大整数，则尸国称为“高斯函数”，例如：-2.5=-3,2.7=2.已知函数/(刈=|,则函数力的值域是()A.-1,1B.-l,OC.(-1,1)D.(1,0)【答案】B【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解：【详解】方法一：函数X)=W=I-三，e+11+e因为e
2、、0,所以l+el,12所以0；?1.所以一2-；-0.1+e1+e2所以即TVf(X)1.当Tvx)0时，/(切=7；当Of()0,所以黄启0,解得Tf(x)L当Tx)0时，/(x)=T;当0x)vl时，/(x)=0.所以上(力的值域为T0故选：B.2. (2019秋安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习)在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质:对任意,beR,a*b=b*a；对任意wR，a*0=a对任意,bR,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c.则函数/(x)=卜2,2)的值域是C *)D. -5,59A.(-,5)B.-,5O_【答案】B【分析】注意新定义的运算方
3、式即可.【详解】在中，令c=0, Wa*b = ab+a+b,所以X)= 吗 =、+掾=；卜+目7Q函数/(x)在x=-3时取最小值，最小值为-2；在X=2时取最大值，最大值为5,所以函数2oY9一/(力=1吟卜-2,2)的值域是-,5.2L.故选：B.aAbCAd3. (2023上海统考模拟预测)设XVy=x+y+k-MXAy=+y-k-)j,若正实数Acd满足：aVcb7d,bkchB.bCD. JVCC.bca【答案】D【分析】对新定义进行化简，分别在条件ab cdab cdab cdabcd下化简结合所得结果，进步确定满足条件的关系，由此判断各选项.【详解】因为XVy = +y+-V
4、=2x,xy2yix, = x+y-x-y =2y,xy2x,xyaXbCMaVcbVd1McaSda+b-a-bc+d-c-d所以a+c+a-cb+d+b-dtb+c-b-ca+d+a-d(1)若ab,cd则，不等式a+/?-。一,vc+d-c-d可化为2/,则0R若acdb,则+c+dh+d+性一J可化为d匕，则+c+4c方+d+-M可化为c0b,则+c+4cV力+卜一4可化为Cy4,矛盾，Q)若ab,cd则，不等式+6-Wc+d-IC-M可化为bcb,若dcM则4+c+qc力+|一”|可化为c%,则+c+q-d力+|-4可化为vd,满足,Hc-A-d+d+4可化为bc8,则+c+4ch+
5、d+一M可化为cd,满足，h+c-b-(a+d+a-d11Htyjbd,满足，(3)若cbccl则，不等式a+力一,一Wc+d-|c6/|可化为aca若Ndcq,则+c+a-d6+物一4可化为cvb,满足,匕十弧一d8c4,则+c+a-d6+区一4可化为cd,满足，b+c-b-ca+d+a-daJtcc6,则a+c+,一CIVb+d+R-d可化为cd,满足，b+c-b-(a+d+a-dpHtjbd,满足，(4)若ab,cd则，不等式。+一,一4vc+d-c-d可化为q,若bcd,则+c+dh+d+-M可化为cb,满足，h+c-b-(a+d+a-dHtjhjc1,则+c+4dh+d+性一J可化为
6、c1,则+c+4c方+d+-M可化为cca或dbca或dcba或dacb或dcah,由bdc。知，A错误；由dcb知，B错误：当dcb时，bc=b+c-b-c=b+c-c+b=2bf取d=7,=6,c=2,b=l可得，满足条件但必c=2v,C错误；当力dc时，(Nc=d+c+d-(=2da,当d力c时，d7c=d+c+d-c=2da当dc%时，c7c=d+c+d-(=2da,当dc人时，dVc=d+c+d-c=2da,当dc力时，d7c=d+c+d-c=2da,故选：D.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的
7、方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4. (2022秋江苏常州高一华罗庚中学校考阶段练习)对于函数y=f(x),若存在,使/(%)=-/(-/)，则称点(天,/)与点(FJ(F)是函数/(x)的一对隐对称点若函数Fa)=；二2；o的图象存在“隐对称点”，则实数加的取值范围是()A.2-2&,0)B.(-,2-22C.(o,-2-22D.(,2+22【答案】C【分析】由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程a+
8、2=-2-2x(x0)的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数机的取值范围.【详解】由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，设g(x)的图象与函数/(力二丁一2MXVO)的图象关于原点对称，令x0,则一jv0),因为/S)=X(0)=2-()nx+2,x02所以原题义等价于g(x)与/*)在(0,+8)上有交点，即方程的+2=r2_2x(x0)有零点，WJrr=-x-2,又因为r-N.2-2jZ-2=-2-24,当且仅当T=2，即X=及时，等号成立，XV-X-X所以m-2-2,即7(-oo,-2-2&.故选：C.【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转
9、化为g()与/(X)在(0,+8)上有交点的问题，从而得解.25. (2023高二单元测试)能够把椭圆+V=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可4分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为()A./(x)=4x3+xB./(x)=ln-C./(x)=sinxD./(x)=eve-【答案】D【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.【详解】对选项A：/(x)=4+x,f(-x)=-4xi-x=-f(x),函数为奇函数，满足；对选项B：/(x)=ln*,函数定义域满足泮0,解得一5xv5,口/(r)=In券=-/(x),函数为5+
10、x5+-5-x奇函数，满足；对选项C/(%)=sinx为奇函数，满足；对选项D：/(x)=et+e-/(-x)=e-+er=(x),函数为偶函数，且/(0)=2H0,不满足.故选：D6. (2023秋江苏无锡高一统考期末)设xwR,计算机程序中用INT(X)表示不超过X的最大整数，则y=INT(x)称为取整函数.例如；INT(-2.1)=TINT(L2)=1.已知函数/(x)=:(log2+d，其中0x16,则函数y=INT(X)的值域为()A.-l,0,lB.-l,0,L2C.吊)D.0,1,2【答案】B【分析】化简/(x),令E=log2%,/()=2-3+4j14由二次函数的性质求出函数
11、f(x)的值域，根据定义求函数y=INT(AX)的值域.【详解】因为F(x)=g(log2x)2+log2g+4=g(log2%)2+og2x+4令I=IOg2%,因为X16,所以所以/(/)=-3/+4,7表4),因为的对称轴为f=3,所以/(，)在(表3)上单调递减，在(3,4)上单调递增,当U3时，/(0min=(3)=-p当匕时，&L=出卜看121、所以/()的值域为-彳当一J(x)O时，=INT(x)=-l,当0(x)l时，=INT(x)=0,当lf(x)xlx2B.x2x3x1C.x2xlx3D.xix2X1【答案】C【分析】由已知可得COS再=X,则CoSXI-K=0,Sin(C
12、os)-SinXI=O.然后证明Xsin%在(0,1)上恒成立.令尸(X)=Sin(COSX)-sinx,根据复合函数的单调性可知尸(X)在(0,1)匕单调递减，即可得出Q%.【详解】由已知可得，COSX1=x1,则CoSXl-M=0,H.sin(cos)=sinx1,所以Sin(COSXJSinX=0.又COS(SinZ)=毛，Sin(COSW)=玉.令(x)=X-SinX,x(O,l),则(x)=I-COSx0f亘成立，所以，MX)在(0,1)上单调递增,所以MX)Zi(O)=O,所以xsinx.所以，sin(cosA)=Asinxj,即Sin(COSW)-SinW0.令尸(JV)=Sin
13、(COSX)-SinX,x(0,l),因为函数y=Sinx在(0,1)上单调递增，y=csx在(0)上单调递减，且O8SX0=F(x1),所以“3%.因为y=8sx在(0,1)上单调递减，sinx2cos9.Xcos(sinx2)=2,所以X2c0s,BPcosx2-x0.令G(X)=CoSX-x,x(0,l),则G(x)=-SinX-IX.综上可得，%X3.故选：C.【点睛】关键点点瞄：证明xsinx在(0,1)上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系.8. (2022秋河北邢台.高一统考期末)在定义域内存在使得/(5)=-/(W)成立的黑函数称为“亲慕函数”，
14、则下列函数是“亲慕函数”的是()A./(x)=xB./(x)=2C/(x)=a3D./(x)=x2【答案】C【分析】根据函数的范围即可判断A、D项；B项不是哥函数；求出)=-(x)即可判断C项.【详解】对于A项，/(X)=五0恒成立，故A项错误；对于B项，力=2X不是某函数，故B项错误；对于C项，因为f(r)=()T=r3=-f(),只要Xj=-Z即可，故C项正确；对于D项，f(x)=尸=30恒成立，故D项错误.a,a-b 设故选：c.9. (2022秋广东深圳.高一深圳外国语学校校考期末)对实数4与4定义新运算:。Nb函数/(力=1-2悒k-巧，若函数y=(x)-c的图象与X轴恰有两个公共点
15、,则实数C的取值范围是()【答案】A【分析】先化简函数“力的解析式，再作出函数八力的图象，转化为直线V=C与函数的图象有两个交点，数形结合分析即得解.【详解】令(f-2)(x-f)1,解得7,，x-x2,x(-,-l)u,ooI所以/(x)=r12乙X2-2,X-1,2当X=-I时，-2=-2X2-2=-1;作出函数/O)的图象，如图,若y=()-c的图象与X轴恰有两个公共点，即直线y=C与函数/(X)的图象有两个交点，数形结合可得(-8,-2=(-l-1).故选：A1,xO,10. (2022秋山东日照高一统考期末)已知符号函数Sgna)=0”的-l,xO,则同号，所以Sgn()=Sgn（八
16、）.故sgn=Sgne)”是“必0”的必要不充分条件.故选:C.11. (2023秋山东潍坊高一统考期末)已知函数/(力的定义域为。，若内叫c。，满足土彳=，则称函数“力具有性质W).已知定义在(Om)上的函数/(x)=t2+ll3具有性质呜)，则实数，的取值范围是()A.(-oo,2B.(o,4C.2,y)D.4,4),/(x2)=l-恒成立；记函数f(x)=r2+如-3,Xw(0,+)的值域为f,lw(-8,l),则由题意得(-,DqM,当50,即w0时，f(x)=mnx-3在x(0,+)单调递减，则/(x)v(0)=-3,即M=(-,-3),此时不满足(y,l)=,舍去；当0,即/W0时
17、，/(x)=-X2+nr-3,X(0,+)在X=时取得最大值，,jWma=-(y)2+y-3=-3*即M=(,?-3,2要满足(to,DqM,需工-31,解得/WN4或zT,4而相0,故m4,即用的取值范围为4,y),故选：D【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出DXe(0,y),2e(0,+8),W)=If恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数f(x)=-f+如-3的值域，根据集合的包含关系列不等式求解即可.12. (2023秋青海西宁高一统考期末)定义：对于f(x)定义域内的任意一个自变量的值毛，都存在唯一一个巧使得J(xj(xj=l成立,则称函数f(x)为“正积函
18、数”.下列函数是正积函数”的是()A./(x)=InXB./(x)=exC./(x)=esixD./(x)=cosx【答案】B【分析】根据“正积函数”的定义一一判断即可.【详解】对于A,/(X)=Inx,由yf(x)f(x2)=JInrIInx2=l=lnx1Inx2=1,当X=I时，则不存在超满足情况，故A不是正积函数；对于B,/(x)=e由1/(xJfE)=Jee的=1nexe2=1=x1+x2=0,则任意一个自变量的值为，都存在唯一个满足X+超=。，故B是正积函数；对于C,/(x)=esinr,由yfMfM=JeiinY2=1=1nesinv+sinxi=1,得sinXl+sinx2=O
19、,当Xl=O时，则SinW=0,x2=kfkZ,则不唯一，故C不是正积函数；对于D,/(x)=cosx,由yf(x)f(x2)=JCOSXCoSx2=1=cosx1cosx2=1,当8S%O,1)时，则不存在满足情况，故D不是正积函数.故选:B.13. (2023全国高三专题练习)定义：在区间/上，若函数y=f(x)是减函数，且y=f(力是增函数，则称y=f()在区间/上是“弱减函数”.若X)=今在(?，”)上是“弱减函数”，则加的取值范围是()A.(0,eB.(0,e)C.e,+)D.(e,+)【答案】C【分析】依题意只需“力=(在(见E)上是减函数，利用导数说明/(x)的单调性，即可得到(
20、肛+)u(e,+oo),从而求出参数的取值范围.【详解】解：对于F(X)=W,则y=9()=inx在(0,y)上单调递增，易知M0,(x)=(在(孙田)上是“弱减函数”，/)=?在(丸田)上是减函数，且J=(x)=InX在(也内)上是增函数，易知J=(x)=加X在(n,+o)上是增函数显然成立，故只需/(X)=今在(取R)上是减函数，/、I-Inx于(幻,.，故当OxO,当Xe时，,(x)0,故力=W在(e,+8)上单调递减，故(皿+)=(e,+oo),故ne,即/Mwe,*o):故选：C14. (2022秋山东青岛高三统考期末)已知定义域为0川的“类康托尔函数(X)满足：0x1x2l,f(x
21、i)f(x2);x)=2噌/(x)+f(j)=l厕()A.B.C.D.3264128256【答案】C【分析】根据函数的定义分别赋值得到I)=IJW)=T,然后再利用x)=2噌)得至V(X)=2峙，再次赋值，利用V0%X2l,/()(w)即可求解.【详解】因为T0*)=,令X=O可得：/(1)=1,令X=T可得：/(；)二；，由“x)=2噌)可得：/(x)=2=22=2n,令A1,=7,则有1)=2,/($)=128/(一),所以/(1)=，3Zlo/Zlo/IZo1 111令=56,则有咕=26峥=647焉)=；w(一)=，0218720230由引丁八得：一2x0或0x2,即/(x)定义域为-
22、2,0)U(0,2,IX-Z-ZU(x)=Z=-Z,x-2,0)U(0,2.2-x-2X故选：A.ac/、x-12/、16. (2023全国高三对口高考)定义bd=ad-bc,若函数/(X)=T在(YOM)上单调递减，则实数机的取值范围是()A.(-2,+)B.2,+oo)C.(YO,-2)D.(,2【答案】D【分析】利用给定的定义求出函数/(x),再求出其单调递减区间即可求解作答.【详解】由给定的定义知/(x)=(X-I)(X+3)+2x=+4x-3=(x+2)2-7,显然函数/(x)的单调递减区间是(T2),而函数/(K)在(YOM)上单调递减，于是得(FMG(Y,-2),因此m-2,所以
23、实数机的取值范围是(-,-2故选：D17. (2022秋广西河池高一校联考阶段练习)定义在(0,+8)上的函数/(x),若对于任意的XlWX2,恒有旦三3W0,由电工止工30得Xj(X)xj仁)，即Gnzo,由二a)一)0得切G)(w),gpZW0,/(-4)=-/(幻中恰lg(x-l),xO有攵个元素，则称函数/O)是“阶准奇函数若函数/(X)=LI71,则/V)是“()阶准奇函数SinX,x0时，/(-)=-(),得Sin(T)=TIg(XT)I,故选：D.19. (2022秋上海徐汇高一位育中学校考阶段练习)定义为不小于X的最小整数(例如：5.5=6,-4)=-4),则不等式x2-5x+
24、60的解集为()A.2,3B.2,4)C.(1,3D.(1,4【答案】C【分析】先根据己知二次不等式求出W,进而可求4的范围【详解】x2-5x+60解得2M,存在xl时：g(x)的值域符合题意，H(x)-(x)=-2x+l=(X-I)20,符合题意.g(x)的值域符合题意，且/(x)-g(x)=j，IA0,符合题意./-g(x)=V图二指数函数比二次函数增长快，比如：1920-2187 八m0当i时,l5-gp15+三5-g=15g.不符合题意.由于8(=22,所以g(x)=2-不符合题意.综上所述，正确的有2个.故选：B22. (2022秋黑龙江哈尔滨高一校考期中)如果函数/(“)的定义域为
25、口向，且值域为JS),则称/为“。函数已知函数&)=：?X11c4是“0函数,则”的取值范围是()A. 4,10B.4,14C.10,14D.14,-)【答案】C【分析】由题意可得f(x)的值域为0,M,乂因为当0x2时，/S)的值域为0,10，当22D.(0,+)【答案】B【分析】先判断了(x)的奇偶性，然后对，进行分类讨论，结合/(x)的单调性、最值求得，的取值范围.【详解】Fa)=g=+g,/(O)=/,+1-+1X+1当f=l时,/(T)=1,/(X)的定义域为R，/(-x)=(x),所以/(力是偶函数，为偶函数，:.只需考虑/()在。+8)上的范围，当fl时，/(X)在0,+)单调递
26、减，/(x)(!,/.对Vxl,X2tx3R,/(x)+*2)(X3)恒成立，需2(x)min/(x)ma,f2,112.当f(X3)恒成立， f (x)max 2(x)min , l2r, . g ， 1， 综上：i 2.故选：B24. (2021秋浙江嘉兴高一校联考期中)定义maxa=j;5，ma3,2 = 3 /(x) = max2x-l,xftJb( ()A. -B. 1C. 2D. 43【答案】A【分析】作出函数，(力的图象，数形结合可得出函数“力的最小值.【详解】当x0时，2x-lx, (x) = 2x-l = l-2x;当OVX时，2x-x = -2x-x = l-3x,此时，/
27、(x) =Ir -W, 2x-x = 2x-x = x- r 此时，/(力=:21 2x, 0 % 31 , 1%, - X - 32 1所以，x) = Tq 1因为f(j=g,/(9=h因此，/Mmin=故选：A.25. (2023高一课时练习)函数f(x)满足在定义域内存在非零实数X,使得/(-幻=/(幻，则称函数/V)为X-l,0,“有偶函数”.若函数Fa)=21八是在R上的“有偶函数”，则实数4的取值范围是(B.0a0,故方程T-I二级2-TX有解，故4=在(-8,0)上有解,而y=-=-+焉，而L0,故y=；-V的值域为(70,，故4X2xJrIoJ16若x0,则TO,J=7的值域为
28、(F，上，故JX2xX-kIoJ16故选：D.26. (2020秋.北京顺义高一牛栏山一中校考期中)存在两个常数川和M,设函数的定义域为xew(x),则称函数/(x)在/上有界.下列函数中在其定义域上有界的个数为()/(X)=2x-1O,ex+ll,O1,O2,ev+le+l-11-所以f(x)=w(TJ)对于，因为当xO时，/(x)=2v-l,所以xO时，02xb-12-10,O2x-lo时，f()=不丁所以xO时，xO,x+ll,O-j0)存在和谐区间”，则。的取值范围是()A.(0,2)B.(0,4)C.D.(0,；)【答案】D【分析】函数在区间回用是单调的，由间=相，/()=可得*是方程f+=0的两个同号的不等实数根，由A=12-40,解不等式即可.【详解】由题意可得若函数x)=l-2(。0)在区间即是单调的，所以孙q(,0)或上几仁(0,+,故只需A=12-40,解得。O,可得0,%)和(%,内)上与X轴均有交点，则称
