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1、专题04三角函数（新定义）一、单选题1. （2023秋山东临沂高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制广度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常2数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角。的面度数为奇，则角。的正弦值为（）A.BB.；C.-D.一32222【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角。的弧度数，继而求得答案.lr2n【详解】设角。所在的扇形的半径为，则5=2,r2-T4兀所以。=三，所以Sine=Sin=-sin=一立，332故选：D.2. （2023秋
2、江苏苏州高一统考期末）定义:正割SeCa=一，余割CSC=一.已知加为正实数，且CoSaSincrmcsc2+tan2N15对任意的实数X（XW版+,ez）均成立，则用的最小值为（）A.1B.4C.8D.9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得rncsc2x+tan2x=+SirIj15（sinxcosxRll、，u.,sin4x艮IJm15smx-.cosx因为x攵乃+Z）,所以cos2（0,l,则15si一包5（l-cos2）-iW=17J+16cos2COSX,8S-XICOSx）17-2J-16cos2x=9，VCOSX当且仅当COS2X
3、=3时等号成立底故相9,故选：D.3. (2022全国高一专题练习)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“007”,478密位写成“4-78”.若(Sina-COSa):=2SinaCOS,则角力可取的值用密位制表示错误的是()A.12-50B.2-50C.13-50D.32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出Q，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断；【详解】解：因为(Sina-COSa)2=2SinaCoS,即sin2a-
4、2snacosa+cos2a=2sinacosa即4sincos=l,所以sin2=-,所以2a=乙+244,&eZ,11g2a=+2k,keZt266解得a=+k冗、ZZ或=+kykeZ1212对于A：密位制12-50时应的角为黑、2万=雪，符合题意；o00l)12对于B：密位制2-50对应的角为需、2万=符合题意；60001213509对于C：密位制13-50对应的角为3x2%=?,不符合题意；oul)020对于D：密位制3250对应的角为梁24=当，符合题意；600012故选：C4. (2022秋山东青岛高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习)计算器是如何计算SinX,cosx,/，In
5、x,等函数值的呢？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数,通过计算多项式的值求出原函数的值，如ISinX=-+e-二+,COSX=I-+-义+,其中3!5!7!2!4!6!nl=2.h,英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的SinX和Cosx的值也就越精确.运用上述思想，可得到-sin(g+l)的近似值为()A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56【答案】C【分析】将一Sin俘+1化为CoS1,根据新定义，取x=l代入公式coSX=I)+/上+中，直接计算2；2!4!6!取近似值即可.【详解】由题意可得,=l-0,5+
6、0.(41-0.001+.0.54,故选：C.5. (2022春广东中山高二统考期末)密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的N二称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“0015”，1个平角=3000,1个周角=6000,已知函数小)=8-2COSX,xpy,当/*)取到最大值时对应的X用密位制表示为()【答案】CA. 1500B. 3500C. 4000D. 4500【分析】利用导数研究/O)在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定/O)取到最大时X用密位
7、制.【详解】由题设,(x)=3+2sinx,在X呜苧时f)0,2Exe(y,yWV)0）,V334内：ta“=-=不正确，丁：8/=:不正确，故错误的同学不是甲；4 3甲：SeC4=一,从而r=5A,x=-4k,Iyl=34,(40),45 34此时，乙：csc=j；丙：tan户=-：；T：COl夕=必有两个正确，一个错误,Y丙和丁应该同号，.乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，34*.y=3k0,1=-4AV0,atan=-,ty9=,故丙正确，丁错误，综上错误的同学是丁.故选：D.aiah1.L则函数/(x)=SinXOcOSX的b,a sin X00当SinX8sx时，即SinX-C
8、OSX=&sin则2kx-sinx时，psinx-cosx=sin则2k兀+x-2k+2%,IcgZ,即2k+x立2所以/()的最小值为-4故选：B8. (2023秋浙江杭州高一浙江大学附属中学校考期末)正割(SeCant)及余割(CoSeCant)这两个概念是由伊朗数学家阿布尔威发首先引入的.定义正割SeC。=一，余割CSCa=一1.已知?为正实数，且COSaSincrmcsc+tan215对任意的实数中吟入Z)均成立，则，的最小值为()A.1B.4C.8D.9【答案】D【分析】由参变量分离法可得出“17-+，利用基本不等式川求得?的取值范围，即可得解.24【详解】由已知可得mcsc2+ta
9、n%=Y-+f15,可得z15sh?竺，sinXcosXcosxSx+y(eZ),则8s2e(0,l,因为15sin2SinX=5(-cos2x)皿：)=17-f-+I6cos2xcosX7CoS-XICOS-X)17-2J-5-16cos2x=9,VCoS-X当且仅当C(x=。时，等号成立，故294故选：D.9. (2022春江西景德镇高二景德镇一中校考期中)对集合,4，4和常数机，把02=疝2(4-6)+/2(%一加)Sil(包-定义为集合佃,电,相对于m的“正弦方差”,则集合k相对于M的“正弦方差”为()I626JA.IB.立C.ID.与机有关的值222【答案】C【分析】先确定集介-相对
10、于川的“正弦方差”的表达工3再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合J，g，相对于m的“正弦方差为626=31-cos-2mI3.21 -cos(r- 2tm)2+ COSy-2zW-3-cost+2n+cos(-+2n=cos(2n)-sin(2n),cos(-2zw)=-cos(2m),cos=cos(2n)-sin(2n),代入上式整理得，2=-故选：C.10. （2022秋.山东高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为避二12（
11、2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形.（3）有一个内角为36。的等腰三角形为黄金三角形，由上述信息可求得S加126=（）A,在匚B.在里22C有TD召+1,44【答案】D【分析】如图作三角形，先求出8S36=侬，再求出S加126的值.4【详解】如图，等腰二角形ZABC=36,AB=BC=a,AC=b,取AC中点。,连接8Db5-l丁丁，2由题意可得.n生1_小71-5-,2aa2224所以cosZABC=1-2sin2幺些=1-2(-)2=避土!,244所,以8S36=”,4所以S加126o=CoS36=+1.4故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造
12、一个恰当的三角形，再解三角形求解.、一。b11. (2021秋四川巴中高一校联考期末)定义运算，=d-反，如果cdzx105jiJr/(x)=o/,30,e小的图像的一条对称轴为1=:3满足等式2808=312118，则“取最,2Sm(S+9)24小值时，函数/(x)的最小正周期为()A.B.C.D.2万22【答案】C【分析】根据2cose=3tane,利用切化弦和同角三角函数关系转化成sin。的二次方程，可求出8的值，结合对称轴可求出口，最后利用周期公式进行求解即可.【详解】f(x)=T5z=10sin(+=3tan0,所以2cos=3则?，8SQ即2cosj2夕=3SinW，2(1-Sin
13、?9)=3Sine，所以(sin*+2)(2sin*-I)=O,解得Sine=；或一2(舍去)，而OVeV，所以0=5，26即f()10sin(x+)-10,6而y=的图象的一条对称轴为X=E,4所以IOSin旌5+3)=10，即xf+=+，攵Z,4624解得ty=+4k,攵Z,42_3几所以正数切取最小值为三，此时函数/V)的最小正周期为丁=T.35故选：C.12. (2020全国高三校联考阶段练习)对于集合xl,x2,定义:=COS?G7。)+COS2依F+COS?仁口)为集合百相对于小的，余弦方差，则集合n卜介番篇相对于与的“余弦方差”为()A.-B.yC.D.B4223【答案】B【解析
14、】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得。的表达式，给公余弦降事公式及诱导公式化简，即可求解.【详解.】由题意Ur知，集介.奈栏者，智相对于小的“余弦方个代入公式可得1V/J1JJI.、()(3,1,of21cos21x(lI+1cos21+Xq1+1+cos21I1+cos21Xo故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幕公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13. (2020秋江西宜春高三奉新县第一中学校考阶段练习)已知函数/(x)=2tan(3x)(30)的图象与直线=2的相邻交点间的距离为万，若定义max,b=：”，则函数MX)=max(x),/(x)CO
15、SM在区间b,a0),利用丁=启求出叽再根据题给定义，化简求出MX)的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，/(x)=2tan(g)30)的图象与直线y=2的相邻交点间的距离为万，所以/U)=2tan(8)(o0)的周期为/,则J=工=1,T9.(2sm%,%,乃所以力(X)=max2tanx,2sinx=3cosx；(x)=maxsinx3cosx,snx-3cosx,有如下四个命题，其中是真命题的是(4,b表示。，bA. /(%)与g(x)的最小正周期均为4B. f(x)与g(x)的图象均关于直线X=9对称C. /(x)的最大值是g(x)的最小值D. “X
16、)与g(x)的图象关于原点中心对称【答案】BD【分析】先求出八幻,g),结合函数/(x)与g(x)的图象即可求解【详解】设(x)=sinx+T3COSX=2Sin(X+),=SinXCoSX=2Sin(X-),33则f(x)=min(x),r(x)=2sin(x+),+2kx半+2kr,/TCTt-QTC2sn(x-y),-y2,x-+2k,g(x)=max(x)(x)=，2sin(x-),+2kx-+2k,3222sn(x+y),-y+2,x-+2k,函数/(x)与g(x)的大致图象如下所示:对A,由图知，/(x)与g(x)的最小正周期均为2所故A错误；对B,由图知，X=为函数”力与g(x)
17、的对称轴，故B正确.对C，/图二1由图知：函数/(M的值域为卜2川，函数g(x)的值域为T2,故C错误;对D,由图知，/(x)与g(x)的图象关于原点中心对称，故D正确；故选：BD.18. (2022江苏高一专题练习)已知角。和夕都是任意角，若满足6+e=2&肛AZ,则称。与“广义互余若sin(r+o)=-(,则下列角夕中，可能与角。“广义互余”的有()A.sin=B.cos(-+/?)=-C.tan=L5D.tan/?=445【答案】AC【分析】由题可得Sina=!，根据诱导公式化简计算判断每个选项即口J.4【详解】若。与夕广义互余，则+Q=+2Kr(%wZ),即4=+2&乃F(AeZ).又
18、由sin(万十)=一!，可得Sina=L.44对于A,若Q与夕广义互余，则SinA=Sin(.+2攵-一)=Cosa=l-sir?a,由sin/?=可得与尸可能广义互余，故A正确；对于B,若。与尸广义互余，Mcos=cos(-+2-a)=sina=,由cos(加+夕)=L可得cos-y2444故B错误；对于C,综上可得SinA=土萼，COST,所以tan/=黑=厉，由此可得C正确，D错误.故选：AC.19. (2022春辽宁沈阳高一沈阳市第一二O中学校考阶段练习)在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1-cos。为角O的正矢，记作rsin。，定
19、义I-SinO为角。的余矢，记作CoWTSinJ,则下列命题正确的是（）A.16%vrsn=3B. yersin-6)=CoyersinOcoversinx-l.21C. 若:=2,则(COyerSinX-versinx)=-Versinx-I/5D.函数f(x)=versinf2020x-ylcoversin2020x+的最大值为2+应【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A错误，B正确;化简已知等式得到tanx,将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出tanx求得结果，知C正确;,由此可知最大值为4,知D错误.利用诱导公式化简整理得到f（x）=2-2sin2020x+2_,i._.16
20、l16ra(_7C1I【详解】对于A,vrsin-J-=1-cos-=l-cosl5r+yI=1+cos对于B,uersin8)=1-COS(T-6)=1-Sine=COye*sin6,B正确；COlsinx-l1-sinx-1C对于C，-如2,/.2.1、2c.2sinxcosx12tanx141(covrsinx-vrsnx)=(l-snx-l+cosx)=l-2snxcosx=l；-=1：=1=-7sin2X+cos2Xtan2x+l55C正确；对于D,/(X)=I-cos2020x-y+1-sin2020x+=2-cos-2020x+-sin2020x=2-2sin2020x+,.当s
21、in(2020x+|=T时，Fa)ImX=2+2=4,D错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解己知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20.（2022秋河南濮阳高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:定义I-COSe为角6的正矢，记作业rSine,定义l-sin。为角。的余矢，记作coUerSine,则下列命题中正确的是（）3A.函数y=wsnx在-,2上是减函数B.函数y=的最小正周期为乃CoVerSlnxC. v3sin(x+-)
22、=币COSX,因此有TM=6,=0，本函数是/(力,g(力在R上生成的函数;：y = 2cos?(X1z.I-1-1=CoS(X-)=snxf因此有机=0,=1,木函数是/(x),g(x)在R上牛.成的函数;：y=2sin22x=8sin2cos2x,显然不存在实数八，使得8sin?XCoS2X=/cosX+sinx成立,因此本函数不是/(x),g(x)在R上生成的函数,故答案为：23. (2春江苏淮安.高一校联考阶段练习)形如:的式子叫做行列式,其运算法则为;2f2的值是.则行列式【答案】【分析】根据新定义计算即可.【详解】由题意cosl50 2sinl5o-cos150=sin450sin
23、150-cos45ocos150=-cos60o=-222故答案为一;.24. (2023高一课时练习)若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列四个函数：工(X)=SinX+cos%；人(X)=应SinX+；T(X)=Sinx；(x)=2(sinx+cosx).其中“同形”函数有.(选填序号)【答案】【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，(X)=SinX+cosx=&sinx+?),t(x)=虚(SinX+cosx)=2sin(x+?),四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有，所以“同形”函数
24、有.故答案为：.25. (2023高一课时练习)在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点.若函数y=(x)的图像恰好经过攵个格点，则称函数y=(%)为攵阶格点函数.在X-石句上，下列函数中，为一阶格点函数的是.(选填序号)y=sinx：y=ex-l；y=lnx;y=x2【答案】(【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断.【详解】当xer,句时，函数y=sinx,y=e，-1的图象只经过一个格点(0,0),符合题意；函数y=lnx的图象只经过一个格点(1,0),符合题意；函数y=V的图象经过七个格点，(-3,9),(-2,4),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),不符合
25、题意.故答案为：.26. (2022春河南商丘高一商丘市第一高级中学校考开学考试)在平面直角坐标系Wy中，已知任意角6以坐标原点。为顶点，X轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(XO，%),且II=r0),定义：SOS。=殳，称“sqs夕为正余弦函数”，对于“正余弦函数丁=妆优，有同学得到以下性质：该函数的值域为13,应;该函数的图象关于原点对称；该函数的图象关于直线X=I%对称；该函数为周期函数，且最小正周期为2万；4该函数的递增区间为卜攵乃-=小2奴+EAgz.其中正确的是.(填上所有正确性质的序号)【答案】.【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数y=soM=sin(x+f),然后根
26、据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论.详解：中，由三角函数的定义可知玉=rcosx,%=rsinx,所以y=SQ$x=&d=sinx+cosx=&sin(x+M)-&,所以是正确的；r4中，y=SOSX=0Sin(X+?),所以/(O)=Jsin(0+?)=1H0,所以函数关于原点Xj称是错误的；中，qjx=-7114,f(-)=sin(-+)=J2sinv=O+2,所以图象关于X=T乃对称是错误的；44444川，y=s0M=Jsin(x+f),所以函数为周期函数，且最小正周期为2万，所以是正确的；4中，因为y=Sosx=忘Sin(X+2)，令2Ar工x+工2攵万+2，22得2k兀一
27、rx2k兀+,kZ,即函数的单调递增区间为2版-;,22乃+,攵Z,所以是正确的，综上所述，正确命题的序号为.点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数丁二,对求的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.27. （2015秋广东揭阳高一统考期中）定义一种运算。Ob =atab bfa b令f(x) = lcoJ xsm X),且x*0.三，则函数/X-I的最大值是2、2J【答案】74r【详解】试题分析：w01l,0sinxl，J255/.y=COS2x
28、+sinx=-sin2x+sinx+1=-(sinx-l)+-由题意可得，/(x)=COs2x+sinX=sin?X-CoSX=-(COSX+g)+：函数的最大值4考点：三角函数的最值四、解答题28. （2023春云南文山高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A（N,凹），8（孙必），则曼哈顿距离为：d（A8）T-q+E-%|，余弦相似度为：COS(AB)=
29、J,*/J、+RxJ余弦距离为1-8S(AB)+5+真网+J1W+若A(T2),唱J，求A,B之间的曼哈顿距离d(AB)和余弦距离；I2(2)已知M(Sina,cos),N(Sin/,cos/),Q(SinA-CoS/),若COS(M,N)=g,COS(M,Q)=丁求tanatan/的值【答案】(1)二，1一立55(2)-3【分析】(1)根据公式直接计算即可.I2(2)根据公式得到SinaSin夕+coscos/?=y,SinaSin夕一COSaCOs7=g,计算得到答案.3414【详解】(1)d(A,B)=-i-+2-=-tCOS(AB) =表在1彳邛,故余弦距离等于I-COS(A,3) =
30、 1-吏;(2) 8s(M,N) = 7 ；,sm + cosasin + COStzJSin* / + cos? Vsin2 a+cos2 acos/?JSin2 尸+cos? #=sinasin+cosacos-CoS(M,Q)=7J：,sin/+c。Sa-Sjsin2+s2sin2+cos2sin2+cos26zsin2)+cos2-sinasn-cosacos=,31CSinaSinQC故SmaSIn户=,CoSaCOS6=,则tantan/=-=-3.1010COSaCoS夕29. (2023高一课时练习)知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的
31、大小之间可以相互转化.与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(Sad).如图，在48C中，AB=AC.顶角A的正对记作SadA,这时.二肾噬.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述对角的正对定义，解下列问题：(1)sad60的值为()A.；B.1C.且D.222对于0NA180,NA的正对值SadA的取值范围是3(3)已知Sina=w,其中。为锐角，试求Sada的值.【答案】(I)B(0,2)(3)Sada=【分析】(1)在等腰48C中，取NA=60，AB=ACf利用正对的定义可得出sad60=SadA的值；A(2)在等腰iABC中，AB=AC,取BC的中点。，连接Ao,则ADIBC,推导出SadA=2sin7,结合2正弦函数的基本性质可求得SadA的取值范围：/yCf(3)利用同角三角函数的基本关系求出COS,利用二倍用公式可求得sin,由此可得出Sada=2sin的值.【详解】(1)解：在等腰,ASC中，N4=60，B=AC,则,ABC为等边三角形,所以，sad60=sadA=1,AB
