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1、专题12立体几何专题（新定义）一、单选题1.（2022秋内蒙古赤峰.高二赤峰二中校考阶段练习）已知体积公式V=砂中的常数A称为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式V=WL求体积（在等边圆柱中，。表示底面圆的直径；在正方体中，。表示棱长，在球中，。表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为。），正方体（棱长为。），球（直径为。）的“立圆率”分别为勺，k2,A3，则仁：七：&3=（）.、A.一1-B.一:2:4646C.3:24：2D.-:-：i6442. （2022秋江苏南京高二统考期中）我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这
2、两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的富，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为口4人O（S+4S+V）,其中S,S分别是上、下底面的面积，So是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）C. 67 车D. 69 车芋1.618,图，若=s,则由勾股定理，Z = S2_片
3、，即-1=0,因此可求得士为黄金数，已知四棱锥底面a3. （2022全国高三专题练习）胡夫金字塔的形状为四棱锥，1859年，英国作家约翰泰勒（JohnTiiylor,1781-1846）在其大金字塔一书中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔时利用黄金比例泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方.如是边长约为856英尺的正方形（2a=856）,顶点P的投影在底面中心。，“为BC中点，根据以上信息，PH的长度（单位：英尺）约为（）.4. （2023辽宁沈阳统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2冗
4、与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（）5. （2023全国高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为氏b为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），。为该地的纬度值，如图.已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即54-23o26,23o261.北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬39。5427，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（）太阳
5、光A.北纬5。527B.南纬5。527C.北纬5。533D.南纬5。5336. （2023秋广东深圳高二校考期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形“，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5,底面任意两顶点之间的距离为20,则其侧面积为（）123A.100B.600C.200兀D.300兀7. （2023全国高三专题练习）设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在尸处的离散曲率为I-J（N0尸Q?+NQ?尸Q,+NQjQJ
6、其中0,（i=1.2,3,3）为多面体例的所有与点尸相邻的顶点，且平面QJQ?,Q1PQiQAPQ遍及多面体M的所有以尸为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是mb,c,d,则mb,c,d的大小关系是（）正四面体正八面体正十二面体正二十面体A.abcdB.abdcC.badcD.cdba9. （2021秋江苏南通高三统考阶段练习）碳60（Co）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数一棱数+面数=2,则其六元环的个数
7、为（）.A. 12B. 20C. 32D. 6010. （2018春四川成都高三成都七中校考阶段练习）设“，定义区间W、9、（4）、4例的长度均为在三棱锥A-BCD中，AB=BC=C4=2,AD且BD,则8长的取值区间的长度为A.3B.2C.23D.4二、多选题11. （2022全国高三专题练习）用与母线不垂直的两个平行平面截一个圆柱，若两个截面都是椭圆形状，则称夹在这两个平行平面之间的几何体为斜圆柱.这两个截面称为斜圆柱的底面，两底面之间的距离称为斜圆柱的高，斜圆柱的体积等于底面积乘以高.椭圆的面积等于长半轴与短半轴长之积的4倍，已知某圆柱的底面半径为2,用与母线成45。角的两个平行平面去截
8、该圆柱，得到一个高为6的斜圆柱，对于这个斜圆柱，下列选项正确的是（）A.底面椭圆的离心率为正2B.侧面积为24技C.在该斜圆柱内半径最大的球的表面积为36万D.底面积为4而12.（2022春黑龙江哈尔滨高一哈九中校考期末）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于24与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是?，所以正四面体在每个顶点的曲率为2万-3x。=,故其总曲率为4
9、兀.给出下列四个结论，其中，所有正确结论的有（）A.正方体在每个顶点的曲率均为5B.任意四棱锥的总曲率均为4%；C.若一个多面体满足顶点数V=6,棱数E=8,而数尸=12,则该类多面体的总曲率是3万；D.若某类多面体的顶点数匕棱数E,面数户满足V-E+F=2,则该类多面体的总曲率是常数13. （2020秋.山东济南.高三统考期末）给定两个不共线的空间向量与b，定义叉乘运算：ah.规定：xb为同时与，b垂直的向量;,b，xB三个向量构成右手系（如图1）;IaXR=同怜卜皿。力.如图2,在长方体ABCZ)-A6CQ中，AB=AQ=2,AAl=4,图1图2则下列结论正确的是()A. ABxAD=AA
10、,B. ABAL)=ADxABC. (AB+AD)AAy=ABAAi+DAAyDY4CD-Acl=（BAD）Ci14. （2022春全国高一期末）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，”等腰四面体”就是其中之一,所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体“，以下结论正确的是（）A.长方体中含有两个相同的等腰四面体B. ”等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形C. “等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到D,三组对棱长度分别为b,C的“等腰四面体”的外接球直径为“2+从+2三、填空题15. （2022高二课时练习）连接空间儿何体上的某两点的直线,如
11、果把该儿何体绕此直线旋转角或0。360。）,使该几何体与自身重合，那么称这条直线为该几何体的旋转轴.如图，八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,。在同一平面内，则这个八面体的旋转轴共有条.16.（2022秋河北邢台高二邢台市第二中学校考阶段练习）已知空间直角坐标系。-孙Z中，过点P（%,Z。）且一个法向量为=（gc）的平面的方程为，（工-毛）+/），-）+。（2-4）=0.用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为x+2y-2z+l=0,直线/是两个平面x-y+3=0与x2z1=0的交线，试写出直线/的一个方向向量为,直线/与平面。所成角的余弦值为.17. （2022秋福建泉州高
12、二校联考期中）三个“臭皮匠在阅读一本材料时发现原来空间直线与平面也有方程.即过点?（%,%/0）且一个法向量为”二（4力,。）的平面的方程为。（4-%）+力（5-%）+。（2-20）=0,过点P（%,%,Z0）且方向向量为片（枢j）（7H0）的直线/的方程为三乜二二二包.三个“臭皮匠”利innt用这一结论编了一道题：“已知平面的方程为x-y+z+l=O,直线/是两个平面-y+2=0与2r-z+l=0的交线，则直线/与平面所成的角的正弦值是多少？”想着这次可以难住“诸葛亮”了.谁知诸葛亮很快就算出了答案.请问答案是.18. （2022秋.湖南长沙高三校考阶段练习）在空间直角坐标系中，定义：平面的
13、一般方程为Ar+B)，+Cz+。=O(4氏C。R,A2+32+C2o),点p，yo，Zo)到平面的距离d二邑控萼畤gA,+B+C则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O到侧面的距离等于.19. （2022秋山东潍坊.高二校考期中）两个非零向量向b定义IaXbI=Ial闻Sin3力.若2=（1,0,1）,O=（0,2,2）,则卜XN=.20. （2023秋福建福州高二校联考期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体ABCZ）-4用c。中，直线A。与AG之间的距离是21. (2021秋陕西西安高一西安市第三中学校考期末)A,B,C
14、,。为球面上四点，M,N分别是A8,C0的中点，以MN为直径的球称为A8,C。的“伴随球”，若三棱锥A-BCZ)的四个顶点在表面积为64兀的球面上,它的两条边A8,C。的长度分别为2和4L则A8,Co的伴随球的体积的取值范围是.四、解答题22. (2022全国高三专题练习)已知(=p%zJ,b=(x29y2tz2)fc=,y3,z3),定义一种运算：(ab)c=xly2zi+x2y3zi+x3yiz2-xiy3z2-x2yz3-x3y2zl,已知四棱锥P-ABC。中，底面ABCQ是一个平行四边形，AB=(2,-1,4),AD=(4,2,0),AP=(T,2,1)(1)试计算(A3XA0A尸的绝
15、对值的值，并求证尸Aj_面ABCO；(2)求四棱锥尸-ABCQ的体积，说明(ABXAO)AP的绝对值的值与四棱锥尸-ABa)体积的关系，并由此猜想向量这一运算(A8Af)AP的绝对值的几何意义.23. (2021春福建泉州高一统考期末)球面三角学是球面几何学的一部分，主要研究球面多边形(特别是三角形)的角、边、面积等问题，其在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点;过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆;对于球面上不在同一个大圆上的点A,8,C,过任意两点的大圆上的劣弧AB，BC，CA所组成的图形称为球面$C，记其面积为S理面48c易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A和A若球面上A,B,。的对径点分别为4BC,则球面与球面JlBC全等.如图2,已知球。的半径为R,圆弧AB和AC所在平面交成的锐二面角3-AO-C的大小为。，圆弧BA和BC所在平面、圆弧CA和。所在平面交成的锐二面角的大小分别为夕，(2)求S球面Be(用a，/，R表不).
