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1、专题11直线与圆锥曲线的位置关系【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板工y=kx+m第一步：代入消元，联立2v2化简：(从+。2左2)2+2ZWa2彳+。2./一=02-=a2b2第二步：计算判别式可直接利用结论：A0n用+培/一20（范围最值问题）第三步：根与系数关系表达式-Ikma2a2m2-a2b2，修”小如e,-jllr11-2kma第四步：利用x1+x2=7+22第五步:利中-Ikma利用 X1+x2 =-jrrb +aka2m2-a2b2=B密一计算必”第六步:-llm2kma”利用=西前,Zmb2 %+%二再前，计算弦中点（五土”.江5）第七步:利用A=%ZzA/+/左2一加2）计算
2、弦长IABl和ACMB的面积进而计算原点（0,0）到直线y=kx+b的距离d=-J=Jl+公第八步:利用XlX2=a2m2-a2b2-k2a2b2+m2b2b2+a2k2=b2+a2k2计算石工2+必必第九步：利用中2=22212Crm-方h2+a2k2必必-k2a2b2+n2b2计算(石-4)(%2-)+M%【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】:y=kx+m第一步：代入消元，联立/y2化简：(h2-a2k2)X2-2kma2x-a2m2-a2h2=0a2b2第二步：计算判别式可直接利用结论：aOn一+加20qoLB回趣2第三步：根与系数关系表达式2kma1-a2m2-a2b2计算乂+%a.t
3、,.EIkma2第四步：利用xl+X2=71TTb-ak生十#-r,mIkma2-a2m2-a2b2、3第五步：利用芭+/=2_.2,2孙G=下金密计算乂.为、d-E-Ikma1Imh1/x+Lyl+x第六步：利用的+/=/+/.2必+%=PT而计算随点（一Ly2，二）第七步：利用计算弦长IABl和Aeu纥的面枳/进而计算原点（0,0）到直线y = Ax + 6的距离d =SMLfABd【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板工过焦点的直线与抛物线相交第一步：代入消元，联立y = k X-P_2y)化简:y2 =Ipxk1x1 -伍 2p + 2p)x +与-=0第二步：根与系数关系表达式X1 +
4、X2 =Hp + 2p，=y第三步：一些小结论点C（Xo,必）在抛物线V =2px （p0）的准线上，过点AZ（%,M）作抛物线的两条切线，切点分别为44结论1： 48的斜率为左二口一结论2：若48的中点为。，则C。 X轴必+为结论3： CFLAB 结论4： 48过焦点/结论5： CAlCB重难点题型突破1直线与椭圆方程例1.（2023江西九江统考一模）己知椭圆uW + * = l（60）的左右焦点分别为耳工，过户,的直线交ai b2C于RQ两点，直线耳。交V轴于点M,若尸WLE0P娟=P0=2,则椭圆C的焦距为（）A.3B.6C.D.立22【答案】A【分析】由尸河，耳。口.W=P0=2,得到
5、为HQ的中点，得出尸。，工轴，进而得到AWQ为等边三角形，求得C=也，即可求解.2【详解】如图所示，因为上河，。川尸耳I=IPQI=2,所以“为片。的中点，又因为。为耳鸟的中点，OA/_Lx轴，所以P。LY轴，所以APEQ为等边三角形，所以NP尸仔=3伊，可得Iml=2,解得c=3,32所以椭圆。的焦距为2c=G故选：A.1.（2023四川达州统考二模）尸（2,0）是离心率为竺的椭圆Cm+4=igb0）的一个焦点，直线5ahy二百X交C于点、A,B,则4/18尸内切圆面积为.【答案】y【分析】由已知可得椭圆方程为：+/=1,联立宜线方程求48坐标，由S“8C=JoFI-谒=（47+忸日+48）
6、,列方程求半径，进而求圆的面积.【详解】由题设，c=2且=马叵，则。=石，故b=J?=7=1，a5所以椭圆方程为+=,联立”后,可得16d=5,则户士手，不妨令A吟,呼），8（-4,一弓0，所以S“8c=J。尸I,回一词=若内切圆半径为，则;“以可+忸可+48）=半，由椭圆对称性及其定义知：pF+5F=2=25,JB=,所以地=巫，则=正，故内切圆面积为r2=g2233故答案为：y例2（2023,全国模拟预测）已知椭圆的离心率为暗，且过点（-如,-1）.求椭圆C的标准方程.已知过右焦点尸的宜线/与C交于48两点，在X轴上是否存在一个定点P,使NOPA=NoPB?若存在,求出定点P的坐标；若不存
7、在，请说明理由.【答案】+广=1123（2）存在,尸（4,0）【分析】（1）山离心率*与定点一目代入椭圆方程，建立方程组待定系数即可；（2）由NOZm=NOPH条件转化为L+%=。，设直线/的方程为X=叩+3,力（4乂）,8伍,以），将斜率坐标化，利用韦达定理代入，得到f，加的等式，不论加如何变化，等式恒成立求，值即可.【详解】（1）因为e=-AX=且，所以2人aa2所以椭圆C的方程为+g=l.4bb2因为点（-6,-0）在椭圆C上，所以3I解得/=3,12）寿+京=1所以=12所以椭圆C的标准方程为+亡=1.123（2）存在定点尸（4,0）,使NoP/=NOPB.理由如下：由（1）知，d=2
8、-3=9,则点尸（3,0）.设在X轴上存在定点PaO）,使ZOPA=ZOPB成立.当直线/斜率为。时，直线右焦点尸的直线/即X轴与C交于长轴两端点，若NoPA=NOPB,则z2i,或E2J综上所述，故存在定点尸(4,0),使NoPA=NoPB.1.(2023全国模拟预测)已知椭圆UW+W=l(60),其离心率为立，直线)，二!被椭圆截得的弦crb22长为2L求椭圆C的标准方程.(2)圆K?+/=的切线交椭圆。于a,B两点,切点为N,求证：丽.福是定值.【答案】工+/=14(2)证明见解析【分析】(1)由离心率为立可以先得到=2b,然后结合其余已知条件即可得解.2(2)分直线48的斜率是否存在进
9、行讨论，当直线/8斜率不存在时，算出京丽=,当直线忿斜率存住时，设直线48的方程为y=H+m,将其与椭圆方程联立，由韦达定理结合直线/8与圆/+/=相切于点N,从而即可得解.【详解】(1)如图所示：因为椭圆的离心率为当，所以q*丝Hgj,所以=26,则椭圆C的方程为+=1.4Zrb1 丫21将y=:代入椭圆方程，得。+二=1,2 4b-Abz贝Ij/=劭21=(述,所以b=1.所以椭圆C的标准方程为工+V=1.4（2）当直线48的斜率不存在时，百线48的方程为=名叵.5将工=冬叵代入椭圆C的方程E+y=,得冬,54z5所以I而I=I丽I=半，则福丽如图所示：当直线48的斜率存在时，设直线/8的
10、方程为=H+.将y=H+,与?+/=联立，消去J并整理，（42+1）x2+Umx+4/n2-4=0.由A=（弘利）2-4（4/+1）（4/一4）0,得/0,b0）的左顶点为A,右焦点为产，焦ab距为6,点M在双曲线C上，且3_Lj厂，MF=2AFi则双曲线C的实轴长为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【详解】把X=C代入十5=1中，得尸，即|阿=，因为4E=+c,MF=2AF,所以一=2（+e）=c2-a2=2ac+2a2a又c=3,所以/+24-3=0，解得=l,。=一3舍去，则24=2.故选：A1. （2023重庆万州统考模拟预测）
11、已知双曲线C：-i”一/ b2l(4O,bO)的左、右焦点分别为, P是。在第一象限上的一点，且直线尸入的斜率为J,的平分线交X轴于点力，点B满足丽=2荏，FrB-FF南二冲广，则双曲线。的渐近线方程为.3【答案】=4FBFPFBFF【分析】由点3满足1I-I1=I扇广,则而在甲方向上的投影与丽在丽方向上的投影长度相等,可得8为APZE的内心,然后结合双曲线的定义及余弦定理求解即可.【详解】过8作OIKF2,由点8满足FxBFxP FBFRw=w则FB在用方向上的投影与FB在FF2方向上的投影长度相等,即Irq=IK必,则电“AEZ）即NAFlB=NPKB,即8为NPg的平分线,则8为鸟的内心
12、，连接5乙，又点8满足而=2万，.|P用_PFlI尸BI=:,Mab,.aj+P玛=2MNl+%4)=4c,又归耳IT尸耳1=2%则归用=2c+,IPgI=2c-,又直线尸鸟的斜率为6，.NPEg=会，在尸耳苞中结合余弦定理附=IE+P用2-2忸局I尸用CoSNPKE,可得(2c+)2=(2靖+(2c-)2-2(2c)x(2c-)x化简得C=则b=E7=%即TT即双曲线C的渐近线方程为八%3故答案为:,=-.例4.（2023云南大理统考一模）已知双曲线：l(a 0,b 0)其渐近线方程为x2y = 0,点（2夜,1）在T上.求双曲线的方程;过点4（2,0）的两条直线4P,4。分别与双曲线交于P
13、,。两点（不与点X重合），且两条直线的斜率之和为1,求证：直线尸0过定点.【答案】一/=；4证明见解析【分析】（1）根据双曲线的渐近线与过点列方程组即可得。力的值，从而得双曲线方程;（2）设直线产。的方程为y=H+,%?（和必），Q（2,y2）,联立直线与椭圆得交点坐标关系，再根据斜率IJ坐标运算从而得乱机的关系来确定直线定点即可.【详解】（1） 0, bO,依题意，b 1厂58 1 1F=1解得：a=2,6=1,所以双曲线C的方程为户】（2）依题意可知尸。斜率存在，设方程为=h+m,尸,y）,Q（x2iy2）,则=64k2m2+4(1-4二)(4/+4)0,即/+1_430,所以Shn=B4
14、m2+4X一k设直线力尸，彳。的斜率分别为K，右，由题意知：占+%2=1，故有:+ (m-2k)8km-4k24/r+4( 8km -4nt=1,整理得(加+2)(1+2A-1)R当n+2%=0,=PQ:y=kx-2k,过4（2,0）舍去，当机+2%-1=0,=PQ:y=kx-2k+,过点（2,1）,此时，将树=1-2攵代入得（1-2%y+l442=2440,得后0力0）的左右焦点分别为小工,ab左顶点的坐标为（-2,0）,离心率为立.2求双曲线C的方程；4,4分别是双曲线的左右顶点，r是双曲线C上异于4,4的一个动点，直线74,分别于直线X=I交于。|，。2两点，问以。，。2为直径的圆是否过
15、定点，若是，求出此定点；若不是，请说明理由.【答案】i9过定点，定点,为(-g.oo【分析】(1)根据顶点坐标以及离心率即可求得。=2, =3即可求得出双曲线C的方程;(2)由(1)可得4(-2,0),4(2,0),设T(,y)并写出直线4,鬼的方程,易知。/ 、(利用向量可表示出圆O的方程为(X-I)(X-I)可得定点坐标.【详解】(1)由题意得。=2,易知e = Jl + *=9所以可得 =3,即双曲线。的方程为 h(2)如下图所示：由题意知 4 (-2,0),4 (2,0),设双曲线上的动点T的坐标为T(XoJo)FLyoWO ,则日-凡=L 43易知直线以1的斜率存在，旦34二一三，其
16、方程为y = U(+2), + z为 + z同理可得直线的方程为y =$7(x-2), 瓦-2所以QjI,I + 2JI -2J设以线段0乌为直径的圆。上的任意点为M(X,y),XTJ +xo - 2那么由斯西 =0得圆0的方程为(X-1)(1)0,即2十八(等F篇尸告由.一区.=1可得/=,所以圆0的方程为(x-iy+v+j-%一招卜名=0；43X。-44IXQ-2/+2J4,O因此若y=0,此时圆方程与XoJO无关，代入上述圆方程得(X-I)-j=0,解得X=W或X=22所以以线段。为直径的圆必经过两定点,g,o),o.【点睹】方法点睛：在求解圆锥曲线过定点问题时，般情况下是写出点的轨迹方
17、程表达式，进行整理变形并令与变量有关的系数为0,即可求出定点坐标.重难点题型突破3直线与抛物线方程例5.(2023湖南永州统考一模)已知点N(,2J)(0)在抛物线UV=2p(0p0),jfp,IRFI=tAB=25F=25,利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于。，P的方程，即可求得p,即得答案.【详解】由C:V=2px(0p0),则IRFI=tAB=25F=25,贝UINRI=%，故(5)2+(II)2=NR八即(45)2+(内)2=9/(；又点N(a,26Xa0)在抛物线。:必=2px(0p24)上，故M11=+5=4f，且12=2pa,即Pa=6，联立得12/-20
18、+3p2=0,得2=3p或6=p,由于0p_1-O_4又MP是水平的，所以可得PJ,1)因此核=匚1=-5,即选项B正确；4易知直线Po的方程为尸-Ia-1),4联立直线和抛物线,一一，消去7可得4-17x+4=0,y2=4x由韦达定理可知玉+Z=?，XIX2=1，故A正确；由玉=；可得=4,所以点。的坐标为0(4,T),1775利用抛物线定义可知|p。I=阳+1I=玉+z+p7+2=,即C错误；因为4与4两直线平行，所以勺，2之间的距离为d=E-V2=5,即D正确.故选：ABD例6.(2023陕西汉中校联考模拟预测)已知抛物线C:/=2px(p0)的焦点为尸，点4(6,No)在抛物线C上,且
19、F=10.求抛物线C的方程；已知直线/交抛物线C于AAN两点，且点(4,2)为线段MN的中点，求直线，的方程.【答案】=16x(2)4x-14=O【分析】(1)利用抛物线定义可求得P=8,即可求出抛物线C的方程；(2)由弦中点坐标为(4,2)并利用点差法即可求得直线/的斜率为4,便可得直线方程.【详解】(1)点/(6,%)在抛物线C上,由抛物线定义可得I4尸1=6+5=10,解得P=8,故抛物线C的标准方程为y2=6x.(2)设M(x)N(w,m),如下图所示：则网=手，两式相减可得并-贡=16(须-/)，5=16小即(必一%)(必+%)=16(%-)，又线段MV的中点为(4,2),可得必+8
20、=4：则ZL二A=4,故直线/的斜率为4,XLX2所以直线/的方程为y-2=4(x-4),即宜线/的方程为4x-y-14=0.1.(2023上福建泉州高三校考阶段练习)点尸是抛物线：y2=2px(p0)的焦点，O为坐标原点，过点广作垂直于X轴的直线/，与抛物线相交于A,8两点，AB=4,抛物线的准线与X轴交于点K.求抛物线的方程；设C、。是抛物线上异于A、8两点的两个不同的点，直线4C、8。相交于点E,直线40、8C相交于点G,证明：E、G、K三点共线.【答案】=4详见解析.【分析】根据题意不妨设力(2),8已一2),将点坐标代入抛物线方程求解；(2)由(1)得到4(1,2),8(1,-2),
21、设今,为)伊2,为WN),分别求得直线4C,直线89,直线5C,直线彳。的方程，联立求得点E,G的坐标，证明原K=Rk即可.【详解】(1)解：抛物线r：y2=2px(p0)的焦点坐标为：尸(go)过点尸作垂因为直于X轴的直线/,与抛物线相交于A,8两点,且IAB卜4,不妨设46,2),80-2),则22=2pg解得P=2或p=-2(舍去),所以抛物线的方程为V=4x:（2）如图所示：由（1）知4（1,2）,8（1,-2）,设C十，为仅产2,% I）,则直线/C的方程为：一2=:I），=/T-e奢SeSE4丁一24市4y2-2(XT),解得(I)丫_乂为一yi -y2 +4厂2（乂+必），则E乂
22、一%+4凹外 一% +% 2(乂+%),M-必+ 4 7,-y2+4J ,所以ek =2（必+为）必 一%+42（必+8）乂一十4 =2（必+8）乂乃一弘 +乃(02-,v.J,2 ,1 yly2+4yl-y2+4乂一%+40 _ + 2 /、4 /、则直线8。的方程为：J 工7人 二N一人直线40的方程为: 14公）亦E4联立得4户2=广(”1)2(必+%)解得六二切为一 % +My2-y+4.一2（乂+必） y -a必一必+4则g(My2-8+必，2(乂+%)、I %_必+4 2-J1+ 4；所以生K8-必+4,Z.t,-(-1)必-M+4一J8_必+4乂8一8+乂 I 1%一必+4=2(
23、%+%)NM+4则 EK = GK 所以K,G三点共线.1.（2023广西南宁统考模拟预测）如图所示，耳工是双曲线C。-/=l（o0,b0）的左、右焦点，C的右支上存在一点8满足助,班与双曲线。左支的交点A满足翳我=需，则双曲线C的离心率A. 3B. 2C. 23D. 13【答案】D【分析】利用正弦定理及已知可得IABI=MKI,令Z8=K=x,由双曲线定义及8GL8应用勾股定理列方程求得x=34,进而求离心率.IBF,IABIZKlAF,【详解】ZUBK中嬴N欣=i）“阳巴中Sin4伤=痴2两所以如阳嗡律,M用率咚第,smZBAF2snZFxAF2又NBAF?+NF】AB=,则SinN即入=
24、SinM力工，又坐鬻二韶，Sln2I）I所以6=/耳|,令MBl=I4片=x,则|8|=2x,BF2=2x-2a,AF2=x+2a可得4x2 +4(x-a)2 = 4c2X2 +4(x-)2 =(x + 2q)而IKKI=2c,由班1桃，则I明F+明=IK玛IJBp+IF2I2=HJF2I2,X=3acf2-M7即K=e=厂而故选：D2. （2023山西吕梁统考二模）（多选题）已知椭圆C:-+4=1（Z0）,耳,E分别为其左、右焦点,9b离心率e的取值范围为椭圆C的离心率为e,点A/在椭圆上，点N（2,）在椭圆内部，则以下说法正确的是（）A.B.不存在点M,使得丽+丽=。C.当e=g时，IM用
25、+1MM的最大值为学11d国+两的最小值为1【答案】ABC【分析】A：根据点42,五）在椭圆内部可得,斓1,从而可得/的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出。和工，利用椭圆定义将|峙|化为|叫|,数形结合即可得到答案；D：利用网用+M6=2可得+H+W=m+H+2/利用基本不等式即可求解.【详解】对于A,由已知可得，1,所以则书=样010）的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点历，使得仍在以线段”鸟为直径的圆上，且IMgI=6M耳I，则该双曲线的离心率为.【答案】3+ll+3【分析】由题得NHg=5，设小用=%,m5=5%,求出用尸2即得解.【详解】已知条
26、件可知/=；6为直角三角形，且/片知名=5.设IMKI二句叫=5h可得IHgl=加鸣F+gF=2k,故答案为：3+l4. （2023浙江金华校联考模拟预测）已知双曲线C：兰-亡=1,直线/过双曲线。的右焦点尸且交右支于2248两点，点S为线段的中点，点7在X轴上，STLAB.求双曲线C的渐近线方程；若TS78=三，求直线/的方程.【答案】（W=执（2）丁=2工-4或7=-2工+4或彳=2【分析】（I）根据等轴双曲线方程即可求解渐近线方程，280（2）联立宜线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量数量积的几何意义将其转化为75以=75=j,由坐标运算即可求解.【详解】（1）由题知，a=b=6,所以
27、双曲线。的渐近线方程为y=2=a（2）双曲线C=1的右焦点坐标为（2,0）,由题知，直线”的斜率不为0,设直线”方程为X=疗+2,代入双曲线C：片一Zi=I中，22化简可得：（/-1）/+4少+2=o（Ji）,设/（%,乂）,5（毛,必）,则yl+y2=若，必%=jAy-贝|x1+%=Z（M+必）+4=PT+4=，I-1I1线段AB中点S的坐标为（言,言）直线ST方程为+7=-fx+工.t-1kt-IJ当Uo时，S点恰好为焦点产，此时存在点72+苧,0或r2-半,0,使得方.而=笈哼此时直线48方程为X=2.(ii)当0时，令J，=0“F得X=三，”得点的坐标为(三,。)，送二由于STJ_48所以称而=将，由容而堞，gp752=y,也即：I对2=(M)+(言)=y-化简可得20/-49/+11=0,解出，=L=叵，25由于直线453曲线右支于两悬所以工0,即/1,故舍去f=返.尸-15可得直线AB的方程为X=+2.综上：宜线48方程为y=2X-4或y=-2x+4或X=2.【点睛】
