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1、专题18最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一.平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步:得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：
2、根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果二.极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：证明：不妨设/18=,/O=B,贝IJ4C=+B,DB=a-bC2=jC2=(+)2=p2+2+pfI国2=而2=(1,=时一苏力同两式相加得：(2)极化恒等式：上面两式相减，得：;(Z+B)2-R-q极化恒等式平行四边形模式：IB=：口何2TM1儿何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的L4三角形模式8a=p2-iD2（M为80的中点）三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形48C。与所在平
3、面内任一点,证明：OJ2+OC2=OB2+OD2O【证明】(坐标法)设AB=a,AD=b,以48所在直线为轴建立平面直角坐标系My,则8(Q,0),Z)(0,C(,b),设O(XJ),则四.等和线(1)平面向量共线定理已知万=/1丽+反，若l+4=l,则48,C三点共线；反之亦然。(2)等和线平面内一组基底方,历及任一向量而，OP=A+OB(,eR),若点P在直线48上或者在平行于48的直线上，则;1+=左(定值)，反之也成立，我们把直线48以及与直线48平行的直线称为等和线。当等和线恰为直线43时，4=1；当等和线在。点和直线川5之间时，G(0,1)；当直线48在点。和等和线之间时，(l,+
4、8);当等和线过O点时，Ar=O;若两等和线关于。点对称，则定值左互为相反数；【题型归纳目录】题型一,三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线【典型例题】题型一：三角不等式例1.(2022河南洛宁县第一高级中学高一阶段练习)己知向量区工满足|联|=2,山=1,|二；|=1,若对任意，(1工y+(U)2U恒成立，则7坂的取值范围是.【答案】2-【解析】【分析】由条件可得S=(c-)+/一分)=1+c-2ah,由向量性质可得卜卜,+口一0一区/Ha+j，从而rrrrrr+Z-l-G+),及三角函数的有界性可进行化简分析.
5、【详解】设vj=,=4,由13。一(行+己)=IbI曰I,根据三角不等式，有3-(+c)3a-(b+C)I=Ia5卜Id=IallBlcosac=cosax2+l-r解得：亚L+加122626即工2的最小值是-逅.26例5.(柯桥区2022届高三下学期5月第二次适应性考试数学试题)已知平面向量入I亍满足：a与B的夹角为弓,便一。)63)=0洞+同=2,记是W-方一司的最大值，则M的最小值是.【答案】3亡12【解析】【分析】设刀=瓦55=R=,f为/份中点，令IaI=X,出=y,B=2r,OE=f,结合图形，利用向量的线性运算求出M=修V-BlInaX=I的1+1反I，转化为函数求最小值即可.【
6、详解】如图，设Cl=d,而=B,灰=5,E为4B中点，4151=x,I=yAB=2r,OE=t，则4O5=,x+y=2，1T因为OE=I(OA+OB),AB=OB-OA,故有万丽=IOEl2-1152=-=2-2,4222a2cosZJOB=+v-=-xy=;2+j2-4r2=4r2=(+y)2-y，2xy由0，+闸=4石UQ+5)2=(5)2u7+2l5+尸=0而2,Ol/+|H=G2)2-25o(ZTBl)2+2ZB+1=(75-1)2,当o1，ab-=yj(a-bf+2a-b+y2a-h+b当且仅当Iil=向时取=,又15G巾I，当且仅当与否同方向时取“=Z则有亚而两71七$-19句.历
7、1-1=2臼.历1+14而卜历1-月解得1/1电4,当且仅当=5时取5,所以向卡|的最小值是4.故选：A例7.(2022湖北华中师大一附中高一阶段练习)已知圆C的半径为2,点力满足R4=4,E,产分别是C上两个动点，且忸耳=2百，则荏.的取值范围是()A.6,24B.4,22C.6,22D.4,24【答案】C【解析】【分析】借助于垂役定理处理，结合向量整理可得存万=|祝+而-3,再根据向量的加法可得3元+由卜5.【详解】取小的中点连接。W,WJC=22-(3)2=1,jjf=(j7+7f)(77+f)=(而+该M而-%)=而?-或=而：=ac+cm2-3，又%-丽Il,c+7,c+07所以3+
8、E75,所以6荏万22,当且仅当向量祝与两共线同向时，荏.而取得最大值22；向量祀与两共线反向时，荏.不取得最小值6,故选：C.例8.(2022浙江高三专题练习)己知平面向量,5,满足同=R=躯=1,N1.若2=3+入则Rq+Bz的最大值是.【答案】4+7【解析】【分析】Irrlr*t将2=3+1代入所求，可得到“d+4+bc,分情况讨论4+兀展同号和异号两种情况，利用向量模的平方等于向量的平方计算可得和的最大值.【详解】当C,4+族c同号时,pc+14+c=|c+c+4=(+c+4a2+b+2a1+4+2=7，则,+”上4+7.当c,4+Bc异号时，pc+4+c=c-c-4=(-jc-4-Z
9、c+4,而JBT=72+?-2a-b1+4+2=7则,4+卜2卜4+7.因此H4+B甸的最大值为4+7故答案为：4+J7例9.(2022全国高一课时练习)己知在三角形川?C中，5C=4,AB=,2ACt则浣.史的取值范围是A.1一,32jB.-,32C.(0,32)D,32)【答案】A【解析】【分析】根据三角形三边关系得到的取值范围，再利用余弦定理表示出COSNC48,最后根据平面向量数量积的定义计算可得；【详解】lll.AB+/ICl4(2AC+AC44.1解：因为5C=4,I明=2|力。|,所以S一即。“解得；4,由余弦定理Abi-AC4IZAC-AC43/力AC2+AB2-BC2rrh.
10、cqsZ.CAB=，M以2ACAB无邪I喷/3I1lI1lAC2AB2-BC1AC2+AB2-BC2ABAC=ABACcosZCAB=ABAC=IlllIlll2ACAB2=54C,T6,因为gq4,所以?|得26,所以得5叱-165B.3,5C.28,6网D.5-23,5+23【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断.【详解】因为I1|=2,出1=1,。与坂的夹角为60。，所以罚=4,P=b=2lcos60o=l所以满足12a+4h=2a+2b=2ya2+4-a-h+4b2=24+4l+4l=43，因为IldIT25+411,c-25-4,所以2G+如-d-2
11、5-柘|训”2a+4b+2a+4bf所以21c.63,故选：C例11,（2022浙江宁波高三期末）已知平面向量5,其中九坂是单位向量且满足2万=；,4c2-4ac-4bc=f若C=X+访（XjeR）,则+N的最小值为.答案3一2、3【解析】【分析】根据已知条件将向量）代入47_41工_4。）=1整理可得关于、P的:兀:次方程，然后通过换元，利用方程有解A0可得.【详解】又.,B是单位向量且。6=:,上式=4（X+y）2-（x+y）-y=l令x+y=z,N=-X代入上式整理得：42-4a+4-6f-I=O关于X的方程4x2-4tx+4/-6f-1=0有实数解整理得：32-6r-l0,解得三2叵f
12、31矩33故答案为：3-2、3例12.（2022全国高三专题练习）已知向量,B是平面内的两个非零向量，则当R+q+R-可取最大值时,Z与坂夹角为.【答案】-#902【解析】【分析】根据*+汨孙o,结合平面向量数量积的运算性质推出B+.+B叫2丽，再根据题意以及等号成立条件，即可求解.【详解】向量B是平面内的两个非零向量，；（卜+可一,_）=q+4+4-j闺+。一jo,当且仅当卜+可=卜_耳时取等号，62p-2p-即2归+田+2口一田R+q+,可+21+可中一石卜+万|彳一族，（卜+画+.一矶2p+即+2p-可2=4,j+4彳j,叫+q+B一闸2桐2+W-,当且仅当卜+闸=卜-同时TT取等号，即
13、a*=0,则与否夹角为万，当R+q+R-可取最大值时，G与5夹角为半故答案为：y.题型二：定义法例13.（2022全国高三专题练习）已知向量万，B满足同=2,W=3,则卜+可+1-可的最大值为.【答案】2小【解析】【分析】先求得1+B=j5+4cos9、I万-Bl=J5-4COSe,进而平方，计算即得结论.【详解】设向量。力的夹角为6，a+=22+32+223cos9=13+12cos（9,a-h=22+32-223cos=13-12cos6,则B5I+B-4=I3+I2cos6+13-12cos,令y=J13+12cos6+513-12cos，则y2=26+2169-144cos2606,5
14、2,据此可得：（B+B+万一矶W=夜=2万，即卜+司+1一切的最大值是2拒故答案为：2jil例14.（2022全国高三专题练习）在“8。中，角员。的边长分别为4%点。为8。的外心，若分2+/=2人UtuUUUl则8C40的取值范围是（）A.-；,0）B.（0,2）C.Ts0）D.十）【答案】D【解析】【分析】作出辅助线，对数量积进行转化得到BCdO=6L上，求出b的取值范围，进而求出答案.【详解】取BC的中点O,则OZT8C,所以BCAO=BC（AD+D）=BC+BCDO=BCAD=（AC+AB）=aC2-AB=-c2）=；伊（26-从小/_匕=RT）T因为c2=26-o,贝J6（6-2）O,
15、即0）2.所以-!南亚n=230=0*+w=12.故选：D.例16,（2022四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学模拟预测（理）己知同卜网=2,点C在线段48上，且无的最小值为5贝J5+/两（R）的最小值为（）A. 2【答案】B【解析】【分析】B. 3C. 2D. 5由OC取得最小值得点C为线段45的中点,由国考同得408 = (由俘+tOB=t2OB2+2tOAOB+OA2=4r2+4+4配方可得答案.【详解】当。C_L48时，又取得最小值，因为I5卜I司=2,所以此时点C为线段的中点，因为瓯I=当可,所以4=?,故ZAoBW,因为I况+/丽=t2OB2+2tA0B+O42=4t2+4t+4=
16、(2t+l)2+33,OJ+zB3.故选：B.例17.(2022河南平顶山市第一高级中学模拟预测(文)己知/,8为圆O:./+_/=4上的两动点，|彳81=23,点P是圆U(x+3)2+(y-4)2=l上的一点，则|苏+而I的最小值是()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】【分析】根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到AB的中点M的距离最值问题即可得解.【详解】设M是48的中点，因为IHBI=2J,所以IOMI=1,即M在以O为圆心，1为半径的圆上，苏+丽=同7+南+两+筱=2而，所以I莎+丽|=|2丽又1尸。Imin=QClT=J32+427=4,所以IPMLl=1尸。LIT=4-1=
17、3,所以I苏+而Imm=2x3=6.故选：C.例18.(2022黑龙江哈九中二模(理)窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.已知圆。是某窗的平面图，。为圆心，点Z在圆。的圆周上，点尸是圆O内部一点，若|明=2,且次.万=一2,则I8+/I的最小值是（）A.3B.4C.9D.16【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合数量积方.后=-2,可求得I研=J确定其取值范围，再根据河+西平方后的式子，即可求得答案.【详解】AP=OP-OA，所以方力
18、二刀（而-刀）=E而-宓Li,所以弧丽=2,即网西cos4O尸=2,则冏-LOP因为点尸是圆O内部一点，所以I丽I=2,所以:J,GB.-2,2C.-7,7jD.卜3,3【答案】A【解析】【分析】通过数量积与模长的关系可得（：-23）W=0,日-2耳二行，再根据数量积的运算律以及概念即可得结果.【详解】（12叶gT=（12B+-2g”,因为卜一4=1,所以/_2石+片=1，所以所以(。一21)=-21=0,a-2b=ya-4ah+4b=设：-2力与的夹角为故伍-潺)伍-e)=-6cos,因为CoSeGI-1,1,所以(一2可.(一C)G卜忘疗,故选:A.题型三：基底法例20.(2022天津河北
19、二模)已知菱形”CO的边长为2,/胡。=120。，点E,尸分在边BGCO上，BE=BC2DF=DC.若+=葭则荏.而的最小值为.4【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，把荏.万用万,石表小，最后转化为含有2,的代数式，可结合4+=；及基本不等式求得万.万的最小值.【详解】解：如图，BE=BCDF=DC,且丸+=，AEAF=(AB+BE)(AD+DF),1Q=(1+)2X2X(-)+4(+z)=-2(1+jt)+-.由题意可得，,，0,2-+ju=,贝J-2(1+Ix-5,-2(I+z)+.-(当且仅当;I=；时等号成立)，4荏.的最小值为4故答案为：.例21.(2022山西省长治市第二中学校
20、高三阶段练习(理)菱形48CO中，AB=VAey,y,点E是线段力。上的动点(包括端点)，则丽丽的最小值为.【答案】-0.254【解析】【分析】设荏=/1而,运用向量的线性运算和数量积运算得EDEB=(-)AD(AB-AE)=2-(+cosA)+cosJ,设f=cos40,1,利用二次函数的性质可求得丽.丽的最小值.【详解】解：不妨设京=九而，则而=而一次=。-4)而,丽=在一荏，所以丽丽=(1-4)而(而一荏)=(l-)cosA-(-)=2-(1+cosA)+cosA,因为/Wy,y,所以C0S40,|,设f=cos%0,g,则历丽=(4)=42-(l+Z)4+f,%e(M,对称轴为2=J,
21、?，224所以/(2)min=(y-)=-G-O2-，所以丽丽的最小值为一;故答案为：-：.4例22.(2022全国高一)在矩形中，AB=2BC=2,动点M在以点C为圆心且与80相切的圆上，则方7.丽的取值范围为()A.-5,-lB.-5,1C.-3+5,-lD.-3+5,3-5【答案】A【解析】【分析】先求出圆C的半径，由戒=%+e而，结合向量数量积运算律将万7.而的最大值转化为求战.胡的最大值，即可求出结论.【详解】UUUlUUlfl_1X7，Js由题意I/CI=I501=设C到8。的距离为d,则d=宠=希,UUULUUUIUUUIUUULUUlBUUUIUUUIUUULUUW故AMBD=
22、(AC+CM)BD=ACBD+CMBD，UUUUUBUUUUUBUUUUUI其中4CBQ=(O+4B)(4O-B)=-3,UUULUlUUUUIUUUIUUUUUU设CW,80的夹角为e,CMBD=CMBDcos6e-2,2,当且仅当07与而反向或同向时取得端点值；综上，下7丽的范围为-5,-1故选：A.例23.(2022全国高三专题练习)在448C中,M为边BC上任意一点,N为4W中点,且满足新=4益+万,则矛+2的最小值为()1 1ClA.B.-C.-D.11648【答案】C【解析】【分析】根据给定条件探求出义=3-，结合外+/J转化为二次函数并求函数的最小值即可.【详解】在45C中，M为
23、边5C上任意点，则的=f元=f配一f次，于是得丽=；汨7=；(而+而r)=Y方+：元，而而=L拓+4Z,且荏与祝不共线，R2=i-,/=-,即有4=；-,因此，储+2=(!一川2+2=2_+；=2(；y,乙乙乙/(IOO当且仅当2=4=J时取=，此时M为8C中点，4所以外+/的最小值为:O故选：C例24.(2022全国高三专题练习)已知在a8C中，AB=AC=2,8。=3,点E是边8C上的动点，则当成丽取得最小值时，Wl=()A.叵B.叵riok_zD,巫4222【答案】A【解析】【分析】利用“插点法”，重新表述成丽，结合向量的数量积运算，将其转化为I满I的二次函数形式进行求解.【详解】4+9
24、-43在力BC中，AB=AC=2,BC=3,cosZABC=一.2234成丽=丽（而+诙）=而?+丽.丽=丽丽0卜0$（万一N/18C）=丽2_|丽I=U而,则当同=（时，或丽取得最小值-3此时同=4+j-2x2XjXCOS48C同=呼.故选：A.例25,（2022全国高三专题练习）如图，已知两个模都为10的向量5,瓦，它们的夹角为1,点C在以。为圆心，10为半径的族上运动，则O而的最小值为（）A.100-1002B.-100C.1002-100D.-1002【答案】A【解析】【分析】根据向量的运算及数量积的运算性质化简，问题转化为求（5+方）1的最大值，由模为定长知同向时最大求解即可.【详解
25、】要使O而最小，即（苏+为）历最大而I万+55=i（）为定值，I反I为定值io只要画+砺）勺云同向即可使砺+前历最大.95的最小值为100-100L故选：A例26.（2022吉林长春模拟预测（理）已知ZiNBC中，/=1,AC=2,48=5,点P为边4?上的动点,则丽定的最小值为（）A.4B.2C.2D.4【答案】A【解析】【分析】结合向量运算以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】设方=；C面04l）,=252-20,所以当H=-察时，丽.定取得最小值为25x(21-20Z=-42x255(5)5故选：A例27.(2022全国高三专题练习)在凸四边形/8。中，AB=BC=ItZABC=2且为
26、等边三角形，若点E在四边形45Co上运动，则丽丽的最小值是()A.-4B.-3C.-1D.3【答案】B【解析】分别讨论E点在每条边上运动时，向量点积的最小值，即可得到最小值.【详解】如图所示，四边形/8CO关于直线80对称，故点E在四边形/5C0上运动时,只需考虑点E在边BgCD上的运动情况即可，易知8C_LC0,则丽.诙=0，当点E在边6C上运动时，设丽=4方(04l),则反=(4一1)而，EBED=EBeC+CD=EBEC=ACB(-)CB=4(-),当a=；时，丽.丽的最小值为T：当点E在边Cz)匕云动时，设防=%诙(OA1),则沅=(%-1)诙，JEBED=(EC+CByED=ECED
27、=(k-)CDkCD=12k(k-y),当=(时，丽.丽的最小值为-3：综上，丽丽的最小值为-3；故选：B.【点睹】方法点睛：根据向量定义把向量点积转化为函数问题来求解最值.题型四：几何意义法例28.(2022全国高三专题练习(理)已知平面向量，5,工满足11=-3，忖-4=4,U与工一5的夹角为则厚14的最大值为.【答案】l+23【解析】【分析】利用向量的模的运算求得B+q=2,设平面向量九5，都是以。为起点，终点分别是48C，求得平面向量3+石的终点N的轨迹，由Z与-刃的夹角为?，得到。的轨迹，利用圆的性质得到WeI的距离的最大值，即为所求.【详解】解：5=-3,H,.I+*J2+4ah=
28、2，如图所示，设平面向量B，、都是以O为起点，终点分别是48,C,则平面向量Z+石的终点N到O的距离为2,设48的中点为M则IMN=I,N在以M为圆心，半径为1的圆周上.由与-书的夹角为?，.点C在以48为弦的圆周角为？的优弧上，当C,MN共线，ILGN在直线48的两侧，并且CM_L48时，CNl最大，也就是q取得最大值，此时C=23,MV=1,CN=1+23,故答案为：1+2J例29.（2022上海市建平中学高一阶段练习）己知平面向量怎见10,R）满足同=2,且应与的夹角为135。，则同的取值范围是.【答案】（,2【解析】【分析】画出图形，表示出方=KAC=从而确定NJBC=45。，利用正弦
29、定理得到同=2jsinC,结合CO,j,求出同的取值范围.【详解】设益=2，AC=如图所示，则就=B-,因为与A-左的夹角为135,所以43C=45,因为4C=M=2,所以由正弦定理得：同忸I2_/T-sinCsin45o-Jl,所以同=2&sinC.V因为C(,;兀)，所以Hl=2sinC(0,26故答案为：(0,2.例30.(2022全国高三专题练习)在平面内，若有IGI=G方=LW=2,(c-a(2c-a-h)=0,则小B的最大值为.答案Zi亚4【解析】【分析】由条件可以求得=。，从而可作a=Z丽=B,并连接43,取43的中点。，连接OO,则有砺=学，根据条件可以得到化-审)，可作云=工
30、，并连接4C,DC,从而可以得到ZC_LOC,即点C在以力。为H径的圆上，从而得出当发在而上的投影最大时，|石最大.通过计算，即得出炉在而上的投影最大值，从而得出己B的最大值.【详解】解：根据条件，=|SHIcos=2cos=l;一r1COSVa,6=-；2=y,如图，作方=瓦丽=对则408=1,连接力8,取48的中点。，连接O。，则比=(:由(d-AM26-B)=0得，(c-5)(c-)=0:作灰13 3所以破=不6 = /；、，=E,连接/C,CD,则就=,一%反=不_2JC1DC：.C点在以为直径的圆上；运动到圆的最右侧时,反在而上的投影最大，即不坂最大：I2乂OG=OAcos=,GB=
31、2=.3222又aBEHsaBAG,.AE=-AB.4所以双在砺上的最大投影为,+2+3二叵，2848所以伍同=Zi述2=ZJ2圆,故答案为：Zj友4例31.(2022北京朝阳高三期末)已知平面向量，B满足同=2,-与的夹角为120。，记m=ta+(-t)b(teR),的取值范围为()A.3,+)B.0,+8)C.,+)D.g+)【答案】A【解析】【分析】a=OAyh=OB,根据与G-M勺夹角为120。，得到N08=l2(r,NO4C=6(T,再根据言=i+(leR),得到miaib的终点在直线AB上求解.【详解】设白=。4坂=万，如图所小：.11UULUUlUUL贝Jb=O4-08=84，因
32、为G与G-I的夹角为120%所以ZOAB=120。,NONC=60,因为加=E+(l-f)B(fH),且f+1T=IDl的起点相同，所以其终点共线，即在直线48上，所以当Mj.在时，向最小，最小值为6,无最大值，所以时的取值范围为3+),故选；A例32,(2022江苏高二)飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们在酒吧日常休闲的必备活动.某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的四边形拼成.在四边形/8CO中，ON_LOC,CM=OC=4,ACLBC1AC=BCt点P是八边形/3C。石尸G内(不含边界)一点，则方.万的取值范围是()A.(-16,48)B
33、.(-48,16)C.(-165,485)D.(-485,165)【答案】B【解析】【分析】根据给定图形，求出存在次方向上的投影向量长的范围即可计算作答.【详解】在四边形力6C。中，OALOC1OA=OC=4,ACLBCt则ZC=8C=4j5,且ZB，。4,过。，“分别作直线04的垂线，垂足分别为N,M,如图，依题意，DE=AH=AC=Ag,/DEN=/HAM=45,因此，ON=OM=2OA=8,对任意点P,过户作夕。，。/丁0,而点、P是八边形4BCDEFGH内(不含边界)一点，当点P在四边形/8Co和四边形EGO内时，OO04,当点P在四边形GE4O和四边形COEO内时，oo0),则1.两的取值范围是()A.0,3)B.(,32C.0,9)D.(,62【答案】C【解析】【分析】IoM由股总，判断得点C在:线段尸。外，从而得VCOM是直角三角形，进而表示出COSNCoM二胃1,可得c7=M2,由oQM0),所以尸，Q,C三点共线，旦点。在线段尸。外，因为点M为线段Po的中点，所以即VCoA/是直角三角形，
