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1、专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点2阿波罗尼斯圆的逆用专题1阿波罗尼斯圆及其应用微点2阿波罗尼斯圆的逆用【微点综述】当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算,令圆O与直线OA相交于M,N两点设点E为OA上一点，且满足S=l,由阿氏圆PE定理装=2，慧=义，则AN=/INE=QA-R=4(R-OE),0E=(+)R-0A同理AM=2MEnR+0A=l(0E+R),二XOE=(1-4)R+OA由消。A得：22E=2R,即%即人几困由消R得：QA*因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且上=义或空=万.【典例刨析】例1.(2022.湖南临澧一中高二开学考
2、试)1.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线论一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是:已知动点”与两定点A,8的距离之比为2(a0,.1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆。：/+V=I上的动点M和定点A(-,0),8(1,1),则2MAl+M3的最小值为()A.6B.7C. ioD.TTT【答案】C【分析】讨论点M在X轴上与不在X轴上两种情况，若点M不在X轴上，构造点K(-2,0)，可以根据三角形的相似性得到大T=向=2,进而得到2MAl+M8=M8+叫修,最后根据三点共线求出答案.【详
3、解】当点M在X轴上时，点M的坐标为(-1,0)或(1,0).若点M的坐标为(一1,0),则2MA+MB=2x3+(1+1J+=1+6;若点M的坐标为(1,0),则2M4+M3=2x+J(l-1J+俨=4.当点M不在X轴上时，取点K(-2,0),如图，因为NOK=ZAOM,所以AMOKsAOM,贝=1=2,IMAIIOAI所以MK=2MA,则2MA+MB=MB+MK.易知IM用+MK8K,所以I例阴+1MKl的最小值为由K.因为3(1,1),K(-2,0),所以(2|MAl+1MBl)Inin=BK=(-2-1)2+(O-I)2=10.又MVI+40,l=1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简
4、称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，圆O:/+y2=l、点和点B(OM为圆。上的动点，则2|MAl-M8的最大值为()A.-B,叵C.-1222【答案】B【分析】令2MAl=IMq,则籍=；,由阿氏圆的定义可知：C(-2,0),由数形结合可知2|M-M8=MCI-IMBI的最大值.【详解】设M(x,y),令2MAI=IMq,则牒I=；，由题知圆V+V=是关于点a、C的阿波罗尼斯圆，且4=g,设点C(孙)，1， 2整理得:2O2n+42m+-1X+V-+X+V=333比较两方程可得：笞d=0,y=0,1=l,即帆=2,H=O,点c(-2,),当点M位于图中Ml的位置时，2|MAl-M5=C-M例的
5、值最大，最大为IBq=丹.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.3,古希腊数学家阿波罗尼斯(约前262前190年)的著作圆锥曲线论是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数M%o且ZHI)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知。(0,0),A(3,0),圆U(X-2)2+y2=(ro)上有且仅有一个点P满足|例=2|尸斗则,的取值为()A. IB. 5C. 1 或5D.不存在【答案】C【分析】直接设点p(,y),根据IPAI=2Pa
6、可以求得点P的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得ICGl=r+A或ICGl=卜-“|.【详解】设点P(y) PA=2P0即(-3)2+y2=277整理得：(x+lp+y2=4 点P的轨迹为以G(T,0)为圆心，半径4=2的圆， 圆C:(x2)2+V=r2的C(2,0)为圆心，半径r的圆由题意可得：3=Ccj=r+4或3=CGl=Ir-4|，r=l或r=5故选：C.4.已知点。是圆口-4)2+(丁-4)2=8上的动点，A(6,-l),。为坐标原点，则PO+2PA的最小值为.【答案】10【分析】解法1：借助阿波罗尼斯圆的逆用，得到PO+2尸A=2(A4+尸A),进而根
7、据三点共线即可求出最值；解法2：将PO+2P4=JX2+丁+2J(x-6/+(y+转化为=27(x-3)2+(y-3)2+(x-6)2+(y+l)2j,进而结合进而根据三点共线即可求出最值.【详解】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用假设A(z,),使得PO=2PA,则JX2十12=2“彳加)2+(。-)2,从而可得3x2-Snix+4+3y2-Sny+4n2=O,从而可知圆心坐标为(苧,当)，所以竽=4,y=4,解得m=4,即A(3,3).所以尸O+2E4=2(E4+)2AA=2(6-3)2+(-1-3)2=10.即Po+2PA的最小值为10.解法2：代数转逆法由(x-4)2+(y-4)2=8,x2+
8、y2=8x+8y-24.PO+2P=yx2+y2+2(x-6)2+(y+l)2=2如-3)2+(-3)2+小一6)2+()，+1)2)J(X-3)2+()，-3)2+J(x-6)2+(y+1)2表示的是动点(My)与(3,3)和(6,-1)之间的距离之和，当且仅当三点共线时，和最小，故PO+2PA2(6-3)2+(3+1)2=25=105 .已知圆C(XT)?+(y-1)?=1，定点P是圆C上的动点，8(2,0),O是坐标原点,则-JlPO+PB的最小值为.【答案】5【分析】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用，设(皿)，使得PB=&PB，利用两点间的距离公式化简可求得*(T)得直线&与圆C相交，则2P
9、O+PB=42(PO+PB,)42OB,从而可求得其最小值，解法2：代数转逆法，近Po+尸8=显出+V+J(X2+)=0k2+V+J1_+1一3)，可得当点共线，且P在08之间时取得最小值.【详解】解：解法I：阿波罗尼斯圆的逆用设BL,使得PB=P8，则(x-2)2+y2=2(x-m)2+(yJ,整理，得X2-4(w-l)x+y2-4ny+2(m2+-2)=0,即x-2(m-l)2+(y-2n)2=2m22n2-8m8=2(m-2)2+2n2所以2(,1)=1,2=l,从而C).经验证，知直线BB与圆C相交.从而2P0+PB=42(PO+PB,)2O,=万所以J2PO+PB的最小值为5.解法2
10、：代数转逆法2PO+PB=25x7+y7+a(x-2)2+/=6yx2+y2+(x2+y2)-2x+2=2+(+)-(+)-2x+2所以PO+PB的最小值为5.故答案为：小【点睛】关键点点睛：此题考查点与圆的位置关系，考查阿波罗尼斯圆的逆用，解题的关键是根据阿波罗尼斯圆，设*(见)，使得PB=&PB，化简后将问题转化为2PO+PB=42(PO+PB,)2OB,考查数学转化思想，属于较难题.例6.(2022江西南昌八中富二月考)6 .古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262公元前190年)的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(%0且攵1)
11、的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知0,0),A(3,0),圆C.(x-2)2+y2=r2(r1)上有且仅有一个点P满足I网=2|PQ,则r的取值为.【答案】5【分析】设动点Q(,y),根据题意求出点尸的轨迹方程可知轨迹为圆，由题意可知两圆相外切，再讨论内切和外切列方程即可得求解.【详解】设动点Pay),由=2P0,得(X3)2+2=4/+49,整理得(x+lp+V=4,即点尸的轨迹方程为：(x+lp+y2=4,又因为圆。：(*-2)2+52=/(,.1)上有且仅有一个点尸满足。+1)2+/2=4,所以两圆相切，圆(x+iy+y2=4的圆心坐标为(TO),半径为2,圆G(1-2)
12、2+9=/&0)的圆心坐标为(2,0),半径为小两圆的圆心距为3,当两圆外切时，r+2=3,得r=l,因为rl,故”1舍去，当两圆内切时，-2=3,rl,得r=5.故答案为：5.【针对训练】7 .阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M与两定点2P的距离之比耦=hD,那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为V+/=,其中，定点。为轴上一点，定点尸的坐标为1-10p=3,若点B(1,1),则3+M目的
13、最小值为()A.iB.11C.L5D.7【答案】D【分析】设Q(4,0),M(Xy),根据需=4和/+丁=1求出的值，由3MP+MB=MQ-MBt两点之间直线最短，可得31P+1M41的最小值为忸。，根据坐标求出忸。即可.【详解】设Q(,0),May),所以|M0=J(x_a+y2,由Pbg,0),所以IPM整理可得不解得。二一3,所以Q(T0),又IMQl=3MP,所以3MP+MBHMQI+M88Q,因为B(1,1),所以3|叱|十|也|的最小值忸0=4+3)2+(1-0)2=后,当M在位置M或W2时等号成立.故选：D8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数
14、学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作圆锥曲线一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点的距离之比为犯0,),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆。：/+y=和点A(-点8(4,2),M为圆。上的动点，则2MAI+1MBl的最小值为【答案】2加【分析】设Ma,y),令2MAI=IMC根据圆N+y=是关于点人C的阿波罗尼斯圆，hj1且A=耳，求得点C坐标，再连接8C,由直线段最短求解.整理得：【详解】设M(x,y)f令2M4=IM则黑j=由题知圆/+y2=l是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且L=g,整理得：X2 + y2 比较两方程可得:设点
15、 COn, ),则 IMAlIMCl 5(x-zw)2 + (j-w)222m + 4 2n x+ W +-IV =3=0, = 0,n2 +n2 -131,即加2n=0,所以点C(-2,0),如图所示:当点M位于图中M/、%的位置时，2MAl+M8=MC+M8的值最小，最小为2对.故答案为：25/i6（2022安徽合肥六中高二期中）9.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262公元前190年）的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数Kk0且左1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆O:/+V=I和A（-pO）,点3（1,1）,
16、“为圆。上动点，则|M4|+；IMM的最小值为.【答案】叵2【分析】根据阿波罗尼斯圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.IMAl1【详解】令2MAl=IMCI,则局=.由题意可得圆V+/=是关于点a,C的阿波罗尼斯圆，且2=3设点C坐标为CW,)，则蛆+yJMC5(x-w)2+(y-2m2 + 2 -13rfjmza222m+4In整理得f+y+x+_y33由题意得该圆的方程为/+丁=1,w =-2/2 = 02m+4=0所以2=0,解得m2+n2-I1=I3所以点C的坐标为(-2,0),所以2|从耳+|峭=|困+|3|,因此当点M、C、B在同一条直线上时，2M4+M8=MC+MB的值最小
17、，且为Ja+2)2+-Oy=M,故IMAl+5网最小为萼.故答案为：叵2(2022上海金山中学高二期末)10.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著圆锥曲线论中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B,动点尸满足Q4=lp6(其中；I是正常数，且ll),则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆现已知两定点M(T，O)、N(2,l),P是圆O:/+V=3上的动点，则用PMI+1PM的最小值为.【答案】亚【分析】在X轴上取S(T0),由J,MOPPQS可得IPSI=GlPMI,可得3PM+PVSV,利用两点间距离公式可求得结果.【详解】如图，在X轴上取点S(-3,0),IOM OH GOP=O
18、S=T/MOP=NPOS,.,MOPPQS,.P5=3P,3PM+PV=PS+PJVSJV(当且仅当P为SN与圆O交点时取等号),.(6P+PNh=5yV)=5(-3-2)2+(0-l)2=26.故答案为：/26.H.阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数M%o,%）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A、3间的距离为2,动点尸满足肺=忘，求IPA+1P域的最小值.【答案】36-242【分析】以经过A、8的直线为X轴，线段AB的垂直平分线为丁轴建立平面直角坐标系，设点P（,y）,根据已知条件可得出点尸的轨迹方程，利用代数法可得出pa2+pb2=2op
19、2+2,数形结合可求出|。耳的最小值，即可得解.【详解】以经过A、8的直线为X轴，线段AB的垂直平分线为丁轴建立平面直角坐标系，则A(T0)、8(1,0),设点Pay),PAI-J(x+1)2+y2L,因为=即,=也,整理可得x+y-6x+1=0,PBJ(I)2+y2即(x-3)2+y2=8,所以点尸的轨迹是以C(3,0)为圆心，2忘为半径的圆,则IPAI2+P82=(+l)2+y2+(T)2+y2=2(2+y2)+2=2Of+2,当点尸为线段OC与圆C的交点时，|oH取得最小值，所以，(P2+ra2)=2(3-22)2+2=36-242.（2022.江苏省江阴高级中学高三开学考试）12.希腊
20、著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点AB的距离之比为定值1(Ih1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系入5中，A(-2,l),B(-2),点产是满足2=g的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为;若点Q为抛物线V=4x上的动点，。在轴上的射影为“，则gPB+PQ卜IQM的最小值为.【答案】(x+2)2+=4;o-I#-1+71().【分析】设点尸坐标，根据题意写出关于X与y的关系式化简即可；由IRAI=gM,QH=QF-lt代入gPB+PQ+0H中，即可取出最小值.【详解】设点P(X,y),=l,.“7(.y+2)2+(y-l)21PBJ+2)2+(y-4)22=(x+2)2+y2=4.抛物线的焦点为点尸,由题意知尸(LO),QH=QF-fIPAI=；,.旧IPM+PQ+Q=(PAPF-)min=F-=7(-2-)22-=io-lV/Zmin故答案为：+2p+y2=4;5A-l.
