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1、二、“手拉手”模型 四、平行线中点 六、半角模型专题05全等三角形七大模型专育考点速览一、K型（一线三垂直）模型三、倍长中线五、“雨伞”模型七、胖瘦模型J知识梳理一、K型（一线三垂直）模型AOE1两条手臂之间的距离=长手十短手，两条手臂之间的距离-长手一短手，即DE=AD+CE,即DE=AD-E,线三重直果中考考试中常见的模型，模型按照常规的方法需要找到对应三角形边角关系，进而得全等三角形，根据全等三角形再找所求的边角.但很多常见的线三重直模型可以先尝试找到“长手”和“短手”，根据模型快速解题.二、“手拉手”模型在中考考试中，很多学生遇到手拉手模型时，都无从下手.但其实只要找到相等的边或角,找
2、到全等三角形，进而找出对应边或角的关系即可.熟练掌握手拉手模型的学生，可以很快找到里面的全等三角形，解决小题就会很快.三、倍长中线E在中考考试中，儿何中的中点类问题是很复杂的一类题型，由于它涉及的辅助线类别多，同学们经常记不住到底用哪类辅助线因此往往在做题的时候浪费了大量的时间，请记住，实在不会做了想想倍长中线,四、平行线中点在中考考试中，平行线中点是一类特点非常鲜明的几何题，做这类题的关键就在于添加延长线，中考出题人非常喜欢出这类题，原因就是能够让懂模型的人快速找到答案.五、“雨伞”模型B在中考考试中，雨伞模型是一类特点非常鲜明的几何题,做这类题的关键就在于添加延长线,它与平行线中点模型并称
3、为中学阶段两大必延长的模型，只要看到这类模型，方法就很统一七、胖瘦模型在中考考试中，半角模型在选择题、填空题、解答题中经常出现，我们在处理这类问题时,关键在于找到半角和全角，运用口诀进行旋转，进行边角转化，就能很快地解决此类问题.需要评职的老师注意啦！1 .职称论文，国家级、省级正规期刊2 .课题，专著，专利，均可安排3 .优质课、微课等证书，网上可查4 .撰写毕业论文参赛论文微课视频制作5 .著作主编副主编，CIP可查微信V5731987003宋编辑可提前加上咨询备用全等三角形果中考必考内容，是解决有关线段、角等问题的一个出发点.胖瘦模型的特点很鲜明，但是很多学生没有进行总结，所以看到这种题
4、果没有方向的，如果惜这类问题的解决方法，你会发现要做出答案其实果很轻松的。考点精讲一、K型（一线三垂直）模型一填空题（共2小题）1.（2022春武昌区期中）如图，四边形ABCO中，NB=NC=90,点E是BC边上一点，AOE是等边三角形，若延1,BE=_2nrn_.CDmCE2n-m【分析】作NBAM=NCQN=30,交CB的延长线于点，交BC的延长线于点N,根据已知可得NM=NN=60,再利用等边三角形的性质可得N4EO=60,AE=DEt从而可得NMAE=NDEN,然后证明aAMEgEND,利用全等三角形的性质可得AM=EMME=DN,再根据己知设A8=,CD=w,从而在RtZXAMB和R
5、taDCN中，利用锐角三角函数的定义进行计算求出AM,BM,CN,DN的长，从而求出BE,CE的长，进行计算即可解答.【解答】解：如图：作/8AM=/COV=30,交CB的延长线于点，交BC的延长线于点YNABC=NoC8=90,.ABM=NDCN=W3,.NM=90-NBAM=60,NN=900-NCoN=60,NMAE+NAEM=180NM=120,AAEZ）是等边三角形，ZAED=60,AE=DE,NAEM+NOEN=1800-ZAFD=120,：ZMAE=ZDENtYNM=NN=60,：AAMEm4END(AAS),：AM=EN,ME=DN,.ABj,CDm，设AB=，CD=m,在Rt
6、ZXAMB中，BM=蛆=亚)tan6033AM=运sin60=F-2.AM=EN=-J3n,3在RtZXOCN中，CN=2一=*=亚小,tan6033DN=-=-=V3/W，sin60N332IME=DN=NMm,3；CE=EN-CV=-2311-返加33BE=EM-BM=l-43m-n,33CE_n3m_23n-V3m-2n-m%冬一而TBE=2m-nCE2n-m故答案为：生卫.2n-m【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.2.（2022春朝阳区校级期中）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣
7、.1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票.如图，在RtAABC中，NBAC=90,AC=3,A8=4.分别以A8,AC,BC为边向外作正方形A8WM正方形ACKL,正方形BCOE,并按如图所示作长方形HFPQ,延长BC交P。于G.则长方形CDPG的面积为12.【分析】如图，过点A作AAUBC于4,先根据面积法可得AV的长，证明AAAQgACGK（A4S）,可得CG=AA=2,最后根据长方形的面积公式可计算其答案.5JBC=5,9Sabc=AC=AAt22,34=y5AA,AA=丝5四边形ACKL是正方形，.AC=CK,NACK=90,ZACA,+ZKCG=ZACA,+ZCAA,=90o,：
8、.ZKCG=ZCAA在AA,C和aCGK中，NAAC=NCGK=90CG=5X卫=12.5故答案为：12.【点评】本题考查了勾股定理和三角形全等的性质和判定，正确作辅助线构建三角形全等是本题的关键.二.解答题（共6小题）3.（2021秋余干县校级期中）如图，在4ABC中，AB=AC,BC,AB边上的高A。，CE相交于点凡且AE=CE.（1）求证：AAEF边丛CEB：（2）若AF=12,求Cz）的长.【分析】(1)由ASA证明aAEgZCE8即可；(2)由全等三角形典型在和等腰三角形的性质即可得出答案.【解答】(1)证明：1ADJ_3C,.NB+NBAO=90,：CELAB,.ZB+ZBCE=9
9、0o,：NEAF=NECB,在AAE尸和aCE8中，rZAEF=ZBEC”或“V”或“=”其中一个符号填空，直接表示此时EN与GN的大小关系.如图3,若NBAC90,则EN=GN；如图4,若NBACV90,则EN=GN.【分析】(1)利用AAS证明得EP=AM；(2)作GHJ_PM于从由(1)同理得，ZXACMgZCAH(AAS),BMEAP(AAS),得AM=ERAM=GH,则七尸=6，再利用5证明七27g/6初得EN=GN；(3)由(2)同理可解决问题.【解答】解：(1)AE=N8M=90,ZBAM+ZEAP=ZBAM+ZMBA=90o,JNMBA=NEAP,又YAB=AE,ABMEAP(
10、AA5),：.EP=AM,故答案为：AM；(2)作GH_LPM于”，图2由(1)同理得，XACM9XCkH(AAS),AABMEAPCAAS),：.AM=EP,AM=GH,：.PE=GH,：NEPN=NNHG,NPNE=NHNG,：.AEPNGHN(AAS)f：EN=GN;(3)如图，故答案为：=,=.【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握一线三等角基本模型是解题的关键.5. (2021春禹州市期中)如图，在四边形ABCo中，ZABC=90o,AB=SfBC=I5,CD=17,AD=17底连接AC,BD.(1)证明NAa)是直角：(2)求对角线8。
11、的长.【分析】(1)在RtfiC中利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明ACD是直角三角形，即可解答；(2)过点。作。LBC,交BC的延长线于点E先证明一线三等角全等三角形4ABCZACED,从而可得AB=CE=8,OE=BC=15,然后在RtZ8fE中，利用勾股定理进行计算即可解答.【解答】(1)证明：VZABC=90o,AB=S,BC=15,AC=VaB2+BC2=782+152=17VCD=17,AD=17如,C2+CD2=172+172=578,AD2=(172)2=578,ac2+cd2=ad2,ZVlCO是直角三角形，NACo是直角；(2)解：过点。作OE_LBe交B
12、C的延长线于点E,.NOEC=90,：.ACDE+ADCE=W,* ZACD=90,ZDCE+ZCfi=90o,：.NACB=NCDE,* ：AC=CD1BCCfD(AAS)f,48=CE=8,DE=BC=15,1.BE=BC+CE=23,BD=7be2+de2=V232+i52=754，* 对角线8。的长为演.【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.6.(2021春丹阳市期中)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题:DCHC【模型呈现】1, BAO=90 ,作Bel.AC于点G过点。作。E_LAC于点
13、E.由l+N2=N2+ND=90,得NI=ND又NAcB=NAEO=90,可以推理得到AA8CgZfAE.进而得到AC=DEBC=AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)如图2,ZBAD=ZCAE=9Qo,AB=AD,AC=AE,连接8C,DE,且BC_LA/于点F,OE与直线A尸交于点G.求证：点G是OE的中点；【深入探究】(3)如图3,已知四边形ABCo和OEG尸为正方形，aAFD的面积为S,ZXOCE的面积为S2,则有Sl=S2(填“、=、)；(4)如图4,分别以aOCE的三条边为边，向外作正方形，连接AP、GK、BH.当43=4,OE=2,N8E
14、=45时，图中的三个阴影三角形的面积和为6；(5)如图5,点A、B、C、。、E都在同一条直线上，四边形A8K”、KCMG.DENM都是正方形,若该图形总面积是16,正方形KCMG的面积是4,则”KG的面积是2.【分析】(1)根据全等三角形的对应边相等，即可得出结论；(2)作。LA尸于M,EN上AF于N,由“K字”模型得aAB尸ZD4M,则EN=QM,再证明aOMGgZXENG(AAS),则DG=EG,即可得出结论；(3)由“K字”模型和(2)的结论以及三角形面积关系即可得出结论.(4)过点E作EM_LOC于点M,求出S2,由(3)中的结论可得出答案;(5)由(1)和(3)中的结论可得出答案.【
15、解答】(1)解：.8C_L4C,OEj_AG,NAC8=NOEA=90=ZBAD,Zl+Z2=Z2+ZD=90o,AZl=ZD,在AABC和中，rZACB=ZDEA Zl=ZD，AB=DAABCADAE(A4S),：.AC=DEfBC=AE,故答案为：。E；(2)证明：如图2,过。作。M_LA尸于例，过七作EML4产于M图2由“K字”模型得：XABF9XDAM(AAS),.AF=DM,同理：AF=EN,IEN=DM,：DM.LAF,EN-LAF,：.NGMD=NGNE=90,在一ADMG与AENG中，fZDGM=ZEGN CG=4,Co=8,：DG=CG=4,.*.S四边形OECF=SOCG=
16、-SOCD=4yJ3，2即当NEOF=60时，四边形OECF的面积还是一个定值4E;连接B。交AC于点M,分两种情况八点。在MA上时，如图4,四边形48CQ是菱形，.M=MC=4,ACBD,在RtZXABM中，由勾股定理得：A/B=i/AB2_HA2=g2_42=4V3,在RtZO8M中，由勾股定理得：OM=JoB2_股2=72_(45)2=1，：OC=OM+CM=1+4=5,过点0作OG4。交CD于点G,同得：AOCG都是等边三角形，：CG=OG=OC=5,ZOGF=ZGOC=GOo,：.ZOGF=ZOCE=60o,VZEOF=60,/COE=NGOF,0CE0GF(ASA)t：.CE=GF
17、=CG-CF=5-1=4；b、点。在MC上时，如图4-1,过点。作OGA。交Co于点G,同理得：OM=I,z!OCG都是等边三角形，XoCE出N)GFQAS2,：.CG=OG=OC=CM-0M=4-1=3,CE=GF=CG-CF=3-I=2；综上所述，CE的长为4或2,故答案为：4或2；(3)如图5,过点A作A及L08于点E,4尸_!_0。于点尸，则NAEC=NA/D=90,YNBOO=CX(为钝角)，ZCAD=180-,ZBOD+ZCAD=180,ZACO+ZD=360o-180=180,VZACE+ZACO=180,：ZACE=ZD,设BE=JG则OE=O3-3E=4x,在RtZXABE和
18、RtZXAOE中，由勾股定理得：AE1=AB-BE1=OA-OE1,即(I5)-X=I-(4-)2,解得：X=L2OE=4-X=工，2VOA=L：.OE=OA,AZOAE=30,Z40E=90-NO4E=60,04平分/8。,AEOB,AFLOD,：.AE=AFfZBOD=2ZAOE=2O0,ZEAF=ZCAD=60o，.NC4E=ND4P,ACEADF(ASA),CE=DF,同理：AOEAOF(ASA),：.OE=OF,：.OC+OD=OE-CE+OF+DF=2OE=L,OC=I-00=1-3=工，44故答案为：1.4ofd【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与
19、性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、矩形的性质以及菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型.8.（2022秋永年区期中）在AABC中，NAeB=90,AC=BCf直线MN经过点C,且AO_LMN于,BELMN于E,（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE;（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD-BE;（3）当直线MN绕点。旋转到图（3）的位置时，试问。E、AD.BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.【分析】（
20、1）由于aABC中，N4CB=90,AC=BC,直线MN经过点C,且LMN于D,BE工MN于E,由此即可证明然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）由于aABC中，NACB=90,AC=BC,直线MN经过点C,且LMN于。，BE上MN于E,由此仍然可以证明aAQCgZCE8,然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然AAQC且ZCE8,然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-AD.【解答】解：（1）：ZXABC中，ZACB=90,ZACD+ZBCE=90,又直线MN经过点C,且MN于O,BE上MN于E,ZADC=ZCEB=90ZACD+Z
21、DAC=90o,ZBCE=ZDACt在AADC和aCEB中，,ZADC=ZCEB=90o（已证）Ndac=Necb（已证），AC=BC（已知）Madsaceb（AAS）,：CD=BE,CE=AD,：.DE=CD+CE=AD+BE;(2)VABC,NACB=90,直线MN经过点C,且AO_LMN于。，BE上MN于E,ZADC=ZCEB=90o,ZACD+ZBCE=ZBCE+ZCBE=90o,而AC=BC.：.ADgACEB,：CD=BE,CE=AD,：.DE=CE-CD=AD-BE；(3)如图3,VABC,NAe8=90,直线MN经过点C,且4。_LMN于O,BE上MN于E,：.NADC=NCE
22、B=9。,ZACD+ZBCE=ZBCE+ZCBE=90,：NACO=NCBe,VAC=BC,AADgACEB,：.CD=BE1CE=AD,：.DE=CD-CE=BE-AD；DE、AD.BE之间的关系为。E=BE-AO.【点评】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高.二、“手拉手”模型一.解答题(共9小题)1. (2022春开福区校级期中)如图，在aABC和aAE/中，点E在BC边上,NC=NF,AC=AF,ZCAF=ZBAe,EF与AC交于点G.(1)求证：AE=ABi(2)若NB=62,ZC=24o,求NEAC的度数.【分析
23、】(1)根据等式的性质得NBAC=NEA凡再利用SAS证明ABACgAEir即可得出结论；(2)根据三角形内角和得NBAC=94,再由AB=AEf得NB=NAEB=62,NBAE=56,再利用三角形内角和定理即可求得答案.【解答】(1)证明：ZCAF=ZBAe,ZCAF+ZEAC=ZBAE+ZEAC,即ZBC=NEAF,在ABAC和产中，NC=NFAC=AF，Zbac=ZeafBACEAF(SA),：.AE=AB.(2)解：VZB=62o,ZC=24o,AZBAC=180-62-24=94,*：AS=AEfZNB=NAEB=Q,ZBE=560,/.ZEAC=ZBAc-ZBE=94o-56=38
24、.【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明朋C乌EA尸是解题的关键.2. (2021春铜梁区校级期中)己知，如图，在口ABCO中，点F是口ABCD内一点,A1BFfAB=BFf过点/作产EJ_AO,垂足为点E(1)如图1,若BF=3EF=6,求四边形ABFE的面积；(2)如图2,连接BE、CE,若BE=CE,求证：E+EF=BC.【分析】(1)根据已知可得aABF是等腰直角三角形，从而可得A/=EbF=65,然后在RtZAM中，利用勾股定理求出AE的长，最后根据四边形ABPE的面积=ZA8尸的面积+AE尸的面积，进行计算即可解答；(2)延长E/交BC于点G,根
25、据已知可得NAB尸=NAEF=90,从而可得A、B、F、E四点共圆，进而可得NBEF=NBA/=45,再利用平行四边形的性质可得AO=BGAB/CD,AD/BC,从而可得NEGC=NAE尸=90,进而利用等腰三角形的三线合一性质可证NBEF=NCED=45,然后根据四边形内角和，以及平行四边形邻角互补可证NB尸E=NDf最后证明ABPEgACDE即可解答.【解答】解：ZABF=90o,*：AB=BF,：AF=BF=6近,VF=3EF=6,EF=2,*：FELADi，NAE产=90,ae=AF2-EF2=(62)2-22=217*，四边形ABFE的面积=ZAB/的面积+AAM的面积=LAB*BF
26、+工AEEF22=66+A217222=18+217.四边形48尸E的面积为：18+27；JNBA尸=NA阳=45,VZABF=ZAEF=90o,/.AB、RE四点共圆,NBE/=NBA尸=45,四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AB/CD,AD/BC,/.ZEGC=ZAEF=90o,：BE=ECf.NBE尸=NCEG=45,VZDEF=90o,ZDEC=NDEF-NCEG=45,；/BEF=ZCED,YABCD,ZAD+ZD=180o,VZABF=ZAEF=90o,NBA。+NBFE=180,：ZBFE=NO,:2BFE9CDE(AAS),：EF=DE,.AE+EF=AE+DE=AD
27、,：.AE+EF=BC.【点评】本题考查了等腰直角三角形的，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.3.(2022春章丘区期中)感知：如图，aABC和aAEO都是等腰直角三角形，ZBAC=NOAE=90,点3在线段40上，点C在线段AE上，我们很容易得到BO=CE不需证明.探究：如图，将44EO绕点A逆时针旋转(0VV90),连结8。和CE,此时8。=CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由.应用：如图，当aAOE绕点A逆时针旋转，使得点。落在BC的延长线上，连结。E.NACE的度数为45度;线段BC、CD、CK之
28、间的数量关系是CE=BC+CD；若48=AC=E,CD=I,则线段OE的长为_7记_.图图图【分析】探究：利用SAS证明Aabozzxcae(SAS),得Bz)=Ce；应用：同理证明aACE丝ZABO,得NACE=N8=45；由全等三角形的性质得BD=CE即可：首先证明NBCE=NAC3+NACE=90,再利用勾股定理即可得出答案.【解答】解：探究：成立，证明如下：AABC和AAEO都是等腰直角三角形，：.AB=AC,AD=AEf将绕点A逆时针旋转(01）,连接BC以线段BC为边在第四象限内作等边ACBO,连接OA并延长交），轴于点E（1）求证：AOBC/AABD.（2）在点C的运动过程中，N
29、CAZ）的度数是否会变化？如果不变，请求出NCAD的度数;如果变化，请说明理由.（3）以4E,C为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标和Co的长度.【分析】（1）先根据等边三角形的性质得到NoBA=NC8Q=60,OB=AB,BC=BD,则N08C=NA8Q,然后根据“S4S”判定AOBCgAABO;（2）由AAOB是等边三角形知NBQA=/048=60,再由AOBCgAABO得到NBAO=ZBAO=60o,即可得到结论；（3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质得到NEAC=I20,进而得出以4,E,C为顶点的三角形是等腰三角形时，AE和AC是腰，最后根据RIZXAOE中，OA=I,ZOEA=30,求得AC=AE=2,据此得到OC=1+2=3,即可得到点。的位置，然后过点8作BHLr轴于点”，先利用含30角的直角三角形的三边关系求得8”的长，进而利用勾股定理求得8C的长，即可得到CO的长.【解答】（1）证明：ZQ4B和ABCO是等边三角形，：NOBA=NCBD=60,OB=AB,BC=BD,：.ZOBC=ZABD,在AOBC和aABO中，rOB=ABZobc=Zabd,BC=BDOCBD（SAS）;（2）解：点C在运动过程中，NCAo的度数不会变化，理由如下，A05是等边三角形，：.ZBOA=ZOAB=60o,YAOBC
