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1、圆锥曲线与光学性质训练题一、单选题1 .班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为5+（=其左、右焦点分别是F2,直线,与椭圆C切F.Q于点P,且IP用=5,过点P且与直线/垂直的直线机与椭圆长轴交于点Q,则岗=（）2 .抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.己知抛物线V=4x的焦点为尸，O为坐标原点，一束平行于X轴的光线4从点PWM（1)作直线/交X
2、轴于点M,0,交了轴于点N,则()x0A.C的渐近线方程为y=2B.NKAM=N月AMC.过点A作WL4M,垂足为“，则IazlwD.四边形AK性面积的最小值为46三、填空题8 .圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点.如图，从双曲线。的右焦点尸2发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点.已知入射光线6P的斜率为-2,且jP和反射光线上互相垂直(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为.9 .在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出22的光
3、线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有一椭圆C:+2=l(bO),从一ab个焦点发出的一条光线经椭圆C内壁上一点P反射经过另一个焦点尸2,若NzPK=60，且IP用=a,则椭圆C的离心率为.10 .抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面.该镜面圆形镜口的直径AB=4t镜深。=3.为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点。的距离应为.11 .已知椭圆E:，+，=l（a匕0）的左、右焦点分别为、F一过八的
4、直线与E交于点A、B,直线/为E在点A处的切线，点8关于/的对称点为M.由椭圆的光学性质知，尸1、A、M三点共线.若IABI=,pr=,则涌=12 .综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜.这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚，例如，某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示，其中，一个反射镜PaQ弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MQN弧所在的曲线为双曲线的一个分支，己知巴、K是双曲线的两个焦点，其中巴同时又是抛物线的焦点，。也是双曲线的左顶点.若在如图所示的坐标系下，弧所在的曲线方程为标准方程，试根据图示尺寸
5、（单位：Cm）,写出反射镜PaQ弧所在的抛物线方程为.四、双空题13 .抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线=9y上一点P作其切线交准线/于点M,PNU,垂足为N,抛物线的焦点为尸，射线P尸交/于点Q,若IMH=IMe.则ZW=,MN=.五、解答题14 .历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元前375年一公元前325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的
6、另一个焦点，其中法线/表示与椭圆。的切线垂直且过相应切点的直线，己知椭圆C的中心在坐标原点，焦点为6(,0),E(GO)(C0),若由K发出的光线经椭圆两次反射后回到经过的路程为8c.对于椭圆C上除顶点外的任意一点P,椭圆在点P处的切线为/,耳在/上的射影为，其中IoM=2.如图，过用作斜率为攵(。)的直线?与椭圆C相交于A,3两点(点A在4轴上方).点、M,N是椭圆上异于A,8的两点，MF2tN6分别平分NAA仍和NAN8,若，MF/外接圆的面积为券，求直线力的方程.O15 .欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点现有一椭圆C
7、J+g=l(4bO),长轴长为4,从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点尸反射之后恰好与X轴垂直，且(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知A为该椭圆的左顶点，若斜率为2且不经过点A的直线/与椭圆C交于M,N两点，记直线AM,AN的斜率分别为即攵2,且满足MK+3=2.证明：直线/过定点；若IoMl2+JONF=5,求女的值.16.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口R4C是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点E上,片门位于该椭圆的另一个焦点鸟上.椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意
8、一点尸处的切线与直线P、P6的夹角相等.己知BCLKB,垂足为小忻用=3m,I6段=4cm,以耳鸟所在直线为X轴，线段耳入的垂直平分线为3,轴，建立如图的平面直角坐标系.求截口8AC所在椭圆。的方程：(2)点尸为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点.是否存在?，使得尸到鸟和尸到直线工=m的距离之比为定值，如果存在，求出的机值，如果不存在，请说明理由；若NRPK的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为h直线尸耳、P6的斜kk率分别为占，J请问厂+厂是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理2Kl由.参考答案:1. D【分析】先求得I尸61=5,然后利用角平分线定理求得正确答案.【
9、详解】椭圆工+亡=1对应的=4,=8,1612所以忸闾二2。一|尸制=8-5=3,依题意可知PQ是NKP6的角平分线，根据角平分线定理得照=偿(=.lI啊3故选：D2. B【分析】根据条件设出直线AB的方程为X=Cy+1,联立直线和抛物线方程并消元，得到y+%=4r,Xy2=,有直线间的距离=1乂-乃1，结合条件近一步计算即可.【详解】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F(LO),设直线A8的方程为x=ty+f将直线AB的方程代入y2=4x中，得丁-4。-4=0,所以y+%=4f,yly2=-4,直线4与6间的距离d=Iyl-=J(y+/2-4y%=Jl6/2+16N4,当，=0时
10、，d取最小值4,故选：B.3. A【分析】对于A,利用4X轴可得A点纵坐标,进而求得A(U),从而求得直线AB的方程,联立抛物线方程，由韦达定理可求得乂必=-；对于B,结合A中结论易得必=-5,从而求得再由两点距离公式即可求得4Io4囱*；2S对于C,先求4P=77=48,得到NA8P=N4P8,再由平行线内错角相等得到NPBQ=IoNAPB,从而可知PB平分NA8。；对于D,联立方程求得C（-；），由纵坐标相等可知C,B,。三点共线.【详解】对于A,设抛物线的焦点为F,则尸（、0）,因为P（M1且4X轴，所以A的纵坐标为y=l,代入抛物线ry=得X=,故A（1,1）,_I-Ofn_41故直线
11、A/（即直线A8）为y=-J=51”一Zj二3-3,44Iy三-X3联立33,消去X,yy=故乂=7，故A错误;,444y=对于B,又丁=1,故必=-?，故-J，411。47+ ,4,故B正确;16对于C,因为IAPI=启-1=3=A8,故铲8为等腰三角形，故NABP=NAP8,Io16而“2，故NPBQ=NAP8,即NABP=NP8Q,故PB平分NA8Q,故C正确；1y=%=-z、对于D,易得直线Ao为产羽联立J，解得：，故一丁一4故%=%，所以C，B,。三点共线，故D正确.故选：A.【分析】结合椭圆的定义以及椭圆的光学性质求得正确答案.【详解】依题意2=4m=2;2c=2,c=1,当小球从
12、A点出发，经过左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(.-c)=2,当小球从A点出发，经过右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(o+c)=6,当小球从A点出发，经过非左右顶点的位置，反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a=8.故选：ACD5.ACD【分析】求出双曲线渐近线方程，可判断A选项：利用勾股定理以及双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的定义可判断C选项；利用角平分线定理结合双曲线的定义可判断D选项.【详解】在双曲线中，=4,b=3,则e=5,故月(一5,0)、舄(5,0),169设IaJl=，IPKl=叫对于A选项，因为双曲线1一=1的渐近线方程为1694当
13、点P在第一象限内运动时，随着凡的增大，射线慢慢接近于直线43此时OvA一，43同理可知当点P在第四象限内运动时，当点尸为双曲线的右顶点时，k=0,综上所述，阂0,A对；对于B选项，当?_L时，u-v=2a=M2+v2=(w-v)+2wv=64+2mv=102,所以P6P/=W=I8,B错；对于C选项，=(7+5)2+52=13,故过点Q(7,5)时，光由马到。再到Q所经过的路程为I回+Pa=I尸耳|-2+忸2|=|64-8=5,C对；对于D选项，若Ta0),忻7=6,玛刀=4,SPFTIP用附卜出4TPTsinZfJTP因为l=；=-J,d呻-PF2PTsinZF2PT-2TPTsnZF2TP
14、ZFiPT=ZF2PT,ZFxTP+ZFJP=,所以幽一地一g二3P周F2T42,即1*秒=彳，解得IP闾=16,D对P22故选：ACD.【点睛】关键点点睛：掌握双曲线的定义及理解双曲线的下光学性质是解决本题的关键.6. BCD【分析】分别求出尸、。的坐标，利用焦点弦公式求出弦长可判断选项A；利用角平分线的性质求点M的坐标，判断选项B；联立方程组求点。的坐标，可判断选项B；求出抛物线在P处的切线方程及其斜率，再求出切线与直线4及直线尸尸所成角的正切值，可判断选项D.【详解】对于选项A、B：若4的方程为y=2,贝p(,2又f(2,0),A=,4直线P尸的斜率193,直线尸尸的方程为：y=-(x-
15、2)f223y2=Sx联立，4C，得2f-17x+8=0,y=-(x-2)x=,X2=8,.1.Q(8,-8),IPQ=x+x2+4=-所以A选项错误；由P(g,2),(2(8,-8),得直线PQ的方程为4x+3y-8=0,直线4的方程为尸-8,若NP0M=NMQN,则点M在NPQN的平分线上，点“到直线PQ和到直线4的距离相等,设M(,2),则有随箸=2-(-8),由0,解得=13,所以M(13,2),B选项正确；对于选项C：抛物线Uy2=8x,焦点坐标(2,0),准线方程x=-2,即)M()2-y) = 16(y-必)，由 X ”2,得 Y%=T6,88又直线Po的斜率L=-,直线Po的方
16、程为：y=-%,直线NQ的方程为：y=y2,)1分别延长p。,M2交于点。，由必=9得X=号=4=-2,即点。横坐标为2所以点OOO在C的准线上，C选项正确;对于选项D：设抛物线在。处的切线方程为：y-y1=A-o),联立y2Sx.(yl2Y得好2-8)，+8,_妙：=0,y一y=Acw4由4=6442(8,-：)=0,解得k=一X.该切线与直线4所成角的正切值为.k二一二队设该切线与直线FP所成角为6,一_2一弁T687()；+ Ti U2+16)该切线与直线4所成角的正切值与该切线与直线尸P所成角的正切值相同,即抛物线C在点。处的切线分别与直线4、砂所成角相等，D选项正确.故选：BCD.7
17、. ABD【分析】对于A选项，求出双曲线的渐近线，故A正确；对于B选项，证明AM为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分NFJAFz,故B正确；对于C选项，延长耳”，与人用的延长线交于点E,则A”垂直平分耳七，即点”为耳E的中点.又。是耳巴的中点,求出=l,故C错误;对于D选项,利用基本不等式求出四边形A匕性面积的最小值为4正,故D正确.【详解】对于A选项，由已知可得=l,%=2,C的渐近线方程为y=2x,故A正确；对于B选项，由题意得，AM的直线方程为，-0=T”一工，所以%k07Xo至二y=%x-l,.士y=0x-l,%x一午AA/为双曲线的切线，由双曲线的光学性质可知，AM平分N
18、KAg，故B正确；对于C选项，延长耳，与AF?的延长线交于点E,则A垂直平分耳后，即点为KE的中点.又。是耳&的中点,OH=lE=l(Af-A)=l(A-A)=6r=l,故C错误;对于D选项，当且仅当IyOl=R,即y0=2时，等号成立.,四边形AlN鸟面积的最小值为4石，故D正确.故选：ABD.8.2x+y=0和2%-y=0【分析】根据斜率公式可得点尸错,将其代入双曲线方程中，结合结合。2=储+从，k=-,即可解方程求解.a【详解】设双曲线的方程为J-=1,设外线,几)，K(Fo),K(c,O),故kPF.=-=-2,kpF=；，由此而二含，=当，-X0-CIXo+c2P55所以嚼专,将其代
19、入双曲线方程中得襄普结合/=储+加，J,a2b2所以9/32公16=0,解得F=4或F=-S(舍去)，因此女=12,所以渐近线方程为：2x+y=0和2x-y=0.故答案为：2x+y=0和2x-y=。9.立4【分析】由椭圆的定义可得IP图=,桃中由余弦定理可得/=/，从而可得=/即可得e=立.4-1【详解】解：因为归用=：*由椭圆的定义可知归用=2所|巴=2=,又因为KP5=60,66=2c,在4FPF)中由余弦定理可得(2c)2=(|)2+审一2.6).受cos600,7整理得=77,Io所以e=也.4故答案为：立410.-3【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解.【详解】以。为坐标原点，以
20、所在直线为X轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A点坐标为A(3,2),设宜万平面截该镜面所得的抛物线方程为y2=2px(p0),代入A(3,2),得4=6p,p=g,小灯泡应置于焦点处，故其距离镜面顶点。的距离应为=故答案为：；11.-/0.254【分析】作出图形，由题意可得出IAMl=IAB=,利用椭圆的定义结合已知条件可求出M制、I明I的值,即可得解.【详解】如下图所示:因为点8关于/的对称点为M,则lAMI=IAB因为IA用+A+忸6=(M+A图)+(忸用+*)=4,且IM=%所以，|A|+忸制=3,所以，S=iJ=-rT=p1 111IMFllA8+A娟a+3a-6用7可得忸”|=:，
21、则IMI=3a-1附=*,所以，此l=2-明可,故耨=E=I故答案为：.412. =920(x+88)【详解】由题意知：连接耳,鸟的直线为X轴，线段耳鸟的中点为原点.对于抛物线，有=176+54=230,所以，p=460,2p=920.因为双曲线的实轴长为24=176=a=88因为抛物线的顶点横坐标是-88.所以，所求抛物线的方程为V=920*+88).13. 30of33O【分析】根据题意，由抛物线的光学性质即可得到NMPN,再结合抛物线的性质即可得到IPNI,从而得到结果.【详解】由抛物线的光学性质知PM平分NQPN,又/MPF=NMQF,所以MQF+ANPF=3MPN=90o,所以NfP
22、N=3O0,由IP尸I=IPNlnliPMN三PMF,ZMFP=/MNP=IjMpl=IMQl得|丹=IPFl,设准线交X轴于点七，则JQESjQV,=-=-,且IE/I=；,所以PN=9t所以IMM=IPMTan3(=9x=35.故答案为：30。；33.2214. 工+二=1；86小5io(2)y=-.【分析】（I）利用入射光线和反射光线的关系联系椭圆的定义求解即可；（2）令嚏T=人则46二义用8,利用向量的坐标运算以及点AB在椭圆上即可得IUft2113_IMBlEBINBI4 =，再根据角平分线的关系得到匕U=丹，即可确定优与”在以485 -2x2IMAlIKAlINAl为定点的阿波罗尼
23、斯圆上，从而求得77二=挛，进而求得点8的坐标，即可求解.IIIBF2I9延长交PB于点Q,则在薛码娱中,M=*用=；（M+1PEI）=2,又因为由K发出的光线经椭圆两次反射后回到K经过的路程为4o=8c,所以C=y2,所以从=/一/=6,所以椭圆C的方程为f+!=loOIAFI令正前=Z则祇=;i7反且）w1,设Aa,凹）,8（电，必），则卜=呼+1）-代入椭圆方程可得，Iyl=Ty2V2(+l)-x2(-y2)2+=1，86,得(2+1)(54-3-衣)=0,-863即人又因为A/6，N6分别平分NAMB和NAN8,IMBlBINBl勿八IMAlF2AINAl所以M,%N在以为定点的阿波罗
24、尼斯圆上，01-Q设圆的半径为L因为“2=,所以=根据阿波罗尼斯圆的性质可知，直线AB过外接圆的圆心,则直线A8与.MV外接圆的一个交点为行，设另一个交点为T,则根据阿波罗尼斯圆的性质可知，BF2_BT_FJ+BF22r+BF2AATF2T-AF22r-AF2i而|叫=22-2,._J1_11_5-2.r,12y2.两询=而询=3（2&一在）一243二田2310.,-刈岳得%-亍，=-丁,=W=E所以由点斜式可得)，=当,即直线?的方程为y=且-典.22【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于根据角平分线的关系得到MBF,BINBl时二斤为二而，即可确定M,%N在以AB为定点的阿波罗尼斯圆上，
25、从而得!=M4祟，即可求出点5的坐标15.(1)-+/=14(一g,0);女=普或A=g1h11【分析】(1)利用椭圆的定义得出PK=再利用垂直关系和幺=V进行求解；(2)设直线/的方程为y=依+，联立直线与椭圆的方程，得到关于X的一元二次方程,写出两根之和与积，利用斜率公式及MK+的)=2得到关于上、机的关系式，再利用直线方程的点斜式证明直线过定点；借助上问中A、?的关系式，化简两根之和与积，利用IoMI2+ONf=5及点在椭圆上得到K+J=4,再进一步化简求解.【详解】(1)解：不妨设尸、6是椭圆的左焦点、右焦点,7则PFJX轴，又因为P/2a=4,所以PK=2-P尸=3，即=,所以从=1
26、,a2(2)证明：设直线/的方程为y=a+“, M(%,), N(X=，y = kx + m联立V ,得:+ y = 14(1 + 4k2 )x2 + Umx + 4(w2-1) = 0,m,8 加7则S二-询4(w2-1)1 + 42 k因为碎也)=2,三=pk+inkx2+m_(3+m)(x2+2)+(kx2+?)($+2)x1+2x2+2(x1+2)(x2+2)2Ax1x2+(2k+m)(xl+x2)+4_21x2+2(xl+2)4k即(2好-2)x12+Qk2+km-4)(xl+x2)+4mk-8=0,ml4(-1)(2A:2-2)8hnQk?+km4)1+421+4公即1042-9m
27、+2m2=0,即(24M(5Z2m)=0,则7=24或加=k,2当n=2A时，直线/:丁=奴+帆可化为Ly=A(x+2),即直线/过定点(-2,0)(与左焦点重合，舍)；当/二T时，直线/：y=区+6可化为/:)，=k(x+|),即直线/过定点(-|,0)；综上所述，直线/过定点(-|,0)；解：由得根=gk,则%+X,=.产/X/,=25%-4,2一1+4K1+4公且=642m2-16(1+42)(m2-1)=64k2(-Ar)2-16(1+4k2)(-)2-l0,22解得如q；因为IoMI2+ONf=5,所以x12+y12+x22+y22=5,即k+1-亨+/2+1一亨=5,即xl2+X2
28、2=4,即(X+x2)2-2xlx2=4,4004(50公8)(1+4/)_1(1+4A2)2(1+42)2二，BP68S25公+2=0,即(17/一2)(4A:2-1)=0,71则如唁或d所以且或左=.172【思路点睛】在处理直线与圆锥曲线的综合问题时，涉及直线过定点问题是常见题型，证明动直线/过定点问题的基本思路是：设动直线/的方程（斜率存在）为y=u+/”,由题设条件将机用人表示为m=h+，得An=c（x+t）,即直线过定点（一人）.16+=,(2)存在相=8是定值g【分析】(I)设所求椭圆方程为E+W=l,由椭圆的性质求得=典，可得椭ab2圆的方程；(2)存在，设椭圆上的点PaO,打)
29、,直接计算与工，即可探索出存在?；a由(1)得椭圆的方程为二+亡=,设椭圆上的点PaO,%),有人=/，&二34,169ro+2xOz证明椭圆+=1在点P(,y)处的切线方程为警+智=1,再由右光学性质得直线16121612PQ_L/,由此可求得定值.(1)设所求椭圆方程为=则 EM =他周2+忸用 2 = 42+32 = 5 ,由椭圆的性质：BFl-BF2=2af所以=警l=g(3+5)=4,b=ja2-C2=42-22=25/5，所以椭圆的方程为工+工=1.1612(2)由椭圆的方程为二+匕=1，则耳(一2,0),玛(2,0).存在直线A:=8,使得P到F2和P到直线X=，的距离之比为定值
30、.则IPF21=J(XO-2)2+y2,P到直线X=加的距离d=m-x|,(x0-2)2 +12-x02-(x0-8)2(加一“2所以，当机=8时，IP?!=?(定值).即存在m=8,使得P到乙和P到直线X=8的距离之比为定值y.设椭圆上的点P(XePyo),则K=/他二f，又椭圆二+=1在点P(Xipyo)处的切线方程为警+誓=1,161216122216 12证明如下：对于椭圆二+二=1,当yo,yv22v-v=0(-)所以椭圆土+匕=1在P(XIpyO)处的切线方程为-5,16124l2又由学+4=1,可以整理切线方程为：)f=-奈TdQ=一含CVF，16124)0即切线方程为4%(y-No)=-3%(x-%),BR3x0x+4y0y=4y02+3a-02=48,也即当+誓=1.IoIZ所以椭圆工+t=1在点P(,y)处的切线方程为誓+*=1,16121612同理可证：当yo,椭圆工+=1在点P(%,y0)处的切线方程为苦+智=1,16121612综述：椭圆K+f=1在点P(XO,%)处的切线方程为苦+察=1,16121612 z0 4%，又由光学性质可知：直线PQU,所以一芥/ = -1，则A=誓. q,zoo-2=4(0-2)所以在点P(X0,为)处的切线/的斜率为一葵，
