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1、圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型:（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（项，y）,。2，%），代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。22如：（1）靛+涛=1（。0。）与直线相交于八、B,设弦AB中点为M（XoNo）,XV（2）/一F=I（Q00）与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M（XO伙）则有ab（3）y2=2px（p0）与直线I相交于A、B设弦AB中点为M（XO伙）,则有2y0k=2pz即Vok=p.典型例题给定双曲线/一=1。过A（2,1）的直线与双曲线交于两点及舄，求线段
2、68的中点P的轨迹方程。（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点大、K构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。典型例题设P（x,y）为椭圆+方=1上任一点，耳（一。，），K（Go）为焦点,PFF?=a,ZPF2F1=o（1）求证离心率e =sin(z + )Sina+ sin （2）求IP卬3+P项3的最值。（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。典型例题抛物线方程y2=
3、p(+l)(pO),直线+y=t与X轴的交点在抛物线准线的右边。(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OALOB,求P关于t的函数f(t)的表达式。(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。(1),可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；
4、对于(2)首先要把ANAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题,函数思想”。最值问题的处理思路：1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围；2、数形结合，用化曲为直的转化思想；3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例题已知抛物线y2=2px(p0),过M(az0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,AB2p(1)求a的取值范围；(2)若线段AB的垂直平分线交X轴于点N,求aNAB面积的最大值。(5)求曲线的方程问题1.曲线的形状已知
5、这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在X轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。2.曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决)典型例题已知椭圆C的方程+4=1,试确定m的取值范围，使得对于直43线y=4x+m,椭圆C上有不同两点关于直线对称(7)两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用占&=止&=T来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题已知直线/的斜率为3且过点P(-2,0),抛物线Cy2=4(
6、x+1),直线/与抛物线C有两个不同的交点(如图)。（I）求的取值范围；（2）直线/的倾斜角。为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。四、解题的技巧方面：在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：（1）充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题设直线3x+4y+m=0与圆/+/+-2y=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若ORLOQ,求用
7、的值。（2）充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题已知中心在原点0,焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+l相交于P、Q两点，且OaLoQ,IPa=孚，求此椭圆方程。（3）充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两已知圆G：/+y2-4+2y=0和x2+y2-2-4=0的交点，且圆心在直线/：2x+4y-1=。上的圆的方程。（4）充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题.这也是我们常说的三角
8、代换法。X2V2典型例题P为椭圆三+=1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上ab端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。（5）线段长的几种简便计算方法充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程y=履+人代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2+bx+c=0的方程，方程的两根设为0,Xb，判别式为4,则A3=Jl+r凡T8=m卷,若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。例求直线X-+l=0被椭圆/+4/=16所截得的线段AB的长。结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线
9、的定义，可回避复杂运算。元2v2例F1K是椭圆会+=1的两个焦点，AB是经过的弦，若IABl=8,求f2a+f2b利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例点A（3,2）为定点，点F是抛物线V=4x的焦点，点P在抛物线），2=4%上移动，若IpAI+1P短取得最小值，求点P的坐标。圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备：1 .直线方程的形式(1)直线方程的形式有五种：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容k k夹角公式：tan=7I I Av Av 1倾斜角与斜率Z=tan,。0,1)点到直线的距离d=Ar+为：C2+b2(3)弦长公式直线y=丘+6上两
10、点4(不凹),8(%,七)间的距离：AB=1+2x1-x2=5(1+2)(1)2-4l2或IABI=l+p-y1-y2(4)两条直线的位置关系4_L4=K%2=Tk/1?=k=k?且bb?2、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)22标准方程：工+匕=1(m0,0且机mn距离式方程：J(X+cf+y2+J(X-C)2+式=2a参数方程：x=ccos,y=bsin(2)、双曲线的方程的形式有两种22标准方程：-=Kn0)mn距离式方程：IJ(X+c)2+y2_J(AC)2+/I=2a(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆:更；双曲线:也；抛物线：2Paa(4)、圆锥曲线
11、的定义你记清楚了吗?如：已知、鸟是椭圆?+?=1的两个焦点，平面内一个动点M满足MElT段=2则动点M的轨迹是()A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线(5)、焦点三角形面积公式:P在椭圆上时，Sfpf=2tan-nP在双曲线上时，S.ff=b2t-小勺rr22(其中 NFiPF1 =8,cos0 =,两%二 西Il隹IcOSe )jPF1I2+IPF212-4c2IPF1I-IPF2I(6)、记住焦半径公式:(1)椭圆焦点祗轴上时为4%;焦点在y轴上时为Qe%，可简记为“左加右减，上加下减”。(2)双曲线焦点在X轴上时为e|/|。(3)抛物线焦点祗轴上时为I石I+多焦点在y
12、轴上时为IMl吟(7)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？椭圆：b2+c2=a2双曲线：a2+b2=c2第二、方法储备1、点差法(中点弦问题)具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(X1,y),(2,y2,),代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。22设Aa,必)、(x2,2),为椭圆7+y=1的弦AB中点则有2222/221/22、生+竺=1,工+红=1；两式相减得+8二山=。434343H-%Xx+_(y-乃Xy+乃)3nA-o=&八8二43AB劭2、联立消元法：求弦长：设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方
13、程，使用判别式A0,以及根与系数的关系，代入弦长公式。两交点问题：设曲线上的两点AaM）,5*2，%），将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为V=丘+人，就意味着k存在。例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4/+5V=80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；（2）若角A为90。，AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.分析
14、：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为9（）。可得出ABAC,从而得52+必为一14（必+%）+16=0,然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程;解：（1）设B（何必），C（Z,%）,BC中点为（Xy）,F0）则有2222二+二=1,9+&=120162016两式作差有区+以）572）+（-力）（%+%）=0+=0（I）201654F（2,0）为三角形重心，所以由三=2,得=3,由M+4=o得No=_2,代入（1）得k=S直线BC的方程为6x-5y-28=02)由ABJ_AC得XlX2+必必一14(必+y2)16=0
15、(2)设直线BC方程为y=kx+d代入4/+5/=8(),得(4+5k2)x2+10Mx+5b2-80=0-IOkb_5b2-80代入(2)式得9b32b16AiZjZH_p.Ij45P=0斛得力=4（舍）或。=-y+直线过定点（0,-3,设D（x,y）,贝=,BP9y29x2-32y-16=0所以所求点D的轨迹方程是/+(卜豹=(争2(4)。3、设而不求法、/例2、如图，已知梯形ABCD中网=2卬|,点E分有向线段起所支刁成的比为人双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当j4j厂时，求双曲线离心率e的取值范围。分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力
16、和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系Qy,如22图，若设呜。代入XW=1,求得=,进而求得冷再代入X2V27_$=1,建立目标函数/31,c,4)=0,整理/(e,t)=O,此运算量可见是难上加难.我们对力可采取设而不求的解题策略，建立目标函数/(6Z9C,)=O,整理“)=0,化繁为简.解法一：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为X轴，建立直角坐标系My,则CD，)，轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于.y轴对称依题意，记A(i,O),C,E(x0,y0),其中CTA例为双Ar-Lr曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得一J印)设
17、双曲线的方程为W-4=1,则离心率ab由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得aCLh33-i -e2+2 4解得7i所以双曲线的离心率的取值范围为PL师4、判别式法1=14b294lk+l)(4+1九由式得2e1124，将式代入式，整理得-(4-42)=1+22,故=177723233由题设5XW得，3-77i4解得7io所以双曲线的离心率的取值范围为断,加分析：考虑恒矶恒。为焦半径,可用焦半径公式，A44C用EC的横坐标表示，回避的计算，达到设而不求的解题策略.解法二：建系同解法一，A=-(+%)j4C=+%,一(2)c,又四二上 1 + 22(2 + 1) , AC
18、1 + A代入整理有一品由题设泊G得,例3已知双曲线c-1=1,直线/过点a(Io),斜率为3当OZ1时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线/的距离为我，试求2的值及此时点B的坐标。分析L解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手,对照草图，不难想到：过点B作与/平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式=().由此出发，可设计如下解题思路：I:y=Zs(x-2)(0A:1)直线在/的上方且到直线/的距离为2：y=kx+42k2+2-区把直线的方程代入双曲线方程，消去y,令判别式A=O解得
19、人的值解题过程略.分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线/的距离为行”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:问题IAx-2+x2-2关于X的方程=JF+i(OVit1)有唯懈转化为元二次方程根的问题求解简解：设点Ma77)为双曲线C上支上任一点，则点M到直线/的距离为:kx-2+2-2Ar1=1=2(0A:1)(*)yk2+于是，问题即可转化为如上关于X的方程.由于0Z忖履,从而有kx-2+x2-2Z=-kx+2+x241k.于是关于X的方程(*)kx+2+x-2=2(k+1)(2+x2)2=2(/+1)-以+履)2,1丁2(&
20、-+1)-yf,k+kxOOm2_卜2+202伏2+1)-2)r+(2(A2+1)-向1-2=0,2(2+l)-2Ar+x0.由Ovkvl可知:方程._加2+232伏2+1)一屈%+(向7石一岳j2=0的二根同正，故J2(k2+1)一直攵+人。恒成立,于是(*)等价于(k2-*+232(公+1)_岳卜+口2街+1)血/-2=0.由如上关于X的方程有唯一解，得其判别式A=。，就可解得k=*点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.例4已知椭圆C:炉+2)/=8和点P(4,1),过P作直线交椭圆于A、B两点,在线段AB上取点Q,使黑=一等，求动点Q的轨迹所
21、在曲线的方程.rDQb分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数,然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.由于点QEy)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率Z作为参数，如何将Ky与攵联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：普=-震来转化,由A、B、P、Q四点共线，不难得到idQBX4(Xa-2竽,要建立X与2的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程,8-(L)利用韦达定理即可.通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题
22、，但对于如何解决本利用点Q满足直线AB的方程：y=k(-4)+l,消去参数A点Q的轨迹方程在得到=(k)之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于XJ的方程(不含外，则可由y=伙X4)+1解得Z=上，直接代入X=1)x-4即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设Aa,m),5(%),Q(x,y),则由竺=一强可得：匕l=l,PBQBx2-4x2-x解之得：z4(-ia-2)-2aix2(1)8-(i+x2)设直线AB的方程为：y=(x-4)l,代入椭圆C的方程，消去y得出关于X的一元二次方程：(2父+1*+4jt(l-4k)x+2(1-4k)2-8=0(2)4k(
23、4k-)x,+=,：.2公+12(1-4)2-8X,%2=221,代入(1),化简得：=.(3)与y=A(x-4)+1联立，消去Z得：(2x+y-4X%-4)=0.在(2)中，由A=-64&2+64Z+240,解得眄k丝呵,结合(3)可求44得16-2加t5.4K+2)3a55结合04bO)f 贝Jc = lXVAFFB=1BP(。+c)(4-c)=1=/-C?.a2=2故椭圆方程为1+V=(11)假设存在直线/交椭圆于P,Q两点，且恰为PQM的垂心，则设尸(七,),。(孙力)，-M(OJ)I(LO),故%=1,于是设直线/为y=x+m,由，?得，3f+4优+21一2=0-+2y2=2*：MP
24、FQ=O=X1(X2-I)+y2(y,-l)又M=%+m(i=1,2)得为(尤2-l)+(%2+M(X+6-1)=O即2xx2+(+x2)(m-l)+?/2-m=0由韦达定理得2.2_4m2fn=()33解得”号或后(舍)经检验姓一符合条件.点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零.例7、已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A(-2,0)、8(2,0)、C0,)三点.(I)求椭圆E的方程:(II)若点为椭圆E上不同于A、8的任意一点，F(T,0),(1,0),当XDFH内切圆的面积最大时，求AOb”内心的坐标;思维流程:由椭圆经过A、B、C三点设方
25、程为m+号2=得到犯的方程解出min(II)由Az况Hr内切圆面积最大转化为AD阳而积最大转化为点D的纵坐标的绝对值最大最大。为椭圆短轴端点DEH面积最大值为ShDFH =X 周长 * 切013得出0点坐标为解题过程：(I)设椭圆方程为侬2=1(m0,0),将A(-2,0)、8(2,0)、C(l,)代入椭圆的方程，得4m=LIl229解得加=椭圆E的方程j+3=l.11+-11=I43434(II)FH=2,设0/7/边上的高为SADW=gx2x=当点拉在椭圆的上顶点时，R最大为6，所以SW的最大值为设小。a/的内切圆的半径为H,因为AOA7/的周长为定值6.所以，SgFH=gx6所以R的最大
26、值为乎.所以内切圆圆心的坐标为(o,#)点石成金：S的内切圆二x的周长X的内切圆例8、已知定点C(T,0)及椭圆/+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于AB两点.(I)若线段AB中点的横坐标是-L求直线AB的方程；2(II)在X轴上是否存在点M,使苏丽为常数？若存在,求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.思维流程：(I)解：依题意，直线48的斜率存在，设直线的方程为y=A(x+l),将y=(xl)代入X2+3/=5,消去)，整理得W+l)x2+6k2x+32-5=0.设A(X,y1),B(X2,必)，=36k4-4(3k2+1)(3*2-5)0,则6k2x+x2=-72T-由线段A6中点的横
27、坐标是，得把三=_#_=，解得&=土且，符合题意。223K+123所以直线AB的方程为x-y3y+l=09或x+3y+i=0.(11)解：假设在工轴上存在点M(W,0),使加荻为常数.当直线AB与X轴不垂直时，由(I)知玉+9=-孝石，x1=.所以MA=(x-加)(&一切)+丁1%=(x-(尤2-M+M(x+l)(x2+1)=(k2+Y)xix2+(k2-m)(xi+x2)+k2+m2.将代入，整理得MA Mg =(6切 ?k- -5 + 而3k2+1(2n)(3A1)-2/7?f-,a4422cl6n14+m=m+2m3k2+i33(3/+1)注意到必须是与A无关的常数从而有6i=OiY，止
28、匕时必三g.当直线AB与X轴垂直时，此时点AB的坐标分别为卜1,专)、-1,-3)tn = -时，3亦有必话=土 9综上，在X轴上存在定点!，(),使苏.双为常数.I31914“2cQm)(3K+1)-2%,点石成金：赤砺=(J-n2=-+m23K+13F+1=tn2 + 2m 36 h +143(32 + l)例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1),平行于OM的直线/在y轴上的截距为m(m0),/交椭圆于A、B两个不同点。(I)求椭圆的方程；(II)求In的取值范围；(III)求证直线MA、MB与X轴始终围成一个等腰三角形.思维流程：解：(1)设椭
29、圆方程为=+与=1360)aba = 2bf 2 =则41解得b+F=1 g.椭圆方程为9+二(II),直线/平行于SL且在y轴上的截距为mXKom-./的方程为：y=-x+m2-1y=5r+z由x2+2hx2h2-4=0%y1. = (2m)2 -4(2m2 -4) 0, 解得一 2 0),由已知得：+c=3,cic=19a = 2, c = L b2 =a2 -c2 =3X v.椭圆的标准方程为1+： = 1.(II)设Aa,y),B(X2,y2)y=kx+mf联乂,Vy2+=1.43即3 + 4公一/0,得(3+4k2)x2+Smkx+4(m2-3)=O,则=64n22-16(3+4k2
30、)(m2-3)0,为+”一Smk3 + 4%24(m2-3)3(m2-4k2)3 + 423+4公Xyly2=(fcr1+ni)kx2+机)=k2xx2+rnk(xl+x2)+m2因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0)，L-1J7%_1.*.y1y2 + xix2 - 2(X +/) + 4 = 0.ADkBD-即至妥70.当町=-22时，/的方程y=以x-2),直线过点(2,0),与已知矛盾;当项=一竺时，/的方程为),=4V直线过定点(、.所以，直线/过定点，定点坐标为信，0).(7)点石成金：以相为直径的圆过椭圆。的右顶点OCA_LCB;例12、已知双曲线4=l(O/0)的左右两
31、个焦点分别为片、E,点P在双曲ah线右支上.(I)若当点P的坐标为(3纤苧时，的1而，求双曲线的方程；(II)若I的1=31而|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.思维流程：解：(I)(法一)由题意知，所=(H-耳,-净，而=(C一等厂争，.西_1花，.1.花=0,.(一缪)(一岑)+(_争2=0(1分)解得c2=25,.c=5由双曲线定义得：I所I-M1=2,2=j哼TTZf-#-用+身=(3)2-(-3)2=6,。=3,力=4，所求双曲线的方程为：片-q=1916(法二)因所，而，由斜率之积为-1,可得解.(II)设I所I=Tbl玩I=G,(法一)设P的坐标为人乂)，由
32、焦半径公式得2。2=a+exfi=a+exo,r-y=a-exo=exoa,/=3r,.a+exo=3(exo-a),:.xo=c.x0a,二a,.2dC,ce的最大值为2,无最小值.此时=2,2=五三=及匚=6,aaa.此时双曲线的渐进线方程为y=+3x(法二)设/月产&=夕，。(0,4(1)当6=乃时，,.,f+-2=2(?,且r=3弓，.20=4弓，2a=rlr2=2r2此时e=fs=竽=2.2aIr2(2)当6(0,乃)，由余弦定理得：(2c)2=r12+r22-2r2cos=IO2-6r22cos:.2cr210-6cosV10-6cose=-=2aIr22,8S。(-1,1),.e(1,2),综上，e的最大值为2,但e无最小值.
