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1、函数的单调性与最值镇教财产基固市激活思维1.(人A必一P79例3改)函数T(X)=+:()A.在(0,+8)上单调递增B.在(1,+8)上单调递增C.在(0,1)上单调递减D.在(-8,1)上单调递减22.(人A必一P81例5改)已知函数y=T7(x(2,6),则()A./W的最大值为2,最小值为0.4B./U)的最大值为2,没有最小值C.yu)没有最大值，最小值为0.4D.U)的最大值与最小值都没有3 .已知函数,v=(x)在0,+8)上是减函数，若M=/(J),N=J(a2-a+),则M,N的大小关系为.4 .(人A必一PlOO复习参考题4)已知函数/)=4?一去一8在5,20上具有单调性
2、，则实数k的取值范围为.5 .已知函数y=U)的定义域为(0,+),且7U)在其定义域上单调递减，那么不等式五f)42丫+3)的解集为.基础回归1 .函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数.y=U)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数XI,X2A:当Xl).那么就说函数段)在区间A上当汨42时，都有yu)v)那么就说函数7U)在区间A上是增函数是减函数图象描述自左向右看，图象是上升的自左向右看，图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y=U)在区间A上是增函数或是减函数，那么称A为单调区间.(3)复合函数的单调性对于函数)，=火)和=g(x),如果当x(,历时，(如)
3、，且“=g()在区间(,Z?)上和y=/()在区间(加，)上同时具有单调性，那么复合函数y=i(x)在区间(。，力)上具有单调性，并且具有这样的规律：同增异减.2 .若函数火X),g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上具有以下性质：(i)yu)与yu)+qc为常数)具有相同的单调性.(2)段)与4(x),当40时，具有相同的单调性；当40(或S-网)段2)0)例(组在D上单调递增；A(IX2守旦0(或一见一U2)0,得危)的定义域为xX4或xv2.设/=*2x-8,则y=lnf为增函数.要求函数/U)的增区间，即求函数/=$-2r-8的增区间(定义域内).因为函数r=x2-2x-8在(4,
4、+8)上单调递增，在(-8,一2)上单调递减，所以函数7(1)的增区间为(4,+).(2)函数v=L2+2x+1I的增区间是一1一01,+、反+8).【解析】作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是口一啦，1,l+2,+o).确定函数单调性的四种方法：定义法，导数法，图象法，性质法.Y变式(I)函数yu)=m言的增区间是(B)A.(-8,-1)B.(-U)C.(l,+8)D.(-8,-1),(1,+)【解析】当x0时,段)=一Ly,因为在(-1,0),(0,1)上单调递减，x+LX所以於)在(一1,1)上单调递增，即段)的增区间是(T,1)(2)函数,/U)=-2的减区间是L2_.【解析】
5、KV)=Y:作出yu)的大致图象如图所示，由图象知-j-t2x3x0,解得一3VV1或3,所以实a1-aa+3,数。的取值范围为(-3,-1)U(3,+).(2)已知函数fix) = ax- 1, x0成立，所以函数a0f2危)在R上单调递增，所以J6i1,解得0q?、一1124,(3)若函数LLC在(T，+8)上单调递增，则一的取值范围是一(一8,-3._-a-2+a-3,a3,.,3VO,【解析】y=1+7,由逊忌知c将x-a-2x-a-2+2=在R上单调递增，且12加一3)次一机)，则实数m的取值范围是(C)A.(oo,1)B.(1,+)C.(1,+)D.(-,1)【解析】因为“r)在R
6、上单调递增，y(2n-3)(-w),所以2m-3-mi解得机1,所以实数机的取值范围为(1,+8).x2+-2,x1,(2)已知函数./U)=2若/U)在(0,+8)上单调递增，则ax-a,xl,实数a的取值范围为(12.【解析】由题意得12+-20,则2,因为y=ax-a(Ql)是增函数，故al,所以。的取值范围为4lW2.目畅日求函数最值例3若函数式X)=而一3在x1,4上的最大值为M,最小值为?，则M一相的值是（A）11a1【解析】因为%）=5一丁在I。上是增函数,所以M=/（4）=2一m=诂312=U）=0,因此M一相=.X2,x1,（2）已知函数Kr）=l,IX，【解析】当XWl时，
7、%）min=0;当工1时，-）min=26-6,当且仅当X=加时取到最小值.因为26-6o.例的最大值为.-cx+1,xa,3. （2022.北京卷）设函数危）=，7、若加）存在最小值，则a的-2）,xa.一个取值可以为；。的最大值为.2.（1）不等式式3工一1）勺（x2）的解集为_；（2）若关于X的方程3+2一。）=2有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围为.参考答案函数的单调性与最值保教初二有基固市激活思维1.(人A必一P79例3改)函数段)=-+:(B)A.在(0,+8)上单调递增B.在(1,+8)上单调递增C.在(0,1)上单调递减D.在(一8,1)上单调递减22.(人A必一P81例
8、5改汜知函数&)=e(x(2,6),则(C)A/m)的最大值为2,最小值为0.4B.iU)的最大值为2,没有最小值c.yu)没有最大值，最小值为0.4D.1U)的最大值与最小值都没有3 .已知函数y=(x)在0,+8)上是减函数，若M=dN=f,a2-a+),则M,N的大小关系为MNN.3【解析】根据函数单调性的定义，只需比较;与/一。+1的大小即可.因为a?q+l=(-:+12*所以,与/+1都属于0,+).又因为y=()在0,+8)上是减函数，所以胃空2一+),即M2M4 .(人A必一PlOO复习参考题4)已知函数./U)=4f一履一8在5,20上具有单调性，则实数&的取值范围为(-8,4
9、01Un60,+8).【解析】函数./)的图象的对称轴是直线当於5或於20,即Z40或k2160时，7U)在5,20上是单调函数，所以实数k的取值范围为(-8,40U160,+8).5 .已知函数y=(x)的定义域为(0,+),且7U)在其定义域上单调递减，那么不等式而)+3)的解集为(-1,0)U(0,3).01产则0,得Jx2，解得一lx0或0x3.x22x+3,2o。/八Ixz-2-30,基础回归I.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y=U)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意的两个数XI,X2A:当Xf(X2),那么就说函数/U)在区间A上是减函数当加令2时，都有
10、儿TDVZte),那么就说函数7U)在区间A上是增函数图象描述VA与_1Iy!/()G)!:rO自左向右看XiXiX图象是_下降的OXiXiX自左向右看，图象是_上升的(2)单调区间的定义如果函数y=r)在区间A上是增函数或是减函数，那么称A为单调区间.(3)复合函数的单调性对于函数y=()和u=g(x),如果当X(，份时，w(w,)，且w=g(x)在区间(。，份上和)=_/()在区间(加，)上同时具有单调性，那么复合函数.v=(g(x)在区间3,b)上具有单调性，并且具有这样的规律：同增异减.2.若函数7U),g。)在区间3上具有单调性，则在区间B上具有以下性质：(DTU)与火)+C(C为常
11、数)具有相同的单调性.(2)Kr)与U),当心0时，具有相同的单调性；当0(或S及)伏R)-/(X2)O)钝/U)在D上单调递增；Xl2/U1)二段2)0(或但一火段2)0,得“X)的定义域为小4或x-2.设f=f-2x-8,则y=lnf为增函数.要求函数火X)的增区间，即求函数=/一级-8的增区间(定义域内).因为函数t=x1-2-S在(4,+8)上单调递增，在(-8,2)上单调递减，所以函数Ar)的增区间为(4,+8).(2)函数y=Lf+2x+ll的增区间是.1一、份，IL-1+历，+8).【解析】作出函数的图象如图所示，由图象知，其增区间是1一啦，1,l+2,+).(例K2)总结提炼A
12、确定函数单调性的四种方法：定义法，导数法，图象法，性质法.变式(1)函数=者的增区间是(B)A.(oo,1)B.(-1,DC.(l,+8)D.(-8,-1),(1,+)【解析】当XWO时,於)=,因为y=x+J在(1,0),(0,1)上单调递减，所以7U)在(一1,1)上单调递增，即yu)的增区间是(2)函数=k2k的减区间是一口,2.X22xx22【解析】於)=2,：:作出yu)的大致图象如图所示，由图象知xz+2x,x0,【解析】由已知可得*+3O,解得TVaV-I或公3,所以实.cr-aa+3,数。的取值范围为(-3,-1)U(3,+8).JV(2)已知函数fix)=2J1满足对TX1,
13、2R且X1X2,有x4,-2ax,1吗妾一成立,则实数。的取值范围是IL【解析】因为对T幻，A2R,且为#及，有曲呼20成立，所以函数X1X2a0,27U）在R上单调递增，所以JWl,解得OqWT-1WL24,(3)若函数尸LcL2在(T，+8)上单调递增，则。的取值范围是8,-3._-a2+a-3,a3,.,3(-w),所以2m-3-tn,解得相1,所以实数机的取值范围为(1,+8).r2+zfl-2,x1,(2)已知函数./U)=j2若7U)在(0,+8)上单调递增，则实数a的取值范围为(1.2.【解析】由题意得12+-20,则2,因为y=a-a(Ql)是增函数，故4l,所以。的取值范围为
14、4ll,【解析】当XWl时，t(x)min=O;当A1时，/(x)min=266,当且仅当X=#时取到最小值.因为2%6V0,所以U)min=2%-6.题组整瞿1.函数Kr)=一-+:在-2,一;上的最大值是(A)3-2A.8-3-BC.-2D.2【解析】因为函数尸一工和尸;在-2,一?上均为减函数，所以於)在1113一2,上是减函数，所以U)max=(-2)=2-x+1,x0,2(2022南通海安期末汜知函数/H(L阴q0,若H则广例的最大值为.x+1,x0,【解析】令心)=型)一，作出於)=7)2,3的图象和直线尸,如图所示.(第2题)由图知0fl,不妨设。幼,若求I。一切的最大值,则+l
15、=f,(b-l)2=t,所以a=t-,b=yt+,所以b=3+l-(f1)=/+3+2=+*当3即T时，取得最大值/即IaiI的最大值为.ax+1,xa,3. (2022北京卷)设函数段)=I(l2)i2.若存在最小值，则的一个取值可以为0(答案不唯一)；的最大值为1.1,x0,【解析】若。=0,则於)=375所以/U)min=0;若。0,则Ia2)。X0,当X0,则当xfia)|0,02,=/+1,当Q。时,yU)min=J/c、2所以一片+120或一/+12(a-2Y,G2,2)2,解得OWl.综上可得OWaWL总结提炼A利用单调性求最值：(1)直接单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性
16、求最值;(2)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.随堂内化1 .(2022武汉武昌模拟)下列函数中，定义域是R且为增函数的是(A)A.y=xsinxB.y=exC.y=lnxD.y=x【解析】对于A,函数y=x+sinx的定义域是R,且y=l+cosx0,所以)，是R上的增函数，满足题意；对于B,函数y=er=g)是R上的减函数，所以不满足题意；对于C,函数y=lnx的定义域是(0,+),所以不满足题意；X,x0,对于D,函数y=R=C在定义域R上不是单调函数，所以不满足题t-X,x一2,则实数。的取值范围是(C)XX2A.0B.0,+8)cy+8)D.昌,0
17、)【解析】因为IWXV2W3,所以由曲三妈一2,得於)一段2)一28X1尤2X2),则大汨)+11勺(及)+212.构造函数9。)=/)+2,由/Ul)+2x勺母2)+2X2,得g(xi)0时，显然函数g(x)=Or2+l+2x是1,3上的增函数，符合题意；当0时，要想函数g(x)=r2+l+2%是1,3上的增函数，只需3-,解得心T而d0,所以一卜。=常，x(n,川的最小值为0,则m的取值可以为（BCD）A.-2B.-1C.OD.12x3（X+1）3【解析】函数），=於）=干=JH=M_1在区间（一I,+8）上是减函数，且/（2）=0,所以=2.根据题意，当x（m,时，ymin=O,所以加的
18、取值范围是1,2）,故机可以取一1,0,1.4. （2022福建诊断性检测）写出一个同时具有下列性质的函数fix）=1一*（答案不唯一）.定义域为R；值域为（-8,1）;对任意汨，X2（0,+8）且国WX2,均於2-XX2【解析】U）=1一/,定义域为R.0,7U）=l-*vl,值域为（-8,I）,且是增函数，满足对任意Xi,x2（0,+8）且;nWx2,均有空空电0.x-Xi1.X+3,x2,5. （2022南京考前辅导）已知函数r）=）J,x2.（1）不等式式3xi）勺2）的解集为号&JW_；（2）若关于X的方程乂8+2一，=2有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围为（1,+8）.【解析】作出函数,信）的图象，如图所示，该函数为“不增”函数.（第5题）x23-1,35r-（1）由图可知LC解得V-令也，所以所求的解集为0,上有两个不相等的实数根，则有仁户4。，解得AL
