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1、局部思想与二项式定理在解决二项式定理的某些问题中,如果运用局部思想,抓住关键、重点突破,可避免将二项式展开,使问题迅速获解。 1. 求某项的系数例1. 的展开式中项的系数是_。解：考察展开式中含项分别与相乘后的系数,它们是和,所以,所求项的系数为：评：考虑局部,抓住相关项可迅速获解,若全部展开,则显得繁琐。例2. 求展开式中项的系数其中。分析1：由等比数列求和公式,得：原式所以只要求出展开式中的系数,即可得项的系数为。分析2：关注各二项式展开式中的系数,分别为,所以的系数为。例3. 求展开式中项的系数。解：先求展开式中含的项,得：再注意到展开式中含的项为：所以,含的项为,因此,项的系数是。 2
2、. 整除性问题例4. 今天是星期一,问天后是星期几？解：只要考虑除以7的余数。因为所以只要看展开式的最后一项即余数为4,所以天后是星期五。评：抓住余数,而能被7整除的项则不予考虑。 3. 证明不等式例5. 求证：证明：当时,成立。当时,因为展开式中至少有3项,所以因此,原不等式成立。例6. 求精确到0.001的近似值。解：,只要取前3项即可,故 4. 证明恒等式例7. 求证：其中证明：考察等式因为等式两边展开式中含项的系数相等,而等式左边展开式中项的系数为等式右边展开式中项的系数为,所以原等式成立例8. 已知与的展开式中含项的系数相等,数m的最大值。解：因为展开式中含项的系数,展开式中含项的系数,所以,即因为,且m为n的减函数所以,当时,有3 / 3
