数理统计期末重点知识.docx

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1、数理统计期末点知识期末考试重点目录5.3 统计量及其分布15.4 三大抽样分布2内容概要26.1 点估计的几种方式66.2 6.2点估计的评价标准11内容概要117.1 假设检验的基本思想19内容概要19正态总体参数假设检验265.3统计量及其分布样本方差与样本标准差样本方差有两个，样本方差”2与样本无偏方差S21=-(X-X)2OEL实际中常用的是无偏样本方差52,这是因为：当。2为总体方差时，总有n k 1E( a)=O -E(S2)=。52的计算有如下三个公式可供选用：1 1b(乙X)2l1v_S2=乙(XX)2=乙X2/-=乙X-nx.n-1in-1inn-i在分组样本场合,样本方差的

2、近似计算公式为y白小=小NJXFnX1t=l尸11 .从指数总体exp(l0)中抽取了40个样品，试求X的渐进分布N6黑)一512 .设X,a是从均匀分布U(0,5)抽取的样本,试求样本均值X的渐进分布N-,一1251212/=1 - 0.841316= 0.9370,3 .设xy,X20是从二点分布b(l,p)抽取得样本,试求样本均值X的渐近线分布(5)P(X5)6二L-8(I.,*0,3308.5.4三大抽样分布内容概要1.三大抽样分布：产分步，F分布，t分布设Xl,X2,Xn和SNZ场是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，则此三个统计量的构造及其抽样分布人员下表所示统计量的构造；抽样分

3、布密度函数【期望1方差111V.Jl-J-J-V././.7inz2/22(mn-2)F二-*i2m:p(y)三(m)t2l(1m)AI-|(2)1:C+%+/)/：kee)”voh77-2;m(n-2)(-4)1. 2n222=/；p(y)=-(1+i)b/0(7l)_(/72)咚后定卷起林蓼破的置信昌荷与假设检验大多数将基于这三大抽样分布2. 一个重要的定理设X】,X2,Xn是来正态总体N(内。2)的的样本，其样本均值与样本方差分别为X=1寸X和52=4-Z(XCnn-XNr=l,c.、(n1)s2-*、则有(1)X与群相互独立；XM旦，2/)；(3)-X2(W-I).523. 一些重要推

4、论设X,X是来自正态总体N(也52)的样本，则有/=/%(-1),其中X为样本均值，为样本标准差.(2)设X,X是来自N0,52)的样本必J是来自M图52)的样本，且此SllIn22s5两样本相互独立，则有/二一一T尸(%-1,-Ds5,其中S2,S2分别是两个样本方差.若52=52,则Xy12F=S2.S2F(m-1,/7-1).X：y1.在总体M7.6,4)中抽取容量为n的样本，如果要求样本均值落在6,9.6)内的概率不小于0.95,则至少为多少？4一一解：样本均值门(7.6,-),、从而按题意可谨立而下不等式P(5.6X9.6)=;760.95,-V1n4y4n即2(底)-10.95,所

5、以中GM0.975,查表,(1.96);0.975,故1.96或n3.84,即样本量至少为4.2.设5,田是来自N(R,25)的样本，问麓多大时才能使得P(kRl0.95成立？25、解：样本均值行N(R,-),因而nP(XRK1)=PllI=l0.95,25，25；力所以(xn5)0.975,tn:51.96,这给出n96,04,即n至少为97时，上述概率不等式才成立.设X用,是来自MR,82)的样本,经计算X=9,$2=5.32,试求P(IX-RI0.6).Ix-Rl.-ynn(x-R)8vn解：因为=.=t(n-1)用“X)表示服从M15)的随机变si(n-I)Iy215仇D量的分布函数，

6、注意到r分布是对称的，故P(1X-R10.6)=P(#光R406)=27(1.0405)-1,统计软件可计算上式.譬如，使用MATLAB软件在命令行输入tcdf(1.0405,15)则给出0.8427,直接输入2*tcdf(1.0405z15)-l则给出0.6854.这里的tcdf(x,k)就是表示自由度为可k的t分布在X处的分布函数，于是有P(Lr-Rl0,有P(lx1c)a,1、LL解：由于XN(R)白所以R(Ixkc)的值依赖于日，它是目的函数，记为g(l=l),十是ng(R)=P(1Xc)-P(-cx0,R0,故IC一R2c一R,从而叭.(-c-R)叭V;(C-R),这说明g(R)0,

7、有PaXACa.最大的常数为C=(7尻G+X4 .设元是来自MO#?)的样本，试求Y=T鼻的分布.,2IxrJ解:由条件小+“2Mo,20汽广2M22G*,故-X-X又CV(Xl+*2,XIr)=VMXl)-VM*2)=,且为+也与*L*2服从二元正态分布,一(x+XY(x+X)/-,12a)2故x+x与X-X独立，于是y=t2=-12Al,1).5 .设总体为N(U),即,X2为样本，试求常数k,使得_+GkJ=0.05.(X-X)2+(X+X)2I1212j一5十酮四甲工、上a2VX-XJ7(l,l),z,(-)2+(x+X)2121212由于Z的取值与(0,1),故由题目所给要求有0kI

8、d=(A)=P(Y)=0.05.6.设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为S2周,试求P(耳2).12Ss145219.92解不妨设正太总体的方差为。2,则有一u%2(14),X2(19),于是0202尸=4尸(1419).Sl利用统计软件计算可算出P(SS22)=P(F2)=0.0798.譬如,可使用MATLAB软件计算上式：在命令行输入l-fcdf(2,14,19)则给出0.0798,这里的fcdf(*2)就表示(0,七)自由度为的F分布在X处的分布函数。7.设(5切是来自正态分布N)的一个样本/与片分别是样本均值与样本方差。求k,使得p(XR+ks)

9、=0.95z,.Jzj(X-R)i解：在正态总体下，总有t(nT),所以0P(XR+ks)=P而一kRk4n=0.95,即ZVH*ftkn)=0.05,故如是自由度是n；的t分布t(nl)的0.05分倍数,S-1.7459即L=ho5m,如今OR,查表知to/(6)=1.7459,从而ft=-i=0.42M.6.1点估计的几种方式1.设总体密度函数如下A*是样本，试求未知参数的矩估计.2,(l)p(x;9)=(9-x),0XO;92(2)P(x;9)=(9+1)X9,0xO;(3)p(x;9)=9x9-,OxO;i1P,口Pm；，四)二CP9解知号体均值EMN以(9-M力=痣g一於dx=39,

10、即即9=3E(X),人故参数9的矩估计为9=3x.总体均值E(X)=jl(9+l)x9d=9+11-2E(X)八.r9T2,所以9吊两h,从而参数9的矩估计/.9A2(3)由E(X)=,xyoxrdx=q0可得9二,由此，参数9的矩估计,91先计算总体均值与方差E(x)=J+sx9evpIX上J+spe-9力=9+p9公=J+s9e-9力+90E(X2) r x2l-9+ “ 1 1dx = J (t + p)e9dtj+s /21 e-t)dt 0 9+J+s2Pre-9dt+J+sp2e-9dt=29+2p9+p2.Var(X)=E(X2)-(E(X)2=92由此可以推出9二、戊)，目=E

11、a)-*Varft),从而参数9,从的矩估计为2.设总体概率函数如下M,户是样本，试求未知参数得最大似然估计.E(1) X0;(2) ,(x;o)=OcOx-(0+i),XctcO已知为1解似然函数为力(o)=QS3(x,)i,其对数似然函数为mInL(0)=InO+(V行一1)(InxHblnx)21“将InLe)关于。求导并令其为0即得到似然方程61nL(0)n+(InXHbInx)-=029i2押八1E解之得。二(一工In%)na=由干牛(0)r.二啊a212024HWJ-4磔OIc所以或是。的最大似然估计.似然函数为L(O)=eco(%A(OH),其对数似然函数为IftInL(O)=n

12、ln+n01nc-(0+1)(liix+lux)1n解之可得o=0,00,c0已知；1I(2p(x-fi,i)=ee,xLI,90;U(3)p(%；e)二(左e)(CO)-i,0%o解：(1)样本Xl,x的似然函数为1.(9)=Cn9IW(XX)(e+l)/0,故9“是9的单调增函数,所以9的取值应尽可能大,但示性函数的存在决定了9的取值不能大于U),由此给出的9最大似然估计为Xa)此处的似然函数为(9)=(j)nexp,-9才(X-mj,日E(XJO)其对数似然函数为InL(R)=-win9-a由于所以，ln(9,从)是日的单调增函数,要使其最大，目的取值应该尽可能的大，由于限制-x(D,这

13、给出N的最大似然估计为d=xd)将In(9,四)关于9求导并令其为0得到关于9的似然方程(X一四)ainL(9,0),ik+-*K二90992(X一。)Vi解之得9二H-X-X似然函数为h%4X+1-由于L(9)=(9)F是关于9的单调递减函数，要使LO；29(2) px;9)=1,9-1/2X=9,9,9i*92.21解：(1)不难写出似然函数为(9)=1-9-IXI对数似然函数为InL(9)=川In29日9/、rJlnL(9)IxI将之关于9求导并令其为O得到似然方程一一一/9IXL解之可得9=1n而：02lnL(9)(m_2UI力392=(92-9T(Eixi)24(7故9是9的最大似然

14、估计(2)此处叫似然图奴内刃二72x()”)+)中的任意值.Or)2(I)2由条件，似然函数为1.(O)二1(2/a1*1)X2)要使L6)尽量大，首先示性函数应为1,这说明o；其次。鸣要尽量小，综上1X0,有人limP(19-918)=0,V9e,nn-8人则称9为参数9的相合估计.n相合性本质上就是按概率收敛，它是估计量的一个基本要求，即当样本量不断增大时,相合估计按概率收敛于未知参数；矩法估计一般都是相合估计；在很一般的条件下，最大似然估计也是相合估计.2 .无偏性设=St%,.,%)是9的一个估计,9的参数空间为若对V*,有加E(9)=9人则称9是9的无偏估计,否则称为有偏估计.假如对

15、任意的9e,有IimE(9)=9,则称9是9的渐近无偏估计.“f+8人人3 .有效性设9是92的两个无偏估计,如果对任意的96有人人Var(9)是未知参数，又X,x为取自该总体的样本/为样本1均值.(1)证明iv是参数6的无偏估计和相合估计；求6的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？2.设X,篇是来自密度函数为P36)=A-6,x6的样本，八(1)求6的最大似然估计6j它是否是相合估计？是否是无偏估计？(2)求6M%估计6,它是否是相合估计？是否是无偏估？2考虑6的形如分=xc的估计，求使得防均方误差达到最小的c,并将之与C(I)C6,6的均方误差进行比较.12解：(工)似然函数为(6

16、)=11e飞6=exp-r-l冷L-人显然乙6)在示性函数为1的条件下是6的严增函数，因此6的最大似然估计为6尸X.又X的密度函数为/X)=w6x6,故zr(+6)ne-mdt-E(6,)=卜xne-n(.v-6)dx-V+6,n故6不是6的无偏估计，但是6的渐近无偏估计.由于e(6)-65-+8)且八V,txzne-nx-6)dx-i(2267+62)ne-ntdx-+6E(62)=00+62,mn226+62-(A+6)2=0,Va1-)+A这说明6是6的相合估计.1由于E(X)=Jre-I也=6+1,这给出6=EX-1,所以6的矩估计为。=X-I.又E(X2)=J*8x2nen(x-6)

17、dx-62+26+2,所以VQT（八）=1,从而有0E(6)=(x)-1=6,vr(6)=+S)，Var（八）=00(这说明6既是6的无偏估计，也是相合估计.2人对形如。=XC的估计类,其均方误差为C人c)+(EX-C0)2=-1+(1C)2,“2MSE(O)=Mar/因而当C=时,MSf0)=-1达到最小，利用上述结果可以算出04m21MSE(0)二,MSE()-22n1故有(O)MSE(O)MSE(O)f所以在这三个估计中,0=X的均方误差最小.e12c(X)n3.设总体X(l),X,X是样本,0的矩估计和最大似然估计都是X,它也是0人的相合估计和无偏估计,试证明在均方误差准则下存在优于X

18、的估计(提示：考虑=or,找a均方误差最小者).证：由于总体XExp=(1/0),所以硝H,V07选前F.现考虑觌I0=aX估计类,其均方误差为42。2MSE(O)=Var(ax)+(E(aX)0)2=+(a1)2O2.将上式对“求导并令其为0,可以得到当a=一时,MSE()最小，且。+1002IcMSE(0)=_02=MSE(x).u0n+n这就证明了在均方误差准则下存在一个优于X的估计.这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.18.设箝,X2独立同分布，其共同的密度函数为3X2p(X;0)=,0X0.O3证明：T=2(/+1)和7二7max葭,x都是。的无偏估计；B22612(2)计算力和后

19、的均方误差并进行比较；证明：在均方误差意义下，在形如=CmaX&/?的估计中7最优.解：(1)先计算总体均值为E(X)=)%-潟=-0,3故国7)=-2氤=0,这说0034,3明八是的无偏估计.又总体分布函数为Rx;。)=,；和-(QlX,记Y=max(如，放,则密度函数为/(;0;=22;。)内;*M,0-vMSE(T2),因此在均方差意义下，T2优于Ti.对形如T=cmaxX,x的估计有E(T)学O。，虱T公二a。故c12CIc4319MSE(T)=E(T-)2=E(Ti)-2oE(T)+2=(c2r-c+l)O2,c+ccc4712/8因此当C=7.；=7时，上述均方误差最小，所以在均方

20、误差意义下，在形如2=Cmax,X2的估计中,78最优.873.设X,X”是来自二点分布b(l,M的一个样本，寻求P2的无偏估计；寻求夕(1-P)的无偏估计;证明I的无偏估计不存在.解：(I)X是P的最大似然估计，亍2是P2的最大似然估计,但不是P2的无偏估计,这是为E(Xi)-Var(x)+E(X)i-p(_p)+pi-p+，_PC丰_nX由此可见p2=-X式都不能使上述方程在OP1上试成立，这表明一的无偏估计不存在.P是p?的无偏估计.n+nV(I-X)=X-X2是0(1-M的最大似然估计,但不是夕(I-P)无偏估计，这是因为一.P(1一p)n一1n一一一、E(X一如=p-(+j)=-p(

21、l-合丰p(l-p),由此可见/(1一切是nnnPS-I)的一个无偏估计，(3)反证法，倘若g(x,L,x)是I的走偏估计，则有1叩yy.-K/n-Zryg(X-X)p：(Ip)u,nXl.X、Z.v+Ln-Z.八g(X,X)p(1-p)J-l=O上式是P的n+l次方程，它最多有+1个实根，而P可在(0,1)取无穷多个值，所以不论取什么形参数枢轴量置信区间Ro已知一号九-LMoJ)/yjn,X+X-uu。八-af20未知XRU=一三/1xs4n(-l)-lS/4，X+/S/赤1.a/2O2口已知X=-(xO2R)X5)i=l(x-R)-,(x-RY2H11文，=1l-a2)X2aN)从未知(n

22、1)Si小X-X/1、X=XSJ)02弋(-I)S-2-r,)r记H).参数枢轴量置信区间均值差口2Gr与2已知(RR、U=X、七一0202XmLN(0,1)0202XrJ*Y加Gf与?未知也Gi2=G22T=乙上雪一2一r(m+j2)Url7才-y干(勿+_2)口1t一s、niaf1(/77-1)S2(其中S=I-IjfG2=o已21知=2t(m+nT=xMzSJ-+,Nm-2)ny干方加+-2)V1Smn其中srJ9二堂士二笔m+n-2加,都很大时IS*S2X-y1曰/1+加一般场合U=三代4r(/)1252+=YmnS2S2Xy+/(/)d-+-r,27mn方差比al-a22%,口2已知

23、U-)2a2F二3一fF(m,n)3Ui乙0、一日丁3Cr-NM丁(k四)2U.JLi1一F(nt.n)F(m.w)Z(v,-N)2、fI乙(yN)Zi.WiJ1112之一未知52a2F=rt-F(zn1,n1)52a2ylqs2.X9X1.s2f,g(mLn1)$2F(m-1,nl)Jyt-af2ya/23.0.50,1.25,0.80,2.00是取自总体X的样本,已知Y=SX服从正态分布N(日，1).(1)求日的置信水平为95%的置信区间；(2)求X的数学期望的置信水平为95%的置信区间.解(1)将数据进行对数交换，得到V=InX的样本值为:-0.6931,0.2231,-0.2231,0

24、.6931.它可看作是来自正态分布M日,1)的样本，其样本均值为9=0,由于。=1已知,因此,目的置信水平为95%的置信区间为：ya2%”,)，+仞必环=F09800,0.9800.(2)由于EX=e内2是目的严增函数，利用的结果，可算得X的数学期望的置信水平为95%的置信区间为e，+os,e0.98+05=0.6188,43929.4.用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值亍=56.32,样本标准差s=0.22.(1)测量标准差。大小反映了测量仪表的精度，试求。的置信水平为0.95的置信区间；(2)求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间.解此匕处(-1)s2=8x0.222=0.38

25、72,查表知X2(8)=2.1797,X(8)=17.5345,ofln.的整数：S21注：这里So：查表得1.005(8)=3.3554,因而N的置信水平为0-99的置信区间为56.32-3.3554X0.22/%,9z56.32+3.3554X0.22/V9=56.0739,56.5661.7.1 假设检验的基本思想内容概要1 .假设参数空间=0的非空子集或有关参数e的命题，称为统计假设，简称假设。A原假设，根据需要而设立的假设，常记为H。；OeO。.A备择假设，在原假设被拒绝后而采用(接受)的假设，常记为Hi：OeOi.2 .检验对原假设出：0g.作出判断的法则称为检验法则，简称检验。检

26、验有两个结果：A“原假设不正确”，称为拒绝原假设，或称检验显著；A原假设正确”，称为接受原假设，或称检验不显著3 .检验问题A由原假”o和备择假设小组成的一个需要作判断的问题称为检验问题。参数检验问题，两个假设都是由有关参数的命题组成的检验问题；A非参数检验问题，两个假设都是由有关分布的命题组成的检验问题。常用的参数的假设检验问题有如下三种，其中0。是已知常数(1) HO也Ovs1：W。金vsHy。3 3),0c=povsH1：c=co其中与又称单侧检验问题，因为一个假设位于另一个假设的一侧，(3)称为双侧检验问题，因为备择假设位于原假设的两侧。4 .两类错误及其发生的错误X原假设Ho正确，但

27、被拒绝，这种判断错误称为第一类错误，其发生概率称为犯第一类错误的概率，或称拒真概率，常记为a；篝原假设从不真，但被接受，这种判断错误称为第二类错误，其发生概率称为犯第二类错误的概率，或称受伪概率，常记为P.5 .假设检验的基本步骤(1)建立假设.根据要求建立原建设“。和备择假设H/.选择检验统计量，给出拒绝域W的形式. 用于对原假设“。作出判断的统计量称为检验统计量； 使原假设被拒绝的样本观察值所在区域称为拒绝域，常用W表示； 一个拒绝域W唯一确定一个检验法则，反之，一个检验法则唯一确定一个拒绝域W.(3)选择显著性水平aSa2.6定.当=20时求检验犯两类错误的概率；(2)如果要使得检验犯第

28、二类错误的概率P2.61H)=尸_=1(2.68)=0.0037,。1也20也20J这是因为在“。成立下，XfQ,l20).而犯第二类错误的概率为(X-2)26-31P=V2.61/)=P=3=2.二(-1.79)=1一(1.79)=0.036710历3这是因为在为成立下，户M3,1/20)若使犯第二类错误的概率满足P=PcrV2.61-P2.33,因此，33,93即”最小应取34,才能使检验犯第二类错误的概率P-i-fc-J=1(0.6万).0S.s),a=P(x2.6I6)=/1Qlin1Tj检验犯第二类错误的概率P=P(XV2.6O=P二(一0.4；5).0(n.S)注：从这个例子可以看

29、出，要使检验犯两类错误的概率都趋于零，必须样本容量无限增大才行，这一结论在一般场合仍然成立。但是在实际中，样本容量很大往往不可行，故在般情况下不可能做到犯两类错误的概率都很小。2.设X小2,x10是来自0-1总体801)的样本，考虑如下检验问题：Ho：p=0.2vsHo：p=0.4取拒绝域T=元0.5,求该检验犯两类错误的概率。解：x,x.,x,801),则10%6(10,p),于是犯两类错误的概率分别为：a=P(%0.51/)=P(10%51H)=E(o)(+1Oul=0.0328,0*55k=5检验犯第二类错误的概率P=P(%O,51H)=P(10%0-=0.6331.1k55k=O讨论：

30、这里a=0。0328己经很小了，但是。=6331却很大，在样本容量，=10固定下，要使a变小，则。就会变大。为了进一步说明这一点，我们试着改变拒绝域为V=无0.6,IO-A则这时检验犯两类错误的概率分别为a=P(%0.61)=P(Io%61/7)=#k=6=0.0328-=0.0328-0.0264=0.0064,=P(%c,试求C使得检验的显著性水平为0.05,并求检验在第二类错误的概率。解：在Ho为真的条件下，AM6,1/4),因而由P(I%-6IcI)=0.05,nP=I-(2C)=O.025n(2C)=0.975n2c=1.96nc=0.98即当c=0.98时，检验的显著性水平为0.0

31、5检验在26.5处犯第二类错误的概率为P=P(IT610.981)=P(-2X1.48够3V5W:93,鳖有取就=&2.5求检验犯第一类错误的最大植a0若要使的该最大植a不超过005,nIlXn-Q%9解：均匀分布U(。,9)的最大次序统计量/=rorx因而检验犯第一n0,其他类错误的概率为a(9)=P(x2.5H)=i25nMdx=f25()oo9J9J它是9的严减函数，故其最大值在9=3处达到，即a=a(3)=若要使得a0O.O5,则要求nln(2.53)16.43,即n至少为17.5.设总体密度函数为79%0x0.为检验Ho：9=1VSHi：91,现观测1个样本，并取拒绝域为W=x05,

32、试求检验的势函数以及检验两类错误的概率。解：由定义，检验的势函数g6)是检验拒绝原假设的概率，为g(9)=pO(xO.5),o,5(l+9Mdr=0.59+i。O当9=1时，势函数就是检验犯第一类错误的概率，为a=05+=0.25;当9=0时，1减去势函数就是检验犯第二类错误的概率，它是9的函数，为0)=1-0.59+l,09O2i2已给出拒绝域W=cl其中乙、为样本的最大次序统计量。5,yJ求此检验的势函数；(2)若要求检验犯第一类错误的概率不超过0.05(即a0.05),如何确定C?(3)若在的要求下进一步要求检验0=4处犯第二类错误的概率不超过0.02(即P0c)=1-PCc)=1-P(

33、XcyxG,*(”)()I2,Q当0G,=C.WnJ可见，在0C时，势函数g)是。的严增函数在，。成立下，犯第一类错误的概率为)=8)，故由题意知，应有1g6)=1-0.05,0-.2ig，一二1一(2=0.05,即可实现，由此解出处达到最大值，故只要使g-V2C=-(0.95)”.譬如，在=5时,C=O.4873/=10时,c=0.49742在备择假设M成立下，犯第二类错误的概率为gV。)=1-gVo)=fc,o!A3c1i由题意知，要求在0=4处有P(O)Vo.02,即(至)=9.52ln3-ln2可见，若取=10即可使。=3处犯第二类错误达到概率不超过0.22。4如果样本量=20,则其拒绝域为I.W = 17 c ,（）其中C=（T灼2（；=q.498700Z如今/=0.48c,故不应拒绝原假设从：OV%002正态总体参数假设检验1.单个正态总体均值的假设检验检验法条件原假设H备择假设M检验统计量拒绝