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1、使用前馈控制对变截面杆中的正向传输弹性波进行抵消马磊赵翼飞邹魁袁庆磊摘要：本文介绍一种能够控制机械波的装置的分析与设计，其目的是阻止机械结构中一个方向的波向下游传播，而不膨响相反方向的波传播。装置采用前馈控制，设计基于杆中弹性拉伸波方程，首先提出一种理想的前馈设计，在没有噪音影响的情况下可以达到完美情况。但是这种装置的噪音特向很差，在存在测量噪声的情况下，装置的控制效果会更差。通过修改装置，在理论分析和计算机的模拟表明，修改后的装置噪音敏感性显著降低，即控制效果增强。关罐词：机械波；前馈控制；噪音Theforwardpropagationelasticwaveinthevariablesect
2、ionbariscancelledbythefeedforwardcontrolMALeiZHAOYifeiZOUKuiYUANQingleiAbstract：Thispaperpresentstheanalysisanddesignofadevicecapableofcontrollingmechanicalwaves.Thepurposeof(hedeviceistopreventthewaveinonedirectionofamechanicalstructurefrompropagatingdownstreainwithoutaffectingthewavepropagationin(
3、heoppositedirection.Thedeviceadoptsfeedforwardcontrol,andthedesignisbasedontheelasticstretchwaveequationin(herod.Firstly,anidealfeedforwarddesignisproposed,Whichcanachievetheperfectsituationwithoutnoiseinfluence.However,thenoiseofthisdeviceisverypoor,andthecontroleffectofthedevicewillbeworseinthepre
4、senceofmeasurementnoise.Bymodifyingthedevice,theoreticalanalysisandcomputersimulationshowthatthenoisesensitivityof(hemodifieddeviceissignificantlyreduced,thatis,thecontroleffectisenhanced.Keywords：mechanicalwave,feedtowardcontrol,noiseO引言在机械结构中，机械振动和意外产生的波导致的振动构成了一个重要的工程问题，如果结构主要由长杆组成，那么扰动就会通过这种类型杆件
5、从震源传播到结构的其他部分，即使震源处只产生一种类型的波，也会由于结构中的接缝、弯曲等处的波耦合而产生其他类型的二次波，例如拉伸波、扭转波和泻曲波。因此为了减少这些波对结构产生的影响，震源处产生的任何波都不应该被忽视，即在震源处和主体结构之间施加一种可以测量波的装置，使其发射与震源处相反方向的波，以此来减少杆中波振动的影响。文献123是早期关于阻尼振动前馈控制的研究，文献4是侧重于反馈控制的研究。在过去的研究中，文献5研究了等截面弹性杆但是不考虑杆中弥散效应的前馈控制。在此基础上，本文研究了连续性变截面弹性杆但不考虑杆中弥散效应的前馈控制设计，其目的是使装置激发出一种与杆中传播波相反的波,使其
6、互相抵消，从而不能继续向杆下游传播。在波传输方面，该装置具有类似于电二极管的特性，因此，称这种装置为“机械波二极管”。考虑弹性波在连续性变截面杆中的传播，如图1所示，在两个截面处安装应变片，并且在沿着杆的一端链接一对压电致动器。应用杆、传感器和制动器的这种配置称为前馈控制，即可以实现从传感器到致动器左侧方向的波被完全抵消，而向杆下游致动器右侧方向的波将不会受到干扰。因此，从传感器向致动器左侧方向的波被视为可以测量的干扰，通过前馈控制进行抑制。文献46中描述了一种类似于控制弯曲波的方法,虽然弯曲波的运动比文献5中的弹性波复杂，但是相比于文献5没有考虑测量噪声的影响，由于测量噪声的存在，实际控制效
7、果将存在巨大误差。本文在5的基础上，又将拉伸波在等截面杆传播的基础上变为连续性变化的变截面杆。本文将考虑两种类型的干扰波。第一类是偶然进入系统的孤立瞬态脉冲形干扰，第二类是具有给定统计特性的随机干扰，此类干扰的典型来源可能是工具的意外影响。1对前馈控制设计的建模及参数分析图1模型结构两个应变片的位置为A、B,E处为致动器左侧位置，测量的波分别为Na、Nb,控制器激发的波为上,生、加、左为时间坐标。1.1模型设计在一根变截面的线性弹性杆上，它的横截面积为A(X),杨氏模量为E(X),密度为外,轴向坐标为X,开始时杆为静止状态。使用应变片测量A、B处的应力，再通过计算得出位置E处的法向力大小，链接
8、A、B处的控制器激发出与E处大小相等，方向相反的应力波NC来抵消向下游的波，实现减振效果。其基本模型结构如图1所示。假设杆中纵向波长远大于杆的横向尺寸，意味着杆中的波传播符合维波动方程，即在致动器以外的杆里波速Q=(Ebpb2并且杆的特征阻抗为Zb=4(RPb)i2,其中4是杆横截面积，%是杨氏模量，Pb是杆密度。在致动器区域，杆的横截面积减少到两个致动器的横截面积之和为冬，致动器的杨氏模量为&，致动器的密度为P2,根据一维波动方程理论，在致动器区域内的波速度为Ca=(Eapl2,特征阻抗为ZaMa(EaPa)】/2,其中致动器区域的总横截面积为4，则杆和致动器的实际密度和杨氏模量分别为Pa、
9、Ea.Aq=A+?!?,Pa=(AlPb+A2P2)Ea=(Al%+46？)a为了使在E处进入致动器区域的的波不发生透射反射，首先考虑在致动器区域设置成恒阻抗，并且其大小等于致动器左侧杆的阻抗Ze。ZE=41&Pb)1/2,即ZE=Za，即通过控制必和4的大小来实现阻抗匹配。2前馈设计理论分析2.1理想情况下的前馈设计对于图1变截面杆，用应变片测量A、B两处应变为和小，则在A、B处的法向力为Ni4和Nb,杆在空载时，杆中的波符合下面的运动方程。由文献7：ds=dst其中：Q=%olS=41(3)。为系统矩阵，S为状态向量，N为法向力,y为粒子速度，坐标打；看成与波在弹性杆中的传播速度有关，Z(
10、)=4/C是杆在横截面处的特征阻抗。N(,t)为在f处的法向力。图2杆特征阻抗随坐标轴f变化，A、B和E是3处横截面状态向量S的傅里叶变换形式为ef,s)=虞S(f,t)eXP(T研)康因此可以将(1)表示为：Sd=iQs(4)若杆的两个位置处f和，的状态向量的傅里叶变换之间存在一个矩阵P，使得状态向量的傅里叶变换存在：5(f,)=P(ff,)S(,f)(5)则由(4)和(5)可知矩阵P满足：/火=iOP,P(,)=I(6)由文献可知P“if7(7)其中,和6都是讲(和3的实函数，并且矩阵P具有行列式值为1的性质。那么在位置E处和位置B处状态向量的傅里叶变化可由(5)分别表示为：E=PEAA，
11、=PBASA将(3)和(7)代入到(8)中，从而解得在位置A处的粒子速度的傅里叶变换为：%=KaBAaNQ/Bba(9)将变截面杆中的特征阻抗Zv)离散化为分段常数，如图3所示，则过渡矩阵P可以表示为乘积的形式：PBA=PmPmTPlPEA=PnPn-IPI图3变截面杆的分段特征阻抗离散化传递矩阵中的j代表特征阻抗为4的分段，在这个分段的传递时间为7)=另一5_1，由公式(6)(7)得出每个传递矩阵可以写为：cos(TjyiZjSin(a)Tj)Pi=(7z)三(7)s(Tjy)f=l,2,.,n(,12)依据此公式可将传递矩阵中的Pl至&全部得出，因此可将传递矩阵PEA视为常数代入下面的计算
12、之中。为了便于计算和仿真模拟，将A、B之间视为等截面但是不影响计算结果得准确性，当A、B之间为等截面时，其中间的传递矩阵即为一个已知矩阵。由公式(7)(12)可知，当A、B之间为恒阻抗ZO时有：p_aBAPba_COS(3784)iZosinTBA)l(BAIiYBABAl(io)5tn(T24)cosTBA).由此可以得到SBA=ZoSiZl(CoTBA)，a8A=C0S(37*84)位置E处的状态向量傅里叶变换为SE=PEAS则可写为：优片PeaW)由文献可知在杆中一点处的法向力以及正法向力和负法向力、粒子速度之间有如下关系：fG，8)=f()+flt()(15)V(,)=-yf1()+y
13、fli()(16)其中6为正向法向力，益为负向法向力。由(14)、(15)、(16)联立，可以解得在E处的正向法向力力()设为用()得：Ni()=/(pBA-iZEaBA)NA+iZENB(17)在公式(17)中，除传递矩阵PEA之外，其余均为己知量，由于波速在杆中传播只与杨氏模量和杆密度有关，并且传递矩阵PEA的大小只与波传播时间相关，通过(17)可以发现，Ps的大小决定凡(切的的幅值，而不影响波形的变化趋势，虽然Pea是由无数个传递矩阵的乘积得到，但是可以将其视为常数，为了便于观察波形的变化，设其为常数1。凡为进入消振系统的干扰波大小。则凡传播到J+4位置时的大小为：R1()=7凡何A其中
14、T()=ei2t(18)控制装置会激发出波凡:(3),其中一个正向波幅(),一个负向波竹(。且根据文献22结论可知N*)=R;()=c(s)Nc(s),且有：c()=j(l-e-i2ta)(19)控制装置最后在位置%+4处输出的波大小为：Nt()=N()+N()=c()Nc()+T()Ni()(20)在不考虑噪声的理想情况下，此时输出的波大小应为0,来达到完美消振，即凡()=0c()fic()+T()f)i()=O(21)由(21)可以解得，前馈控制装置激发的波大小为：Rc()=-T()Rt()c1()(22)将(17)代入(22)得最终前馈装置激发的波：Nc()=-TCT祟/神ZEaBA同+
15、%片/(23)邛BA此时，若控制器激发出&仙人在不考虑测量噪音的情况下，只要测量到A、B处应力时即可以完全抵消正向波的影响。2.2加入漏噪音影响的前馈控制设计为了能进一步分析，将上面推导的关系改写为离散时间的差分方程，例eT&Q用他=Nia-G)并且为了方便起见假设时间延迟分tm%都是采样间隔T的整数倍，并且可以把这些倍数标记为、Tm和，即=QT.这就意味着我们可以使用向后移位算子qT,即可以写成qNl(t)=Nl(t-aT)=Ni(t-ta),为了使分析更加真实，加入噪音后的信号可以表示为：NW=NA+W1(t)Ni(t)=NB(t)+W2(t)(24,25)其中WI和管是互相独立的测量噪声
16、序列。将公式(23)用他切切祟/神Z/B4回+%/中单独带有A、B两位置(26)处法向力的部分单独设置成一个公式。其余部分设置成控制程序。即令:(pBA-EaBA)A+EB=NO(三)并将(23)转化为时域算子：(27)其余部分设置成控制器激发程序为:(28)尸-L-7Pab-Q2进入系统有两种类型的干扰波NP，第一种是脉冲干扰，很少进入系统。第二种是稳定的静态干扰。为了对脉冲干扰进行随机建模，可以将其描述为线性系统的脉冲响应，根据文献如果干扰是脉冲干扰，可以对其进行建模为：(29)NPi等今()其中A是振幅，T是采样间隔，k是脉冲长度，8p是具有以下性质的独立随机变量序列:(1,概率P/2、
17、%(t)=(-l,概率p/2(30)(0,概率l-p,虽然公式(28)中的NP句有确定的表现形式，但是匹(t)导致脉冲信号到达时间是随机的，并且很明显为()的平均值是0,那么它的自协方差为：E匹%=；：；(31)随机信号匹()与白噪声序列有相同的一阶和二阶特性，所以在一阶和二阶矩阵上6p(t)具有和白噪声相同的统计特性。稳定的静态干扰建模为5一阶AR过程：一3。TNP=(32)在(32)中，u(t)是一个均值为零均方差为胫的白噪音序列，这种扰动波也是本文两种干扰中最常见的一种干扰。由文献可知测量噪声建模为一阶AR模型时可将其表述为：%=TM(33)这也表明频率带宽约为0.7/7Va必。详细说明
18、参数名称参数大小取样间隔T5s系统参数Q,2,8,200稳定干扰021000rad/s我100脉冲干扰A10k4噪音方差P104%O或者0.01表4仿真参数以上公式中引入了很多的参数，并且其大小均总结在表5中。在本文中这些参数用于进行数值计算和仿真模拟，为了清晰的表现前馈控制设计的减振效果，使用平稳干扰数据模拟了理想前馈控制设计的减振结果，在无噪音影响下，模拟结果如图5(a)所示，图中显示，在无噪音干扰时，使用前馈设计可以完全消除干扰。将公式(24)(25)带入到(23)中可得当存在测量噪声时，控制器实际激发出的波大小为呢二康WM)+%(岫()+W2(t)J(34)将上式同(23)对比，在有测
19、量噪声时激发的波大小可写为：Nnt)=F(qT)N。+F(q-1)W(t)(35)其中：Wm=0A-/ZEa8/匕m+iZW2(t)(36)MO为两个噪声源得组合效应。则存在测量噪声时，经控制器抵消后的实际输出波大小为：N；(t)=c(q-1)N;(t)+T(q-1)Ni(t)37)将(17)(18)(19)(35)代入(37)得结果：N；=：Cl+qV%)M(t)+、等卬czvl-q2aYJlJ2(l-q2a),(38)当加入测量噪音W时，测量噪音信号符合公式(33),由表4中得参数可知方差为Al=0.01,且公式(38)中传递矩阵匕E视为常数1,M(t)由公式(17)获得,其余均为己知量，
20、使用MATLAB来进行数据模拟，结果为图5(b)所示，黑色线条为未使用前馈控制是的输出波形，黄色线条为使用了前馈控制设计以后得实际输出波形，可以明显发现使用了前馈控制设计以后,输出波形比未使用时更加发散,这是由于前馈控制滤波程序RqT)(28)的极点位于单位圆上造成的。波分离滤波器的输出可以分为一个信息信号部分和一个噪音部分,信号部分通过前馈控制滤波器以后来抵消棒中传播的正向波,而噪音部分由于通过滤波器以后达到时间是随机过程，因此总的输出信号的方差会随时间线性增加并且无界。因此需要修改控制程序来改变这种状况。通过MATLAB的仿真模拟波形为：a没有测量噪音时b存在测量噪音时图5理想的前馈控制设
21、计2.3改进后的前馈控制图5(a)展示的是理想前馈控制在没有测量噪声时的幄，可以发现通过使用前馈设计可以完全消除干扰。图5(b)在有测量噪声时，使用理想前馈控制设计的Nnt)比未使用理想前馈控制的设计的N；m波形更加发散，这是由于前馈滤波器(28)的极点位于单位圆上，因为需要向原点移动极点来修改滤波器，使其逐渐稳定。从(38)式计算结果可以清晰看出，引起波形紊乱的原因是随机噪声在时间叠加下不断增大。此时对程序qT)进行改进，改为：%。附士费方(39)其中r(0,1)将原有控制程序由(28)改为(39),并将(39)代入(35)得到修改程序后的控制器实际激发出的波大小为：N片/WqTjNoOMq
22、T)“(40)由公式(20)可知当确定控制器激发的波的大小时，其与杆中的干扰波叠加得到最后实际输出为：Nnt)=c(qT)N式t)+T(q-1)Ni(t)(41)(17)(18)(19)(40)代入(41)解得：N；=+q2a)Ni(t)+磬W(O(42)c,l-rq2aY2(l-r2rA)pABz通过选择合理的参数r值，可以很明显的同时降低测量噪声和干扰波Nfm的影响，但是当测量噪声存在时，干扰波不会被完全抵消掉，可以通过选择适当的参数r从而得到输出波N；的最小方差Ey2(t).由于Nj(t)和W是互相独立的，则最后的输出方差可以写为：Ey2(t)=Ey2sigEy2w(t)(43)其中ys
23、ig和、w()分别是输出信号中的信息信号部分Ni和测量噪声W因此可以看出输出方差值取决于信息信号方差和噪音方差的和。由文献可知通过状态空间表达式来描述系统，当Nim为脉冲干扰时，状态空间表达式的信号部分为：(Xi(t+y)=F1X1(t)+G1p(t)1%小)=%)状态空间表达式的噪音部分可以表示为：fx2(t+T)=F2X2(O+G2e(t)lyw(t)=2(0Vsig(C)和、w()分别为信号输出部分和噪音输出部分，其中Hl和4皆为引起信号和噪音输出变化的代数方程，为公式(41)中分别对Njm和卬作用的方程部分，FI和Gl为信息信号部分在系统中的状态变化，同理尸2和%为噪音部分在系统中的状
24、态变化。其中信号部分的方差大小可以表示为：Ey2sig=H1PH(46)其中P是状态的协方差矩阵，由李雅普诺夫方程可以解得：P=FlPFf+E用(E)GiGf(47)并且E耳在公式(30)(31)中解得为p,参数大小总结在表4中。同理，噪音方差由以上方式进行计算。通过使用表4中的参数，将(43)中的输出方差作为参数r的函数来进行计算。对于脉冲干扰，计算结果如图6(a)中所示，并且将信号部分与噪音部分以及他们的和即输出方差一起显示为!的函数。图中显示当输出方差越来越大时，信号部分方差将会变得非常低,这是由于前馈控制设计将杆中的正向干扰波进行抵消，当r=l时，可以将干扰完全消除，但由于噪音方差很大
25、，所以总的输出方差也越来越大。由图中可以看出，当r=06125时，存在最小输出方差。以相同的方式计算出稳态扰动的函数图如图6(b)所示，图中显示方差曲线的变化不如脉冲干扰方差曲线变化的平稳，主要原因是因为稳态干扰信号的功率远高于脉冲干扰，因此需要更高的r值来减少输出方差。在本文案例中，当r=09593时，有最小输出方差值。a脉冲干扰b低频稳定干扰图6以参数r为函数的输出方差根据r值的变化，可以看出在r=0.6152时，有方差最小值。此时经过仿真模拟输出波形为下图，黑色曲线为在有测量噪声时未使用前馈控制设计的最终输出，黄色部分则为使用了理想前馈控制设计的最终输出，红色部分则为使用了修改后的理想前
26、馈控制设计在参数值r=0.6125时的最终输出。可以很明显的观察到改进后的前馈控制使输出波比未使用前馈控制时输出变小了，即实现了将杆中干扰波的大部分抵消。图7低频稳定干扰仿真模拟图3结论本文设计了一个类似于机械波二极管的装置,通过杆中弹性拉伸波的方程以及波在变截面杆中的传播进行推导。首先是在无噪音的理想情况下，装置将杆中不同方向传播的波分离开来，前馈部分激发出与正向波相反的波，与杆中正向波重构正向传播波，可以实现对杆中向下游传播的干扰波进行完全抵消。然而，在进一步的分析中表明，当存在测量噪音时，信号输出方差是随时间线性增加的，其原因是前馈滤波器的极点位于单位圆上，因此，从过通过移动极点来缓解噪
27、音带来的影响。为了进行方差分析，需要通过对杆中的干扰波以及测量噪声进行建模，然后进行分析和仿真,寻找到干扰信号和噪音信号的最小输出方差的和,来实现将干扰信号的影响大幅减弱，而噪音信号不会被大幅放大。要获得修改程序后的控制器，还需为信号模型选择一些参数,例如本文在脉冲干扰的情况下，其中一个参数bp(t)就是脉冲到达的概率，虽然不容易确定它的大小，但是可以通过该参数的变化来使(24)的极点从单位圆向原点移动。最后通过仿真模拟确定输出方差的最小值，此时的输出信号比未使用前馈控制时明显减小，即使用了修改后的前馈控控制后，杆中的干扰得到抵消。4文献11M.A.Swinbanks,tlTheactivec
28、ontrolofsoundpropagatinginlongducts,J.SoundVib.,vol.27,pp.411U36,1973.2 J.Scheuren,uActivecontrolofbendingwavesinbeams,inProc.InterNoise,1985,pp.591595.3 R.J.McKinnel,44ActivevibrationisolationbycancellationofbendingWaVeSjinProc.RoyalSoc.y1989,pp.357-393.4 R.B.Mace,uActivecontrolofflflexuralvibratio
29、ns/J.SoundVib.,vol.114,pp.253-270,1987.5PeterNauc16r,BengtLundberg,andTorstenSoderstrom,Fellow,IEEEAMechanicalWaveDiode:UsingFeedforwardControlforOne-WayTransmissionofElasticExtensionalWaves.6 S.J.ElliottandL.Billet,44Adaptivecontrolofflflexuralwavespropagatinginabeam,J.SoundVib.,vol.163,no.2,pp.295
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