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1、一、考情分析第05讲一次方程（组）及其应用二、知识建构考点一等式的基本性质题型01利用等式的性质判断变形正误题型02利用等式的性质求解考点二一元一次方程题型01判断一元一次方程题型02解一元一次方程题型03一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧1巧化分母为1技巧2巧化同分母技巧3巧约分去分母【类型二】分子、分母为整数的一元一次方程技巧1巧用拆分法技巧2巧用对消法技巧3巧通分【类型三】含括号的一元一次方程技巧1利用倒数关系去括号技巧2整体合并去括号技巧3整体合并去分母技巧4由外向内去括号技巧5由内向外去括号题型04错看或错解一元一次方程问题考点三二元一次方程（组）题型0
2、1二元一次方程（组）的概念题型02解二元一次方程组题型03二元一次方程组特殊解法类型一引入参数法类型二特殊消元法方程组中两未知数系类型四换元法类型五同解交换法类型六主元法题型04错看或错解二元一次方程组问题题型05构造二元一次方程组求解题型06解三元一次方程组考点四一次方程（组）的应用题型01利用一元一次方程解决实际问题类型一配套问题类型二工程问题类型三增长率问题类型四销售利润问题类型五比赛积分问题类型六方案选择问题类型七数字问题类型八日历问题类型九几何问题类型十和差倍分问题类型十一行程问题题型02利用二元一次方程解决实际问题类型一配套问题类型二方案选择问题类型三年龄问题类型四几何问题类型五行
3、程问题类型六古代问题类型七图表问题类型八工程问题考点要求新课标要求命题预测等式的基本性质理解等式的基本性质一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都数之差的绝对值相等类型三特殊消元法方程组中两未知数系数之和的绝对值相等一元一次方程能解一元一次方程是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”.中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点.预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握.二元一次方程（组）掌握消元法，能解二元一次方程组
4、能解简单的三元一次方程组选学一次方程（组）的应用利用一次方程求解实际问题考点一等式的基本性质等式的我念表示相等关系的式子，叫做等式等式的性质1如果a=bR,Jac=bc2)如果a=bJac=bc：如果a=b.见=g(cO)3）如果a=b,*Jb=a（对棘性）4）如果a=b,b=c则IFc（传递性）易混易错性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0,因为0不能作除数或分母.C.若/=g则Q=bD.若一x=6,则=2【答案】C【提示】直接利用等式的基本性质以及结合绝对值的性质提示得出答案.【详解】解：A、若ac=bc,当c#0,则折6,故
5、此选项错误；B、若彦=力2,则q=a故此选项错误；C、若巴=L则q=b,故此选项正确；CCD、若一（=6,则=-18,故此选项错误；故选：C.【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，正确把握等式的基本性质是解题关键.【变式11（2023山西大同校联考模拟预测）下列等式变形正确的是（）A.若x=y,则X=NB.若QC=be,则=bZZC.若/=4x,则X=4D.若/=g,贝!=b【答案】D【提示】根据等式的性质逐一判断即可.【详解】解：A、当Z=O时，由x=y不能得到三=变形错误，不符合题意；ZZB、当C=O时，由c=be不一定能得到Q=b,变形错误，不符合题意；C、若/=4%,则=4或=0,变形
6、错误，不符合题意；D、由2=之可以得到Q=b,变形正确，符合题意；CC故选D.【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以个不为。的数或式子等式仍然成立.【变式12（2023沧州市二模）如果x=y,那么根据等式的性质下列变形正确的是（）A.x+y=0B.7=C.x-2=y-2D.x+7=y-7Sy【答案】C【提示】利用等式的基本性质逐一判断各选项可得答案.【详解】解：=y,x-y=y-y=0,故人错误；.x=y,Y=故B错误；X=y,二%-2=y2,故C正确；VX=y,
7、.x+7=y+7,故。错误；故选：C.【点睛】本题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解题的关键.方法技巧B.利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质2.A.o/nlIn/nnC.ZKD.ZK【答案】B【提示】设的质量为x，的质量为P的质量为皿列出等式，根据等式的性质计算判断即可.【详解】设“”的质量为X,“”的质量为“”的质量为怀根据题意，得2x=4y即=2y,故A正确，不符合题意；.x+m=m+2y,故C正确，不符合题意；故B不正确，符合题意；.9.x+2m=2m+2y,故DiE确，不符合题意；故
8、选B.【点睛】本题考查了等式的性质，正确理解等式的性质是解题的关键.【变式21（2023河北承德校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（）A.如果+c=b+c,那么=b（,b,C均不为0）B.如果Q=b,那么+c=b+c（a,b,C均不为0）C.如果Q-c=b-c,那么=b（a,b,C均不为0）D.如果Q=b,那么c=bc（o,h,C均不为0）【答案】A【提示】根据等式的性质解答即可.【详解】解：观察图形，是等式Q+c=b+c的两边都减去c（。，b,C均不为0）,利用等式性质1,得到=b,即如果+c=b+c,那么Q=b（,b,C均不为0）.故选：A.【点睛】本题考查了等式的性质，掌握
9、等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键.【变式22（2022山东滨州中考真题）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U,导体的电阻R之间有以下关系：/=9去分母得/R=u,那么其变形的依据是（）A.等式的性质1B.等式的性质2C.分式的基本性质D.不等式的性质2【答案】B【提示】根据等式的性质2可得答案.【详解】解：/=去分母得/R=U,其变形的依据是等式的性质2,K故选：B.【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立.【变式23（2023河北沧州校考模拟预测）已知（照一）
10、+x=0,则X的值是（）A.20222021B.202220212021120222021+2022C.20222021D.202220212021202220212022【答案】C【提示】根据等式的性质进行计算即可.【详解】解：将原式两边同时减去（猊-翳）可得：”一能翳），Hn20222021即X=,20212022故选：C.【点睛】本题考查等式的基本性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.【变式24（2023衡水市中考模拟）若等式m+Q=几力根据等式的性质变形得到m=,则如b满足的条件是（）A.相等B.互为倒数C.互为相反数D.无法确定【答案】C【提示】根据等式的性质，两边都加上儿然后判
11、断即可得解.【详解】解：11+0=b两边都加上b得，w+b=,等式可变形为?=，a+b=Q,.*.a=b.故选：C.【点睹】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同个不为。数或字母，等式仍成立.考点二一元一次方程一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1,这样的整式方程叫一元一次方程.一元一次方程标准形式：ax+b=O（X为未知数，a、b是常数且aWO）解一元一次方程的基本步骤：1 .一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.2 .一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为L
12、3 .解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用.4 .对于分母中含有小数的一元一次方程.当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10,化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100,化分母中的小数为整数.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【分析】根据一元次方程的定义逐个判断即可【详解】解：不含未知数，故错未知数的最高次数为2,故错含个未知数，次数为1,是等式且两边均为整式，故对左边不是整式，故错不是等式，故错含一个未知数，次数为I,是等式且两边均为整式，故对故选：B【点睛】本题考查了一
13、元一次方程的定义，熟练掌握并理解一元一次方程的定义是解本题的关键【变式11（2021贵州一模）已知关于X的方程（小-4）x2+（k-2）x=k+6是一元一次方程，则方程的解为（）A.2B.2C.6D.1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定义确定出的值，进而求出后的值即可.【详解】解：V方程（/一4），+（攵-2&=k+6是关于、的一元一次方程，.仇2-4=0,elc-20解得：k=2,方程为4-2+6,解得：x=l,故选：D.【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键.【变式12）（2023九江市一模）已知（A-I）WCl+3=0是关于
14、X的一元一次方程，则k值为.【答案】-1【分析】由元次方程的定义可直接进行列式求解.【详解】解：Y方程（A-I）M川+2=3是关于X的一元一次方程，.*.k=ltk-10,解得：Zc=-I;故答案为-1【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关犍.【变式13（2023武威市一模）若方程（k+2）c+6=0是关于X的一元一次方程，则c+2023=.【答案】2023【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程.它的一般形式是Qx+b=O（,b是常数且0）,据此求解即可.【详解】解：/+2）”川+6=0是关于一的一元一次方程,
15、.*.k+20k+l=l,解得：k=0.c+2023=2023,故答案为：2023.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.题型02解一元一次方程【例2】（2021广西桂林中考真题）解一元一次方程：4-l=2x5.【答案】x=3.【分析】先把方程化移项，合并同类项，系数化1法即可.【详解】解：4x-l=2x+5,移项得：4x-2x=5+l合并同类项得：2x=6,，系数化1得：X=3.【点睛】本题考查了元次方程的解法移项、合并同类项、系数化1.掌握解元次方程常用的方法要根据方程的特点灵活选用合适的方法【变式21
16、（2023内蒙古包头校考一模）若4（%+3的值与一7互为相反数，则彳的值为（）13A.1B.拼C.3D.-310【答案】A【分析】根据互为相反数的两数之和为0,列出方程进行求解即可.【详解】解：由题意，得：4（x+）（x-7）=0,解得：x=l;故选A.【点睛】本题考查解一元一次方程.熟练掌握互为相反数的两数之和为0,是解题的关键.【变式22（2023河北秦皇岛一模）如果单项式-%仍与TKy3是同类项，那么关于X的方程以+。=0的解为（）A.X=B.X=-IC.X=3D.X=-333【答案】B【分析】根据同类项的定义得出，Q=l,b=3,代入方程b%+=O,解得即可.【详解】单项式一町b与gy
17、3是同类项，=1,b=3,方程为3X+1=0,解得=一/故选：B.【点睛】木题考查同类项和解一元一次方程，所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，解题的关键是熟知同类项的定义.【变式23（2019山东济南中考真题）代数式年与代数式3-2%的和为4,则=.【答案】-L【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到X的值.【详解】根据题意得：芋+3-2%=4,去分母得：2x-l+9-6x=12,移项合并得：-4%=4,解得：x=-l,故答案为-L【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键.【变式24（2023扬州市三模）规定一种新的运算：ab=2-a-bf求答1*
18、等=1的解是.【答案】=【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解.【详解】解：根据题中的新定义化简得：2等一等=1,去分母得：12-2（2x-l）-3（l+x）=6,去括号得：12-4x+2-3-3x=6,移项合并得：-7x=-5,解得：X=?故答案为：X=【点睛】本题主要考查了解元次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.【变式25（2023四川成都二模）若实数a,b,c满足？=衿：=k,且+2b+3c=40,则A=.234【答案】2【分析】先根据等式的性质得：a=2k,b=3k,c=4k,再代入到等式0+2b+3c=40中，得到关于2的元次方程，解这个方程即
19、可.【详解】解：由1=g=2=A得：a=2k,b=3k,c=4k,代入到等式+2b+3c=40中，得：2k+6k+12k=40,解得：k=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了等式的基本性质、代入消元法及元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是本题的关键.【变式26（2021山东烟台中考真题）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将数字19分别填入如图所示的幻方中，要求每横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15,则a的值为.【答案】2【分析】设处第一行第一列、第三列第三行、对角线上的未知量，用三数之和为15就可以求出卜C【详解
20、】解：如图，把部分未知的格子设上相应的量I8I3I/I第一行第一列:6+6+8=15,得到6=1第三列笫三行：8+315,得到户4丁户4;对角线上6+所15.*.64+c=15,得到c=5Vc=5另外条对角线上8+c+0=15/.850=15,得到=2故答案为：2.【点睛】本题考查有理数的加法和一元一次方程的综合题，找出式子之间的关系是解题的关键.题型03一元一次方程的特殊解题技巧【类型一】分母含小数的一元一次方程技巧1巧化分母为1【例3】解方程:0.6x+0.50.03x+0.2_X90.20.06-3【详解】解:0.6%+0.50.03x+0.2x90.20.066x+53x20x9-26
21、-33(6%+5)-(3x+20)=2(x-9)18x+15-3x-20=2x-1818x-3x-2x=-18-15+2013X=-13x=-1.【变式31解方程：vLeVUJ【详解】解：原方程可化为容-萼气，去分母，得3(3-5)-2(12-5x)=6x,去括号，得9-15-24+10z=6x,移项，得9x+10x-6x=15+24,合并同类项，得13x=39,系数化为1，得x=3.【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键.技巧2巧化同分母【例4】解方程：/一=1.【详解】解：%-岑萨=1化为同分母，得，0.060.060.06去分母，0.1x-0.
22、16+0.5x=0.06.解得、=春技巧3巧约分去分母【例5】解方程：震10=获Vfcvv【详解解：解:鬻-Io=霖U4UUDIOx-40100x-30010=-5(10x-40)-100=2(100x-300)50x-200-100=200x-60050x-200x=-600+200+100-150x=-300X=2.【变式51解方程:0.3x-l0.4x-8【详解】解:0.3x-l0.020.4x-80.50.020.5=1整理，得（15%-50）-（0.8%-16）=1,去括号，得15%-50-0.8x+16=1,移项、合并同类项，得14.2%=35,系数化为1,得X=票【类型二】分子、
23、分母为整数的一元一次方程技巧1巧用拆分法【例6】解方程：.5x-76【详解】解：平6_5x 6解得X=IL【变式61解方程：U2x3 6-x =.63【答案】X=4【详解】解：?一早=?263将原式拆分为：解得=4.【变式62解方程:【详解】解：拆项, + 1 + + = 261220,得（- 9+99+（*）+（泻）=1：整理得：x-=1,i + i + + + 2008X2009 = 2008 2009解得：x=74【变式63解方程:解：-+-+-=2008,261220082009+-=2008,1223342008x200908,x-x+-x-x+-X-X+-XX=2008223342
24、0082009x-x=2008,2009x=2009.技巧2巧用对消法【例7】解方程：/?=3詈.技巧3巧通分【例8】解方程:x+3x+2_x+1x+47S-6T【详解】解：方程两边分别通分后相加，得5(x+3?x+2)=2(x+l)Jx4)化简，得卷i=三言.解得X=一等.【类型三】含括号的一元一次方程技巧1利用倒数关系去括号【例9】解方程:(2x+l)+5-l=4x解：(2x+l)+5-l=4x562xl+6-l=4x2x-4x=-6-2x=-6X=3.【变式91解方程：解方程翡(1)2T=2【详解】解：g(j-l)-2-x=2去括号得：7Ar-1-3-X=24移项，合并同类项得：-9=6
25、,4系数化为1得：X=-8.技巧2整体合并去括号【例10解方程：x-x-x+10)=(x+10)；【详解】解：x-x-(x10)=(x+10)111X/+d(+io)=d(%+io)UVV移项，合并同类项得：Ix=0解得：x=0;【变式101解方程：x-ix-(x-3)=(x-3)+l.【详解】解：去括号，得：X-3)=(x-3)+l移项，得：X-JX+!(%-3)-；(刀-3)=1ZOO合并同类项，得：=r系数化为1,得：X=2.技巧3整体合并去分母【例U】解方程:(x-5)=3-(x-5).【详解】解：移项，得*-5)+3%-5)=3合并同类项，得工一5=3系数化为1,得：x=8.【变式1
26、11】解方程：(x-2)-5=3-j(x-2).【详解】解：移项，得(%2)+：(x2)=3+5合并同类项，得x-2=8系数化为1,得：x=10.技巧4由外向内去括号【例12解方程：解方程：共XgK-I)-6+2=0.【详解】解：YXgX-I)6+2=0去中括号，得，(jx-1)22=0去小括号，得，x-=036Iz移项，得，x=系数化为1,得=3.技巧5由内向外去括号【例13】解方程：2gx-(x-)=x.【详解】解:2-(-1)=4X去小括号，得2枝刀|%+三=)去中括号，得g*+l=*x移项，合并同类项，踞=-1系数化为1,得X=-*【变式131】解方程：4x-(x-l)=(5+x).【
27、详解】解：去括号得：+1.244J33去括号得：2x-3x+3=+x移项得：2x3x=J-3合并同类项得：-g%=-g解得：x=l.【点睛】本题考查了解元次方程，熟记解元次方程的步骤，能正确的去括号，移项是解题的关键.题型04错看或错解一元一次方程问题【例14(2022贵州黔西中考真题)小明解方程等-I=瞪的步骤如下：解：方程两边同乘6,得3(%+1)-1=2(%-2)去括号，得3x+3-l=2x-2移项，W3x-2x=-2-3+1合并同类项，得=一4以上解题步骤中，开始出错的一步是()A.B.C.D.【答案】A【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案.【详解】解：方程两边同
28、乘6,得3(x+l)-6=2(x-2)开始出错的一步是，故选：A.【点睛】木题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键.【变式141(2023浙江杭州一模)以下是圆圆解方程X-U=I的解答过程.解：两边同乘以3,得3%-%-3=3,移项，合并同类项，得2%=6,两边同除以2,得x=3,圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程.【答案】圆圆的解答过程有错误，方程的解为X=0.【分析】由去分母后没有及时添加括号；可得圆圆的解答过程有错误，再去分母正确的解方程即可.【详解】解：圆圆的解答过程有错误，去分母后没有及时添加括号；正解：-平=1两边
29、同乘以3,得3%-(-3)=3,.*.3xX+3=3,移项，合并同类项，得2x=0,两边同除以2,得=0.【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，熟练的掌握一元一次方程的解法与步骤是解本题的关键.【变式142(2023湖南长沙校考二模)下面是小颖同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题.解方程：竿亭1=156解：去分母，得2(2x+l)-(5x-l)=1第一步去括号，得4%+2-5x+l=1第二步移项，W4x-5x=1-1-2第三步合并同类项，得一%=-2第四步方程两边同除以一1,得=2第五步(1)以上求解过程中，第三步的依据是.A.等式的基本性质B.不等式的基本性质C.分式的基本性质D
30、.乘法分配律(2)从第步开始出现错误；(3)该方程正确的解为【答案】(I)A一(3)x=-3【分析】(1)根据移项的变形依据回答即可；(2)根据去分母漏乘没有分母的项回答即可；(3)写出正确的解题过程，即可得到答案.【详解】(1)解：移项的依据是等式的基本性质，故选：A(2)从第一步开始出现错误，方程右边的1没有乘以6,故答案为：/r2x+l5x-l(3)-=1解：去分母，得2(2%+1)-(5%-1)=6第一步去括号，得4x+2-5x+l=6第二步移项，得4x-5x=6-1-2第三步合并同类项，得一%=3,第四步方程两边同除以一1,得义=-3第五步故答案为：X=-3【点睛】此题考查了一元一次
31、方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键.【变式143(2022浙江杭州中考真题)计算：(-6)XG-)-23.圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了.(1)如果被污染的数字是也请计算(一6)(-)-23.(2)如果计算结果等于6,求被污染的数字.【答案】(1)9(2)3【分析】(1)根据有理数混合运算法则计算即可；(2)设被污染的数字为X,由题意，得(一66停一工)-23=6,解方程即可；【详解】(1)解：(一6)乂仔一3-23=(-6)乂，-8=-1-8=-9；(2)设被污染的数字为X,由题意，得(一6)x(-x)-23=6,解得x=3,所以被污染的数字是3.【点睛】本题主要
32、考查有理数的混合运算、-元次方程的应用，掌握相关运算法则和步骤是接替的关键.【变式144在做解方程练习时，有一个方程q=2尹.”，题中处不清晰，李明问老师，老师只是说：“是一个有理数，该方程的解与当x=2时整式5G-1)-2(-2)-4的值相同.”依据老师的提示，请你帮李明找到、”这个有理数，并求出方程的解.【答案】这个有理数为一方程的解为：y=l【分析】利用“该方程的解与当x=2时整式5(xT)-2(厂2)-4的值相同”求出方程的解；再将方程的解代入y-g=2y+中求得.【详解】解：当x=2时，整式5(x-l)-2(-2)-4=5(2-1)-2(2-2)-4=1.Y方程的解与当x=2时整式5
33、(-l)-2(X-2)-4的值相同，方程的解为：y=.当y=1时，y-=2.解得：=.答：“”这个有理数为一段，方程的解为：y=.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，求代数式的值.利用方程的解的意义，将方程的解去替换未知数的值是解题的关键.考点三二元一次方程（组）二元一次方程（八）二元一次方9金含有胃个多沏敷片且未加敷的4的次量】像这样的方叫做二元一次方安-UMAa*by*c三O（0.b0）二元一次方程的“一般堆使二元一次方程有边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的集二元一次方程0概金：IeiI常超周未如我的苒个二元一次方后台荏一名叫做二元一次力N组-MMAlM*b1y三c1（am?
34、和ab不同时为0）二元一次方Mia的：一短地二元一次力再绢的两个力符的公共Ir叫做二元一次力杼绢的第二元一次方Itel代人满元耀杷二元一次方”锡中一个方刑的未知依用含另一个未蝴Bt的式子盘示出家再代入另一个方用实现满元三而求当这个二元一次方理姐的m这个方法纠做代入加元法M称代入法贰K消元法两个二元一次力程中同一个未知假的系假相辰或相等？r杷这四个力段的角边分别10加tt能涓去这个未知故（型一个一元一次方内送科方泳叫做周元法簿称加W法俄元法据方咫蛆各累效的特可将方理想率的一个方/或方&的一部分成一个体带人另一个方尊中,从而达为涌去K中一个未知数的目的并求用方程的修三元一次方Ifi定义方组合科三个
35、不同的未知依每个方中含朝条如敷的中的次触郡量L并且一共前三个方H.像达杆的方片组叫做三元一次方程用修汰4多：1）交影（女三元一次为二元一次）,2）求*二元一次方改蛆3）IB代，未用的乐如敏的值代人方幄Ia的一个适当的方程中.用到一个一元一次方Ir4）求n一元一次方程.求出三个未知依，5）用大招号育所求的的三个未知R的一联立起素得朦方时艳的易间易错1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解.2 .在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值.3 .二元一次方程组的“二元”和“一次”
36、都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数.4 .解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程.B、当仁22x+y=4,则；三是二元一次方程2%+y=4的解，不合题意；C、当菰。?时,2x+y=4,则j103S是二元一次方程2%+y=4的解,不合题意；D、当时,2xy=0,贝:不是二元次方程2%+y=4的解,符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了二元次方程的解的定义，熟练掌握二元次方程的解的定义是解题的关键.【变式11（2023江苏无锡校联考一模）若二元一次方程组的解
37、为；：，则a-b=.【答案W【提示】把、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出Q-b的值.【详解】解：将代入方程组卜工。?4，得：卜+b=2f（3a-5b=4+得：4-4b=6,63.D=-=42故答案为：【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出-b的值.【变式12（2023蚌埠市二模）若方程7%Iml（m+l）y=6是关于彳,歹的二元一次方程,则m的值为.【答案】1【提示】根据二元一次方程的定义求解，只需要令X,j，的次数为1,并且系数不为零，即可求出用的值.【详解】7%+（血+1）,=6是关于“,的二元一次方程，可列式得吧=J=护=1或m=-1,m+10（
38、m-1解得n=1.故答案为1.【点睛】此题主要考查二元一次方程的定义，解题的关键是根据其定义列式求解.题型02解二元一次方程组【例2】（2023江苏连云港中考真题）解方程组【答案】=3【提示】方程组运用加减消元法求解即可.【详解】解:3x+y=82x-y=7(2)+D得5%=15,将=3代入得3X3+y=8,解得y=-L原方程组的解为j二3;【点睹】本题主要考查了解二元次方程组，方法主要有：代入消元法和加减消元法.(x-2y=3【变式21(2022山东淄博中考真题)解方程组：1,313【答案】忧:【提示】整理方程组得X2y=3(T)2x+3y=13,继而根据加减消元法解二元一次方程组即可求解.
39、【详解】解：整理方程组得X-2y=3(T)2x3y=13(2)X2-得7y=-7,y=,把尸1代入得X-2=3,解得尸5,方程组的解为【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确的计算是解题的关键.方法技巧解二元一次方程组的方法选择：D当方程组中某一个未知数的系数是1或者1时，选用代入消元法；2)当方程组中某一个方程的常数项为。时，选用代入消元法；3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法;4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法.xyC+7=0,3(xy)4(3y+x)=85【答案】仁6【提示】采用先换元，再代入即可作答.【详解】解：由，得f=-设
40、2=?=%,则=5k,y=-6fc,将%=5k,y=-6k代入方程，得3(5k+6k)-43X(-6k)+5k=85,解这个方程得k=l,即X=5,y=6,所以原方程组的解是、：=5【点睛】本题考查了利用换元法和代入法解二元次方程组的知识，掌握换元法，准确换元，是解答本题的关键.【变式31】用代入法解方程组：xy3+4=2(x+y)-3(2y-x)=62【详解】解：由，,=一设g=3则=3匕y=-4k,将=3k,y=-4k代入方程，得2(3k-4k)-32(-4k)-3k=62,解这个方程得k=2,BPX=6,y=8,所以原方程组的解是二类型二特殊消元法方程组中两未知数系数之差的绝对值相等解题
41、技巧：观察方程组1和2的系数特点，数值都比较大.如果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大，而且容易出现计算错误.根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法求解，更为简便.【例4】解方程组：f015%+2016y=2017?(12016x+2017y=2018【答案】仁【提示】根据方程组中的两个未知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再用代入法或加减法即可求解.【详解】解：-，得+y=l，由，得=1-y，把代入方程，得2015(1一y)+2016y=2017,解这个方程，得y=2,把y=2代入方程，得乃=一1,所以原方程组的解为j=2.【点睛】本题主要考
42、查数值较大的二元一次方程组的解法，找出方程组中对应数值的关系是解题的关键.【变式41】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题.解方程:19x+ISy=1717x+16y=15解：，2x+2y=2即+y=1l6,得16工一16y=16，得=1.把X=-1,代入，得-l+y=l.解得y=2所以原方程组的解为：T21请仿照上面的方法解方程组：儒霖徜：2三18；(2)请猜想关于小y的方程组股;屋的解，并利用方程组的解加以验证【答案】哨:21(2)j=jl，验证见解析【提示】(1)仿照题干的方法求解即可；（2）根据题干和（1）中的结果直接猜测即可.【详解】产2+2021y=20202（2020x+2019y=2018由一，得2x+2y=2,即;r+y=l，X2019,得2019%+2019y=2019，-得x=-l,把代入，得-1y=1,y=2,原方程组的解是f21.(2)根据题干和(D的结果，猜测方程组:：*：it=：()的解是二(b2)x(f)+l)y=b(y=2验证：将2代入方程(。+2)%+(+l)y=。，左边=+（2）+2+2=,所以左边=右边.将j:21代入方程S+2)x+(b+l)y=b,同理可得左边=右边，此方程组的
