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1、二次函数专题之函数最值问题【类型综述】二次函数的图像、性质问题中，求给定区间内函数的最值，是中考数学的热点问题.对于整个函数图像来说，最值在顶点处取到，而对于函数图像的一部分来说，则未必。常见的两种类型分别为：是给定区间，对称轴不确定；二是给定对称轴，区间不确定。一般步骤是根据已知，画出函数图像，再根据给定的区间或对称轴进行分类讨论，根据题意建立方程求解。难点是有时分类讨论次数较多，计算比较繁琐，容易出错。【典例分析】【例1】已知二次函数y=Qf+2av+32+3（其中X是自变量），当2时，丁随X的增大而增大，且当-2xl时，V的最大值为9,则。的值为（）A.-1B.1C.-2D.2【答案】B
2、【详解】 二次函数尸0r2+20r+3q2+3（其中X是自变量），；对称轴是直线=-=-1,2a 当迂2时，y随X的增大而增大，aO, -20)(1)若二次函数的图象与X轴有交点，求的取值范围；(2)若P(如)和。(5,b)是抛物线上两点，且仇求实数机的取值范围；(3)当E+2时，求y的最小值(用含的代数式表示).【答案】(1)应；(2)m5；(3)，的最小值为：am2-3a+或-3+l或arn2-4am+a+1.【详解】解：(1)由题意得：=(-4a)2-4a(+l)0,且O,解得：a-;44(2)抛物线的对称轴为直线X=2,2a当=b时，根据函数的对称性，则机=-1或5,故实数，的取值范围
3、为：机5；(3)当?+2V2时，即mVO时，函数在x=m+2时，取得最小值，ymin=a(m+2)2-4a(w+2)+a+=am2-3a+当m22时，函数在X=?时，取得最小值,ynin=an2-4am+a+1；综上，y的最小值为：ani2-34+l或-3+1或am2-4atn+a+1.【变式1】二次函数y=-(X-I)2+5,当11且mnO时，y的最小值为2w,最大值2n则m+n的值等于()【答案】B【详解】二次函数尸-(X-I)2+5的大致图象如下：当阳VO夕91时，当x=n时，)，取最小值,解得：m=-2,m=2(舍去).当X=时，y取最大值，即2=-(m-1)2+5,解得：=2或=-2
4、(均不合题意，舍去)；当mV0xl时，当X=用时，y取最小值，解得：加=2当x=l时，y取最大值，即2=-(1-1)2+5,解得：n=2.5,或产时，y取最小值，时，)，取最大值，2m=-(-l)2+5,=2.5,.Hm=,8即 2m=- (m-l) 2+5,即 2m=- (mA ) 2+5,Vn1时，y随X的增大而增大，：当=h时，函数取得最小值,yhii=m=m2-2m+2,解得m=2或1（舍弃）.,.m=l或2.故选：C.变式3在平面直角坐标系xy中，直线y=4x+4与X轴，y轴分别交于点A,B,点A在抛物线产加+法3（d0）上，将点8向右平移3个单位长度，得到点C（1）抛物线的顶点坐标
5、为（用含。的代数式表示）（2）若a=-1,当fISxS时，函数）=a+b-3a（a0）的最大值为y,最小值为”，且y-=2,求t的值;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求。的取值范围.【答案】(I)(l,4z)；(2)Z=J或f=;(3)v-g或。=一1时，抛物线与线段BC有一个交点.【详解】解：(1)直线y=4x+4与X轴，y轴分别交于点A,B,AA(-1,O),B(0,4),点A在抛物线)=02+r.30(l时,即2时,y,-y2=-(-l)2+2(r-l)+3-2+2+3=2r-3=2.2,当时，y1-y2=4-(r-l)2+2(r-l)+3=r-4r+4=2.解得，
6、r=22（舍去）.当4.4 CI.3当抛物线顶点在线段BC上时，则顶点坐标为(1,4).：.4=a-2a-3a:Q=1.4-或。=T时，抛物线与线段BC有一个交点.【例3】已知点A(1,1)为函数y=f+bx+4(,b为常数，且t0)上一点.用。的代数式表示b；(2)若142,求一的范围；2a(3)在(2)的条件下，设当lv2时，函数y=+法+4的最大值为相，最小值为,求机-(用。的代数式表示).【解答】解：(1)把A(1,1)代入y=r2+灰+4得，l=+H4,:b=-a-3；(2) Vh=-3-a,=加(a+3)x+4=a(X-)2-+?，对称轴为直线X=2aV12,.5-2;42a(3)
7、 3-=2,lx4时，即?8,2当2r4时，y的最大值是15,31，当X=4时，-42+4+;?=15，得机二不（舍去）；综上可得，机的值是-19或6.故选：C.【变式2当-21时，ml时二次函数有最大值，此时，-（1-/n）2+m2+1=4,解得m=2,综上所述，加的值为2或-3.故选C【变式3】已知，抛物线y=ar2-2wnx+a?2+2?-5与X轴交于A(X1,O),Ba2,0)(xi2机-2,即加V2时，有一（2m-2-帆）2+2？-5=2,整理，得：整-14n+39=0,解得：Wi=7-510（舍去），W2=7+o（舍去）：(2)S2w-5m2m-2,即2m5时，有2m-5=2,7解
8、得：，=:2当w75时，有一!(2n-5-n)2+2zn-5=2,整理，得：nt2-20w+60=0,解得：如=Io-2加（舍去），?4=10+2JiG.7综上所述：用的值为W或0+2M.拔高检测1 .二次函数y=-2+l在3XW5范围内的最小值为.【答案】4【详解】y=x2-2x+l=(x-l)2,可见该二次函数图象的对称轴是X=1,a=lO,开口向上，且在3x小=(31)2=4.2 .当-l%时，函数y=2x+l的最小值为1,则。的值为()A.1B.2C.1或2.O或3【答案】D【详解】当y=l时，有V-2+=,解得：X=,工2=2,.当-lx时，函数有最小值1,。-1=2或。=0,。=3
9、或。=0.3.二次函数y=-(x-1)z+5,当nSr且?0时，y的最小值为2m，最大值为2，则【答案】05【详解】解：二次函数y=-(x-l)2+5的对称轴为直线x=l,开口向下，大致图象如下:mxnB.mn0.m0n分两种情况讨论：第种情况：当01时，此时20vl,；.当mx九时，y随X增大而增大，.当X=7时，y取最小值26，即2机=一(加一+5,解之得：加=-2(6=2舍去).当X=时，y取最大值2，J2h=-(11-1)2+5,/.=24=-2这两个根都与01相矛盾,故全部舍去.第情况：当lk时，此时机Vl,根据图象：当x=n时，y的最小值为2?，即：2机=一（m一I）?+5,解之得
10、：加=-2（6=2舍去），当=1时，），取最大值为2，即：2n=-（l-l）2+5解之得：=2.52+=-2+2.5=0.5,故答案为:0.5.4.当一2冗l时，x=l取得最大值，-(l-n)2+m2+l=4,解得m=2,综上所述，m=2或时，二次函数有最大值.故答案为：2或-JJ.5 .已知二次函数y=-+2+(是常数).(1)求此函数的顶点坐标.(用含/的代数式表示)(2)当入2时，y随X的增大而减小，求，的取值范围.(3)当0人1时，该函数有最大值4,求/的值.【答案】(1)顶点坐标为(62-r+l);(2)2;(3)F=-3或4.【详解】(1) Vy=-x2+2tx-/+1=-(X-Z
11、)2+t2-t+i,顶点坐标为Q,17+1)；(2) Vy=-x2+2tx-r+1=-(x-r)2+i2-t+, 抛物线开口向下，在对称轴x=t的右边)，随X的增大而减小， 当迂，时，y随X的增大而减小， 当也2时，y随X的增大而减小，r2;(3) Y当Oxl时，该函数有最大值4,，若，V0,则当X=O时，y=+l=4,解得，F=-3；若Orl,则P+1=4,解得，尸生叵(舍)；2若i1,则当x=l时，y=-1+2/-/+1=4,解得，f=4.综上，f=-3或4.6 .已知抛物线=公2+法+0经过点4(0,-1)和点3(1,4+1),顶点为C.(1)求力、C的值；(2)若C的坐标为(1,0),
12、当f-lxr+2时，二次函数y=+b+c有最大值-4,求，的值；13(3)直线y=X-；与直线A:=3、直线尤=1分别相交于M、N,若抛物线y=0+法+c与线段MN(包含M、N两点)有两个公共点，求。的取值范围.49【答案】(1)2；-1(2)-3或4(3)-a-或-298【详解】解：(1)由于抛物线y=02+/ZX+c经过点A(O,-1),点3(l,+l)所以一I=c,+l=+b+c,所以b=2(2)因为抛物线为y=公2+2k-1,又顶点坐标为(1,0)2所以X=一丁=1,所以。=一12al,，抛物线开口向下，对称轴X=1,/lxr+2时，y有最大值T，.当y=-4时，有T2+2x-1=-4,无=-1或冗=3,在X=I左侧，y随X的增大而增大，x=+2=-1时，y有最大值-4，/=-3；在对称轴x=右侧，y随X增大而减小，1=3时，y有最大值-4；综上所述：，=-3或/=4；13(3)y=-x一一与直线”=3、直线犬=1分别相交于M、N,22M(-3,-3),V(1,-1)。0时，X=3时，y-3t即,13直线MN的解析式为y=x2，抛物线与直线联立：0r2+2x-l=-x-,22231八2299=2GO,.*.u一,4849：,。的取值范围为gw或-2.
