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1、不第一章1.1.1集合的含义与表示教学目标：(1)结合实例，理解集合的概念，常用数集及其记法(2)从集合及其元素的概念出发，了解属于关系的意义。(3) 了解有限集、无限集、空集的意义与集合的表示方法。开篇语：我们知道，方程一二2在有理数范围内无解，但在实数范围内有解.在平面内，所有到定点的距离等于定长的点组成一个圆；而在空间中，所有到定点的距离等于定长的点组成一个球.因此，明确研究对象，确定研究范围是研究数学问题的基础.为了简洁、准确地表述数学对象及研究范围，我们需要使用集合的语言和工具.打开集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础。一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻
2、辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用。逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科。学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分。在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点。1.集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗
3、透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等；在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是本章学习的基础。把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始,是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑。本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实
4、例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。集合是集合论中的原始的、不定义的概念。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。教学过程：一、新课引入1 .提问初中“圆”和线段垂直平分线的集合的定义.圆：到一个定点的距离等于定长的点的集合；线段的垂直平分线：到线段两个端点的距离相等的点
5、的集合.思考：什么是集合？2 .教材中例子（P2）。这些例子都可以组成集合.学生举例集合以学生的例为例，容易看出：在一定的条件项，集合中的事物都满足条件，满足条件的事物都在集合内。二、新课1、元素、集合的概念：一般地，具有指定的共同属性的所有事物的全体叫集合（Set）（简称为集），其中的每一个事物称为集合的元素（element）.用大写的拉丁字母：A,B,C,表示集合，用小写的拉丁字母：a,b,c,表示元素。用大括号表示，即：A=,b,c,其中读作集合，意为全体，4。,C,可以是世界上的任何事物。例如：自然数集=0,1,2,3,二自然数=N2、两个集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们
6、就称这两个集合是相等的。3、集合中元素的特性由世界上所有善良的人并不能构成集合得：（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，即对于给定了的属性，元素不能多不能少，而且世上任何一个事物要么属于这个集合，要么不属于，不存在可能属于可能不属于的情况。显然一个元素没必要写两次得：（2）互异性：集合中的元素没有重复。交换元素的顺序显然无关紧要得：（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）思考题（P3）判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由；（1） 大于3小于11的偶数；（2） 我国的小河流。4、元素对于集合的隶属关系（1）属于（belongto）：如果a是集合A的元素，就说a属于
7、A,记作aA（2）不属于（notbelongto）：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作。A5、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N,N=,l,2,naturalnumber（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作、*或N.N*=l,2,3,.（3）整数集：全体整数的集合。记作Z,Z=,L2,integernumber（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q,Q=整数与分数（5）实数集：全体实数的集合。记作R,R=数轴上所有点所对应的数realnumber6、集合的分类：（1）有限集，（2）无限集，（3）空集，不含任何元素的集合（如方程-=-1的解
8、组成的集合）7、集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”括起来表示集合的方法。（2）描述法10语言描述法一一具有性质P的事物eg：平方等于4的数yHy = j,与(,y)y = 2与,2代表元素描述法一一xIX具有性质Pxx2=4）分辨集合：（xHy=-与IXTJ分辨：xRx5与f5的相等.思考题（P4）你能用自然语言描述集合2,4,6,8吗？例1.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1） 方程/一2=O的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合。解：（1）设方程，一2=0的实数根为X,并且满足条件，一2=0,因此，用描述法表示为:A=x
9、Cx2-2=O.方程，一2=0有两个实根丘,-2,因此，用列举法表示为：=2,-2）o（2） 10小于20的整数为X,它满足条件xeZ,且10x20,因此，用描述法表示为B=xZ10xx、yR、y=x?+l是同一个集合吗，为什么？例2.已知A=4-2,22+54,I0,且一3eA,求。解：因为一34,所以-2=-3或22+5=-3,所以=-l或=,但=-l时，a-2=-32且2112+5=-3与集合中元素的互异性矛盾，所以。=-二。2重要提示：集合中求字母参数须验算.备题:例3.若A=xx=3+l,Z,B=xx=3+2,Z,C=xx=6+3,Z。(1)若ceC,问是否有A,8,使c=a+b;(
10、2)对于任意A,匕8,是否一定有4+hC?并证明你的结论.解：(1)因为cwC,所以c=6m+3,mZ,贝Jc=3，+l+3，+2.令3?+1=,3/+2=匕，则c=a+b,故有CeCo一定有AB,使c=+h成立；(2)设a=3wl,Z7=3+2,7z,Z,则+=3(m+)+3.当用+/=2A伏Z)时a+b=6k+3&C.此时有cC,使a+b=c;当?+/=2女+1伏Z)时a+b=6k+6C,此时不存在c,使+力=C成立.四、小结：本节课学习了以下内容：1 .集合的有关概念：(集合、元素、属于、不属于)2 .集合元素的性质：确定性，互异性，无序性3 .常用数集的定义及记法五、课后作业：PnU习
11、题A：1,2,3,4,六、课外作业：作业本：L1.1课外练习：1、设a,b是非零实数，那么+9可能取的值组成集合的元素是ab2、设集合G中的元素是所有形如a+b(aZ,bZ)的数，求证：(1)当xN时，xG;(2)若xG,yG,则x+yG,而-不一定属于集合g。X证明(1)：在a+b(aZ,bZ)中，令a=xN,b二0,则X=x0*2=abV2G,即XWG证明：VxG,yG,X=abV2(aZ,bZ),y=cdV2(cZ,dZ)x+y=(a+bV2)+(cdV2)=(a+c)+(b+d)2VaZ,beZ,cZ,dZ.*.(a+c)Z,(b+d)Zx+y=(a+c)+(b+d)2G,又：=-I=
12、+Xa-vby2a2-2b-a2-2b2a2-2b2a2-2b不一定都是整数,a2+b,2不一定属于集合G0a2-2b1O2-Tb1练一练：(1)请写出工一73的解集；A=xx0(2)请写出所有偶数组成的集合.B=小=2kZ或B=xx为偶数我们约定，如果从上下文的关系看,，例1：辨析下列集合书写是否正确？如果正确，请指出运用了什么表示法，元素是什么？x谣三角形:三角形:所有的三角形,实数集:x5；x|x0j(3)xy=x2-l):(4)yIy=2-t(5)(x,y)y=2-i(6)x2-1=；(7)x2-l0)例5:已知A=-2,2q2+501,且一3eA,求.取Qge2i3洛gz2心54弓弓
13、3+3D而:彳1a，-杯戊饭1施）Ahi腐M2二一糕2一5人（XhW例6：若a,7R,集合l,a+O,a=,2,求一。的值.cr=-l,b=l,b-a=2怫由蒯盛。MO，La也70族OJ会Ik八。-1上仇二2久/思考题：设。是正A2A及其内部的点构成的集合，点4是的中心，若集合5=仍|/。,|尸兄的理|,，=1,2,3,则集合5表示的平面区域是(D)A.三角形区域B.四边形区域C.五边形区域D.六边形区域附录：康托尔简介发疯了的数学家康托尔(GeOrgCantor,18451918)是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。康托尔11岁时移居德
14、国，在德国读中学.1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874-1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部
15、的点都“一样多”，后来几年,康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作可是这时康托尔仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到
16、安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。康托尔创立了集合论作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。从而解决17世纪牛顿(LNewton,1642-1727)与莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646-1716)创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西(A.L.Cauchy,1789-1857)、魏尔斯特拉斯(K.Weierstr
17、ass,1815-1897)等人进行的微积分理论严格化所建立的极限理论。克隆尼克(LKronecker,18231891),康托尔的老师，对康托尔表现了无微不至的关怀。他用各种用得上的尖刻语言，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔。横加阻挠康托尔在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位。使得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。法国数学家彭加勒(H.Poi-ncare,18541912)：我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西。集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一代将把(Ca
18、ntor)集合论当作一种疾病，而人们己经从中恢复过来了。德国数学家魏尔(C.H.HermannWcyl,1885-1955)认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克斯.克莱因(F.Klein,1849-1925)不赞成集合论的思想。数学家H.A.施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集合论而同康托尔断交。从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自己的工作是否可靠。他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位,健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世。流星埃.伽罗华(E.Gal
19、ois,1811-1832),法国数学家。伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般次方程求解问题。许多数学家为之耗去许多精力，但都失败了。直到1770年，法国数学家拉格朗日对上述问题的研究才算迈出重要的一步。伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上。同时创立了具有划时代意义的数学分支一一群论，数学发展史上作出了重大贡献。1829年，他把关于群论研究所初步结果的第一批
20、论文提交给法国科学院。科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作。1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了。以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J.B.傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。1831年1月伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作。当时的数学家S.K.泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的,但最后他还是建议科学院否定它。1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后,委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类。1832年5月31日离开了人间。死因参加无意义的决斗受重伤。1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表于刘维尔主编的数学杂志上。
