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1、重难点05一类与斜率和、差、商、积问题的探究【题型归纳目录】题型一X斜率和问题题型二：斜率差问题题型三：斜率积问题题型四：斜率商问题【方法技巧与总结】已知P（XO,典）是双曲线二 a1、已知P（XoJo）是椭版则直线/斜率为定值5.1上的定点，直线/（不过尸点）与双曲线交于4,B两点,且kPA+kPB直线/斜率为定值-3、已知P（Xojo）是抛物线V=2p上的定点，直线/（不过2点）与抛物线交于M,N两点，若kpA+kpB=Q,则直线/斜率为定值-3.V2v24、PaO,打）为椭圆:r+4=l（00）上一定点，过点尸作斜率为勺，乂的两条直线分别与椭圆b交于,N两点.（1）若占+A,=l（20）
2、,则直线MN过定点（%生,-No-也争）；a（2）若kk2=MA.工马,则直线MN过定点（“,+”：x。,-，+”：凡）.aa-ba-b5、设P（X（PMl）是宜角坐标平面内不同于原点的一定点，过P作两条直线48,CD交椭圆22:5+彳=1（0,60）于/、B、C、D,直线48,CO的斜率分别为k2,弦AB,CO的中点记ab（1）若+=2H0），则直线MN过定点（/一比,一（2）若占=W/4）,则直线AZN过定点（J广2，2）aa-h2a-b6、过抛物线/=2px（p0）上任一点P（XOJO）引两条弦21,PB,直线尸彳，PB斜率存在，分别记为k,k?,即攵+左2=2（%工0），则直线48经过
3、定点（XOF，-A【典型例题】题型一：斜率和问题例1.(2023重庆南岸高二重庆市第十一中学校校考期中)己知双曲线E:x2-g.=i30),点尸(-2,-3)在E上.(1)求E的方程；(2)过点Q(0,7)的直线/交E于不同的两点48(均异于点P),求直线RLP8的斜率之和.【解析】将点P(-2,-3)代入双曲线方程可得，-肆=1，b解得人=3,所以，E的方程为V-?=1.(2)由己知易得直线/的斜率一定存在，设斜率为攵，则/的方程为N=H-LX2-Z-=I联立直线与双曲线的方程3,y=kx-整理可得(3-公卜2+2H4=0,3-k20=(2)2+16(3-2)=-12(2-4)O解得-240
4、)上有两点48,且直线48过点(8,0),N4O8=9(T.(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线上有一点。，纵坐标为4,抛物线上另有两点M,N,且直线OM与ON的斜率满足+v=QqQMN重心的横坐标为4,求直线MN的方程.【解析】(1)由题意知直线AB的斜率不可能为0,设4(西,乂),6(吃J2)，直线48的方程为X=即+8,由4403=90*得,OAOB=O,即=电+弘力=，22即在?+M=,即必8+4/=0,2P2P将X=Wy+8代入V=2p,得丁=2p(my+8),贝J-2pzwy-i6p=0,则必2=-16p,贝J4T6P=O,由p0,解得p=4,故所求抛物线的标准方程为/=8x.
5、(2)由抛物线方程可得。点坐标为(2,4),设“优办)，(孙乂)，.y3-4y4-4-4y4-488_ko.f+knf.=-+=JFJ=+=O则,x325一2(乃)-O(ZIy1%+4乂+4,88则8+%+8=0,且fl则(%)2_(以)2=8卜3_4)，乂=x4故七N=2izA=-=-1.又2+,+/=4,3-x4必+居3则再+匕=10，又+居二-8,可得直线MN的中点坐标为(5,-4),故由点斜式得直线MN的方程为y+4=-(x-5),即x+y-l=O.例3.(2023四川巴中高三统考开学考试)已知椭圆C.+g=l(60)的左、右顶点分别为4,4,点M(Is)在椭圆C上，且丽碗=-：求椭圆
6、C的方程；(2)设椭圆C的右焦点为尸，过点尸斜率不为。的直线/交椭圆C于尸,。两点，记直线MP与直线MQ的斜率分别为心内，当人+2=0时，求的面积.【解析】(1)由题意知4(0,0),4(d0),又硝学，则丽=,4_b丹丽=()(一l)(1)+(=一(，解得=2(负值舍去)，由(,?在椭圆C上及=2得；+亲=1,解得=3,椭圆C的方程为工+匕=1;43(2)由(1)知，右焦点为尸(1,0),据题意设直线/的方程为X=my+l(m),P(my1+l,y),(my2+1,必)，_3_3则/=M=2*-3*二乃一5二2乃一3,加必2m必，2my22my2于是由K+&=。得誓2+U=0,化简得4%必=
7、3(必+/)(*)由A消去X整理得(3/+4)/+6世-9=0,3x+4-12=07=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+l)0,由根与系数的关系得：%+为=-丁J，必必二-二F，3w+43广+4代入(*)式得：18/w36.,.,jaC-C，,=J，,，解得m=2,3w2+43/+4直线，的方程为x-2y-l=0,方法一：=144（22+1）=720,erl+y2=一，必为=-工416由求根公式与弦长公式得：|尸=i7F凹_必|=/俨=Y,121F-设点M到直线，的距离为d,则d_2_35,cIID川/1153595w=2p6f=2xTx-5-8方法二：由题意可知s2pq=S*MP
8、F+S库VQF=5Ml（/+%）=a（k/+卜。1）x-2y-l=0代入3/+4/-12=0消去卜得4工2+2%-11=0，=22-44（-l1）=180O,xp+x0=-xpxq=-60）的离心率为也，直线/：*+叩-1=0a-h22恒过椭圆上的右焦点A(1)求椭圆E的方程；(2)设直线/与椭圆E交于48两点，在X轴上是否存在定点尸，使得当机变化时，总有直线P4的斜率和直线总的斜率即8满足即,+A.=。？若存在，求出尸点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】(I)设椭圆E的焦距为2c,则椭圆E的右焦点为产(c,0).因为直线/恒过定点(1,0),所以。=1,又因为=，a2=b2+c2,a2所
9、以1=2,2=1,所以椭圆上的方程为二十/=1；2-V2=1(2)将椭圆与直线联立方程组I+二,X+加-1=0消去X,可得(2+/)/一2叩一1二0,设乂),5(x2,%),2m必+歹2=由韦达定理得，；”，2+m设点尸&0)满足题意，则%+3二汽+且rr-,所以x1-/x2-tl-wy1-tl-ny2-/(l-ny1-Z)-my2-I)(IT)(M+必)-2利月二0，所以(l-f)3+2m丁二=0,2+M2+m所以2m(1t)+2?=2n(2)=0,因为当冽变化时，总有直线PA的斜率和直线PB的斜率原8满足3+kp8=0,所以当f=2时，上式恒成立，所以在X轴上存在定点P(2,0)满足题设条
10、件.变式2.(2023陕西延安高二统考期末)已知抛物线UX2=2朗(p0)的焦点为E准线/与y轴的交点为M,动点、A(异于原点O)在抛物线C上，当与y轴垂直时，F=2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线力产与抛物线C交于另一点6,证明：直线4M的斜率与直线3的斜率互为相反数.【解析】抛物线UX2=28(p0)的焦点为尸(0,3当/尸与y轴垂直时，易得片(土P，5),即MH=P=2,：抛物线。的方程为2=4y.(2)证明：由(1)知，尸(0,1),M(O-I),设点彳再号,8(工2，子，设直线48)=h+l,代入抛物线C的方程得，x2-4kx-4=0,则玉+彳2=必，XlX2=Y,.+k.4:
11、+=了(4+酒)kAM+KBM-十一/Rx1X24x1x2变式3.(2023全国高三专题练习)设抛物线氏V=2p(p0)的焦点为凡过尸且斜率为1的直线，与E交于4,8两点，且46=8.(1)求抛物线E的方程；(2)设尸(1,加)为E上一点，E在P处的切线与X轴交于。，过。的直线与E交于M,N两点，直线PM和PN的斜率分别为怎A,和AAw.求证：原刊+&W为定值.【解析】由题意，尸径,0)直线/的方程为八工-4，代入=2px,得G3px+E=0于是玉+“3p,2)24工焦点弦MBI=XJ+/+P=3p+p=4p=8,解得p=2.故抛物线E的方程为产=4x.(2)因P(L?)在E上，?=2.设E在
12、尸处的切线方程为y-2=f(x-l),代入=4,得ty2-4y+8-4t=0.由=4?-4/(8-4。=16(-lf=0,解得I=I,尸处的切线方程为y=x+l,从而得O(TO).易知直线MN的斜率存在，设其方程为y=Mx+l),设Ma,必)，N(X2,%).将y=%(x+l)代入=4,得2+(2F-4)+=o于是石+9=卷-2,林2=1，且必=入$+1)，y2=k(x2+).,必一2,为一2_/乃+/必一(乂+%)-23+工)+4Pp7ETT一(-v1-)(-)88x1x2 -(Xl +x2)+1441+2TT+1”q2.2A-2(为+0)+4-2(2p+4+4-2%8-汽故kpM+kpN为
13、定值2.变式4.(2023四川泸州高二统考期末)在平面直角坐标系XOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,记C的轨迹为曲线E.(1)求E的方程，并说明E为何种曲线；(2)已知力。,2)及曲线E上的两点8和。，直线48,40的斜率分别为人，的，且4+&=1,求证：直线5。经过定点.【解析】(1)设圆心c(,y),半径为，因为圆心为C的动圆过点(2,0),所以(x-2)2+V=r2,因为圆心为C的动圆在N轴上截得的弦长为4,所以V+2?=/,所以(x2)2+/=/+4,gj=4,所以曲线E是抛物线.(2)设直线8。：x=ty+n,联立消去K并整理得炉-郁-4=0,=16
14、2+1620,即“+心。，设8(x,乂)，D(x2,y2)f则乂+8=4/,yly2=4ft421二=g=_%,=左匚=_因为石T2l-1M+2，X2-I区_必+2，44所以K+-，+=4(必+2+%+2)=4(凹+H)+16=J凹+2y2+2(v1+2)(2+2)yiy2+2(y,+y2)+4所以2(凹+必)+12=My2，将乂+%=4,必必=-4代入得8/+12=-4，BP2/+3=-W,所以直线50：X=伊-23,即x+3=f(y-2),所以直线BQ经过定点(-3,2).变式5.(2023海南省直辖县级单位高二嘉积中学校考期末)已知椭圆C：+=i(abo)的右焦点尸在直线x+2y-l=0
15、上，48分别为C的左、右顶点，且4尸|=3忸尸(1)求C的标准方程；(2)已知0(2,0),是否存在过点G(TO)的直线/交C于M,N两点，使得直线PM,/W的斜率之和等于1?若存在，求出/的方程；若不存在，请说明理由.【解析】(1)设右焦点/(c,0)宜线x+2y-l=0与X轴的交点为。,0),所以椭圆C右焦点尸的坐标为(1,0)故在椭圆C中c=l,由题意|1=。+。=3取川=3(-c),结合c=l,则G=2所以椭圆C的方程为：+-=143(2)当直线/的斜率为。时，显然不满足条件上pm+%v=T当直线/的倾斜角不为0。时，设直线/的方程为：x=my-f”(再,必),N(w,%)由3+41=
16、12,可得(2+W-6叼-9=0由题意A=36-4x(3/+4)x(-9)=144/+1440r.,l6m9则必+必二有EJ必=一菽7由L+GT+告=Lr七l*一2x2-2myi-3my2-3(my1-3)y2-S)化简可得kp+kpNm,由kp(+kpN=-1,即m=1故存在满足条件的直线，直线/的方程为：-y+l=0变式6.(2023广东高二校联考期末)设点Q为抛物线C：丁=2Py(P0)的焦点，过点尸且斜率为右的直线与C交于Z,B两氤S有OB=2瓜(。为坐标原点)(1)求抛物线C的方程；(2)过点E(0,2)作两条斜率分别为小右的直线小L它们分别与抛物线C交于点P，。和见S.己知EPE=
17、ER-ESfH：是否存在实数4,使得勺+根为定值?若存在，求人的值，若不存在，请说明理由.【解析】抛物线C/=2朗(p0)的焦点40,争，仃线”的方程为y=r+g由=6+与消去歹并整理得：产一2岛l=o,设HXM,8缶M,X2=2py则xl+x2=25pyxix2=p2IX1-X21=J(X+W)?49%2=y20p2+4p2=26p,因此S“=g用%一毛I=SXlX2Z%p=W=M而p,解得p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)存在7=1,使得人+和为定值.依题意，直线ky=A+2,直线A?=3+2,由匕一消去y并整理得a-4幻-8=0,设P(XQ3)，。(乂)，x=4y则X3+2=
18、%,X3X4=-8,IEP=y/+k；/IEQ=g；卜41，IEPIEQI=8（1+L）,设K（X5，必），5（工6，稣），同理乐+工6=442户56=-8,且有IEHIES=8（1+修），由EPE0=EKES,得8（1+后）=8（1+芍）,即F=后,而A2,则匕+1=。，所以存在=1,使得占+生为定值0.22变式7.(2023山东青岛高二校联考期中)设椭圆C：+%=l(%0)的离心率为9且短轴长为2L(1)求椭圆C的方程；(2)若在y轴上的截距为2的直线/与椭圆C分别交于4B两点,O为坐标原点，且直线04,08的斜率之和等于12,求直线48的方程【解析】(1)由题可得b=L由e=?有0=2c
19、,b2=a2-c2=3c2=3,解得c=l,2=1+3=4.故所求椭圆方程为：+-=1.43(2)由题意可知直线48的斜率存在，设：y=kx+214(演,必)，8(/,%)，y=kx+2联立y=（3+4）+16Ax+4=0,I=143=（16Zr）-16（3+4%2）0=左或一；，16%4,H2=2 （vl +x2 ）- 16k,. ICIr =2k + 2= -6k = 12 ,X1X74.kOA+kfi=+Zl=（+2）+（区2+2*X1X2XIX2.=-2,故直线48的方程为y=-2x+2.题型二*斜率差问题例4.(2023全国高三专题练习)椭圆C：I+4=l(b0)的离心率e=立，a+
20、b=3.ab2(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A,B,。是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线。P交X轴于点N,宜线40交BP于点、M,设MN的斜率为加，8P的斜率为小证明：2m-为定值.【解析】(1)由椭圆的离心率e=11J=曰，则=26,又4+方=3，解得：a=2,6=1,则椭圆的标准方程为：+ /41；(2)证明：因为8(2,0),尸不为椭圆顶点，则可设直线8。的方程为=(工-2)。W0,联立y = n(x-2)X2 21- V =114 ，整理得(4/ + 1)x2-16w2x + 16-4 = 0 .则M=黑，故常,则(=岛所以p；82_2 -4、 4/ + 14/
21、+ 1,又直线ZO的方程为y=gx+l联立I 1 y=-x+2,解得My = n(x-2)4 + 2 42/1 1 2n-l)由三点D(O,1), P82一2 -4、 、41 +14/ +1,. N(M)共线,41涔一一二%，所以N8 -2 X-O3U4+l2 + 1二.MV的斜率为m =-4(2w + l)2 + 14+ 2 4-2 - 2(2 +1)? -2(2-1)? 4In- 2/7 + 1例S.(2023全国高三专题练习)在平面直角坐标系XOy中，己知定点力(1,0),点M在X轴上运动，点N在V轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足两.福=0,丽=2两+用.(1)求动点P的轨迹C的
22、方程;(2)点。为圆(x+2+y2=上一点，由。向C引切线，切点分别为S、。记人,与分别为切线OS,Or的斜率当。运动时求的取值范围.【解析】(1)设MO,b)M(at0),P(x,y).因为丽.丽=0所以(-x,-y)(l,-6)=0,即ar+如=0因为前=2而+P所以(,0)=(0,26)+(r,r)所以X=4,y=2b,所以y2=4x(2)设。(x,y)t问3,1由题意知:切线斜率存在，设为左切线方程为抄=Xro),联立X。)，化简得:024y4yaAXo=O =1616妁心力=O亚一仇 ；-3=勺言=M将乂=1一(/_2)2代入得h七21lol=1_(/+2)24XCI=yj-X1-S
23、xq-3,x0-3,-1kk2-x-80-32,23. .-的取值范围是2.2JJ2例6.(2023四川成都高二棠湖中学校考阶段练习)设M、N为抛物线U=2px(P0)上的两点，M与N的中点的纵坐标为4,直线MN的斜率为3.(1)求抛物线C的方程；(2)已知点P(l,2),A、8为抛物线C(除原点外)上的不同两点，直线尸彳、P8的斜率分别为人，右，且满足2,记抛物线C在a、8处的切线交于点S(%”),线段的中点为E(XEjE),若匕=Ay,求4的值.【解析】(1)设M(X”凹)，N(WJz).又M、N都在抛物线C上，即所以Ji2=2PXi,必2=2px2.由两式相减得(M+必)(乂-%)=2p
24、(-X2)，直线MN的斜率为：，2i二2i=:2XlT22两边同除以Xl-X2,且由已知得M+M=8,所以8g=2p,即p=2.所以抛物线。的方程为V=412.1L.因为11=44=乃一乂尢k1必-2y4-24所以巧丛=2,所以乃一居=8,所以直线”:丁一=j1-丹同理得直线SAy-M=j（x-乎联立以上两个方程解得兄=”产又人=三产，所以乂=力，所以4=1.变式8.（2023全国高三专题练习）如图,已知点尸是抛物线C：V=2Py（P0）的焦点,点M在抛物线上，且两=（一2,0）.（1）若直线山-丁+2=0与抛物线。交于48两点,求|48|的值；（2）若点只。在抛物线C上,且抛物线C在点只。处
25、的切线交于点S,记直线MRM。的斜率分别为勺,质,且满足22-勺=2,求证：P0S的面积为定值.【解析】（I）设M（XQJ）,由题意,得小0，4），故/，%Y=(-2,o),即PV2)n=T代入f=20O)中,得4=p2,所以P=2,所以抛物线方程为f=4几联立方程,得=?：x-y+2=0,消去心得/-4x-8=0,=16+320,记N(U/),8(出,力),根据根与系数的关系,得/+4=4,吃=-8,故AB=uirx7f-xtfI=+T16+32=46.（三）由(I)可知,抛物线方程为2=4y,M(-2,l),设PG,手)、。口2国,S(s),因为直线MPMQ的斜率分别为尢，右，又因为占=2
26、,所以七一百=8,直线5尸:卜=土彳-工,直线5。:、=%-五,易得因为直线P0:y-手=土言（X-XJ,如图,过S作），轴平行线交PQ于点将XS的值代入直线PQ的方程,可得外=更左,8所以S“0S=5SEMf=5仇一力卜8=4所以aP0S的面积为定值32.变式9.（2023全国高三专题练习）如图，已知椭圆C：1+g=l（ab0）的离心率为A,8分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F,BF=I,过户且斜率为左60）的直线/与椭圆C相交于M,N两点，M在X轴上方.（1）求椭圆C的标准方程；（2）记FM,a8W的面积分别为耳，S2,若IL=求人的值:*Z（3）设线段MV的中点为。，直线OQ与直线*=4
27、相交于点E,记直线4M,BNtFE的斜率分别为尢，右,%3，求%2（*1-七）的值.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c（c0）.C1依题意可得e=；,a-c-,a2解得=2,c=l.i62=a2-C2=3.所以椭圆C的标准方程为+己=1.43（2）设点M（x,乂），N（X2，必）.；1卜杷尸卜IMl即有力=-2凹，设直线MN的方程为X=W+1（m0）,与椭圆方程3+4y2=12,可得(4+3m2)y2+6my-9=0,E6m9/则乂+必=一Zl“2，必为=工J，4+3m4+3w将代入可得8/=4+3/,解得ZW=侦,5则k=:2(3)由(2)得yo =必+必23mI 46彳，仙=瓦彳，所以攸8的
28、方程为LL令X=4,得外=-3m,即E(4,-3n).所以&=m=TM4-1所以&（占勺）=忆（占）=气e2+成k2-2X1+2)+明区+2)凹为+my2S*+3)(再+2)(x2-2)(myl+3)(my2-1)(1+/2)必必+3必_(/+l)y乃+3W.%m AFr AF2 一2AF-AF 2，所以IN片H4用I=?，又Sdi福=；|/周|/尸2卜也5=；*W=乎，解得6=1,J/J，所以/ =/+= 4,故椭圆E的方程为H +炉=1 . J(2)直线4 ：%-y + 21=0(1 0),设M(XJ,。?,8),kx-y + 2kx = 0/2，所以(I + %卜2 + 16& + 16
29、奸-4 = 0,4 + j = (16后)2一4(1 + 4后)(16公一4)= 160恒成立, 16k：16r12-4所以“K F故/=宥=-备=/，乙1十r(设直线，2为丁 = 2% +小，20,yly2-myl+3my2-3m2yly2-m(yl+y2)-3+4tny29(m2+1),9(m2+1),一77犷+3研+3，佻39m2nt2、“12。/+1)4r+T-3+4my2厂+4my14+34+3m2z24+3w2变式1。.(2。23广东广州高三华南师大附中校考开学考试)已知椭圆Ks八。)的两焦点分别为(-5,),6(6,),4是椭圆E上一点，当NE48=m时，耳4鸟的面积为巫.33(
30、1)求椭圆上的方程：(2)直线4：3-丁+2占=0化0)与椭圆E交于M,N两点，线段N的中点为尸，过P作垂直X轴的直线在第二象限交椭圆E于点S,过S作椭圆E的切线M6的斜率为左2,求用-质的取值范围.【解析】(1)由题意得c=L由椭圆定义可得IMl+1典1=2%又/耳/鸟=今,由余弦定理可得:二MI2+1伤2一忻寸(I狗+1阳)2-2|细盟T组2AFiAFAfAF_4t/2-2AFxAF2-4c2_4Z)2-2fJ_Iy=k2x+m联立x22,所以(1+4月)/+82+4/2-4=0,彳+】=1由A=(8)2-4(1+4)(4m2-4)=0可得1+4代=m2,4k,m4k,8后4k,被：_k；
31、_k：2k：所以一RTF则一=-,所以得诃广U=E,所以所,则kk?=k一一/812+1y=.由于函数=8+必在K(0,s)上为减函数，所以函数工在K(0,+e)匕为增函数,22121y=I=II-所以函数w+_L在，W(，+8)上为减函数，所以2V好所以占一&(0,+0),直线/：J=2x-4交抛物线C于4,8两点，46中点为(3,2).(I)求抛物线C的标准方程；记抛物线C上一点P(2,M,i0,直线4斜率为4,直线网斜率为内，求心七.【解析】(1)设Z(XQJ,用松必)，则有y2=2p%一得必2-因=2Pa-X2)=(M+%)(M-力45均在直线/上，廿二丛=2,X-X2又NB中点为(3
32、,2),则有H+%=4,代入有4 2 = 2p,p = 4. .抛物线C的标准方程为/ = 8%.同理有七=M+4必+4y2=8x联立直线/与抛物线c：尸二，易得V4y16=0,y=2x-4则有乂+%；：,代入式有小内=4IKy2=T6例8.(2023辽宁高二校联考期中)已知P(4,%)是抛物线。：/=2夕工0)上位于第一象限的一点，且尸到。的焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)设。为坐标原点，尸为C的焦点，A,B为C上异于P的两点,且直线P4与P8斜率乘积为T.(i)证明：直线48过定点；（三）求IFM却的最小值.【解析】由题可知4+5=5,解得p=2.所以C的标准方程为J?=.(
33、2)(i)由(1)知，M=4x4,且为0,解得%=4,所以P(4,4).“、“、k=24=.44设“3J，8T，则1y：.必+4，同理可得，kpB=-,(4Jk4)十4%”+444则怎/Xm=-=,即4(必+必)+乂8+20=0.%十，必+4/2、一一乂一必丫_直当直线AB斜率存在时，直线AB的方程为一必一彳J，整理得4x一(乂+以方+乂必=0.T-T4所以4x-20-(乂+必)(y+4)=0,即y+4=-(x-5),乂+、2所以直线48过定点(5,-4)；当直线48的斜率不存在时必+%=，可得乂2=20,8=5.综上，直线48过定点(5,-4).(ii)设力(和必),现和必),当直线N5斜率
34、存在时,设直线48的方程为丁=。-5)4=b一5左一4,与抛物线E联立得口：飘,，消去X得标2002+8+4卜+(5k+4)2=0,y=k-5k-47由题意(),所以再+9=詈以，衲=安殳.所以60)经过点P j?,乎，尸为椭圆C的右焦点，O为坐标原点，。尸P的面积为立.4(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(g,0)且斜率不为0的直线/与椭圆。交于M,N两点，椭圆C的左顶点为4求直线NM与直线MV的斜率之积.【解析】(I)因为的面枳为且,4贝IJ有xcx =，解得c = l,224又因为, 如， 在椭圆C上,则立+矿I 2)a2-2 = l/ = 4解得心3所以椭圆C的标准方程为工+= 1.
35、433(2)当直线的斜率不存在时，直线的方程为X =；,与椭圆方程联立得M3 211 N 5,叵 r-又因为4-2,0),所以3ALl_工=答 J(2)-浮而所以328 ：当直线的斜率存在时，设直线的方程为v = %(-g, (4必),N(x2,%),联立方程y = kx=143，消去y得：(3 + 4标)/-12公工+9/-12 = 0 ,则A=（-1242y-4（3+4k2）（9/-12）=84A：2+144O,由*XHI俎2k29k2-2由韦达理得X1+X2=-，xx2=T，3+4k3+4k叫k_为斗-1代9,N一为+）+2WE+2,2,j4_（3+4公23+44/_3一xi2+2（x,
36、+x2）+4-12212公i3+4-3+4-+3综上所述，直线与直线4V的斜率之积为一点.变式11.（2023辽宁高二本溪高中校联考期中）已知直线/的方向向量与直线3x-4y+2=0的方向向量共线且过点M（8,3）；（1）求/的方程；（2）若/与抛物线V=交于点48,0为坐标原点，设直线04,直线04的斜率分别是心内；求小右及二+1的值|。川2|0回2山但.【解析】（1）由题意知，33直线3x-4y+2=0的斜率.为直线/的斜率为:，443依题意，直线/的方程为y-3=（x-8）,p3x-4jv-12=0:（2）设4（和乂）,5（孙），由3x-4-12 = 0y2 =4x得犷一16匕48 =
37、00PM=*快=1=也一，必必My2设点。到直线/的距离为4=上雪二与9+165由kik2=-1知CMJ_08,所以0A+0B=AB,0A0=dAB,故，+，J2I2上J3IO川2IOBI2I阳2/a144变式12.（2023山东日照高二统考期中）已知动点到点（-4,0）,鸟（4,0）的距离之差的绝对值为4&,斜率为-3的直线/与点”的轨迹。交于48两点.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)若丽+丽=O(O为坐标原点)，点N(3,l),记直线N4,可糜的斜率分别为%,k?,求匕尤的值.【解析】(1)由题意可知，点A/的轨迹C是以6，工为焦点的双曲线，IL2=4/2c=8，所以q=2,V2C=4
38、，所以/=/“2=168=8,所以动点M的轨迹C的方程为工-亡=1.88(2)设4(x,弘)，B2,为)，则*(T2，一为)，则尢=，k=!X1_J_工2-J设直线/的方程为y=-3x+m,与双曲线C的方程联立，消去y得：8-6wx+zn2+8=o,由=(-6w)2-32(w2+8)0,得由一元二次方程根与系数的关系得玉+=当，482所以My2=(一3Xin)(-3x2+m)=9,ix2-3ftl+x2)f-w2=F98乂一%=-3&-)，则Kh =必 1 f T _乂乃+MfTxi -3 -X2 -3 x1x2 +3x, -3x2-9+8 3(x. -x7)T =4,故/汗2=_.-8 +
39、3(x1 -x2)O变式13.(2023甘肃武威高二校考期中)已知椭圆的离心率为焦点是(-3,0)和(3,0),(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线L(不过原点)与椭圆。交于48两点，线段的中点为求直线与直线。的斜率乘积k()M.k.4B的值.【解析】(I)焦点是(-3,0)和(3,0),故c=3,椭圆的离心率e=,故=6,a2所以力2=-C?=27,椭圆C的标准方程占+乙=1.3627(2)设N(Xl,必),3(4%bM(xo,%),!1362至I36+ 八 =1227221,做差得：+2S=0=136270y-y227yl-y2yl+y2_27_3即FF3故J，kAB=一7变式14(20
40、23河北衡水高二衡水市第二中学校考阶段练习)已知抛物线UV=2px(p0)经过点0(2,2).(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(2)过点M(2,0)的直线交抛物线。于力、8两点，。为坐标原点，记直线O/,OB的斜率分别为尢，右，求Kh的值.【解析】(1)由题意22=2px2,P=I,所以抛物线标准方程为V=2x,准线方程为X=-；.(2)由已知所作直线的斜率不为0,因此设直线方程为x=四2,设4(x”凹),8(X2J2),由c得一ny-2=0,显然A=+4(),(X=my+22乂+%=2m,yiy2=-4,则xlx2=(myx+2)(%+2)=m2yly2+2rn(1+y2)bO)的一个顶点为尸(0,1),离心率为
