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1、第二章五、计算题xl+Ix2-x3=11.顺序Gauss消去法解线性方程组Xl-3jv2-3x3=-14.v1+2x2+2x3=3解：由线性方程组消去后两个方程的乐得，xl + 2x2 X3 = 1-5x2 - 2均=2-6x2 +6x3 = -1再消去最后一个方程的X2得回代得解:计并过程保留三位小数。r 1116、-18解12-331512-183-12 1r 1 12.用列卜:元索法求解线性方程纽 12-3-18 33-1T5)r-183-1-3315O-12.333116 ; 01.1670.944-15、55.167,-18O31.167-10.944-155.167r-i8O31.
2、167-10.944-155.167，回代得X3=3.000X2=2.000、O-12.3333.用直接三角分解法解方程组5，2-42k6-17O3丫须、8r20x3O=32122J3.1429.428Zx1=1.000IIXL=maxxi=ma(I2M-3,4=4：O0、2-13、1O042一1b、0O3)1.UM=N=l2l+-3l+l4l=9三f=ll=f1* Ii=I )0,5=22+(-3)2+42=29五、计算题IOx1-X2-2x3=72I.用JaCObi迭代法求解线性方程组-X1+IOx2-2x3=83，迭代两次。-X1-X2+5*3=42Xl=0.Ix22x3+7.2解8将方
3、程组改写成等价形式x2=0lxl02x3+8.3.x3=0.2x1+0.2x2+8.40.1+0.2+7.2Jacobi迭代法计算公式为.以+D =0.1 X产 +心 x，？=0.2x*+0.2设初始向量取x(0)= (0,l0, 0) 0.2峭+8.3 .产 +8.4第一次迭代X=(7.2,8.3,8.4)T：第二次迭代x；2)=0.18.3+0.28.4+7.2=9.71.=0.17.2+0.28.4+8.3=10.7.靖=0.27.2+0.2X8.3+8.4=11.50.IOx1-X2-Ix3=722.用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组一盯+1-2x3=83,迭代两次.-x1
4、-x2+5=42x1=0.1x2+0.zx3+7.2解S将方程组改写成等价形式，x2=OJx1+0.2x3+8.3，x3=0.2x1+0.2x2+8.4x1+=0.1蛾+0.2好+7.2得GaUSS-SeidCI迭代法计算公式xf+D=0.1x,+“+0.2Xf)+8.3铲)=0.2x;ft+n+0.2+D+8.4设初始向址取x(0)=(0,0,0)Yx;=7.2第一次迭代IXT=O.1X7.2+8.3=9.02/2)=O27.2+0.29.02+8.4=11,644x；2)=0.19.02+0.211.644+7.2=l0.4308第二次迭代J=0.1l0.4308+0.211.644+8.
5、3=11.6719Af)=O.2X10.4308+0.211.6719+8.4=l2.82053.设有方程组4x = b，其中A= 1/2 J/2解 由JaCobi迭代矩阵M =/ 。TA =1/21/2、11/2。求Jacobi迭代法解该/J程蛆时的收敛性。1/2L0-1/2-1/2、-1/20-1/2lk-l2-1/201/21/2 =( + l)(-l2)2=0, 1/2得到对应的特征方程I力r-MI=1/21/21/2所以特征值为4=N2=1/2,i=-.由谱半布的定义得迭代矩阵的p(M)=1.由迭代法收敛的充分必要条件知JaCobi迭代法发散。1 .已知/(一1)=2,/(1)=3.
6、/(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及/(1.5)的近似值,取5位小数。解：必)=2、昂第+3、需符-4监H(IXx-2)争+吐2)争+2)/(L5)W=0.046172 .-HI数据如卜代所小，分别用Lagrange插值法和NeWton插值法求/的:湫插值多项土并求了(2)的近似值。Xi1345解：(1) Lagrange :次插值多项式为f(xi)2654/2(X-3Xx-4)(X-5)(X_IXX_4)(x_5)(X-I)(X-3)(x-5)(X-I)(X-3)(x-4)7；-3X1-4X1-5)+6(3-iX3-4X3-5)5(4-iX4-34-5)4(5-iX5-35-4)
7、具体差商表如下:Xi%一阶差商二阶差商三阶差商1236245-1154-100.25因此M(x)=2+2(x-1)-(X-I)(X-3)+；(X-I)(X-3)(X-4)412M=5.53 .取打点Xo=O,X1=0.5,=L求函数/=”在区间0,1上的次Lagrange插值多项式L2(x),并估i*B储L(X)=JX(x-05rT)-0.5X(X-O)(XT)-1(AoXX-0.5)(-O.5X-l)(0.5-X.5-1)(i-Xl-0.5)=2(x-0.5)(X-1)+4e0Rx-1)+2e-,x(x-0.5),般!尸(步因为f(x)=ex,(x)=-e-x故截断误差R (小(M-G(XI
8、 =3!g(4M-5 心 Tl4.以100,，144为插值节点,用NeWlOn插值法计算Jnm的近似值，并利用余项估计误差.解：1)构造如下差分表：Xi一阶差商二阶差商I(K)121144IOH120.04761900.0434783-0.000094U36所以M(x)=/(XO)+小0,占卜-Xo)+/Lo，w，与卜-/)(XTl)=10+0.0476MK)O)-0.00009411362(X-1OOYx-121)令.E15,代入上式，11510.72276-_52)因y=/(%)=，所以/TH=。4/8结合W2W=(x-10)(a-121)(x-I44)得艮(叫=3!(115-10)(11
9、5-)(115-144)111OO156290.00163685.已知/(-1)=2/()=4./(1)=10./(2)=26,则2次NeWion插值多项式中/的系数为?3次NeWtOn插值多项式为？答：差商计第表如下X心)一阶差商二阶差商三阶差商-I2042I1062226165I因为22。)=()+Xo,(X-Xo)+/与,七,2(x-)(X-Xl)=2+2(x+D+2(x+D(X-O)=2x2+4x+42所以二次Ncwton插值多项式中X”的系数为2.3次Ncwton插值多项式即是在2次NCWlOn插值多项式基础上增加一项：V3(x)=N2(x)+fx0,xpx2,x3(x-x0)(x-
10、X1)(x-X2)=2x2+4x+4+1(x+1)(-0)(:-1)=2x2+4x+4+x3-X第6章函数翼近o，=x+2x+3x+4二、计算题1.已知数据表如卜所示，求其一次最小二乘拟合多项式。xi 12驰歹252.04.0 3.5 6.05.5Sx = 28SY = 24.00.52.52.04.03.56.05.5所以 6 (X) = 0.0714 + 0.8393-所以p2 (x)=14PiM7 1011=FX 10 73 fX0)p,2) = (x-4(-)+0)+ f第7章四、计算题1.求积公式为(1)求4、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数褶度:(2)利用此公式求Z=J-d
11、x(保留四位小数)。解：(l)(x)=l,x,%2时，求积公式精确成立，即2A+2B22A+-B=-23IQ+ 4)得A=-,8=-,99求枳公式为f/(xZr(-l)+(l)+f2l/(X)=X3时.公式显然精确成立；考/(x)=X，时,左=一,右=一所以代数精度为3。532 1t=2x-3(2) / = dx =f.79 -1+397- 0.69291402,已知数值积分公式为，7(x)伙H勺/()+/()+2/，(0)一/，(创.试确定积分公式中的参数使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度。2解：F(X)=I显然精确成立：/(x)=X 时，Ja(O + )+2(1-1):fx)=x2时
12、，,2d=y=-(+A2)+2(-2)=y-2z=2=;f(x)=3时，J3dr=-=(+3)+-j2(-32):/(x)=x4时，j4d=-(+4)+-z2(-43)=-,所以，其代数精确尚为3。52126f21,3,用梯形公式和Simpson公式计算积分J()了心.解:/(O)=Ij=05J=0r212-018梯形公式：=(/(0)+7)=仃T0588(212-01152Simpson积分公式：|-tiv-(f(0)+4/(1)+f(2)=(1+2H)=1.0196jo+X6317514.=3,用复化梯形公式求也的近似值(取四位小数)，并求有效数字的位数，/一1解：Tn=/(a)+)+2)
13、,LA=I_因此Iez4=ye0+e,+2(e,/3+e2z3)1.7342已知=-(b)/)，由f。)=e，(x)=ex.广(X)=，TeUo.025 0.05 1232得1号。)1=吟则/倒铮=所以，至少有两:有效数字。五、综合题1 .数值求积公式-/(1)+/(2)是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？解：1)是.因为/(X)在节点1,2处的插值多项式为P(X)=/(0f/(2)=I/(D+/(2)已知/(外公CP(X)心，所以(1)(2)2 )(x)=l,x时，求积公式精确成立:当/(x)=2时，左=9,右7.5,求积公式不成立。所以其代数精度为Lf212.取5个等距方点，分
14、别用复化梯形公式和豆化SimPSOn公式计和枳分RN的近似值(保留4位小数)。Jo1+2x2解：5个点对应的函数值/(X)=了列表如下所示0.5II.)2/U)10.SSSSi70.333333DAHlHlii(),1111d复化梯形公式：Tn=BW+(z?)2)将“=4,刀=2/4=05及上表带k得IE=写1+2X(0.666667+0.333333+0.181818)+0.111111=0.8686870.8687八吁1(2)复化Simpson公式:2=-)+W+2)+4(x2m)Dt-I4-1将m=H2=2,A=2M=0.5及上表带人得：52=-l+4(0.666667+0.181818)+20.333333+0.111111=08619530-8620-6三、问答题1 .方程x=4-2”在国间1,2内有唯根X*,若用迭代公式x+i=ln(4-X)ln2,则其产生的序列xlf是否收敛于一?说明理由。答：迭代函数为夕(X)=ln(4-x)ln2因此=-0)的迭代公式为Xn+1=二x+(w=0,1,2,).其中&0：证明：对切=1,2,.,、2【XZj且序列x是单调递减的，从而迭代过程收敛。证明：因为乂囚为(1 + 1)=1X” 2所MX+1 _ 1“+1Xn即得到的序列xJ单调递减仃下界，因此迭代过程收敛。
