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1、人教A版(2019)必修第一册452用二分法求方程的近似解2023年高频易错题集弁考答案与试题解析一.选择题(共11小题)1 .利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：X0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y=2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556y=x10.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2=W的一个根位于下列区间的()A.(0.6,1.0)B.(1.4,1.8)C.(1.8,2.2)D.(2.6,3.0)【分析】本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题.在解答时，应先将方
2、程的问题转化为函数零点大致区间的判断问题，结合零点存在性定理即可获得解答.【解答】解：令/(x)=2-由表知F(L8)=3.482-3.240,f(2.2)=4.595-4.840,方程2=/的一个根所在的区间为(1.8,2.2).故选：C.【点评】此题是个基础题.本题考查的是方程零点存在的大致区间的判断问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及数据处理的能力.值得同学们体会和反思.2 .在用“二分法”求函数/(x)零点近似值时，第一次所取的区间是L2,4,则第三次所取的区间可能是()A.1,4B.-2,IC.-2,3D.-工，122【分析】由第一次所取的区间是-2,
3、4,取该区间的中点，可求出第二次所取的区间，利用同样的方法即可求得第三次所取的区间.【解答】解：第一次所取的区间是L2,4,，第二次所取的区间可能为-2,1,1,4；第三次所取的区间可能为-2,-1,Jl,1,I,1,1,42222故选：D.【点评】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题.在解答的过程当中充分体现了二分法解答问题的规律、数据的分析和处理能力.属基础题.3 .用二分法研究函数f(x)=xi+2x-I的零点的第一次经计算/(O)0,可得其中一个零点m,第二次计算,以上横线应填的内容为()A.(0,0.5),/(0.25)B.(0,1),/(0.25)C.(0.5,1),f(0.7
4、5)D.(0,0.5),f(0.125)【分析】本题考查的是二分法研究函数零点的问题.在解答时，首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间，然后用二分法的思想将区间逐次减半.即可获得问题解答.【解答】解：由题意可知：对函数/(x)=x3+2x-,V(0)0,且函数在区间(0,0.5)上连续，可得其中一个零点xo(0.0.5),使得/(刈)=0,根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算了(0.25),所以答案为：(0,0.5),/(0.25).故选：A.【点评】本题考查的是二分法研究函数零点的问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力.值得同学们体会和反思.4
5、 .设/(x)=lgx+x-3,用二分法求方程lgx+x-3=0在(2,3)内近似解的过程中得了(2.25)0,/(2.5)0,则方程的根落在区间()A.(2,2.25)B.(2.25,2.5)C.(2.5,2.75)D.(2.75,3)【分析】由已知“方程gx+-3=0在x(2,3)内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由/(2.25)0,/(2.5)0,即可求得结果.【解答】解析：了(2.5)/(2.75)0,由零点存在定理，得，方程的根落在区间(2.5,2.75).故选：C.【点评】二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=(x)在区间。，切上的图象是一
6、条不间断的曲线，且/()f(OV0,则函数y=(x)在区间(,b)上有零点.5 .设/(x)=x3+x-8,现用二分法求方程x3+x-8=0在区间(1,2)内的近似解，计算得/(1)0,/(1.5)0,/(1.75)0,则方程的根所在的区间是()C.(1.75,2)D.不能确定(分析根据二分法求区间根的方法只须找到满足/()/)0,又/(1)0,/(1.5)0,/(1.75)0,可得结论.【解答】解：因为f(1)0,/(1.5)0,/(1.75)0,可得方程的根落在区间(1.75,2)内.故选：C.【点评】本题主要考查用二分法求区间根的问题，二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端
7、点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法，属基础题.6 .函数/Cr)=垢一3的零点所在的区间是()XA.(1,2)B,(1,e)C.(e,3)D.(3,+)【分析】由题意，函数/U)=/以在(0,+)上连续，计算/(e),f(3)即可.【解答】解：函数/(x)在(0,+)上连续，且/(e)=1_l0,e故选：C.【点评】本题考查了零点的判定定理，属于基础题.7 .函数/(x)=log2(x+2)-S(x0)的零点所在的大致区间是()XA.(0,1)B.(1,2)C.(2,e)D.(3,4)【分析】分别求出/(1),/(2)的值，从而求出函数的零点所在的范围.【解答】解：Y/=log30,.函数
8、/(x)=log2(x+2)-S(0)的零点所在的大致区间是(1,2),X故选：B.【点评】本题考查了函数的零点问题，根据零点定理求出即可，本题是一道基础题.8 .用“二分法”求解关于X的方程/x+2x-6=0的近似解时，能确定为解所在的初始区间的是()A.(2,3)B,(0,2)C.(1,2)D.(0,+)【分析】根据单调性求解/(1)=-4,/(2)=ln2-20,据函数的零点判断方法可得：零点在（2,3）内.【解答】解：令函数/（x）=lnx+2-6f可判断在（0,+8）上单调递增，：.f（1）=-4,/（2）=Inl-20,，根据函数的零点判断方法可得：零点在（2,3）内,方程阮+2-
9、6=0的近似解：在（2,3）内.故选：A.【点评】本题考查了函数的零点，与方程的根的关系，根据函数的单调性判断分析，属于中档题.9 .设函数/CO=x2-2,用二分法求/（x）=0的一个近似解时，第1步确定了一个区间为（1,旦），到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是（）2A.（1,金）B.（立，S）242C.（旦，3）D.（2图）82816【分析】把x=l,g，互，旦，23代入函数解析式，分析函数值的符号是否异号即可.24816【解答】解：令/（x）=/-2,则/=-10,f（）=-Lvo,416所以到第二步求得的近似解所在的区间应该是（$,1）；42f（11）=Lo,864由/（_1L）
10、/（2）vo知到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是在（旦，3）.8282故选：C.【点评】此题考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思想，同时也考查了学生分析解决问题的能力.10 .函数f（%）=-x-2的一个零点所在的区间为（）A.（-1,0）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,3）【分析】将x=-l,x=0,x=l代入函数的表达式，结合零点的判定定理，得出答案.【解答】解：.(-1)=-+l-2=i-KO,/(O)=I-2=-10,ee/(1)=e-1-20,，函数Fa)的零点在(1,2)内，故选：C.【点评】本题考查了函数的零点的判定定理，是一道
11、基础题.11 .借助计算器用“二分法求方程2+3-7=0的近似解，得到有关数据如下表，根据表中的数据可得该方程的近似解为()区间中点值中点函数值(1,2)1.50.328427(1,1.5)1.25-0.87159(1.25,1.5)1.375-0.28132(1.375,1.5)1.43750.021011A.X=1.2B.X=L3C.X=I.4D.X=1.5【分析】先由题中参考数据可得根在区间(1.375,1.5)内，再利用中值点，中点函数值，1.4符合要求可得答案【解答】解；由题中参考数据可得根在区间(1.375,1.5)内，又因为中值点为1.4375,故选：C.【点评】本题主要考查用二
12、分法求区间根的问题，属于基础题型.在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束.二.填空题(共5小题)12.用二分法求方程/=2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是1.4,1.5,则要达到精确度要求至少需要计算的次数是次.【分析】精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定,若初始区间是(,b),那么经过1次取中点后，区间的长度是土乌，经过次取中点后，区间的长度2是次亘，只要这个区间的长度小于精确度?，那么这个区间内的任意一个值都可以作为2n方程的近似解，由此可得结论.【解答】解：设至少需要计算次，则满足&A1
13、00,由于27=128,故要达到精确度要求至少需要计算7次.【点评】本题考查二分法求方程的近似解，考查学生的计算能力，属于基础题.13.某同学在借助计算器求“方程gx=2r的近似解(精确到0.1)”时，设/(x)=lgx+x-2,算得/(1)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个X的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是X=1.8.那么他所取的X的4个值中最后一个值是1.8125.【分析】根据“二分法”的定义，每次把原区间缩小一半，且保证方程的近似解不能跑出各个小的区间即可.【解答】解：根据“二分法”的定义，最初确定的区间是(1,2),又方程的近似解是X七1.8,故后4个区间
14、分别是(1.5,2),(1.75,2),(1.75,1.875),(1.75,1.8125),故它取的4个值分别为1.5,1.75,1.875,1.8125,最后一个值是1.8125.故答案为：1.8125.【点评】本题考查了二分法的定义，以及利用二分法求方程的近似解的问题，是基础题.14,用“二分法”求方程2*+3-7=0在区间1,3内的根，取区间的中点为刈=2,那么下一个有根的区间是(1,2).【分析】方程的实根就是对应函数f(x)的零点，由f(2)0,/(1)0知，/(x)零点所在的区间为(1,2).【解答】解：设f(%)=2x+3x-7,/(1)=2+3-70,f(2)=30,/(x)
15、零点所在的区间为(1,2)方程23-7=0有根的区间是(1,2),故答案为：(1,2).【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数/(X)的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号.属基础题.15.己知函数/(x)=32-1在区间(0,1)上有唯一零点刈，如果用“二分法”求这个零点（精确度=0.05）的近似值，那么将区间（0,1）等分的次数至少是二,此时并规定只要零点的存在区间（。，b）满足-MV时，用等作为零点的近似值，那么求得XO=.-6厂【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足20,因为25=32,所以=5.故计算5次就
16、可满足要求，所以将区间（0,1）等分的次数至多是5次.因为/（/）0,所以第二次得到区间为（工，3）；424因为f（，）0,所以第三次得到区间为（-1,1）；O2O因为/（且）0,所以第五次得到区间为（A-,包）；321632919十所以函数零点为1632=37；264故答案为：5；64【点评】本题考查了二分法求方程的根；在用二分法求方程的近似解时，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个.设须计算次，则满足且WV精确度即可.2n16.用二分法研究方程加+2x-6=0的一个近似解x=o的问题.（1）若借助计算器，算得第一次：f（2）O=xo（2,3）；第二次：
17、f（2.5）VO,f（3）O=o（2.5,3）；第三次：f(2.5)0=o(2.5,2.75)；第四次：/(2.5)O=xo(2.5,2.625)；第五次：/(2.5)O=xo(2.5,2.5625)；第六次：/(2.53125)0=m(2.53125,2.5625)；(2)若精确度为0.1,至少需算5次,近似解Xo=2.5625.【分析】(1)由根的存在性定理知，当/(a)/(6)0,存在根xo(mb)；再取Xi=誓，验证/()/(.)0,还是/(x)(力)0,进一步确定根XO所在的区间；(2)精确度为0.1时，区间长度小于0.1,且端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可.【解答】解
18、：第一次:V(2)(3)0,xo(2,3)；第二次：取X=等=2.5,V(2.5)(3)0,xo(2.5,3)；第三次：取X=Z3+3=2.75,由7(2.5)O=xo(2.5,2.75)；第四次：取X=2575=2625,由/(2.5)O=xo(2.5,2.625)；第五次：取x=25+：625=2.5625,由/(2.5)O.ro(2.5,2.5625)；(2)当区间长度为：2.56252.5=0.0625V0.1时,精确度为0.1；至少需算5次，此时近似解刈=2.5625；故答案为：(2,3),/(2.5)O=xo(2.5,3)；5,2.5625.【点评】本题考查了二分法求函数在某一区间
19、上的近似解问题，解题时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于所要求的精确度为止.三.解答题(共4小题)17 .若函数/(x)=(+2)x2+20r+l有零点，但不能用二分法求其零点，求实数。的值.【分析】根据函数f(X)有零点，且不能用二分法求其零点，判断函数/Cr)图象在X轴上方或下方(包括X轴)，且与X轴有交点，由此讨论求出。的值.【解答】解：因为函数/(x)=(+2)/+2v+l有零点，且不能用二分法求其零点，所以函数/(x)的图象在X轴上方或下方(包括X轴)，且与X轴有交点.当+2=0时，得=-2,函数/(x)=-4x+l,能用二分法求出零点，不符合题意；当+20时，得
20、-2,函数/(x)=(+2)/+20r+l为二次函数，因为函数/()有零点，且不能用二分法求其零点，所以函数/()的图象与X轴有1个交点，所以关于X的一元二次方程(+2)f+20r+l=0有两个相等实根，即A=4廿-4(+2)=0,解得=2或=-l.故答案为：2或-1.【点评】本题考查了函数的零点与方程的根应用问题，也考查了二分法应用问题，是基础题.18 .若实数4,力满足0,且/6=4,若+b2m恒成立.(I)求?的最大值；(II)若2hT+IMW+Z?对任意的a,b恒成立，求实数X的取值范围.【分析】(I)先求出。0,0,根据基本不等式求出M的最大值即可；(II)问题转化为2仇1+MW3,
21、解出即可.【解答】解：(I)由题设可得b=-0,0,2a：a+b=a+-=4-k-3,a222a2当=2,b=l时，以+b取得最小值3,.*.m的最大值为3；(II)要使2x-l+jW+b对任意的,力恒成立，须且只须2x-1+MW3,x21时，2r-2+x3,解得：IWXW3OWXVI时，2-2x+x3,解得：0x0,f(x)在0,1上单调递增，V/(0)=-2,/(1)=e+l0,/(0)(l)00,0.50.50+0.512Jx1i-0.700,25,0,50.250.25+0.5-X、=0.37522由上表可知区间0.25,0.5的长度为0.25,所以该区间的中点x2=0.375,到区间
22、端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个零点的近似值.，函数f(%)零点的近似值4-0.375(II)当时，由f(x)r,即a0,Jg(x)在1,+)上单调递增，:.g(X)min=g(1)=。+1,a的取值范围是ae+l.【点评】此题考查的是二分法求方程的近似解和恒成立的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、二分法的思想、恒成立的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会反思.20.已知函数/(x)=r3-20r+3a-4在区间(-1,1)上有一个零点.(1)求实数。的取值范围；(2)若。=学，用二分法求/(X)=O在区间(-1，D上的解.(精确到0.1)【分析】(1
23、)令/(%)=0,得=(-1VXV1),g(x)=X3-2r+3,通过函x3-2x+3数的单调性求出g(外的范围，从而求出。的范围；(2)分别计算八-1),/(1)取取中点尸0取工=方，则/弓)=0,从而求出方程的解.【解答】解：(1)令/(x)=0,：.a=(-IVxVl),x3-2x+3令g(x)=x3-2x+3,g(x)=32=3G+逅)(X-逅),33_gU)在(L-逅)递增，在(-返，逅)递减，在(逅，1)递增，3333又.g(近)=3生反Vg(1)=2,39g(-返_)=3+生反g(-1)=4,39.3.全反Wg(X)3+Zl,99.12(21-4五)V*12(21+4返)211211_即的范围是：12(27-46),12(2746)211211(2)=丝时，/(x)=丝(x3-2x+3)-4,1717.(-1)=丝X4-4=4X型0,/(1)=-0,零点在(0,1)上，取X=JL,则/(工)=丝(JL-I+3)-4=0,22178.=方是/(x)=O的解.【点评】本题考查了求参数的范围问题，考查导数的应用，函数的单调性，考查二分法求方程的解的问题，是一道中档题.
